Краткий справочник по физике - Естественнонаучная школа ТПУ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.И. Кузнецов
КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК
ПО ФИЗИКЕ
3-е издание, переработанное, дополненное
Издательство
Томского политехнического университета
2011
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
К891
Кузнецов С.И.
Кузнецов С.И. Краткий справочник по физике: учебное
пособие / С.И. Кузнецов; Национальный исследовательский
Томский политехнический университет. – 3-е изд., перераб.
доп. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 44 с.
В справочнике приведены основные законы и формулы по всем разделам физики.
Цель пособия – помочь учащимся освоить материал программы,
научить активно применять теоретические основы физики как рабочий
аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести уверенность в самостоятельной работе.
Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ, соответствует
программе курса физики, общеобразовательных учебных заведений и
направлено на активизацию научного мышления и познавательной деятельности учащихся.
Предназначено для учащихся средних школ, лицеев, гимназий и подготовки абитуриентов к поступлению в технические вузы. Ориентировано на организацию самостоятельной индивидуальной работы.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Рецензенты
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ
А.В. Шаповалов
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ
А.Г. Парфенов
© Томский политехнический университет, 2011
© Оформление. Издательство ТПУ, 2011
© Кузнецов С.И.. 2011
ОСНОВЫНЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
Часть I. Механика
1. Кинематика материальной точки

 Уравнение движения материальной точки r  xi + yj + zk.

 Вектор перемещения Δ r  Δxi  Δyj  Δzk .

 Модуль вектора перемещения Δ r  Δx 2  Δy 2  Δz 2 .


Δr
 Средняя скорость  υ 
.
Δt

 dr
 Мгновенная скорость υ   υ x i  υ y j  υ z k .
dt
2
 Модуль скорости υ  υ x  υ 2y  υ 2z .

Δυ

 Среднее ускорение  a 
.
Δt

 dυ
 Мгновенное ускорение a 
 ia x  ja  y ka z .
dt
 Модуль ускорения a  a x2  a 2y  a z2 .
 

 Полное ускорение при криволинейном движении a  an  aτ .
dυ
 Тангенциальная составляющая ускорения aτ 
.
dt
υ2
 Нормальная составляющая ускорения an 
.
r
 Кинетическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х x  x0  υt.
 Уравнения равнопеременного поступательного движения
at 2
x  υ 0t 
;
υ  υ 0  at .
2
 Кинетическое уравнение равномерного вращения φ  φ 0  ωt .

 dφ
 Угловая скорость ω 
.
dt

 dω
 Угловое ускорение ε 
.
dt
3
2π
.
ω
1
Частота вращения v  .
T
Циклическая частота вращения ω  2πv .
Уравнения равнопеременного вращательного движения
εt 2
ω  ω 0  εt , φ  ω 0t 
.
2
Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном
движении
S  Rφ , υ  Rω , a τ  Rε , an  Rω 2 .
 Период вращения T 




2. Динамика материальной точки


 Импульс (количество движения) p  mυ .
 Закон сохранения импульса (для замкнутой систе n 
мы) p   mi υ i  const .
i 1
 dp

 Второй закон Ньютона F 
 mа .
 dt 
 Третий закон Ньютона F12   F21 .
 1 n
 Центр масс системы материальных точек rc   ri mi .
m i 1


 Импульс системы тел p  mυ c .
1 n

 Теорема о движении центра масс ac   Fi внеш .
m i 1
3. Силы в механике



 Связь веса тела с силой тяжести и реакцией опоры G  mg   R .
 Соотношение между весом, силой тяжести и ускорением
G  m g  a  .
 Сила трения скольжения Fтр  μN .
 Для тела на наклонной плоскости
Fтр  μmg cosα,
F  mg sin α,
a  g sin α  μ cosα  .
  
 Уравнение Ньютона для неинерциальной системы ma   F  Fин .
υ2
 Центростремительная сила Fцс  maцс  m .
R
4
 Центробежная сила Fцб  man  тω2 R .

 
 Сила Кориолиса Fк  2тυ, ω.
 Закон Гука для пружины Fупр  kx .

dU
 Связь между силой и потенциальной энергией F    .
dr
2
kx
 Потенциальная энергия упругой пружины U 
.
2
kx 2
 Работа, совершённая пружиной A  
.
2
Fупр
 Напряжение σ 
.
S
lσ
 Приращение длины Δl  0 .
E
Δl σ
 Относительное продольное растяжение (сжатие) ε 
 .
l0 E
Δd
 Относительное поперечное растяжение (сжатие) ε 
.
d0
ε
 Коэффициент Пуассона μ  .
ε
1
 Закон Гука для стержня ε  σ .
Е
Fl
 Модуль Юнга E  0 .
SΔl
σ2
 Объемная плотность потенциальной энергии w0 
.
2E
4. Энергия. Работа. Законы сохранения
mυ 2 p 2
 Кинетическая энергия K 
.

2
2m
 Изменение кинетической энергии ΔK  A .
 Работа переменной силы на участке траектории 1–2
2
A   F cosαdS .
1
 Мгновенная мощность N 
dA
 Fυ .
dt
5
A
.
Δt
Работа консервативных сил A  U1  U 2 .
Потенциальная энергия тела при гравитационном взаимодействии
U  mgh .
Mm
Гравитационное взаимодействие между массами m и M U   γ
.
r
Полная механическая энергия системы E  K  U .
 Средняя мощность  N 




 Закон сохранения полной механической энергии (для замкнутой системы) K  U внутр  E  const .
 Скорость шаров массами m1 и m2 после абсолютного упругого центрального удара
(m  m1 ) υ 2  2m1υ1
 (m  m2 ) υ1  2m2 υ 2
и υ 2  2
υ1  1
m1  m2
m1  m2
.
 Скорость шаров после абсолютного неупругого удара
m υ  m2 υ 2
.
υ 1 1
m1  m2
 Закон сохранения импульса при движении ракеты
mр υ р  mг υ г .
 Формула Циолковского
υ р   υ г ln
M0
.
M
5. Динамика вращательного движения твёрдого тела

 
 Момент силы M i  [ ri , Fi ] или M  Fr sin α  Fl .
 
 
 Момент импульса относительно точки L  r , p  r , mυ .
 Основной закон динамики вращательного движения относительно
dL  внеш
точки
.
M
dt
 Момент импульса относительно неподвижной оси
n
Lz   mi υi ri  I z ω .
i 1
 Уравнение динамики вращательного движения
твёрдого тела M  Iε .


