Функциональный анализ - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Латфуллин Тагир Гумерович
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем», профиль подготовки: Технологии программирования, очная
форма обучения.
Тюменский государственный университет
2014
Латфуллин Т.Г. Функциональный анализ. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление 02.03.03
«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», профиль
подготовки: Технологии программирования. Тюмень, 2014, 21 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ
«Функциональный
анализ»[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Латфуллин Т.Г., 2014.
1.
Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля)
Целью изучения данной дисциплины является знакомство студентов с основными
понятиями и методами исследования функционального анализа, установление связи
исследуемых теоретических задач с задачами теории дифференциальных и интегральных
уравнений.
В курсе данной дисциплины студенты овладевают знаниями по таким разделам
функционального анализа, как метрические и нормированные пространства, гильбертовы
пространства, линейные операторы, интегральные уравнения. В процессе обучения
происходит получение знаний основных функциональных пространств, их свойств и
применение;
приобретение
практических
навыков
решения
типовых
задач,
способствующих усвоению основных понятий в их взаимной связи.
Задачи дисциплины состоят в теоретическом освоении студентами основных
положений курса функционального анализа; получение более общих и содержательных
результатов,
при
объединении
алгебраических
и
геометрических
подходов
к
исследованию множеств функций и более общих множеств; приобретение практических
навыков
применения
результатов
функционального
анализа
к
исследованию
дифференциальных и интегральных уравнений, а также выявление существующей связи
между собой ряда теорем классического математического анализа, отобразив их на
основные принципы функционального анализа
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Учебная дисциплина «Функциональный анализ» входит в базовую часть дисциплин;
требования к входным знаниям и умениям студента – знания, полученные в рамках
школьного курса математики, а также результаты учебных дисциплин: математический
анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения. Данная дисциплина является
предшествующей для следующих дисциплин: численные методы анализа, методы
оптимизации, компьютерное моделирование, функциональное программирование.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Таблица 1.
№
п/п
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.
Задачи оптимального
управления
2.
Методы оптимизации
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.11.2
2.12.2
+
+
+
3.13.2
3.33.6
4.14.2
5.15.3
6.1
6.2
6.3
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате изучения дисциплины «Функциональный анализ» цикла естественнонаучных дисциплин базовой части по направлению подготовки 02.03.03 «Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем» с квалификацией (степенью)
«бакалавр» в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами
профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВО, выпускник должен обладать
следующими компетенциями:
-способностью к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);
-готовностью к использованию метода системного моделирования при исследовании
и проектировании программных систем (ПК-1);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать:
 основные понятия теории метрических пространств: основные примеры метрических
пространств, сходимость, непрерывные отображения метрических пространств,
полнота, принцип сжимающих отображений, компактность;
 основные понятия теории нормированных пространств: примеры, связь с метрическими
пространствами, сходимость и линейные свойства, выпуклость, компактность;
 основные понятия теории евклидовых и гильбертовых пространств: основные примеры,
ортогонализация, ортогональные разложения;
 основные понятия теории линейных операторов: непрерывность и ограниченность,
норма, линейные ограниченные функционалы, обратные операторы и их свойства;
 интегральные уравнения Фредгольма и Вольтера.
Уметь:
 работать с открытыми, замкнутыми, компактными и ограниченными множествами в
метрических пространствах;
 находить норму ограниченного линейного оператора в линейных нормированных
пространствах;
 применять методы функционального анализа при решении операторных уравнений;
 осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
Владеть:
 навыками решения задач и интерпретации результатов в терминах прикладной области;
 научно-методическим аппаратом функционального анализа при исследовании сложных
систем.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 4-й. Форма промежуточной аттестации – контрольные работы, зачет.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов, из них 70,5
часов, выделенных на контактную работу с преподавателем (34 часа лекций, 34 часа
практических занятий, 2,5 часа иных видов работ), 37,5 часов, выделенных на
самостоятельную работу.
3. Тематический план
2
Итого
часов
по
теме
Из них в интерактивной
форме
1
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельн
ая работа
Тема
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции
№
недели семестра
Таблица 3.
Итого
количеств
о баллов
8
9
3
4
5
6
7
1-2
4
4
4
12
4
4
4
12
3
0-10
4
4
4
12
3
0-10
12
12
12
36
6
0-30
6
6
6
18
3
0-15
6
6
7
19
3
0-15
12
12
13
37
6
0-30
13-15
6
6
6,5
18,5
3
0-20
16-17
4
4
6
14
3
0-20
10
10
12,5
32,5
6
0-40
34
34
37,5
108
18
0-100
3
6
9
Модуль 1.
