Лекция № 8

Лекция № 8
Построение математических моделей технологических объектов и систем аналитическим методом
В основу аналитического метода составления математических моделей положен теоретический анализ конструкции исследуемого объекта (системы) и происходящих в нем физических
процессов. Основу данного анализа составляют фундаментальные физические законы, к которым,
прежде всего, относятся законы сохранения (массы, энергии, количества движения).
Общая формулировка закона сохранения следующая: изменение во времени некоторой
субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.
Уравнение, соответствующее данной формулировке, имеет вид –
d
dt
 div J  G ,
(1)
где  - фазовая переменная (координата), выражающая субстанцию;
divJ - дивергенция вектора плотности потока фазовой переменной;
G – скорость генерации или уничтожения субстанции.
Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притока-стока субстанции через поверхность элементарного объема и представляет собой скалярную величину, образуемую
суммой частных производных вектора J в системе координат исследуемого объекта. Например,
для трехмерного технического объекта –
div J 
dJ x
dx

dJ y
dy

dJ z
dz
.
(2)
На основе общей трактовки закона сохранения могут быть получены уравнения для различных субстанций. В частности, уравнение закона сохранения массы имеет вид –
d
dt
 div J  ,
(3)
где  - плотность массы, кг/м3,
J    - вектор плотности потока массы,  - вектор скорости переноса массы.
В одномерном случае, когда скорость направлена вдоль одной оси декартовой системы координат, плотность потока массы измеряется в кг/(м2с). Примером использования данного закона
является описание свойства непрерывности потока жидкости в трубопроводе –
d
dt
  d()
dx
.
(4)
Уравнение закона сохранения энергии может быть представлено в виде –
d(E)
dt
 div J E  G E ,
(5)
2
где E  e 
- полная энергия единицы массы, е – внутренняя энергия единицы массы,
2
E - энергия единицы объема, Дж/м3, J E - вектор плотности потока энергии, G E - ско-
рость генерации или поглощения энергии в единице объема, Дж/(м3с).
В одномерном случае плотность потока энергии измеряется в Дж/(м2с). Примером использования данного закона является уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры во времени и пространстве со свойствами среды –
dQ
dt
 div q  G Q ,
(6)
где Q – количество тепловой энергии в единице объема, Дж/м3, q - вектор плотности теплового потока, Дж/(м2с), G Q - количество тепловой энергии, выделяемое в единицу времени в
рассматриваемом элементарном объеме, Дж/(м3с).
Уравнение закона сохранения количества движения для потока идеальной жидкости
(без учета сил трения, обусловленных вязкостью) имеет вид –
d()
dt
 div ()  grad (p) ,
(7)
где  - вектор количества движения единицы объема жидкости, p – давление жидкости,
grad (p) - градиент давления, компонентами которого являются частные производные аргумента по пространственным координатам.
Примером использования данного закона является уравнение Навье-Стокса, приближенная
форма которого для анализа движения жидкости в трубопроводе имеет вид –
  1  d  2   ,
(8)
dt

dx

где  - скорость потока жидкости,  - плотность потока жидкости,  - коэффициент линеd
аризованного вязкого трения в трубопроводе.
Практика показывает, что при разработке математических моделей чаще всего используются закономерности, носящие характер уравнений баланса. К ним относятся уравнения материального и энергетического баланса, уравнения экономического баланса, а также уравнения равновесия сил.
Уравнение материального баланса основано на законе сохранения массы вещества и может быть записано в следующей форме:
Приход вещества – Расход вещества = Накопление вещества
Разность между приходом и расходом вещества равна изменению его количества в рассматриваемом объекте. В стационарном (установившемся) режиме не может происходить ни
убыль, ни накопление. В этом случае уравнение материального баланса для n-го количества веществ может быть записано в виде:
n
р
(9)
 (Giп  Gi )  0 ,
i 1
п
где Gi - весовой приход i-го вещества;
р
Gi - весовой расход i-го вещества.
С учетом изменения количества вещества в объекте уравнение материального баланса может быть записано в виде:
n
n
р
п
(
G
(
t
)