 Закон сохранения момента импульса L  const или Iω  const .
n
m
 Момент инерции системы (тела) I   mi ri или I   R 2 dm . υ
i 1
6
2
0
 Момент инерции полого и сплошного цилиндров (или диска) относи1
тельно оси симметрии I c  mR 2 , I c  mR2 .
2
2
2
 Момент инерции шара и сферы
I c  mR 2 , I c  mR 2 .
5
3
 Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендику1
лярной стержню и проходящей через его середину I c  ml 2 .
12
 Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендику1
лярной стержню и проходящей через его конец I с  ml 2 .
3
2
 Теорема Штейнера I  I c  md .
Iω 2
 Кинетическая энергия вращающегося тела K вр 
.
2
mυ 2 Iω 2

 Полная кинетическая энергия катящегося тела K 
.
2
2
 Закон сохранения энергии для тела катящегося с высоты h
mυ 2 Iω 2
mgh 

.
2
2
6. Теория тяготения Ньютона









m1m2
m1m2 r
Закон всемирного тяготения F  γ 2 или F  γ 2
.
r r
r
Потенциальная энергия тела массы т, расположенного на расстоянии
Mm
r от большого тела массы М U   γ
.
r

 F
Напряжённость поля тяготения G  .
m
U
M
Потенциал поля тяготения φ    γ .
m
R
Взаимосвязь между потенциалом поля тяготения и его напряжённо
стью G  grad φ .
Работа по перемещению тела в гравитационном поле
 M
M
A  m γ
 γ   U 1  U 2 .
r1 
 r2
Потенциальная энергия тела массой т на расстоянии r от Земли
7
 1 1
U  U З  mgRЗ2 
  .
R
 З r
 Полная энергия тела в гравитационном поле
mυ 2
Mm
E  K U 
γ
 const .
2
r
7. Законы Кеплера
dS
 const .
dt
T 2 R3
 Третий закон Кеплера 12  13 .
T2
R2
 Второй закон Кеплера
 Первая космическая скорость υ1  gR .
 Вторая космическая скорость υ 2  2 gR .
8. Специальная теория относительности (СТО)
 Преобразования Галилея
  
x  x  υt , y  y  , z  z , t  t  или r  r   υt .
 Закон сложения скоростей в классической механике u  υ  υ .
 Преобразования Лоренца
υx '
t ' 2
x' υt
c .
x
; y  y';
z  z ';
t
2
1 β
1  β2
υ x1  x2 
 Интервал времени между событиями Δt  
c
2
1 υ c
2
.
 Релятивистское (Лоренцево) сокращение длины стержня
l l 0 1  υ c 2
 Релятивистское замедление хода часов Δt 
 Релятивистский закон сложения скоростей
 Масса релятивистской частицы
m
8
Δt 
1  ( υ c) 2
υ  υ
.
u
υυ
1 2
c
m0
1  ( υ c) 2
.

mυ

p
 Релятивистское выражение для импульса
.
1  ( υ c) 2
 Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы
E  m02 c 4  p 2 c 2 .
 Релятивистское выражение для энергии
E
mc 2
1  υ2 c 2
.
 Кинетическая энергия релятивистской частицы


1
K  E  E0  mc 2 
 1 .
 1  υ2 c 2



m0 c 2
2
 Закон взаимосвязи массы и энергии E  mc 
.
1  ( υ c) 2
 Энергия покоя E0  mc 2 .
 Взаимосвязь массы и энергии покоя ΔE0  Δmc 2 .
2m
 2m .
 Масса образовавшейся частицы M 
1  υ2 c 2
 Энергия связи Eсв  c 2 ΔM .
 Дефект массы ΔM   mi  M .
 Условие существования черной дыры
 Размеры черной дыры
rg  G
mγ c 2
2
G
mγ M
rg
2M
.
c2
9. Механика жидкостей и газов
F
.
S
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
ρυ2
 ρgh  P  const .
Уравнение Бернулли
2
F2 S 2
Соотношение для гидравлического пресса
 .
F1 S1
h1 ρ 2
Закон сообщающихся сосудов
 .
h2 ρ1
 Давление




P
9
Sυ  const .
 Архимедова сила FA  ρgV .
 Формула Торричелли
 Формула Стокса
υ  2 gh .
F  6πηrυ .
 Формула Пуазейля V  πR 4 ΔPt /(8ηl ) .
 Формула Лапласа для произвольной поверхности
ΔP  σ(1 / R1  1 / R2 ) .
 Формула Лапласа для сферической поверхности
ΔP  2σ / R .
2σ cosθ
.
h
ρgr
 Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
 Поверхностное натяжение
σ
F
ΔE
или σ 
.
lb
ΔS
Часть II. Молекулярная физика. Термодинамика
1. Молекулярно-кинетическая теория
 Молярная масса вещества μ  Amед N A или μ 
 Атомная масса A 
m
.
v
mA
.
mед
 Атомная единица массы mед 
1
1,66  10 27 кг .
12mC
1
 6,023  10 26
.
моль
μ
M  mед
P
 Число Лошмидта N L  0  2,68  10 25 м 3 .
kT0
N
 Концентрация частиц n  .
V
 Число Авогадро N A 
 Универсальная газовая постоянная R  kN A  8,31
Дж
.
моль  К
 Нормальные условия P0  10 5 Па; T0  273 K .
ΔF
 Давление на поверхность P 
.
ΔS
F 1
 Давление газа на стенку сосуда P   m0 υ 2x .
S 3
2
1
 Основное уравнение МКТ P  n  Ek  nkT  nm0  υ кв  2 .
3
3
10
m0  υ 2 
 Абсолютная температура T 
.
3k
 Объем газа в трубке газового термометра V 
nk
T.
P0
P
 const при V , m  const .
T
 Уравнение изохорического процесса для температуры по шкале
Цельсия P  P0 (1  αt ) .
V
 Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака  const,
T
при P, m  const
 Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта PV  const ,
при T , m  const .
 Адиабатический процесс (изоэнтропийный) S  const , ΔS  0 .
 Политропический процесс C  const .
 Закон Дальтона Pсм  P1  P 2 ...  Pn .
PV
 Объединенный газовый закон (закон Клапейрона)
 const .
T
 Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клаm
пейрона)
PV  RT  vRT ; для смеси газов
μ
m m
m 
PV   1  2  n  RT .
 μ1 μ 2 μ n 
 Изохорический процесс. Закон Шарля
2. Распределение газовых молекул по скоростям и энергиям
 Скорость звука в газе υ зв  γ
P
.
ρ
 Наиболее вероятная скорость υ вер 
 Средняя квадратичная скорость υ кв 
2kT
2 RT
или υ вер 
.
m
μ
3kT
3RT
или υ кв 
.
m
μ
 Средняя арифметическая скорость υ ср 
 Относительная скорость u 
υ
υ вер
.
11
8kT
8RT
или υ ср 
.
πm
πμ
 Функция распределения Максвелла
3