1.1 Метрические
пространства
1.2 Нормированные
пространства
3-4
1.3 Гильбертовы
пространства
5-6
Всего
0-10
Модуль 2.
2.1 Линейные операторы
2.2 Линейные ограниченные
функционалы
7-9
10-12
Всего
Модуль 3.
3.1 Обобщенные функции
3.2 Интегральные уравнения
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в
интерактивной форме
*- с учётом иных видов работ.
18
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
другие формы
онные
системы и
технологи
и
Итого количество баллов
Информац
и-
программы
компьютерно
го
тестирования
комплексные
ситуационны
е задания
электронные
практикумы
Технические
формы
контроля
эссе
реферат
тест
контрольная
работа
Письменные работы
лабораторная
работа
ответ на
семинаре
собеседование
Устный опрос
коллоквиумы
№
Темы
Модуль 1
1.1
0-2
0-5
0-3
0-10
1.2
0-2
0-5
0-3
0-10
1.3
0-2
0-5
0-3
0-10
Всего
0-6
0-15
0-9
0-30
2.1
0-2
0-10
0-3
0-15
2.2
0-2
0-10
0-3
0-15
Всего
0-4
0-20
0-6
0-30
3.1
0-2
0-15
0-3
0-20
3.2
0-2
0-15
0-3
0-20
Всего
0-4
0-30
0-6
0-40
Итого
за 1
семест
р
0-14
0-65
0-21
0100
Модуль 2
Модуль 3
5.
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Метрические пространства.
Определение, примеры метрических пространств. Сходимость, шары, открытые и
замкнутые
множества,
непрерывность
отображений,
сепарабельность.
Полные
метрические пространства, теорема о пополнении, полнота пространства, принцип
вложенных шаров, теорема Бэра, принцип сжимающих отображений и его приложения к
интегральным уравнениям и задаче Коши. Функции на компактных множествах, критерий
Хаусдорфа и его следствия, критерий Арцела.
Тема 1.2. Нормированные пространства.
Линейные нормированные пространства. Свойства нормы. Выпуклость. Сходимость,
связь с линейной структурой. Компактность в нормированных пространствах.
Тема 1.3. Гильбертовы пространства.
Гильбертовы и предгильбертовы пространства, примеры. Теорема о проекции. Теорема
Рисса. Ортонормированный базис в H.
Модуль 2.
Тема 2.1. Линейные операторы.
Линейные операторы, непрерывные и ограниченные. Теорема о норме оператора.
Операции над линейными операторами. Равномерная и поточечная сходимость
последовательностей операторов, принцип равномерной ограниченности. Обратные
операторы. Спектр и резольвента.
Тема 2.2. Линейные ограниченные функционалы.
Теорема Хана – Банаха о продолжении функционала, следствия, теоремы об общем
виде функционалов в конкретных пространствах, описание сопряженных пространств,
теорема о вложении пространства во второе сопряженное. Сопряженный оператор,
теорема о норме, примеры вычисления сопряженных операторов. Слабая сходимость
последовательностей функционалов, критерий слабой сходимости функционалов, слабая
сходимость элементов, единственность предела, связь со сходимостью по норме, критерий
слабой сходимости.
Модуль 3.
Тема 3.1. Обобщенные функции.
Расширение понятия функции. Пространство основных функций. Обобщенные функции.
Действия над обобщенными функциями. Достаточность запаса основных функций.
Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе
обобщенных функций.
Тема 3.2. Интегральные уравнения.
Типы интегральных уравнений. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям.
Интегральные уравнения первого рода и второго рода. Интегральные уравнения
Фредгольма и Вольтерра. Уравнения с симметрическим ядром. Случай вырожденных
ядер.
6.
Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Занятие 1. Метрические пространства. Примеры. Свойства метрики. Подпространства.
Непрерывные отображения метрических пространств. Сходимость в метрических
пространствах. Открытые и замкнутые множества, предельные точки, сепарабельность.
Полнота метрического пространства.
Занятие 2. Линейные нормированные пространства. Свойства нормы. Выпуклость.
Сходимость связь с линейной структурой. Компактность в нормированных пространствах.
Занятие 3. Гильбертовы и предгильбертовы пространства, примеры. Теорема о
проекции. Теорема Рисса. Ортонормированный базис в H. Самостоятельная работа.
Модуль 2.
