Функциональный анализ - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Подшивалова А.Н.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
050100. 62 (44.03.05) «Педагогические образование
(с двумя профилями подготовки)» (Математика, информатика)
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2015
Подшивалова А.Н. Функциональный анализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 050100. 62 (44.03.05) «Педагогическое образование (с
двумя профилями подготовки)» (Математика, информатика). Форма обучения очная. Тюмень,
2015, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Функциональный анализ
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Подшивалова А.Н., 2015.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Цель курса "Функциональный анализ" – знакомство студентов с основными понятиями
и методами исследования функционального анализа, установление связи исследуемых
теоретических задач с задачами теории дифференциальных и интегральных уравнений.
В курсе данной дисциплины студенты овладевают знаниями по таким разделам
функционального анализа, как метрические и нормированные пространства, гильбертовы
пространства, линейные операторы, интегральные уравнения. В процессе обучения происходит
получение знаний основных функциональных пространств, их свойств и применение;
приобретение практических навыков решения типовых задач, способствующих усвоению
основных понятий в их взаимной связи.
Задачи курса. Теоретическое освоение студентами основных положений курса
функционального анализа; получение более общих и содержательных результатов, при
объединении алгебраических и геометрических подходов к исследованию множеств функций и
более общих множеств; приобретение практических навыков применения результатов
функционального анализа к исследованию дифференциальных и интегральных уравнений, а
также выявление существующей связи между собой ряда теорем классического
математического анализа, отобразив их на основные принципы функционального анализа.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Функциональный анализ», относится к блоку Б3
Профессиональный цикл и изучается в 5 семестре. Требования к входным знаниям и
умениям студента – теоретические и практические знания основ: математического анализа,
алгебры, геометрии, дифференциальных уравнений, теории функций действительного
переменного. Умение практического применения математического аппарата при решении
задач.
Разделы дисциплины и
(последующими) дисциплинами
междисциплинарные
связи
с
обеспечиваемыми
Таблица 1.
№
п/
п
1.
2.
3.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Основы
вариационного
исчисления
Практикум по
решению
математических
задач
Числовые
системы
Темы дисциплины необходимые для
изучения обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
1.1
1.2
1.3
2.1.
2.2
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями: ОК1, ПК-1.
ОК-1 - владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения.
ПК-1 - способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в
различных образовательных учреждениях.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
-
-
Знать:
основные понятия теории метрических пространств: основные примеры метрических
пространств, сходимость, непрерывные отображения метрических пространств, полнота,
принцип сжимающих отображений, компактность;
основные понятия теории нормированных пространств: примеры, связь с метрическими
пространствами, сходимость и линейные свойства, выпуклость, компактность;
основные понятия теории евклидовых и гильбертовых пространств: основные примеры,
ортогонализация, ортогональные разложения;
основные понятия теории линейных операторов: непрерывность и ограниченность, норма,
линейные ограниченные функционалы, обратные операторы и их свойства;
интегральные уравнения Фредгольма и Вольтера.
Уметь:
- работать с открытыми, замкнутыми, компактными и ограниченными множествами в
метрических пространствах;
- находить норму ограниченного линейного оператора в линейных нормированных
пространствах;
- применять методы функционального анализа при решении операторных уравнений;
- осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
Владеть:
- навыками решения задачи и интерпретации результатов в терминах прикладной области;
- научно-методическим аппаратом функционального анализа при исследовании сложных
систем.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических
часа, из них 74,6 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем (36 часов лекций,
36 часов практических занятий, 2,6 часа иных видов работ), 33,4 часа, выделенных на
самостоятельную работу. Промежуточные формы контроля – зачет, контрольная работа.
3. Тематический план.
Таблица 2.
*с учетом иных видов работ
Итого количество баллов
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
Из них в интерактивной
форме
Интегральные уравнения
2.1.
2.2.
Итого часов по теме
3.2.
1.1.
1.2.
1.3
Самостоятельная
работа
3.1.
2
Модуль 1
Метрические пространства
Нормированные пространства
Гильбертовы пространства
Всего
Модуль 2
Линейные операторы
Линейные
ограниченные
функционалы
Всего
Модуль 3
Обобщенные функции
Практические
занятия
1
Лекции
Тема
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
3
4
5
6
7
8
9
1-2
3-4
5-6
4
4
4
12
4
4
4
12
4
4
4
12
12
12
12
36
2
2
2
6
0-5
0-10
0-15
0-30
7-9
1012
6
6
6
6
4
6
16
18
3
3
0-10
0-20
12
12
10
34
6
0-30
6
6
6
18
3
0-20
6
6
5,4
17,4
3
0-20
12
12
0-40
36
12
26,35
2,6
72
18
6
36
6
11,4
2,6
36
18
0-100
1315
1618
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3.