 mυ 2  2
1 dn
4  m 2
υ .
f υ 


 exp 
n dυ
2
kT
2
kT
π



Функция распределения Максвелла для относительных скоростей
1 dn
4
f u  

exp  u 2 u 2 .
n du
π
Функция распределения Максвелла по импульсам
32

4  1 
p2  2

f  p 
exp



 2mkT  p dp .
π  2mkT 


Функция распределения молекул по энергиям теплового движения
3 / 2
2
kT  K 1 2 exp  K  .
f K  
π
 kT 
Pμ
Плотность газа
.
ρ
RT
 μgh 
Барометрическая формула P  P0 exp 
.
RT


 U 
Распределение Больцмана
n  n0 exp 
.
 kT 
 E 
Закон Максвелл – Больцмана dn  n0 A exp 
.
 kT 


3. Элементы физической кинетики
 Эффективное сечение молекулы σ  πd 2 .
 Среднее число столкновения молекулы за 1 с v  2πd 2 n υ .
 Средняя длина свободного пробега молекул
υ
kT
kT
.
λ 


v
2πd 2 P
2σP
1
 Коэффициент диффузии D  λ υ .
3
dn
 Уравнение Фика для диффузии J   D
или J   Dgradn
dx
1
 Динамическая вязкость η  λ υ nm или η  Dρ .
3
 Уравнение Ньютона для внутреннего трения (вязкости)
12
f тр  η

dυ
или f тр  ηgradυ .
dx
mυ
 Средняя энергия молекулы K 
2
2
i
 kT .
2
 Уравнение Фурье для теплопроводности q  χ
dT
 χgradT .
dx
 Коэффициент теплопроводности
1
i
1
χ  λ υT n k  λ υT ρCV уд  DρC уд .
3
2
3
4. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергии. Работа и теплота
 Первое начало термодинамики δQ  dU  δA .
3
 Внутренняя энергия одного моля идеального газа равна U  RT .
2
m i
i
 Внутренняя энергия произвольной массы газа U 
RT  v RT .
M2
2
dQ
 Удельная теплоемкость C уд 
.
dT
 Молярная теплоемкость C μ  Cудμ .
i
R.
2
i2
Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении С p 
R.
2
Уравнение Майера C P  CV  R
C
i2
Коэффициент Пуассона γ  P 
.
CV
i
m R
PV
Внутренняя энергия одноатомного газа U 
.
T
μ γ 1
γ 1
i
Закон Больцмана о равномерном распределении энергии  K  kT .
2
Работа газа при изменении его объема δA  pdV .
Количество теплоты, сообщенное в изохорическом процессе
Q  CV (T2  T1 ) .
Изменение внутренней энергии в изохорическом процессе dU  δQ .
 Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме СV 








13
m R
i
 R.
μ γ 1 2
m
Работы в изобарическом процессе A  PV2  V1   R(T2  T1 ) .
μ
Количество теплоты, сообщенное в изобарическом процессе
m
i

Q  C P T2  T1   RΔT   1 .
μ
2 
Изменение внутренней энергии в изобарическом процессе
im
ΔU  CV T2  T1  
RΔT .
2μ
m γR m dQ
Теплоемкость в изобарическом процессе CP 
.

μ γ  1 μ dT
Работа газа при изобарном расширении
m
A  p(V2  V1 ) 
R(T2  T1 ) .
M
Работа газа в изотермическом процессе
V
P
m
m
A  Q  RT ln 2  RT ln 1 .
μ
V1 μ
P2
Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)
PV γ  const , TV γ 1  const , T γ P1 γ  const .
Работа газа при адиабатическом расширении
m
A  ΔU  CV (T1  T2 )
μ
 Теплоемкость и изохорическом процессе CV 








5. Круговые процссы. Тепловые машины
 Термический КПД для кругового процесса η 
 Термический КПД цикла Карно η 
T1  T2
.
T1
Q1  Q2
.
Q1
 Термический КПД необратимого цикла ηнеобр  1 
T2  ΔT
.
T1  ΔT
 Работа тепловой машины A  Q1  Q2 .
 Изотермическое расширение цикла Карно A1  Q1 
 Адиабатическое расширение цикла Карно A2 
14
V
m
RT1 ln 1 .
μ
V2
R
(T1  T2 ) .
γ 1
 Изотермическое сжатие цикла Карно A3  Q3  
 Адиабатическое сжатие цикла Карно A4 
V
m
RT2 ln 2
μ
V1
R
(T1  T2 )
γ 1
6. Второе и третье начала термодинамики
 Приведённая теплота Q 
Q
.
T
 δQ 
 Энтропия dS  
 .
 T  обр






δQобр
 0 или TdS  δQ .
T
δQнеобр
 0 или Tds  δQ .
Неравенство Клаузиуса ΔS необр  0 , или 
T
δQ
Для произвольного процесса: dS 
.
T
Математическое выражение второго начала термодинамики: dS  0 .
Первое и второе начала термодинамики TdS  dЕп  δA .
Изменение энтропии в изопроцессах:
T
m
 изохорический процесс: ΔS  CV ln 2 , т.к V1 = V2;
μ
T1
 Равенство Клаузиуса ΔS обр  0 или
T
T
m 2 dT2 m
 C P ln 2 , т.к. P1  P2 ;
 изобарический процесс: ΔS   C P
μ T1
T1
μ
T1
V
m
R ln 2 , т.к. T1  T2 ;
μ
V1
 адиабатический процесс: ΔS  0 , т.к. δQ  0 .
Количество теплоты Q  Cm T2  T1  .
Процессы изменения агрегатного состояния вещества:
 закон плавления и кристаллизации: δQ  λdm ;
 изменение энтропии при плавлении и кристаллизации:
ΔS   λm Tпл ;
 закон испарения и конденсации: δQ  rdm ;
 изменение энтропии при испарении и конденсации ΔS   rm Tк ;
Внутренняя энергия системы U  F  TS .
Энергетическая потеря в изолированной системе П  Tмин ΔS .
 изотермический процесс: ΔS 




15
 Статистический смысл энтропии S  k ln W
 Третье начало термодинамики ST 0  k ln W  0 .
7. Термодинамические свойства реальных газов
 Уравнение состояние идеального газа PV  vRT .
 Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа

v2a 
 P  2 (V  vb)  vRT ,
V 

 Связь критических параметров
Vx = 3b, Рх = a/(27b2), Tx = 8a/(27Rb).
 Внутренняя энергия произвольной массы реального газа
U=v(CVT-a/Vm),
 Энтальпия системы U1  p1V1  U 2  p2V2 ,
Часть III. Электростатика и постоянный ток
1. Электростатическое поле в вакууме


1 q1q 2
1 q1q2 r
 Закон Кулона
.
F
;
F

4πε0 r 2 r
4πε 0 r 2
 Закон сохранения заряда  qi  const .