Занятие 4. Линейные операторы, непрерывные и ограниченные. Теорема о норме
оператора. Операции над линейными операторами.
Занятие 5. Равномерная и поточечная сходимость последовательностей операторов,
принцип равномерной ограниченности. Обратные операторы. Спектр и резольвента.
Занятие 6. Теоремы об общем виде функционалов в конкретных пространствах.
Изометрически изоморфное описание сопряженных пространств. Сопряженный оператор.
Слабая сходимость. Самостоятельная работа.
Модуль 3.
Занятие 7. Пространство основных функций. Обобщенные функции. Действия над
обобщенными функциями. Восстановление функции по производной. Дифференциальные
уравнения в классе обобщенных функций.
Занятие 8. Основные классы интегральных уравнений. Интегральные преобразования
и их свойства. Уравнения Фредгольма и Вольтера. Самостоятельная работа.
Занятие 9. Итоговая аудиторная контрольная работа.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не планируются
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица 5 .
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Метрические
пространства
1.2 Нормированные
пространства
1.3 Гильбертовы
пространства
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
2.1 Линейные
операторы
2.2 Линейные
ограниченные
функционалы
Всего по модулю 2*:
Модуль 3
3.1 Обобщенные
функции
3.2 Интегральные
уравнения
Виды СРС
обязательны дополнительны
е
е
Проработка
лекций,
работа с
литературой,
решение
типовых
задач
Проработка
лекций,
работа с
литературой,
решение
типовых
задач
Проработка
лекций,
работа с
литературой,
решение
типовых
задач
Всего по модулю 3*:
ИТОГО за 4 семестр*:
* - с учётом иных видов работ
Работа с учебной
литературой,
составление
задач
Работа с учебной
cоставление
задач
Написание
программы
Неделя
семестр
а
Объем
часов
Кол-во
баллов
1-2
4
0-10
3-4
4
0-10
5-6
4
0-10
12
0-30
7-9
6
0-15
10-12
7
0-15
13
0-30
13-5
6,5
0-5
16-17
6
0-15
12,5
37,5
0-40
0-100
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
Индек
с
компе
тенци
и
ОК-7
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Структуры и алгоритмы компьютерной обработки
данных*
Дифференциальная геометрия и топология*
Методы вычислений*
Дифференциальные уравнения*
Функциональный анализ*
Численные методы анализа
Теория разностных схем
Компьютерная графика
Математическая логика*
Теория вероятности и математическая статистика*
Системное программирование
Исследование операций
Методы оптимизации
Задачи оптимального управления
ГИС-технологии
Информационные технологии
3 семестр
4 семестр
5 семестр
6 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
Планирование эксперимента и обработка эксперим
ентальных данных
Имитационное моделирование
2 семестр
Теория игр
Алгоритмы и технологии параллельного
программирования
Физика
Дифференциальная геометрия и топология*
+
Теория чисел *
Профессиональные компетенции
Математический анализ*
+
Дискретная математика*
Общекультурные компетенции
Технологии программирования*
1 семестр
Аналитическая геометрия*
Математический анализ*
Алгебра*
Дискретная математика*
Основы программирования*
Информатика
Цикл
ы,
дисци
плин
ы
Математический анализ*
Алгебра*
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Б.1. Дисциплины
7 семестр
8
семестр
Код
компетенц
ии
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Пороговый (удовл.)
базовый (хор.)
Повышенный (отл.)
61-75 баллов
76-90 баллов
91-100 баллов
Знает:
что
для
успешного
обучения
нужно
быть
организованным и готовым
к
самостоятельному
изучению предмета
Знает:
Виды занятий (лекции,
семинар
ские, практические,
лабораторные)
Таблица 6
Оценочные
средства (тесты,
творческие работы,
проекты и др.)
Знает:
что если при изучении Как распределить силы и
функционального анализа выделить главное при изучении Лекции,
сделаешь
перерыв,
то функционального анализа.
занятия.
бывает
трудно
восстановить форму
практические Практические
задания, опрос.
Умеет:
ОК-7
Умеет:
Умеет:
организовать
себя
для организовать себя для
решения простейших задач решения основных задач
функционального анализа
функционального анализа
решать
нестандартно
сформулированные
задачи,
доказывать
теоремы
функционального анализа и
Практические занятия.
Лекции,
занятия.
Практические
задания,
контрольная
работа.
практические
Владеет:
Владеет:
Владеет:
навыками организации себя навыками организации себя
для решения простейших для решения оснвных задач
задач
функционального функционального анализа
анализа
навыками
организации себя
для
решения
задач
функционального анализа при
неизвестных
изначально
методах их решения
Практические
задания, зачет.