№ темы
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Всего
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Всего
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Всего
Итого
Коллоквиумы
Контрольная
работа
Модуль 1
0-5
0-5
Модуль 2
0-5
0-5
0-10
Модуль 3
0-5
0-5
0-10
0-25
Итого количество
баллов
0-10
0-15
0-25
0-5
0-10
0-15
0-30
0-5
0-15
0-20
0-10
0-20
0-30
0-10
0-20
0-30
0-75
0-15
0-25
0-40
0 – 100
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Определение, примеры метрических пространств. Сходимость, шары, открытые и
замкнутые множества, непрерывность отображений, сепарабельность. Полные метрические
пространства, теорема о пополнении, полнота пространства, принцип вложенных шаров,
теорема Бэра, принцип сжимающих отображений и его приложения к интегральным
уравнениям и задаче Коши. Функции на компактных множествах, критерий Хаусдорфа и его
следствия, критерий Арцела.
1.2. Линейные нормированные пространства. Свойства нормы. Выпуклость. Сходимость,
связь с линейной структурой. Компактность в нормированных пространствах.
1.3. Гильбертовы и предгильбертовы пространства, примеры. Теорема о проекции. Теорема
Рисса. Ортонормированный базис в H.
Модуль 2
2.1. Линейные операторы, непрерывные и ограниченные. Теорема о норме оператора.
Операции над линейными операторами. Равномерная и поточечная сходимость
последовательностей операторов, принцип равномерной ограниченности. Обратные операторы.
Спектр и резольвента.
2.2. Теорема Хана – Банаха о продолжении функционала, следствия, теоремы об общем
виде функционалов в конкретных пространствах, описание сопряженных пространств, теорема
о вложении пространства во второе сопряженное. Сопряженный оператор, теорема о норме,
примеры вычисления сопряженных операторов. Слабая сходимость последовательностей
функционалов, критерий слабой сходимости функционалов, слабая сходимость элементов,
единственность предела, связь со сходимостью по норме, критерий слабой сходимости.
Модуль 3
3.1. Расширение понятия функции. Пространство основных функций. Обобщенные
функции. Действия над обобщенными функциями. Достаточность запаса основных функций.
Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных
функций.
3.2. Типы интегральных уравнений. Примеры задач, приводящих к интегральным
уравнениям. Интегральные уравнения первого рода и второго рода. Интегральные уравнения
Фредгольма и Вольтерра. Уравнения с симметрическим ядром. Случай вырожденных ядер.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
1.1. Метрические пространства. Примеры. Свойства метрики. Подпространства.
Непрерывные отображения метрических пространств. Сходимость в метрических
пространствах. Открытые и замкнутые множества, предельные точки, сепарабельность.
Полнота метрического пространства.
1.2. Линейные нормированные пространства. Свойства нормы. Выпуклость. Сходимость
связь с линейной структурой. Компактность в нормированных пространствах.
1.3. Гильбертовы и предгильбертовы пространства, примеры. Теорема о проекции. Теорема
Рисса. Ортонормированный базис в H.
Модуль 2
2.1. Линейные операторы, непрерывные и ограниченные. Теорема о норме оператора.
Операции над линейными операторами. Равномерная и поточечная сходимость
последовательностей операторов, принцип равномерной ограниченности. Обратные операторы.
Спектр и резольвента.
2.2. Теоремы об общем виде функционалов в конкретных пространствах. Изометрически
изоморфное описание сопряженных пространств. Сопряженный оператор. Слабая сходимость.
Модуль 3
3.1. Пространство основных функций. Обобщенные функции. Действия над обобщенными
функциями. Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе
обобщенных функций.
3.2. Основные классы интегральных уравнений. Интегральные преобразования и их
свойства. Уравнения Фредгольма и Вольтера.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4.
№
Модули и темы
Виды СРС
Неделя Объем Кол-во
семест часов баллов
обязательные
дополнира
тельные
Модуль 1
1.1 Метрические
Подготовка к
1-2
4
0-5
Работа с
пространства
ответам на семинаре. дополнитель
Выполнение
ной
домашнего задания.