 F
F
q
E ; E 
 Напряженность электростатического поля
.
q
q 4 πε 0 r 2


 Принцип суперпозиции E   E i .
 Результирующая напряженность электростатического поля двух
зарядов E  E12  E22  E12 E22 cos α .
 Линейная плотность заряда λ  dq / dl .
 Поверхностная плотность заряда σ  dq / dS .
 Объемная плотность заряда ρ  dq / dV .


 Электрический момент диполя p  q l .
 Напряжённость поля электрического диполя
E
p
3 cos2 φ  1 .
3
4 πε 0 r
2. Теорема Остроградского–Гаусса и её применение
 Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
16
 для одного заряда
ФE   En dS 
S
q
;
ε0
1 n
1
qi   ρdV .

ε 0 i 1
ε0 V
S
 ρ
 ρ
Теорема Гаусса в дифференциальной форме div E 
или E  .
ε0
ε0
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью E  σ / 2ε 0 .
Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными разноσ
именно заряженными бесконечными плоскостями E  .
ε0
Напряженность поля нити (цилиндра) и напряженности поля между
λ
двумя цилиндрами выражается по одной формуле E 
.
2πε 0 r
Напряжённость поля между двумя цилиндрами E  λ / 2πε 0 r .
0  внутри сферы

Напряженность поля сферы E   q
 2πε r 2  при r  R вне сферы.
0

Напряженность поля, создаваемого объемным заряженным шаром
 r
ρ 3ε  внутри шара

0
Ε
 q  при r  R вне шара.
 4 πε 0 r 2
 для нескольких зарядов ФE   En dS 







3. Потенциал и работа электростатического поля.
Связь напряженности с потенциалом
 Работа по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2
2  
qq'  1 1 
dA  Fdl cosα; A  q  Ed l ; A12 
   .
4
πε
 r1 r2 
0
1
 

E
 Теорема о циркуляции вектора напряженности E
 dl  0 .
 Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов W 
17
1 qq'
.
4πε 0 r
 Потенциал электростатического поля φ 
 Потенциал системы зарядов φ   φ i .
W A
1 q
.


q
q 4πε0 r


 Связь между потенциалом и напряженностью E  gradφ , E  φ .
p
cosα .
 Потенциал поля диполя φ 
4 πε 0 εr 2

 Потенциальная энергия диполя W  pE  pE cosα .
 Механический момент,
действующий на диполь в электростатиче 
ском поле M  p, E или M  pE cosα .
 Работа в потенциальном поле A  qφ1  φ 2   qU .
 Безвихревой характер электростатического
поля


rotE  0 или , E  0 .
σd
 Потенциал поля между заряженными плоскостями φ 
.
ε0
 Потенциал нити (цилиндра)
1
 λ
ln
 const  внутри и на поверхности
 2πε
R

0
φ
 λ ln r  вне цилиндра.
 2πε 0 R
 Потенциал поля цилиндрического конденсатора
R2
 λ
ln
 const  внутри меньшего цилиндра (r  R1 );
 2 πε
R
0
1

r
 λ
ln
 между цилиндрами ( R1  r  R2 );
φ
2
πε
R
0
1



0  вне цилиндров.
 
 
 Потенциал поля сферы
σR
 q

 4πε R ε  const  внутри и на поверхн. сферы (r  R)

0
0
φ
 q  вне сферы (r  R).
 4πε0 r
18
 3q
8πε R  в центре шара (r  0)
0

 q 
r2 
 3  2   внутри шара (r  R)
 Потенциал поля шара φ  
8
πε
R
R 
0 

 q
 на поверхности и вне шара (r  R).

 4 πε0 r
4. Диэлектрики в электростатическом поле
 Результирующее поле внутри диэлектрика E  E0  E  .


 Электрический момент одной молекулы p1  q l .





 Вектор поляризации P   p1  np1  nαε 0 E  χε 0 E .
 Диэлектрическая восприимчивость χ  nα .
E0
.
E
поляризуемостью
 Диэлектрическая проницаемость среды ε  1  χ ; ε 
 Связь
диэлектрической восприимчивости с
χ
1
молекулы α
 αn .
χ 3 3
 Вектор электрического смещения
(электрическая
индукция)


D  ε 0 εE .

 

 Связь вектора D с напряженностью и поляризуемостью D  ε 0 E  P .
 Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
  n
ΦD   DdS   qi .
i 1
S
 
 Закон преломления векторов E и D
tgα1 E1n D2 τ ε 2


 .
tgα 2 E2 n D1τ ε1
5. Проводники в электростатическом поле
dφ
  E  0 ; φ  const .
dl
q
 Электрическая емкость уединенного проводника C  .
φ
 Электрическая емкость шара C  4πε 0 εR .
ε εS
 Электрическая емкость плоского конденсатора C  0 .
d
 Электростатическое экранирование
19
2πε0l ε 0 εS
.

ln r2 r1
d
ε εS
rr
 Емкость сферического конденсатора C  4πε0 ε 1 2  0 .
r2  r1
d
 Емкость цилиндрического конденсатора C 
n
 Емкость параллельно соединенных конденсаторов C   Ci .
i 1
 Емкость последовательно соединенных конденсаторов
 Энергия взаимодействия двух зарядов W 
n
1
1
 .
C i 1 C i
q1q2
1
 q1φ1  q2 φ 2  .
4πε 0 r12 2
Cφ 2 qφ q 2
.


2
2 2C
CU 2 qU q 2
 Энергия заряженного конденсатора W 
.


2
2
2C
W ε 0 εE 2 ED
 Объемная плотность энергии w 
.


