Глава 3. Устойчивость тела. Пример 1 y

30
Глава 3. Устойчивость тела.
Пример 1
Устойчивость подъемного крана.
1) Что необходимо определить?
y
Если поднимаемый краном
a
груз будет слишком тяжелый, то
кран опрокинется, поворачиваясь относительно точки А. Тогда
b
проблема классифицируется как
проблема устойчивости твердого
m2g
тела.
RB
2) Выбираем прямоугольную
RA
m3g
систему координат, где ось z
перпендикулярна
плоскости
рисунка, ось y вертикальна, ось x
B
A
горизонтальна
и
начало
координат располагается на
m4g
поверхности земли.
c
d
m1g
x
3) Какие механические величины надо найти?
Если поднимается очень тяжелый груз m1g, то увеличивая расстояние до груза a,
уменьшается реакция RB. Т.к. кран обычно стоит на земле (рельсах), то реакция RB не
может быть отрицательной (нет ограничения на движение вверх). Надо найти, при
каком весе груза и при каком расстоянии до него реакция RB будет равна RB=0.
4) Какую модель выбираем?
Нас интересует возможное вращательное движение, используем модель
твердого тела.
5) Применение модели к задаче.
Пишем моменты всех сил относительно точки A (вокруг оси z). Благодаря тому,
что начало системы координат лежит в точке A, реакция RA момента не дает (нет
плеча) и в момент, когда RB=0, уравнение моментов
0  m1g a  m 2g(c  b )a  m 3gc  m 4 g(d  c) .
Значит, кран не опрокинется, если
m1g a  m 2g(c  b )a  m 3gc  m 4g(d  c) .
Пример 2
Почему в Риге есть дамба с названием “Баласта дамбис”?
1) Что необходимо определить?
Название “Баласта дамбис” (Балластная дамба) появилось, когда деревянные
корабли приходили в Ригу за грузом. Приходя порожними, корабли были загружены
мешками с песком (балластом), чтобы они были устойчивее. В Рижском порту песок
высыпался и со временем появилась целая насыпь – “Баласта дамбис”. С точки зрения
механики надо ответить на вопрос: когда корабль устойчив?
31
2) Выбор системы координат. Ось z совмещаем с продольной осью корабля, xпараллельно поверхности воды, ось y вертикально, а а начало координат возьмем в
центре окружности дна корабля.
y
C
R
x
A
Вода
R
A
Вода
C
3) Какие механические величины надо найти? Интересующее нас устойчивое
положение – это положение плавающего корабля при котором палуба корабля
горизонтальна. Это положение устойчиво, если после снятия бокового воздействия
(сила ветра) корабль нагрузки возвращается в начальное положение.
4) Какую модель выбираем? Нас интересует вращательное движение вокруг оси z.
Выбираем модель твердого тела.
5) Применение модели к задаче. При боковом воздействии корабль наклоняется. При
снятии внешнего воздействия вернуть корабль в положение равновесия может только
собственный вес корабля или давление воды. Давление воды перпендикулярно
поверхности дна корабля. Выясним, где приложен собственный вес корабля.
В бесконечно малом объеме dV каждого тела находится масса dm.
Соответствующий собственный вес равен dmg. В теле можно найти такую точку A,
вокруг которой сумма моментов всех бесконечно малых объемов dV равна нулю:
 x gdm  0 ;  y gdm  0
V
dmg
gmm
A
V
dmg
gmm
A
x
y
32
Эту точку тела называют центром масс. На рисунке в центр масс A плоской фигуры
втыкают иголку, фигура под влиянием собственного веса не вращается, т.к.
собственный вес не дает момента. Поэтому все равно, распределен ли собственный вес
по всему объему (как на самом деле и есть) или весь вес тела mg приложен в центре
масс.
Вернемся к проблеме устойчивости корабля.
Давление воды препендикулярно поверхности
дна корабля, т.е.сила давления проходит через
C
точку начала координат. Т.к. уравнения
вращения записываем относительно этой точки,
то давление воды момента не дает.
x
Вывод о том, устойчиво ли положение
корабля, т.е. вернется ли корабль после наклона в
A
начальное положение, зависит только от того, где
находится центр тяжести. Если центр масс
mg
корабля находится ниже пересечения с линией
воды(точка A), то равновесие устойчиво. Если
центр масс корабля находится выше пересечения с линией воды(точка C), то
равновесие неустойчиво.
Пример 3
Равновесие амортизатора.
1) Что необходимо определить?
Устойчиво ли положение равновесия? Эта
система деформируемая. Поэтому положение
равновесия может быть неустойчивым, если
есть еще какое-либо другое положение
равновесия.
2) Выбираем систему координат. Ось y
возьмем совпадающей с осью симметрии
конструкции, ось x проходит через опору.
P
y
x
3) Какие механические величины надо найти? Надо найти второе положение
равновесия.
4) Какую модель выбираем? Нас устраивает модель материальной точки (в точке
приложения силы), которая дополнена деформируемыми связями.
5) Применение модели к задаче.
Все силы действуют в одной плоскости, поэтому
будут только два уравнения равновесия.
T
Уравнение на горизонтальную ось ничего нового
не дает, т.к. уже из условия симметричности
видно, что силы T обоих амортизаторов равны.
P
При увеличении силы P возрастают и силы в
пружинах (см. пример 2 из 2 части) и они будут
больше сжиматься. При сжатии амортизатора
угол наклона к горизонтали уменьшается, т.е.
сила в пружине возрастает еще быстрей. Т.о.
сумму проекций всех сил на вертикаль
33
записываем для деформированного состояния:
(P3-1)
2T sin   P
Из геометрии видно, что сжатие амортизатора 
равно
 L
a
cos 
(P3-2)
P
Коэффициент жесткости пружины связывает T и
;
(P3-3)
T  c
Система трех уравнений
содержит три неизвестных
T, ,  и систему можно
решить.
Нарисуем
зависимость P. Чтобы
было
легче
понять,
отложим не уменьшение
угла , а угол ,
который при опускании
вниз точки приложения
нагрузки увеличивается.
Если рассмотрим процесс,
происходящий
при
увеличении
силы,
то
увидим, что сила может
возрастать
только
до
значения угла  (см.
толстую линию).
L