литературой
Работа с
1.2 Нормированные
Подготовка к
3-4
4
0-10
Интернетпространства
контрольной работе.
ресурсами
Выполнение
1.3
Гильбертовы
пространства
домашнего задания.
Подготовка к
контрольной работе.
Выполнение
домашнего задания.
5-6
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Линейные
Подготовка к
7-9
операторы
ответам на семинаре,
Работа с
написание и защита
дополнитель
реферата.
ной
литературой 10-12
2.2 Линейные
Подготовка к
Работа с
ограниченные
ответам на семинаре,
Интернетфункционалы
к контрольной
ресурсами
работе. Выполнение
домашнего задания.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Обобщенные
Работа с
13-15
функции
дополнитель
Проработка лекций
ной
3.2 Интегральные
16-18
Работа с основной
литературой
уравнения
литературой
Работа с
Решение типовых
Интернетзадач
ресурсами
Всего по модулю 3:
Иные виды работ:
ИТОГО:
4
12
0-15
0-30
4
0-10
6
0-20
10
0-30
6
0-20
5,4
0-20
11,4
2,6
36
0-40
0-100
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические
навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные
компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна
быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в
виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала,
предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу,
предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем расположен
список основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернет-ресурсы.
При подготовке к контрольным работам и коллоквиумам рекомендуется использовать
учебно-методические комплексы из списка дополнительной литературы. В этих комплексах
содержится тематическое описание контрольных работ, а также варианты для самостоятельного
решения. Указанная литература имеется в библиотеке ТюмГУ, а также на кафедре
математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы
В результате освоения ООП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
– владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
– способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных
образовательных учреждениях (ПК-1).
Выдержка из матрицы соответствия компетенции и составных частей ООП приведена в
таблице 5.
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 5
Б.1-Б.3. Дисциплины (модули)
ОК-1
ПК-1
+
+ + + + + + + + +
* - дисциплины базовой части
+
+
Объектно-ориентированное программирование
Дискретная математика
Математический анализ
Геометрия
Алгебра
Психология: общая психология*
Теоретические основы курса элементарной геометрии
3 семестр
Аксиоматика курса элементарной геометрии
Технологии программирования
Математический анализ
Геометрия
2 семестр
Алгебра
Основы компьютерных наук
Индекс
компетенции
Математический анализ
Геометрия
Алгебра
1 семестр
Основы компьютерных наук
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
+
+
+
+
+
+
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Индекс
компетенции
ПК-1
+
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
ОК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
Теоретическая физика
Физика
Дополнительные главы теории и методики
обучения информатике
Решение задач ЕГЭ по информатике
7 семестр
+
+
+
+
+
+
+
5 семестр
+
+
+
8 семестр
Элементарная математика с практикумом по
решению задач
Организация информационных хранилищ
+
Методика обучения предмету (математика) *
+
Методика обучения предмету (информатика) *
Философия *
Дифференциальные уравнения и уравнения с
частными производными
Теория вероятностей и математическая
статистика
Избранные вопросы теории функций
действительной переменной
Функциональный анализ
+
Организация образовательных ресурсов в сети
Интернет
+
Методика преподавания математики в
профильных классах
+
Дополнительные главы методики преподавания
математики
+
Мультимедиа технологии
+
Методика обучения предмету (математика) *
4 семестр
Компьютерная графика и анимация
Числовые системы
Объектно-ориентированное программирование
Теория чисел
+
Научные основы школьного курса математики
+
Теория функций комплексной переменной
+
Дополнительные главы алгебры
ОК-1
Комплексный анализ
+
Элементарная математика с практикумом по
решению задач
Индекс
компетенции
Математическая логика и теория алгоритмов
Математический анализ
Геометрия
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Образовательная робототехника
ПК-1
Архитектура ЭВМ и системное программное
обеспечение
Элементарная математика с практикумом по
решению задач
Методика обучения предмету (математика) *
Методика обучения предмету (информатика) *
Таблица 5 - продолжение
Б.1-Б.3. Дисциплины (модули)
6 семестр
+
* - дисциплины базовой части
Таблица 5 – продолжение
Б.1-Б.3. Дисциплины (модули)
9 семестр
+
+
+
+
+
+
+
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Индекс
компетенции
ПК-1
+
+
ОК-1
+
Математические модели в естественных и социальных науках
+
+
+
+
Карта критериев оценивания компетенций приведена в таблице 6.