V
2
2
q2
 Пондермоторные силы в конденсаторе F 
.
2εε 0 S
 Энергия заряженного уединенного проводника W 
6. Эмиссия электронов из проводников.
Контактные явления на границах проводников
 Работа выхода электрона из металла проводников
Aвых  eφ вн  φ пв  .
 Закон Чайльда – Ленгмюра
j  AE 3 2 .
mυ 2
 Aвых .
 Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта hv 
2
 Термо ЭДС термопары E  αTг  Tх  .
 Эффект Пельтье QП  П12 j .
7. Постоянный электрический ток
 Связь напряженности и потенциала с плотностью распределения за1
1
ря дов в пространстве E  ρ и  2 φ  ρ .
ε
ε
q
 Сила постоянного тока I  .
t
20
 
q
  j S .
t S
I
 Плотность тока j  .
S 


 Вектор плотности тока j  q n υ др  q n υ др .
 Сила тока
I
 
q
 j S   t .
S


ρ
ρ
Дифференциальная форма  j  
или div j   .
t
t
Уравнение непрерывности для постоянного тока
 

ρ
j

S

0
;

j .

t
S
A
Электродвижущая сила, действующая в цепи E  , E   Eст dl .
q
U
Закон Ома для однородного участка цепи I  .
R
Сопротивление при последовательном соединении R   Ri .
1
Сопротивление при параллельном соединении R   .
Ri
ρl
Сопротивление однородного проводника R  .
S
Зависимость удельного сопротивления от температуры
ρ  ρ 0 1  αt  .
1
Проводимость σ  .
R
 1

Закон Ома в дифференциальной форме
j  E  σE .
ρ
φ  φ 2  E12
Обобщенный закон Ома
.
I 1
R
E
Закон Ома для замкнутой цепи
.
I
Rr
Работа силы электрического поля A  RI 2t .
dA
U2
Мощность тока P 
.
 IU  I 2 R 
dt
R
Мощность, выделяемая в единице объема проводника w  ρj 2 .
 Уравнение непрерывности в интегральной форме















21
U2
dt .
R
 Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме w  jE  σE 2 .
A
N
U
R
 КПД источника тока η  п  п  
.
Aз N з E R  r
 Первое правило Кирхгофа  I k  0 .
 Закон Джоуля – Ленца
dQ  IUdt  I 2 Rdt 
k
 Второе правило Кирхгофа
 I i Ri  Ek .
i
k
8. Электрический ток в газах, металлах и электролитах





 Плотность тока в газах j  nq υ   υ  .
 Удельная электропроводность σ  q


 Закон Ома для тока в газах j  σE .






Δni
μ   μ   .
r

1 e 2 τnS
e 2 τnS
Закон Ома для тока в металлах I  enSυ д 
E
U.
2 m
2ml
2m l
Электрическое сопротивление проводника R  2
.
e nτ S
Первый закон Фарадея m = kq = kIt.
μ
Электрохимический эквивалент вещества k 
.
Fn
k
k
Второй закон Фарадея 2  x 2 .
k1 k x1
1μ
Объединенный закон Фарадея m 
It .
Fn
Часть IV. Электромагнетизм
1. Магнитное поле


 Магнитный момент контура с током Pm  IS или Pm  ISn .
 Момент силы, вращающий
рамку с током в магнитном поле

 
M  Pm , B или M  Pm B sin α  ISB sin α.
M max
 Магнитная индукция B 
  .
Pm sin n, B
 Потенциальная (механическая)
энергия контура с током в магнитном

поле Еп, мех  Pm B  Pm B cosα .


 
22

 Принцип суперпозиции для магнитных полей B   Bi .
 Модуль магнитной индукции при сложении двух полей






B  B12  B22  2 B1 B2 cos α .
Закон Био – Савара – Лапласа для элемента проводника с током

 μμ 0 I d l , r
μμ 0 Idl
dB 
;
d
B

sin α .
4π r 3
4π r 2
 
μμ 0 qυ sin υ, r 
Индукция магнитного поля движущегося заряда B1 
.
4π
r2
Магнитная индукция конечного проводника
μμ I
B  0 cos α1  cos α 2 .
4π b
μμ 2 I
Индукция бесконечно длинного проводника B  0
.
4π b
I
Магнитная индукция в центре кругового тока B  μμ 0
.
2R
Магнитная индукция кругового тока на расстоянии х от центра
μμ 0 2 Pm
μμ 0 2πR 2 I
B

;
.
B
4π x 3
4π R 2  x 2 3 2


B
Напряженность магнитного поля H 
.
μμ 0
 


2.

Силы, действующие на движущиеся заряды
в магнитном поле


 
 
 


 Закон Ампера dF  I d l , B или F  I l , B .
 Модуль вектора силы Ампера F  IlB sin α .
 Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами I1 и
μμ I I
F 0 1 2.
I 2 на расстояние b
2π b



 
 
 Сила Лоренца FЛ  q υ, B , FЛ  qυB sin α , FЛ  qE  q υ, B .
 Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
dA  I dΦ2  dΦ1  .
 Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле
dA  IdΦ  .
 Магнитная индукция внутри бесконечного длинного соленоида
B  μμ 0 nI .
 
 
23
 Магнитное поле в произвольной точке внутри конечного соленоида
1
B  μμ 0 nI (cosα1  cosα 2 ).
2
 Магнитное поле на середине оси соленоида
L
Bmax  μμ 0 nI
.
2
2
4R  L
1 IB
IB
R .
 Холловская поперечная разность потенциалов U x
en a
a
1
 Коэффициент Холла R  .
qn
IB
 Число носителей заряда n 
.
qaU x
3. Явление электромагнитной индукции
dΨ
dΦ
или Ei  
.
dt
dt
dB
 ЭДС индукции Ei   S
.
dt
 Работа по перемещению заряда вихревым электрическим полем
 
A  q  Ed l  qEi .
 Закон Фарадея Ei  
α
4. Ускорители заряженных частиц
 Радиус траектории нерелятивистской частицы R 
mυ
.
qB
 Шаг винтовой линии траектории h  υT cosα .
 Период обращения нерелятивистской частицы T 

2πm
.
qB

1
K K  2m0 c 2 .
c
 Кинетическая энергия частицы K  W  W0  mc 2  m0 c 2 .
 Период обращения релятивистской частицы
2πm
2πW
.
T

2
2
2
qBc
qB 1  υ c
 Импульс релятивистской частицы p 
 Радиус окружности траектории релятивистской частицы
24
m0 υ
R
.
qB 1  υ 2 c 2
 Энергия, передаваемая вихревым электрическим полем единичному
 
mυ 2
заряду
  qEd l  qEi .
2
L
5. Самоиндукция и взаимная индукция
 Индуктивность соленоида и тороида Lсол  μμ 0 n 2lS .
dI
 ЭДС самоиндукции контура Ei   L .
dt
 Индуктивность бесконечно длинного соленоида, имеющего N витков
N 2S
.
L  μ 0μ
l
L
 Постоянная времени цепи τ  .
R
 Ток при замыкании цепи I  I 0 1  e t τ .