a
P
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
20
40
60
80
100

-1
-1.5
P
Соответствующее значение силы называют критической силой. Далее
происходит потеря устойчивости рассматриваемого положения равновесия – точка
приложения силы скачком проходит горизонтальное положение и переходит в
следующее положение равновесия, когда пружина уже не сжата, а растянута. На
графике этот скачок показан прерывистой стрелкой.
Нагружение
конструкции
можно проводить и так, чтобы реализовались все кривые, изображенные на графике, но
тогда необходимо менять процесс нагружения. Тогда точку приложения силы при
помощи какого-либо механизма надо направить вниз и измерять при каждом угле
соответствующую силу. В этом случае сила не только не будет возрастать, но будет
менять свое направление.
Получаем практическую рекомендацию как организовать вычислительный
процесс при помощи компьютерной программы – считать по шагам, давая приращение
деформации, а не силе.
34
Пример 4
Устойчивость оболочки.
1) Что необходимо определить?
Давление с внутренней стороны оболочки меньше чем
с внешней (в обратном случае потеря устойчивости
невозможна).
2) Какую модель выбираем?
Можем увидеть известную аналогию с предыдущим
рисунком, если будем рассматривать часть оболочки.
Понемногу увеличивая внешнее давление, окружность
оболочки сжимается и уменьшается. Так происходит
до достижения критического давления. Повторяется
картина графика из предыдущего примера. Различие
только в том, что теперь вместо равновесия сжатой
пружины меняется внутренний объем.
pa
pi
pa-pi
p
p
Внутренний объем обычно закрыт. При его уменьшении возрастает внутреннее
давление. Равновесие наступит тогда, когда внешнее и внутреннее давление будут
одинаковыми.
Пример 5
Потеря устойчивости закрепленной с одного конца балки при изгибе.
1) Что необходимо определить?
Определить, может ли балка, нагруженная с одного конца (показанная на рисунке),
потерять устойчивость.
На рисунке показано два варианта приложения
силы. На левом рисунке показан случай, когда
сила приложена к верхнему краю, а на правом
Fk
– к нижнему краю.
y
2) Выбираем систему координат так (как
f
показано на левом рисунке), чтобы ось z
совпадала с продольной осью балки и ось y
x
была бы вертикальна.
h
3)Какие механические величины надо
найти? В этом случае у нас деформируемое

F
тело. Надо определить, может ли быть второе
положение равновесия. И если может, то
какова критическая сила Fk.
35
4) Какую модель выбираем?
У нас деформируемое тело. Не углубляясь в методику рассчета (необходимо
применять техническую теорию балки), обозначим жесткость балки при кручении и
изгибе cv,cl. Коэффициентом жесткости называют величину, которая связывает
приложенную силу (момент) и перемещение (угол поворота). Так при кручении
M=cv
(P3-5-1)
5) Применение модели к задаче.
Сила приложена сверху (см. левый рисунок).
Второе возможное положение равновесия будет тогда, когда балка закрутится.
Критическая сила будет тогда, когда крутящий момент, вызываемый внешней
приложенной силой Fkf будет равен моменту упругой реакции балки (P3-5-1).
Fkf=M=cv
(P3-5-2)
Из рисунка видно, что
f
h