История математики и информатики
История развития математического образования
Педагогическая практика*
+
Практикум по решению олимпиадных задач по информатике
9 семестр
Организация проектной деятельности и работы с одаренными
учащимися по информатике
Компьютерное моделирование
+ + + +
Современные математические пакеты
+
Пакеты символьной математики
Численные методы
Исследование операций
Алгебраическая теория информации
Алгебраическая теория автоматов
Практикум по решению олимпиадных задач по элементарной
математике
Организация проектной деятельности и работы с одаренными
учащимися по математике
Основы вариационного исчисления
Таблица 5 – продолжение
Б.1-Б.3. Дисциплины (модули)
10 семестр
Б.5.
Практики
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их
формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Код
компетенци
и
ОК-1
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
повышенный
базовый (хор.)
(удовл.)
(отл.)
76-90 баллов
61-75 баллов
91-100 баллов
Знает: основные понятия,
Знает: отличительные
Знает: связи и приложения
определения, свойства
особенности различных типов функционального анализа в
объектов теории
задач, рассматриваемых в
других областях
функционального анализа;
курсе изучения
математического знания и
формулировки основных
функционального анализа;
дисциплинах
утверждений.
методы доказательств
естественнонаучного
утверждений и теорем.
содержания.
Умеет: определять задачи для Умеет: доказывать основные
Умеет: глубоко вникать в
достижения поставленной
утверждения, теоремы;
содержательную сущность
цели, определять тип каждой
решать задачи прикладного
поставленной задачи;
поставленной задачи, ее
характера;
адекватно применять аппарат
основные характеристики;
использовать теоретический и функционального анализа в
решать основные задачи
практический материал,
разнообразных областях
функционального анализа.
необходимый для
математического знания и
представления задачи в
дисциплинах
терминах и понятиях
естественнонаучного
изучаемой дисциплины.
содержания.
Владеет: необходимым
Владеет: математическим
Владеет: методами анализа и
инструментарием и знаниями, инструментарием в
моделирования реальных
чтобы понять поставленную
соответствии со спецификой
исходных данных; методами
задачу и выбрать способы ее
анализируемого класса
преобразования
решения; в соответствии с
реальных задач, необходимых разнообразных форм
поставленной целью
для достижения поставленной исходных данных с целью их
определить пути ее
цели; методами анализа и
удобного представления для
достижения.
моделирования реальных
дальнейшего анализа и
исходных данных.
моделирования и, как
следствие, достижения
поставленной цели.
Виды
занятий
Оценочные
средства
Лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
Лекции,
практические
занятия
Опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа
ПК - 1
Знает: необходимый
минимум учебной программы
функционального анализа.
Умеет: реализовывать
учебные программы курса
функционального анализа,
опираясь на помощь извне.
Знает: на хорошем уровне
учебную программу
функционального анализа.
Умеет: самостоятельно
реализовывать учебные
программы курса
функционального анализа в
образовательных
учреждениях.
Владеет: необходимыми
навыками и инструментарием
для реализации учебных
программ курса
функционального анализа;
навыками работы с
программными средствами
общего и профессионального
назначения.
Владеет: необходимыми
навыками и инструментарием
для самостоятельной
реализации учебных
программ курса
функционального анализа в
некоторых образовательных
учреждениях; методами
построения учебного курса;
навыками работы с
программными средствами
общего назначения.
Знает: на высоком уровне
учебную программу
функционального анализа.
Умеет: проводить анализ
учебных программ курса
функционального анализа,
выбирать наилучшие учебные
программы и самостоятельно
их реализовывать в различных
образовательных
учреждениях.
Владеет: на высоком уровне
навыками, знаниями и
инструментарием для
самостоятельной реализации
и выбора наилучших учебных
программ курса
функционального анализа в
различных образовательных
учреждениях, исходя из их
специфики; навыками работы
с программными средствами
профессионального
назначения.
Лекции,
практические
занятия
Лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
Контрольная
работа,
собеседование
Лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа, опрос
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Теоретические вопросы к зачету
1.
Примеры нормированных пространств.
2.
Линейные ограниченные операторы. Норма оператора.
3.
Компактные операторы, примеры.
4.
Линейные уравнения с компактными операторами.
5.
Условия разрешимости линейного уравнения с компактным оператором.