 Ток при размыкании цепи I  I 0 e t τ .
E N
 Коэффициент трансформации k  2  2 .
E1 N1
 Работа в цепи с убывающим током dA  Ei Idt .
 Энергия проводника с током I и индуктивностью L
LI 2
W
.
2
μμ 0 H 2
 Энергия магнитного поля W 
V.
2
W μμ 0 H 2
B2
BH
 Плотность энергии магнитного поля w  
.


V
2
2μμ 0
2
1
 Энергия магнитного поля в длинном соленоиде W  μμ 0 n 2 I 2V .
2
1
 Плотность энергии в длинном соленоиде w  μμ 0 n 2 I 2 .
2
6. Магнитные свойства вещества
 Парамагнетики μ 
B
 1.
B0
25
B
 1.
B0
B
 Ферромагнетики μ 
 1 .
B0
 Диамагнетики μ 
 Частота вращения электрона на орбите v 
 Орбитальный ток I  ev .
1
υ

.
T 2πr


 eυ
 Орбитальный магнитный момент электрона Pm  ISn 
.
2
π
r


 Орбитальный момент импульса электрона L e  mυr .


 Связь магнитного момента и момента импульса Pm  γL e .
e
 Гиромагнитное отношение γ  
.
2m
 Собственный момент импульса электрона (спин электрона)
3
Ls 
.
2


 Спиновый магнитный момент электрона Pms  γ s L s .
e
 Гиромагнитное отношение спиновых моментов γ s   .
m
e
 Квантовый магнитный момент (магнетон Бора) μ Б  
.
2m
Z 

 Орбитальный магнитный момент атома Pm   Pm i .
i 1


 Орбитальный момент импульса атома L   L e i .
Z
i 1
 Угловая скорость ларморовской прецессии ω L 
 1
 Намагниченность J 
ΔV
e 
B.
2m

P
 mi .
n
i 1

 B 
 J.
 Напряженность магнитного поля H 
μ0
 
 Связь намагниченности с напряженностью J  H ϰ.
 Магнитная восприимчивость среды ϰ  μ  1 .
26
7. Уравнения Максвелла
 Полная система уравнений Максвелла:
в интегральной форме
D 

H
d
l


j



  t dS ,
 DdS    ρdV ;
S
V
L
S
B
 Edl    t dS ,
 Bd S  0 ;
L
S
S
в дифференциальной форме 


D
,
rotH  j 
divD  ρ;
t


B
divB  0.
rotE   ,
t
 Материальные уравнения или уравнения состояния





 
B  μ 0μH; D  εε 0 E;
j  σE  jстр .
 Скорость распространения ЭМП в среде υ
1
с
.

εε 0μμ 0
εμ
Часть IV. Колебания и волны
1. Гармонические колебания
 Уравнение гармонического колебания x  A  cos( ω0t  φ) .
1
 Частота колебаний v  .
T
2π
 Циклическая частота ω0  2πv 
.
T
2π 1
 Период колебаний T 
 .
ω0 v
dx
 Скорость колебаний υ x 
 ω0 A sin( ω0t  φ) .
dt
dυ
2
 Ускорение колебаний ax  x  ω0 A cos(ω0t  φ) .
dt
 Амплитуда скорости υ m  ω0 A
 Амплитуда ускорения am  ω02 A .
 Уравнение движения материальной точки
 Квазиупругая сила Fx   kx .
27
Fx  mω02 x .
 Дифференциальное уравнение динамики гармонических колебаний
материальной точки под действием упругих и квазиупругих сил
d2 x
d2 x
 ω02 x  0 .
m 2  kx  0 или
2
dt
dt
k
 Циклическая частота незатухающих колебаний ω0 
.
m
m
 Период незатухающих колебаний T  2π
.
k
kx 2 1 2
 kA cos(ω 0t  φ) .
 Потенциальная энергия тела Еп 
2
2
2
mυ
1
2
 mω 0 A 2 sin 2 (ω 0t  φ) .
 Кинетическая энергия тела Ек 
2
2
1
1
 Полная энергия E  mω0 2 A2  kA2 .
2
2
 Уравнение динамики вращательного движения математического
маятника M  Jε .
 Вращающий момент M  mgl sin α .
 Момент инерции маятника J  ml 2 .
 Дифференциальное уравнение математического маятника
 Решение уравнения
d 2α
 ω02α  0 .
2
dt
α  α m cos( ω 0t  φ) .
 Циклическая частота математического маятника ω0 
 Период колебаний математического маятника T  2π
 Циклическая частота физического маятника ω0 
28
lпр
l
.
g
mgl
.
J
lпр
J
.
 2π
mgl
g
J
.

ml
 Период колебаний физического маятника T  2π
 Приведенная длина физического маятника
g
.
l
2. Сложение гармонических колебаний
 Уравнения двух когерентных колебаний одного направления
x1  A1 cos( ω 0t  φ1 ) и x2  A2 cos( ω0t  φ 2 ) .
 Результирующая амплитуда A2  A12  A22  2 A1 A2 cos( φ 2  φ1 ) .
A sin φ1  A2 sin φ 2
 Начальная фаза tgφ  1
.
A1 cos φ1  A2 cos φ 2
 Модулированные колебания x  A(t ) cosω0t  φ(t ).
 Δω 
 Биения х  Aб cosω0t  2 A cos
t  cosω0t .
 2 
 Δω 
 Амплитуда биений Аб  2 А cos
t .
 2 
 Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний
y 2 x2
2 xy


cos(φ 2  φ1 )  sin 2 (φ 2  φ1 ) .
2
2
A2 A1 A1 A2
A
A
 Линейно поляризованные колебания y  2 x или y   2 x .
A1
A1
 Эллиптически поляризованные колебания
x2 y2

 1.
A12 A22
3. Влияние внешних сил на колебательные процессы


 Сила трения (сопротивления) Fтр  rυ .
 Второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний
ma x  kx  rυ x .
 Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
d2 x
dx

2
β
 ω02 x  0 .
2
dt
dt
 Решение уравнения x  A0 exp  βt  cos( ωt  φ) .
r
1
 Коэффициент затухания β 
 .
2m τ
A(t )
1
 Логарифмический декремент затухания χ  ln
 βT  .
A(T  t )
N
 Время релаксации τ  NT .
 Частота колебаний ω  ω02  β 2 .
29
 Условный период затухающих колебаний T 
2π
2π
.