G
(
t
))

 i
 Gi (t ) , (10)
i
i 1
i 1
р
п
где Gi (t ), Gi (t ) - мгновенные значения весового прихода и расхода i-го вещества соответственно;
Gi (t ) - мгновенное значение накопления i-го вещества.
При определении статистических зависимостей можно воспользоваться интегральной записью уравнения материального баланса в следующей форме:
1 n T п
р
lim
(11)
  (G i (t )  G i (t ))dt  0
T   T i 1 0
В качестве примера использования уравнения материального баланса рассмотрим получение модели, описывающей смешивающее устройство, в которое поступает два потока веществ, а
выходит один смешанный поток.
Материальный баланс в переходном процессе может быть выражен как изменение количества вещества, находящегося в растворе емкости, равное разности между количеством притекающих веществ и количеством вытекающего вещества за одно и то же время:
Q1C1  Q2 C 2  Qc C c  V
dCc
,
dt
(12)
где Q1, Q2 – потоки поступления в смешивающее устройство 1 и 2 вещества соответственно;
C1, C2 – концентрация веществ 1 и 2 в приходящих потоках;
Qc, Cc – расход вещества из емкости и его концентрация;
V – объем смешивающего устройства.
В установившемся режиме количество вносимого вещества должно быть равно количеству
выносимого раствора, то есть:
Q1C1  Q2 C 2  Qc C c
(13).
Уравнения (12) и (13) могут быть записаны и в стандартном виде через «вход – выход»:
dy(t )
(14)
 y (t )  K1 x1 (t )  K 2 x 2 (t ) ,
dt
Q
Q
V
, K1  1 , K 2  2 , x1 (t )  C1 , x 2 (t )  C 2 ;
где y (t )  C c , T 
Qc
Qc
Qc
y  K1 x1  K 2 x 2
(15).
T
Не менее редко, чем материальный баланс применяется энергетический баланс, основанный на законе сохранения энергии. В установившемся режиме количество энергии, притекающей
в объект, равно количеству энергии, уходящей из него. По аналогии с выражением (9) уравнение
энергетического баланса может быть записано в виде:
n
(16)
 Ni  0 ,
i 1
где N i - i-й поток энергии (притекающие со знаком +, а уходящие со знаком -).
Примером использования данного типа уравнений является уравнение описания процессов
в электрическом колебательном контуре, которое получается на основе 2 закона Кирхгофа (Для
любого контура электрической цепи с сосредоточенными параметрами алгебраическая сумма
напряжений на ветвях контура равна нулю), отражающего по сути энергетический баланс в электрической цепи:
d 2 q(t ) 1
(17)
L
 q(t )  0 ,
2
C
dt
где q(t) – заряд конденсатора в момент времени t.
Аналитические соотношения, основанные на экономическом балансе, описывают показатели эффективности процессов управления производством. Эти уравнения отражают прибыль, себестоимость продукции, приведенные затраты, производительность и другие экономические характеристики производства.
Кроме указанных уравнений баланса для математического описания объектов также используют:
- уравнения элементарных процессов для локальных элементов объектов (уравнения теплообмена, уравнения химических реакций, уравнения напряжений и токов элементов электрических
цепей и т.п.);
- ограничения на параметры процесса (например, при моделировании технологических
процессов химического производства на концентрации компонентов в многокомпонентных смесях
накладывают ограничения по их значениям от 0 до 1).
Все уравнения, описывающих физические процессы в моделируемой системе можно
условно разделить на компонентные и топологические. Компонентные уравнения отражают
свойства отдельных элементов моделируемой системы и основываются на физических законах
протекания элементарных процессов. Примерами компонентных уравнений для различных систем
являются:
- уравнение поступательного движения твердого тела, полученное на основе второго закона
Ньютона - F  m d
dt
, F- сила инерции, m- масса тела,  - линейная скорость тела;
- уравнение Эйлера для трубопровода постоянного сечения - d
1
   d ,  - скоdt
dx