6.
Альтернатива Фредгольма для линейных уравнений с компактным оператором.
7.
Спектр линейного оператора, его замкнутость и ограниченность.
8.
Спектр компактного оператора.
9.
Интегральные уравнения 2 рода (Фредгольма и Вольтерра).
10. Решение интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
11. Решение интегрального уравнения Фредгольма с малым ядром (оператор имеет
малую норму).
12. Решение интегрального уравнения Вольтерра.
13. Производная Фреше, примеры.
14. Производная Гато, примеры.
15. Пространство основных функций.
16. Обобщенные функции (регулярные и нерегулярные).
17. Дифференцирование обобщенных функций.
18. Первообразная обобщенной функции.
19. Пространства Соболева.
20. Обобщенные функции медленного Роста.
21. Преобразование Фурье обобщенных функций.
Типовые формулировки вопросов и задач для самопроверки:
1. Сформулируйте аксиомы метрики.
2. Является ли пространство С[0,1] полным?
3. Выполняется ли принцип сжимающих отображений в случае неполного
метрического пространства?
4. Как определяется ограниченность множества в метрическом пространстве?
5. Чем отличаются линейные многообразия от линейных подпространств?
6. Как осуществляется процесс ортогонализации?
7. Как определяется ортогональное дополнение для произвольного множества
гильбертова пространства?
8.
Как определяется норма ограниченного оператора?
9.
Является ли переход к обратному оператору непрерывной операцией?
10. Как решаются интегральные уравнения с вырожденными ядрами?
11. Как определяется сопряженное пространство к линейному нормированному
пространству.
12. Какой общий вид линейного ограниченного функционала в пространстве
непрерывных функций?
13. Как связаны слабая сходимость и сходимость по норме.
14. Является ли метрикой на R функция  ( x, y)  cos x  cos y ?
15.
2
2
Доказать что множество D  x, y   R 2 : x 2  y  1 является открытым в R ,


4
ограничено ли оно?
16. Найти предел последовательности xn в нормированном векторном пространстве
C[a,b] , если он существует, a  0, b  1, xn (t )  t n  t n 1 .
 1

1
Принадлежит ли последовательность x n  1,
,...,
,0,... , пространству l 2 .
2
n


1
18. Найти норму вектора в пространствах С[-5, 5], С [-5, 5], L[-5, 5], L2[-5, 5].
19. Является ли заданная билинейная форма скалярным произведением в
пространстве R2?
20. Ортогональны ли векторы a(t) и b(t) в пространстве L2?
21. В пространстве L2 найти проекцию элемента x0 на подпространство L.
17.
1
1 1

x 0   , 2 ,..., k ,... ,
3
3 3

22.
1
1

L   x   y :  ,   R; x k  k , y k  k 
5
6 

Выяснить, является ли отображение F : L2 [0,1]  C[0,1] непрерывным в точке
1
x 0 (t )  0 . F ( x) 

3
ts x( s)ds .
0
23.
При каких p  1 функция tg x 
1/ 5
принадлежит пространству L p [0;  / 2] ?
24. Привести пример функции, принадлежащей пространству L2 [; 3] , но не
принадлежащей пространству L3 [; 3]
25. Пусть A : C[0,1]  C[0,1] . Доказать, что оператор А непрерывно обратим, найти
A 1 .
1
26. . Решить интегральное уравнение Фредгольма
 (t s  s
2
) x( s)ds  x(t )  t
0
x
x t
27. Решить интегральное уравнение Вольтерра  ( x)  x   e  (t )dt
0
28. Найти характеристические числа и собственные функции интегрального
1
уравнения   (t s  s 2 ) x( s)ds  x(t )
0
1
29. Найти те функции y(t), с которыми уравнение
48
 ( 25 ts  s
2
) x( s)ds  x(t )  y(t ) ,
0
имеет решение.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Студент, набравший в течение семестра не менее 61 балла, получает автоматически
зачет.
Если студент не набрал необходимого числа баллов (то есть суммарное количество
баллов 60 или меньше), то ему необходимо сдавать зачет в назначенное преподавателем и
утвержденное руководством института время.
Билеты к зачету формируются из вопросов, список которых был приведен в п.10.3
данной рабочей программы.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
«Зачтено» ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике,
указанной в билете.
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное
изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не
обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах
экзаменатора были частично исправлены;
«Незачтено» ставится в случае, если:
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже
с помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам.