ω
ω 02  β 2
 Вынужденные механические колебания ma x  kx  rυ x  Fx .
 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
d2 x
dx
 2β  ω02 x  F0 cos ωt .
dt 2
dt
 Уравнение установившихся вынужденных колебаний
x  A sin( ωt  φ) .
F0
 Амплитуда вынужденных колебаний A 
.
2
2 2
2 2
m ω0  ω  4β ω


 Резонансная частота ωрез  ω02  2β 2 .
F0
 Резонансная амплитуда Aрез 
.
2β ω02  β 2
4. Электрические колебания
 Переменный ток I  I 0 sin ωt .
 Напряжение U  I 0 R sin ωt .
 Емкость в цепи переменного тока
I
I
q
π

U   0 cos ωt  0 sin  ωt   .
C ωC
ωC 
2
I
 Заряд конденсатора q   0 cos ωt .
ω
1
 Реактивное емкостное сопротивление RC 
.
ωC
π

 Индуктивность в цепи переменного тока U  LI 0 ω sin  ωt   .
2

 Реактивное индуктивное сопротивление RL  ωL .
2
 Закон Ома для переменного тока U 0  I 0
1 

R   ωL 
 .
ωC 

2
2
U
1 

 Полное сопротивление цепи Z  0  R 2   ωL 
 .
I0
ω
C


1
 Реактивное сопротивление X  RL  RC  ωL 
.
ωC
30
 Закон Ома в комплексной форме I 
















E

Z
E
.
1 

R  i ωL 

ωC 

d 2q
Дифференциальное уравнение колебаний в контуре
 ω02 q  0 .
2
dt
Решение уравнения q  qm cos( ω0t  φ) .
1
Собственная частота контура ω0 
.
LC
Формула Томсона T  2π LC .
L
Закон Ома для контура U m  I m
.
C
Уравнение затухающих колебаний в колебательном контуре
d 2q
dq

2
β
 ω02 q  0 .
2
dt
dt
Решение уравнения q  q0 exp  βt  cos ωt  φ  .
1
Собственная частота контура ω 0 
.
LC
R
Коэффициент затухания β 
.
2L
1
R2
2
2
Частота затухающих колебаний контура ω  ω0  β 
.

LC 4 L2
Логарифмический декремент затухания
At 
πR
C
χ  ln
 βT 
 πR
.
At  T 
Lω
L
W
π
Добротность контура Q  2π
  πN e .
ΔW χ
1
Время затухания τ  .
β
τ
1
Число колебаний за время затухания N e  
.
T βT
L
Критическое сопротивление Rк  2
 2 Rвол .
C
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
31
Um
d2 x
dx
2

2
β

ω
x

cos ωt .
0
dt
L
dt 2
 Решение уравнения вынужденных колебаний q  qm cos ωt  φ  .
Um
 Амплитуда колебаний заряда qm 
.
2
2
ω R  RL  R C 
 Резонансная частота ωрез  ω02  2β 2 .
 Последовательный резонанс (резонанс напряжений) ωL 
1
.
ωC
1
.
LC
Работа переменного тока за dt A  Pt dt  U m I m sin ωtdt .
1
Работа за период Т A  I mU mT .
2
1
Средняя мощность  P  I mU m  RIm2 .
2
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения
I
U
I m ; U  m.
2
2
 Параллельный резонанс (резонанс токов) ω  ω рез 




5. Упругие волны
 Длина волны
λ  υT 
υ
.
v
1  2ξ
 Волновое уравнение  ξ  2 2 .
υ t
2
 r
 Уравнение плоской волны ξ  A cos ω t   или ξ  A cos ωωt  kx  .
 υ
 2π 
 Волновой вектор k 
n.
λ
2π ω 2πv 2π
 Волновое число k 
.
 

λ
υ
υ
T
 При затухании плоской волны в среде ξ  A exp  βt  cos ωωt  kx  .
 Уравнение сферической волны
A
r
A

ξ  cosω t   или ξ  cos ωt  kr .
r
r
 υ
 При затухании сферической волны в среде
32
A
exp βt  cos ωt  kr  .
r
dx ω
 Фазовая скорость υ 
  λv .
dt k
dω
υ
dυ
 Групповая скорость u 
 υk
 υλ .
dk
k
dλ
ξ
 Разность фаз колебаний двух точек среды Δφ 
2π
Δх .
λ
 Суперпозиция двух волн с близкими частотами

 Δω Δk 
ξ  2 A0 cos
t
x  cos(ωt  kx) .
2 
 2

 Уравнение стоячей волны
 2π 
ξ  2 A cos x  cos ωt или ξ  2 A cos kx cos ωt .
 λ 
nλ
 Координаты пучностей стоячей волны xпучн   .
2
1 λ

 Координаты узлов стоячей волны xузл   п   .
2 2

 Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:
E
G
- в твердых телах υ 
или υ 
;
ρ
ρ
γRT
γP
или υ 
.
μ
ρ
Амплитуда звукового давления P0  2πPρυA .
Средняя объемная плотность энергии звукового поля
1 2 1 P02
 w  ρξ0 
 ρω2 A2 .
2
2
2 ρυ
Энергия звукового поля, заключенного в объеме V W  wV .
W
Поток звуковой энергии Φ  .
t
Интенсивность звука (плотность потока звуковой энергии)
Φ
I   w  υ .
S
N
Связь интенсивности с мощностью звука I 
.
4πr 2
- в газах υ 






33
 Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме
ν
ν 0 1  υ2 / с 2
.
1  υ / с cosθ
1 υ / c
.
1 υ / c
 Продольный оптический эффект Доплера ν  ν 0
 Поперечный оптический эффект Доплера v  v0 1  υ c 2
υ  υпр  v .
 Эффект Доплера в акустике v 
0
υ  υист
 Закон Хаббла υcosθ  cz  Hr .
6. Электромагнитные волны

 1 E
 Волновые уравнения ЭМВ
 E 2 2;
υ t
 Решение уравнений E y  E0 cos(ωt  kr ) ;
2

 1  2H
 H 2 2 .
υ t
H z  H 0 cos( ωt  kr ) .
2
 Скорость распространения электромагнитных волн в среде υ 
 Скорость света в вакууме c 
1
.
ε 0μ 0
c
 εμ .
υ
ε 0 εE 2 μμ 0 H 2

Объемная плотность энергии ЭВМ w  wэ  wм 
.
2
2
Плотность потока энергии S  wυ  EH .
  