рость потока жидкости в трубопроводе,  - плотность жидкости, х- геометрическая координата;
- уравнение резистора, полученное на основе закона Ома - U  RI .
Топологические уравнения базируются на физических законах, выражающих условия
равновесия и непрерывности фазовых переменных и описывают взаимодействия между элементами моделируемой системы через соотношения между однотипными фазовыми переменными. В
частности, к топологическим относятся приведенные выше уравнения баланса. Примерами топологических уравнений для различных систем являются:
- уравнение равновесия сил механической системы, основанное на принципе Даламбера
(геометрическая сумма всех сил, приложенных к твердому телу, включая силу инерции, равна нулю) -
 Fi  0 ;
i
- балансное уравнение (13), отражающее условие непрерывности потоков жидкости;
- уравнение (17), базирующееся на втором законе Кирхгофа.
Одним из важнейших свойств аналитического метода построения математических моделей
является идентичность структуры уравнений, описывающих совершенно разные процессы. В
этом проявляется единство физических законов, несмотря на многообразие форм существования
материи. Один и тот же тип элемента в системах различных видов описывается аналогичными по
структуре компонентными уравнениями.
Моделирование систем автоматического управления осуществляется, как правило, с использованием алгебраических и дифференциальных уравнений. К алгебраическим уравнениям
обычно сводится математическое описание стационарных режимов работы объектов. Для описания динамики исследуемых объектов используют дифференциальные уравнения.
Рассмотрим решение уравнения динамики САУ операционным методом при ненулевых
начальных условиях в общем виде. Пусть уравнение имеет вид:
(22)
Dy(t )  Rx(t ) ,
dn
d n1
где D  a n
 a n1
 ...  a 0 ,
n
n1
dt
R  bm
d
m
dt
m
 bm1
dt
d
m1
dt
m1
 ...  b0 , m  n .
Уточним понятие начальных условий для уравнения (22). Под начальными условиями понимают совокупность начальных значений искомой функции y(t) и ее производных до (n-1)-й
включительно. Различают левые (y(-0), y’(-0) …) и правые (y(+0), y’(+0) …) начальные условия,
различие между которыми заключается в направлении подхода к точке t=0. Левые начальные
условия (называемые также предначальными) характеризуют систему до начала динамического
процесса, создаваемого воздействием x(t). Если в момент времени t=0 входное воздействие и его
производные отличны от нуля и происходит мгновенное изменение выходной величины, то
начальные условия будут отличны от предначальных. ( При этом количество начальных условий,
отличных от предначальных определяется видом передаточной функции объекта W - чем меньше
степень числителя W отличается от степени знаменателя, тем большее число начальных условий отличается от предначальных ).
Если заданы предначальные условия, то преобразование уравнения (22) по Лапласу в соответствии
с
известной
теоремой
дифференцирования
оригинала
2
y(t )  y( s), y (t )  s y( s)  y 0 , y (t )  s y( s)  y 0 s  y 0 ,
(
) и с учетом того, что при t=-0
( n1)
( n)
n
n1
n2

y (t )  s y( s)  y 0 s
 y0 s
 ...  y 0
внешнее воздействие еще не влияет на систему будет иметь вид:
(23)
a n s n  a n1s n1  ...  a0 y( s)  M  bm s m  bm1s m1  ...  b0 x( s) ,
n 1
M   y (k ) (0) k 1 ( s)
где
(24)
k 0
 k  a n s nk  a n1s nk 1  ...  a nk
Если выражение (24) разложить на суммы и сгруппировать слагаемые относительно множителей «s в степени», то получим следующее выражение для М:
M  a n y (0) s n 1  a n y (0)  a n 1 y (0)s n  2 
(25)
 a n y (0)  a n 1 y (0)  a n 2 y (0)s n 3  ... 
 a n y ( n 1) (0)  a n 1 y ( n  2) (0)  ...  a1 y (0)
Из уравнения (23) легко найти изображение искомой функции:





y ( s) 