Знает:
. Знает:
Знает:
основные
определения основные определения и основные определения, теоремы
функционального анализа.
теоремы функционального и связи между ними в Лекции,
анализа.
функциональном анализе.
занятия.
Умеет:
ПК-1
решать простейшие задачи
Умеет:
практические Практические
задания, опрос.
Умеет:
решать стандартные задачи решать
нестандартно
и
доказывать
теоремы сформулированные
задачи,
функционального анализа
доказывать
теоремы
функционального анализа и
Практические занятия
Владеет:
Владеет:
теоретическими основами ,
необходимыми для
решения задач
функционального анализа.
теоретическими основами ,
и практическими навыками,
необходимыми для решения
задач
функционального
анализа.
Владеет:
теоретическими основами , и Лекции,
практическими
навыками, занятия.
необходимыми для решения
задач
функционального
анализа.
Способностью
подбирать
нужные
инструменты для решения
задач.
Практические
задания,
контрольная
работа.
практические
Практические
задания, зачет
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольная работа по темам 1.1, 1.2, 1.3:
1) Метрика ли  в l1 ?

 ( x , y )   | x 2 k 1  1  y 2 k 1 |
k 1
2) Проверить полноту пространства X.
X  C[0;1],
1
x   | x(t ) | dt.
0
3) Пусть f : [a;b]  R – непрерывная функция и M – замкнутое подмножество [a;b].
Доказать замкнутость множества B = f (M).
4) Найти норму вектора x(t)=2t3 + 21 t2 + 72t в пространствах
C[-5;5], C^1[-5;5], L[-5;5], L2[-5;5].
Контрольная работа по темам 2.1, 2.2:
Найти норму оператора Ax(t)=(1-3t2)x(t)
1) A:C[0;2]  C[0;2],
2) A:C[0;2]  L2[0;2].
3) A : L2[0;2]  L2[0;2],
4) Найти норму функционала f  l2*

f ( x )   ( xn / 2n  ( 2 / 3) n xn 1 )
n 1
5) В пространстве L_2[0,1] найти проекцию вектора x(t)=t2 на подпространство,
порожденное векторами a(t)=1+t и b(t)=t3.
Контрольная работа по темам 3.1, 3.2:
1) Найти спектр оператора A: C[0:1]  C[0:1]
1
A( x )   ( s 2  st 3 ) x( s )ds.
0
2) Найти производную Фреше оператора f:C[0;1]  C[0;1]
1
f ( x )( t )  x(1  t )   cos(t x( s )) ds.
2
0
3) Найти производную Фреше оператора :C[0;1]  C[0;1]
es t
f ( x )( t )  cos(x(t )  t )   2 x( s )ds.
0 t 1
1
2
4) Найти производную обобщенной функции f  D*(R)
f ( ) 
 /6
 sin x ( x )dx  sin( / 6) (1).

5) Найти вторую производную обобщенной функции f  D*(R)

f ( )   (3)   arctg x ( x )dx.
1
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.
Сформулируйте аксиомы метрики.
2.
Является ли пространство С[0,1] полным?
3.
Выполняется ли принцип сжимающих отображений в случае неполного
метрического пространства?
4.
Как определяется ограниченность множества в метрическом пространстве?
5.
Чем отличаются линейные многообразия от линейных подпространств?
6.
Как осуществляется процесс ортогонализации?
7.
Как определяется ортогональное дополнение для произвольного множества
гильбертова пространства?
8.
Как определяется норма ограниченного оператора?
9.
Является ли переход к обратному оператору непрерывной операцией?
10.
Как решаются интегральные уравнения с вырожденными ядрами?
11.
Как определяется сопряженное пространство к линейному нормированному
пространству.
12.
Какой общий вид линейного ограниченного функционала в пространстве
непрерывных функций?
в
13.
Как связаны слабая сходимость и сходимость по норме.
14.
Является ли метрикой на
15.
Доказать что множество
функция
?
является открытым
, ограничено ли оно?
16.
Найти предел последовательности
в нормированном векторном пространстве
, если он существует,
.
17.
Принадлежит ли последовательность
, пространству
18.
Найти норму вектора в пространствах С[-5, 5], С1[-5, 5], L[-5, 5], L2[-5, 5].
19.
Является ли заданная билинейная форма скалярным произведением в
.
пространстве R2?
20.