2
Помещая эту зависимость в выражение (P3-5-2), получаем выражение для критической
силы балки
Fk 
2c v
h
(P3-5-3)
Т.о. рассматриваемое положение равновесия устойчиво до тех пор, пока приложенная
сила меньше критической (P3-5-3).
Сила приложена снизу (см. правый рисунок).
Если выведем балку из положения равновесия закручивая, то момент внешних сил
вернет ее в прежнее положение равновесия. Деформация изгиба также не приводит к
новому положению равновесия. Т.о. в этом случае равновесие устойчивое и переход в
другое положение равновесия невозможен.
Пример №6.
Число критических оборотов вала.
1) Что необходимо определить?
По середине вертикального вала расположен диск - вращающаяся деталь. Центр
масс диска в реальной конструкции не находится на оси вращения. Расстояние OS = e
называют эксцентриситетом. Вал может изгибаться при воздействии внешних сил, т.е.
не является абсолютно жестким.
У некоторых машин, например у дисков турбин, эксцентриситет измеряется в
микронах, в других эксцентриситет может быть достаточно большим. Эксцентриситет
может появиться в результате изготовления или при эксплуатации.
Увеличивая число оборотов (угловую скорость ) возрастает величина центробежной
силы.
2) Выбираем цилиндрическую систему координат, совмещая ось z с осью вращения.
3) Какие механические величины надо найти? Искомая величина – прогиб балки.
4) Какую модель выбираем? Для диска используем модель твердого тела, т.к. нас
интересует вращательное движение. Массу вала в сравнении с массой диска m можем
не учитывать. Вал рассматриваем как упругую связь для диска. Обозначим  прогиб
вала. Зависимость между прогибом вала и перпендикуляром к приложенной силе F
рассмотрим при помощи коэффициента жесткости c
F=c
36
5)Применение модели к задаче.
Ускорение в цилиндрической системе
координат при =const определили выше
(см.2 глава, пример 6). В этом случае
центростремительное
ускорение

O
a r  r2
и
соответствующее
ему
уравнение движения – сумма проекций всех
сил в направлении радиуса. Если центр
масс вала находится в точке S, то радиус
вращения
этой
точки
r=+e и
соответствующее
ускорение
e
S
S
e
a r  (   e) 2 . Кроме силы инерции
действует упругая реакция вала F=c. Составим уравнение движения
 (   e)2m  c
(P3-6-1)
Величина искомого прогиба
m  e  2
e 2
e 2



, (P3-6-2)
2
c
2
c  m  2


p 2 (1  2 )
m
p
Изобразим полученный результат на
графике.
Угловую скорость вращения диска, при
которой
прогиб
 стремится к
бесконечности, называют критической
угловой
скоростью,
которой
соответствует
критическое
число
оборотов
kp  p 
c
.
m

/p
e
1
Проанализируем
зависимость
между
расстоянием центра масс диска от оси
вращения r и угловой скоростью . Т.к.
r=+e, тогда (P3-6-2)
e  2
e  p2
r 2
e 2
p  2
p  2
Если p, то прогиб увеличивает
эксцентриситет
Если p, то прогиб уменьшает
эксцентриситет
37
S

e
S

e
Т.о. увеличивая угловую скорость вращения  расстояние r уменьшается и центр масс
диска S приближается к оси вращения. Эту зависимость называют
самоцентрированием упругого вала. Очевидно, выгодно работать выше критических
оборотов – прогиб стремится ликвидировать эксцентриситет. В реальных устройствах
необходимо решать только реализацию переходного процесса. Это можно сделать,
увеличивая число оборотов настолько быстро, чтобы большой прогиб не успевал
возникнуть.
Из этого примера видим, что первый вид движения устойчив в диапазоне одного
числа оборотов, а превышая критическое число, первый вид движения теряет
устойчивость и происходит переход на второй вид.
Вопросы для проверки
1)Как определить устойчивость твердого тела?
2) Как определить устойчивость деформируемого тела?
3) Как определить устойчивость движения?
4)Дайте пример определения устойчивости твердого тела.
5) Дайте пример определения устойчивости деформируемого тела.
6) Дайте пример определения устойчивости движения.
7) Что такое критическая сила и как она определяется?
8) Почему у яхты есть киль?
9) Что такое центр масс?
10) Как оболочка может потерять устойчивость? Критическая сила для оболочки?
11) Дайте пример определения критической силы деформируемого тела.
12) Что такое критические обороты вала?
13) Можно ли при помощи компьютерных программ для деформируемого тела
получить зависимость сила – перемещение меняя по шагам значение силы?
14) Дайте пример, где деформируемая система теряет устойчивость и покажите, какая
может быть экспериментальная кривая.
15) Как надо нагружать с одного конца закрепленную балку, чтобы она не потеряла
устойчивость.
16) Как с одного конца закрепленная балка может потерять устойчивость? Как
определить соответствующую критическую силу?
17) Что понимают под понятием самоцентрирывание вращающегося вала?