1 2 3 4 1. Цели и задачи дисциплины 1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, специалиста (с учетом требований ФГОС) Дисциплина «Комплексный анализ» является одной из базовых дисциплин математического и естественно-научного цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика и информатика». Дисциплина является общим и теоретическим основанием для многих математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности, входящих в ООП бакалавра экономики. Цели: оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; сформировать у студентов представление о комплексном анализе, как об одной из важнейших областей современной науки, развить навыки практического применения аппарата комплексного анализа и реализовать изучаемые алгоритмы с помощью современных информационных технологий. Задачи: теоретическое и практическое освоение студентами современных концепций и моделей теории функций комплексного переменного; приобретение практических навыков применения изучаемого аппарата в прикладных математических задачах. 1.2.Требования к уровню усвоения дисциплины Студент должен знать: применения математических методов и элементов научных исследований в прикладных задачах и оценивания пределов применимости полученных результатов. Студент должен уметь: применять изученные методы к отысканию физических характеристик процессов. Использовать математические модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенных моделей. Студент должен иметь представление о функциях комплексного переменного и их свойствах, рядах Лорана, особых точках и вычетах, о математике как особом способе познания мира и о математическом моделировании. У студента должны быть сформированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и профессиональные компетенции (ПК): ПК-1–обладать способностью демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой ; ПК-2 – обладать способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии; ПК-11 – обладать способностью приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности. 1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана Перечень действующих и предшествующих дисциплин Математический анализ Теория вероятностей и математическая статистика Дифференциальные уравнения Функциональный анализ Эконометрика Численные методы Методы оптимизации Дискретная математика Перечень последующих дисциплин, видов работ Дипломное проектирование 2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение содержания образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и самообучения; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и студента; направлены на приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль. Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога) М 5 Показательный (изложение материала с приемами показа) Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами) Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя студенты рассуждают, решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и решают поставленную задачу) Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути ее решения) Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе разрешения проблемы, сравнивая различные варианты ее решения) Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств) Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п. 2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения П Д Э ПБ И ПГ Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются составителем Рабочей программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы». 24, 25 26, 27 24 25 8 2 Очная форма обучения Восьмой семестр Лекции Модуль 1 «Исчисление функций комплексного переменного » Тема «Основные понятия ТФКП» Определение ФКП, область определения, область значений. Однозначные и многозначные функции. Реальная и мнимая части функции. Производная ФКП. Дифференцируемость. Теорема о необходимом и достаточном условиях дифференцируемости функции в точке. Условия КошиРимана. Геометрический смысл производной: угол поворота и коэффициент растяжения. 2 2 - Реализуемые компетенции Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание Методы в том числе в интерактивной форме, час. Неделя Кол. час 2.1. Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские) М,Д,И,Э М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 Тема « Интегральная формула Коши» Теорема о независимости интеграла от пути интегрирования. Интегральная формула Коши. Теорема Коши для многосвязной области. М, Д ПК-1, ПК-6 Модуль 2 «Ряды в комплексной области» М, И, Д, Э Тема «Свойства аналитических функций» Понятие аналитичности ФКП. Определение гармонической функции. Уравнение Лапласа. Теорема о связи аналитических и гармонических функций. Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства (e z , Ln z,sin z,cos z, sh z, ch z, Arc sin z, Arc cos z) . 26 2 27 2 28, 29, 30, 31 8 28 2 2 - - Тема «Интегральное исчисление ФКП» Интеграл от ФКП вдоль кривой, свойства. Теорема Коши для односвязной области. Тема «Степенные ряды, их свойства». М, Д ПК-1, 6 Числовые ряды с комплексными членами. Абсолютная сходимость. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости. Свойства степенных рядов. 29 30 31 2 2 - 2 16 4 24 4 - 25 4 2 26 4 2 27 4 - 28-31 16 4 28 4 2 29 4 - 30 4 2 4 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 Тема «Нули аналитической функции, ИОТОХ, вычеты» Нули аналитической функции. Порядок нуля. Теорема о нулях функции. Особые точки и их классификация. Устранимая особая точка. Полюс, порядок полюса. Существенно особая точка. Поведение функции в окрестности особой точки. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Формулы для вычисления вычетов. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. 24-31 31 Тема «Ряд Тейлора» Ряд Тейлора. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Тейлора. Единственность разложения функции в ряд Тейлора. Отыскание радиуса сходимости ряда Тейлора, если функция имеет особые точки. Тема «Ряды Лорана» Ряды Лорана. Определение. Главная и правильная части Лорана. Кольцо сходимости ряда Лорана. Теорема Лорана о разложении аналитической функции кольце в ряд. Схема разложения функций в ряд Лорана. ПК-2, ПК-11 - Очная форма обучения Восьмой семестр Практические занятия Модуль 1 «Исчисление функций комплексного переменного» Тема «Основные понятия ТФКП» Выделение реальной и мнимой частей у функций комплексных переменных. Основные элементарные функции и исследование их свойств. Тема «Производная ФКП» Условие Коши-Римана. Восстановление функции f(x) по ее реальной или мнимой частям. Геометрический смысл производной. Вычисление угла поворота и коэффициента растяжения при отображении Тема «Интегральное исчисление ФКП» Вычисление интеграла по контуру. Тема «Интегральная формула Коши» Интегральная формула Коши и ее применение к вычислению интегралов. Модуль 2 «Ряды в комплексной области» Тема «Степенные ряды с комплексными переменными» Область сходимости степенных рядов. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена Тема « Ряд Лорана» Ряды Лорана. Схема разложения. Кольцо сходимости ряда Лорана Тема «Нули функции» Нули функции. Особые точки и их классификация. Тема «Вычеты ФКП» Вычисление вычетов в изолированных особых точках. Основная теорема Коши о вычетах и ее применение к вычислению интегралов. ПК-1, ПК-2, ПК-11 М,Э,И,Д, ПБ М,Э,Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М,Э,Д,И ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, И, Д, Э М, И, Д, Э ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 М,Э,И,Д, ПБ М,И,Д,Э М,И,Э,Д М,И,Д,Э М,И,Д,Э ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 7 Неделя Кол. час Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы, контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др. Реализуемые компетенции 2.2.Самостоятельная работа студента Очная форма обучения Восьмой семестр 24-27 12 Модуль 1 «Исчисление функций комплексного переменного» 24 2 Выделение реальной и мнимой частей у функций комплексных переменных. Свойства элементарных ФКП. 25 4 Условие Коши-Римана. Восстановление функции f(x) по ее реальной или мнимой частям. Геометрический смысл производной. Вычисление угла поворота и коэффициента растяжения при отображении. 26 4 Вычисление интеграла по контуру. Интегральная формула Коши и ее применение к вычислению интегралов. 27 2 Подготовка к контрольной работе по модулю 1. Усвоение текущего учебного материала. 28-31 12 Модуль 2 «Ряды в комплексной области» 28 2 Область сходимости степенных рядов. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена 29 2 Нули функции. Особые точки и их классификация. 30 2 31 2 Вычисление вычетов в изолированных особых точках. Основная теорема Коши о вычетах и ее применение к вычислению интегралов. Подготовка к контрольной работе по модулю 2. 24-31 2 24-31 2 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1 ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 ПК-3 ПК-1 ПК-2 ПК-2 ПК-4 Усвоение текущего учебного материала. Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Вычисление вычетов в изолированных особых точках» ПК-4 2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые образовательном процессе Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий. Направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.). Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут реализовываться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центов, предприятий и организаций и др.). № Наименование основных форм Применение электронных мультимедийных учебников и учебных пособий Деловые и ролевые игры Краткое описание и примеры, использования в модулях темах, место проведения Находятся в электронном читальном зале РГЭУ (РИНХ) Учебная деловая игра по теме «Функции комплексного переменного» в модуле 1 Часы 2 в 8 Разбор конкретных ситуаций Использование проблемно-ориентированного междисциплинарного подхода к изучению наук Ориентация содержания на лучшие отечественные аналоги образовательных программ восьмого семестра на практическом занятии Тема «Условие Коши-Римана. Восстановление функции f(x) по ее реальной или мнимой частям» в модуле 2 на лекции. Тема «Интегральная формула Коши и ее применение к вычислению интегралов» в модуле 2 на лекции. Содержание дисциплины ориентируется на образовательную программу Финансового университета при правительстве Российской Федерации 14 3. Средства обучения 3.1.