Ортогональны ли векторы a(t) и b(t) в пространстве L2?
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
1.
Примеры нормированных пространств.
2.
Линейные ограниченные операторы. Норма оператора.
3.
Компактные операторы, примеры.
4.
Линейные уравнения с компактными операторами.
5.
Условия разрешимости линейного уравнения с компактным оператором.
6.
Альтернатива Фредгольма для линейных уравнений с компактным оператором.
7.
Спектр линейного оператора, его замкнутость и ограниченность.
8.
Спектр компактного оператора.
9.
Интегральные уравнения 2 рода (Фредгольма и Вольтерра).
10.
Решение интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
11.
Решение интегрального уравнения Фредгольма с малым ядром (оператор имеет
малую норму).
12.
Решение интегрального уравнения Вольтерра.
13.
Производная Фреше, примеры.
14.
Производная Гато, примеры.
15.
Пространство основных функций.
16.
Обобщенные функции (регулярные и нерегулярные).
17.
Дифференцирование обобщенных функций.
18.
Первообразная обобщенной функции.
19.
Пространства Соболева.
20.
Обобщенные функции медленного Роста.
21.
Преобразование Фурье обобщенных функций.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в
рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
4 семестр – зачёт:
Студент получает зачёт автоматически в случае набора в течение семестра
61 балла.
Студент набирает в течение семестра 35-60 баллов. Для сдачи зачёта
необходимо написать итоговый тест за 1 семестр (20 баллов). Если
набранных баллов по итогам теста не хватает для получения зачёта, студент
добирает баллы путём сдачи самостоятельных работ или выполнения
дополнительных заданий.
Студент набирает в течение семестра менее 35 баллов (не допущен к сдаче
зачёта). Студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных и
контрольных работ. После получения допуска (35 баллов), необходимо
написать итоговый тест за 4 семестр (20 баллов). Если набранных балов по
итогам теста не хватает для получения зачёта, студент добирает баллы
путём сдачи самостоятельных работ или выполнения дополнительных
заданий.
11. Образовательные технологии.
Сочетание
традиционных
образовательных
технологий
в
форме
лекций,
практических работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ,
промежуточного тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные и практические занятия; на практических занятиях контроль
осуществляется при сдаче набора заданий. В течение семестра студенты выполняют
задачи, указанные преподавателем к каждому занятию;
активные и интерактивные формы: моделирование и анализ результатов при
выполнении самостоятельных работ;
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности,
подготовка к аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной
дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов.
Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и контрольных
работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю
успеваемости и промежуточной аттестации; индивидуальные консультации.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1 Основная литература:
1.
Семенко, Е. В. Теория функций действительной переменной. Мера и интеграл
[Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Е. В. Семенко, А. Ю. Пугач:
учебно-методическое пособие/ Е. В. Семенко, А. Ю. Пугач ; Новосиб. гос. пед. ун-т. Новосибирск: НГПУ, 2012. - 126 с.: ил, генеалогич.табл. - Загл. из текста. - Режим
доступа: http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/773/ (дата обращения: 12.10.2014).
2.
Многомерные пространства [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие:
учебно-методическое пособие/ сост. М. Е. Деев ; Горно-Алтайский гос. ун-т. - ГорноАлтайск: Горно-Алтайский гос. ун-т, 2013. - 82 с.: ил. - Загл. из текста. - Режим
доступа : http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/644729/ (дата обращения: 12.10.2014).
9.2. Дополнительная литература:
1.
Бурбаки,
Н.
Функции
действительного
переменного.
Элементарная
теория
[Электронный ресурс]/ Н. Бурбаки ; пер. Е.И. Стечкина. - М. : Изд-во "Наука", 1965. 423 с. – Режим доступа: URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112136 (дата
обращения: 12.10.2014).
2.
Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа: [учеб.]/ А.
Н. Колмогоров, С. В. Фомин; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 7-е изд.. Москва: Физматлит, 2006. - 572 с.
3.
Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболев Т.С. Задачи и упражнения по
функциональному анализу. М.: Физматлит, 2005.
12.3 Интернет-ресурсы:
Не предусмотрены
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
Не предусмотрены
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории,
оснащённые
мультимедийным
оборудованием,
для
проведения
практических занятий необходимы обычные классы.
16. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного сдачи зачёта (экзамена) студенты должны посещать лекции и
практические занятия, выполнять домашние задания, выполнить все
контрольные работы.
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется
ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения
практического занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием
учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений,
основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо
усвоить.