R( s )
M
M
x( s ) 
 W x( s ) 
D( s )
D( s )
D( s )
(26)
Если передаточная функция W имеет полюсы (корни полинома D(s))
1 ,  2 ,...,  n и нули
V (s)
 1 ,  2 ,...,  m , а изображение x( s )  1
имеет полюсы (корни полиV2 ( s)
нома V2(s)) 1 ,  2 ,...,  и нули (корни полинома V1(s)) 1 ,  2 ,...,   , то выражение (26)
(корни полинома R(s))
можно записать в виде:
b ( s   1 )( s   2 )...(s   m )
y(s)  m

a n ( s  1 )( s   2 )...(s   n )

c ( s  1 )( s   2 )...(s    )
g ( s  1 )( s   2 )...(s   )
M
a n ( s  1 )( s   2 )...(s   n )

(27)
Если заданы начальные условия, то осуществляя преобразование по Лапласу уравнения (22)
необходимо учитывать как начальные значения искомой переменной и ее производных, так и
начальные значения внешнего воздействия и его производных. Тогда после преобразования по
Лапласу уравнение (22) примет вид:
D( s ) y ( s )  M  R( s ) x( s )  N ,
(30)
M  a n y (0) s n 1  a n y (0)  a n 1 y (0)s n  2 
где
 a n y (0)  a n 1 y (0)  a n 2 y (0)s n 3  ...  ,

 a n y ( n 1) (0)  a n 1 y ( n  2) (0)  ...  a1 y (0)
N  bm x(0) s m1  bm x (0)  a m 1 x(0)s m 2 

 bm x (0)  bm1 x (0)  bm2 x(0)s m3  ...  .


 bm x ( m1) (0)  bm1 x ( m 2) (0)  ...  b1 x(0)
Начальные значения x(0), x (0), x (0)... определяются в результате подстановки t=0 в
функцию x(t) и ее производные.
Заключительным этапом решения дифференциального уравнения операционным методом
является отыскание оригинала (искомой функции времени) по изображению. Для отыскания оригинала по известному изображению в операционном исчислении используются так называемые
теоремы разложения и теорема свертывания оригиналов, с которыми вы можете познакомиться в
специальной литературе по операционному исчислению.
Исходя из вышеизложенного, методика построения математических моделей объектов аналитическим методом сводится к следующей последовательности действий:
1.
Физическое описание объекта моделирования. При этом выделяют «элементарные»
процессы, протекающие в объекте моделирования, которые подлежат математическому описанию,
и формулируют основные допущения, принимаемые при их описании, а также определяются фундаментальные законы, которые должны быть положены в основу составления математических
уравнений исследуемого объекта (системы).
2.
Составление уравнений статики или динамики объекта моделирования. Данный
этап включает составление компонентных и топологических уравнений на базе выделенных на
первом этапе физических законов в алгебраической или дифференциальной форме.
3.
Определение начальных и граничных условий моделирования. Данные условия выбираются исходя из особенностей функционирования моделируемого объекта, обусловленных
технологическим процессом, в котором он задействован или для которого он разрабатывается.
4.
Выбор метода решения уравнений математического описания объекта, разработка
алгоритма и составление программы. При выборе метода решения системы уравнений обычно руководствуются требованиями обеспечения максимальной быстроты получения решения.
5.
Проверка соответствия (адекватности) модели объекту. Математическая модель объекта является лишь его определенным в рамках принятых допущений аналогом. Адекватность модели проверяется путем сравнения значений переменных, получаемых на модели и на реальных
объектах, и проверки выполнимости критериев адекватности, которые базируются на методах
дисперсионного анализа и анализа остатков, существо которых мы с вами рассматривали на прошлых лекциях.
6.
Изучение свойств объекта моделирования на математической модели. Данное изучение осуществляется в целях определения оптимальных условий протекания процесса, оптимизации управления процессом, а также выработки решений на создание новых объектов.
При проектировании принципиально новых процессов и объектов аналитический метод является единственным приемлемым методом математического описания исследуемых
объектов.