Информационно-методические № Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с указанием наличия в библиотеке Основная литература: Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций, URSS, 2013. 424 с. 5 1. 2. Кан Е. Х., Пестова Н.Ф. Функции комплексного переменного, URSS, 2010, 216 с. 12 Дополнительная литература 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 2. – 1985.- 560 c. 2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т.2. Изд. 2. -М: Наука. - 1976. - 400 с. 3. Янушаускас А. И. Аналитические и гармонические функции многих переменных.Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1981.- 184 с. 4. Валирон Ж. Аналитические функции. М.: ГИТТЛ, 1957, 236 c. 5. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964, 414 с. 2 6. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969, 397 с. 2 7. Гончаров В.Л. Теория функции комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1955, 353 с. 8. Гурвиц А., Курант P. Теория функций. М.: Наука, 1968, 648 с. 9. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. т.1. - М.: Наука. - 1967. -488 с. 10 4 2 2 10 6 5 10. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. т.2. - М.: Наука. - 1968. - 624 с. 5 Ангилейко И.М., Козлова Р.В. Задачи по теории функций комплексной переменной. Мн.: 11. Выш. школа, 1976, 128 с. 2 3.2. Материально-технические № ауд. 206214, 417,521 Основное оборудование, специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы, лингафонные кабинеты, аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения, обеспечивающие проведение лабораторных и практических занятий, научноисследовательской работы студентов. Компьютерная техника. Основное назначение (опытное, обучающее, контролирующее) и краткая характеристика использования при изучении явлений и процессов, выполнении расчетов. ППП МS Excel, Eviews 6.0 9 429, 431 Телевизионная техника для презентаций. 4. Текущий, промежуточный контроль знаний студентов № 1. 2. Тесты, темы курсовых работ/проектов, вопросы для текущего контроля, для подготовки к зачету, экзамену Тестовые задания Модуль 1 (образец) Задание 1. Вычислить Im zdz , где С — прямолинейный отрезок, соединяющий точку 0 с точкой 2 + i. C Варианты ответов: а) -1+3i, б) 1 + 0,5i, в) 2 – i. Задание 2. . Вычислить интеграл 2z3 1 z 1 4 dz z 2 2 Варианты ответов: а) i ; б) 4 i ; в) 4 i . Задание 3. Определить радиус сходимости степенного ряда: n z n n n 1 Варианты ответов: а) i ; б) 0 ; в) 4i . Модуль 2 (образец) Задание 4. Определить радиус сходимости степенного ряда: 1 n! z n 1 Варианты ответов: а) 0; n 10 б) ; в) 4 . Задание 5. Найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точках и относительно бесконечно удаленной точки: 1 z (1 z 2 ) Варианты ответов: а) Res f(0) =1; б) Res f(0) =i; в) Res f(0) =1+i. 4.2.Индивидуальные задания Темы модулей 1 и 2 Найдите угол поворота 1. W и коэффициент растяжения 1 . z2 f z Найдите все Лорановские разложения функции 2. k в точке z0 1 i при отображении z0 3 . f ( z) ci 3. Разложить функцию 4. Вычислите интеграл, применяя теорему о вычетах. z 1 2 4z 8 в окрестности точки z 1z 3 в ряд Лорана в области z 1 eiz z 2 dz z 4 Вычислить вычеты во всех изолированных особых точках функций: 5. f ( z) а) cos(cz ) z 3 f ( z) б) 2c z , 2 e2 z 1 2 z . z 3 ( z c) 4.3.Темы контрольных работ 1 Модуль 1. Исчисление функций комплексного переменного. 2 Модуль 2. Ряды Лорана. Вычеты. 4.4.Вопросы к зачету за восьмой семестр 1. 2. 3. 4. 5. Определение ФКП, область определения, область значений. Производная ФКП. Дифференцируемость. Условия Коши- Римана. Геометрический смысл производной: угол поворота и коэффициент растяжения Понятие аналитичности ФКП. Определение гармонической функции. Уравнение Лапласа. 11 Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства. Интеграл от ФКП вдоль кривой, свойства. Теорема Коши для многосвязной области. Числовые ряды с комплексными членами. Абсолютная сходимость. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Тейлора. Кольцо сходимости ряда Лорана. Теорема Лорана о разложении аналитической функции кольце в ряд. 13. Особые точки и их классификация. Устранимая особая точка. Полюс, порядок полюса. 14. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 4.5 .Задание для студентов заочной формы обучения. Домашнее задание представляет собой письменную работу, которая должна продемонстрировать степень усвоения знаний, приобретенных студентом в ходе самостоятельной подготовки. Задание состоит из 10 вариантов задач по основным темам дисциплины. Сдача контрольной работы производится в форме собеседования, в ходе которого студент сначала кратко излагает основные выводы т результаты работы и отвечает на замечания, отмеченные в рецензии. По результатам защиты выставляется окончательная оценка, которая учитывает и ответы студента на вопросы, заданные преподавателем. 5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______ Следующие записи относятся к п.п. Автор Зав. кафедрой Принято УМУ__________________________________ Дата:_____________________