11. Образовательные технологии.
С целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся, в
соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки, для реализация
компетентностного подхода программа предусматривает широкое использование в
учебном процессе следующих форм учебной работы:
 активные формы (лекция, вводная лекция, обзорная лекция, заключительная
лекция);
 интерактивные формы (практическое занятие, семинар, компьютерная
симуляция);
 внеаудиторные формы (консультация, практикум, самостоятельная работа);
 формы контроля знаний (групповой опрос, контрольная работа, тестирование,
зачёт).
Лекция – одна из основных форм организации учебного процесса,
представляющая собой устное, монологическое, систематическое, последовательное
изложение преподавателем учебного материала. Она предшествует всем другим формам
организации учебного процесса, позволяет оперативно актуализировать учебный материал
дисциплины.
Практическое занятие – основная интерактивная форма организации учебного
процесса, дополняющая теоретический курс или лекционную часть учебной дисциплины
и призванная помочь обучающимся освоиться в «пространстве» дисциплины;
самостоятельно оперировать теоретическими знаниями на конкретном учебном
материале. Для практического занятия в качестве темы выбирается обычно такая учебная
задача, которая предполагает не существенные эвристические и аналитические
напряжения и продвижения, а потребность обучающегося «потрогать» материал, опознать
в конкретном то общее, о чем говорилось в лекции.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1.
2.
Данилин, А.Р. Функциональный анализ : учебное пособие / А.Р. Данилин. Екатеринбург : Издательство Уральского университета, 2012. - 200 с. - ISBN 978-57996-0720-3
;
То
же
[Электронный
ресурс].
URL:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=239528 (дата обращения: 13.10.2015).
Колмогоров, А. Н.. Элементы теории функций и функционального анализа : [учеб.] /
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 7-е изд. Москва : Физматлит, 2006. - 572 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Ревина, С.В., Сазонов, Л.И. Функциональный анализ в примерах и задачах: учебное
пособие / С.В. Ревина. – Ростов-н/Д: Издательство Южногофедерального
университета, 2009. - 120 с. - ISBN 978-5-9275-0683-5 ; То же [Электронный ресурс]. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book_view&book_id=240944 (дата обращения:
13.10.2015).
2. Треногин, В. А.. Задачи и упражнения по функциональному анализу : учеб. пособие
для студ. ун-тов, обуч. по спец. "Математика" и "Прикладная математика" / В. А.
Треногин, Б. М. Писаревский, Т. С. Соболева. - 2-е изд., испр. и доп. - Москва :
Физматлит, 2005. - 240 с.
3. Элементы теории функций / Р.С. Гутер, Л.В. Кудрявцев, Б.М. Левитан ; под ред. П.Л.
Ульянов.
М.
:
Физматгиз,
1963.
244
с.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=116047. (дата обращения: 13.10.2015).
4. Функциональный анализ [Электронный ресурс]: учебно-методический комплекс / И.
В. Асташова, В. А. Никишкин. 3-е изд., испр. и доп. – М.: Евразийский открытый
институт,
2011.
110
с.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=90883. (дата обращения: 13.10.2015).
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Книги и пособия по функциональному анализу
http://www.ph4s.ru/book_mat_fanaliz.html
2. Примеры метрических пространств В.А. Скворцов
http://math.ru/lib/book/pdf/mp-seria/book.16.pdf
2. Образовательный математический сайт «Экспонента»
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/tfkp/
3. Единое окно доступа к образовательным ресурсам
http://window.edu.ru/window/library?p_rid=47134
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Теория функций действительного переменного» содержит 3 модуля,
которые изучаются один семестр. Каждый модуль имеет определенную логическую
завершенность по отношению к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных
достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а
непрерывно складываются на протяжении всего семестра. Комплексность означает учет
всех форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на практических занятиях. Промежуточный контроль –
это проверка знаний студентов по разделу программы, проводится в виде регулярных
контрольных мероприятий или коллоквиумов. Итоговый контроль по дисциплине – это
проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Условия получения зачета на основе полученного суммарного количества
баллов можно найти в п.10.4 данной рабочей программы.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и
готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические
задания, выполнять упражнения. Примеры задач и упражнений приведены в разделе 9
(Упражнения и задачи для самостоятельного решения). Результаты решения задач и
выполнения упражнений, а также возникшие трудности студент может обсудить с
преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.