Вектор Умова – Пойнтинга S  [E, H] .

sin 2 θ
Интенсивность ЭВМ J   S  или J  2 .
r
1 K
1 K
Давление света P  J
или P  J
cos θ .
c
c
 Абсолютный показатель преломления среды n 





c
.
εμ
7. Геометрическая оптика.
Корпускулярно-волновая теория света
 Закон отражения света α  γ .
sin α c
 Закон преломления света
  n21 .
sin β υ
34
 Предельный угол α пр  arcsin
n2
.
n1
 1
1  nл
1 

 1   .
 R R 
F  nср
2
 1
1 1
1
Формула тонкой линзы
    D.
d f
F
h
f
Увеличение линзы Г   .
H d
d
Увеличение лупы Γ  0 .
F
F
Угловое увеличение телескопа Γ  1 .
F2
Увеличение микроскопа Г  d 0 aD1 D2 .
R
Фокусное расстояние сферического зеркала F  .
2
1
Оптическая сила сферического зеркала D  .
F
1 1 1
Формула сферического зеркала    .
F d f
W
Поток излучения Ф  .
t
Ф
Энергетическая светимость (излучательность) R  .
S
Ф
Энергетическая сила света I  .
ω
ΔI
Энергетическая яркость (лучистость) B 
.
ΔS
dΦ
I
Освещенность E 
или E  2 cos α .
dS
r
 Оптическая сила тонкой линзы D 













8. Волновая оптика. Интерференция света
 Амплитуда результирующего колебания при сложении двух колебаний A2  A12  A22  2 A1 A2 cos φ 2  φ1  .
 Интенсивность результирующей световой волны
J  J1  J 2  2 J1 J 2 cosφ2  φ1  .
35
2 I1 I 2
I max  I min
или V 
.
I1  I 2
I max  I min
Оптическая длина пути L  nS .
Оптическая разность хода Δ  L2  L1 .
Условие интерференционных максимумов Δ   mλ 0 , (m  0, 1, 2, ...) .
Условие интерференционных минимумов
λ
Δ  (2m  1) 0 , (m  0, 1, 2, ...) .
2
Координаты максимумов интенсивности
l
xmax   m λ 0 , (m  0, 1, 2, ...) .
d
Координаты минимумов интенсивности
 Видность V 






1 l
xmin  (m  ) λ 0 , (m  0, 1, 2, ...) .
2 d
π
.
Δω
λ
Критический максимум mкр 
.
2Δλ
Оптическая разность хода при интерференции в тонких пленках
λ
λ
Δ  2nh cosβ  0  2h n 2  sin 2 α  0 .
2
2
Оптическая разность хода при интерференции на клине
λ
Δ  2b n 2  sin 2 (α)  0 .
2
1

Радиус m-го светлого кольца Ньютона rm   m  λ 0 R
2

Радиус m-го темного кольца Ньютона rm  mRλ 0 .
 Время когерентности τ ког 





9. Дифракция света
 Условие дифракционных максимумов от одной щели
λ
a sin φ  (2m  1) , (m  1, 2, 3, ...) .
2
 Условие дифракционных минимумов от одной щели
λ
a sin φ  m , (m  1, 2, 3, ...) .
2
 Интенсивность света при дифракции на одной щели
36
 b sin φ 
sin 2  π

λ 

Iφ  I0
.
2
 b sin φ 
π

λ 

 Условие максимума дифракционной решетки
d sin φ  mλ, (m   1,  2,  3...) .
 Условие минимума дифракционной решетки
b sin φ  mλ .
10. Взаимодействие света с веществом
 Зависимость угла отклонения лучей призмой φ от преломляющего
угла А призмы и показателя преломления п φ  An  1.
dn
dn
 Дисперсия вещества D 
или D 
.
dλ
dv
11. Поляризация света
 Степень поляризации P 
I max  I min
.
I max  I min
1
J 0 cos2 α .
2
 Оптическая разность хода в эффекте Керра Δl no  ne   k 2lE 2 .
 Угол вращения плоскости поляризации в кристаллах φ  αd .
 Угол вращения плоскости поляризации в растворах φ  α Cd .
 Закон Малюса J 
Часть VI. Квантовая оптика. Атомная и ядерная физика. Физика элементарных частиц
1. Квантовая природа излучения
 Энергетическая светимость тела

R   rv ,T dv .
0
 Поглощательная способность тела
α v, T 
 Универсальная функция Кирхгофа
rν ,T
α ν ,T
R  σT 4 .
 Закон Стефана – Больцмана
 Энергетическая светимость серого тела
37
dΦv
.
dΦv
 f ν, T  .
Rсер  α v, T σT 4 .
 Закон смещения Вина
 Формула Планка
2πv 2
rv,T  2
c
ν max
b
 const или λ max  .
T
T
hv
 hv 
exp   1
 kT 
или rλ ,T
2πhc2

λ5
1
.
 hc 
exp
 1
kT
λ


2. Квантовые явления в оптике








mυ 2
 A.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта hν 
2
c
Энергия фотона Е  hv  h  .
λ
hc
A
«Красная граница» фотоэффекта vкр  ; λ кр  .
h
A
Ток насыщения I нас  en.
hν h
Масса фотона mф  2  .
cλ
c

E hν 2π


Импульс фотона p  k ; p  
.
c c
λ
 2π 
2π ω 2πv 2π
p и k
Волновые вектор и число k 
.
 

h
λ
υ
υ
T
Связь между энергией и импульсом фотона E  c p 2  m02 c 2 .
 Изменение длины волны в эффекте Комптона Δλ  λ'λ  2λ K sin 2
 Комптоновская длина волны λ K 
h
.
mc
 Коротковолновая граница рентгеновского спектра λ min 
 Закон Мозли
c
vmax
1 
 1
v  R( Z  σ) 2  2  2  .
n 
k
hν
.
c
2hν
 Импульс, переданный фотоном при отражении pотр 
.
c
 Энергетическая освещенность поверхности Ee  Nhv .
 Импульс, переданный фотоном при поглощении
38
φ
.
2
рпогл 

ch
.
eU
 Давления света P 
Ee
(1  K ) .
c
3. Волновые свойства микрочастиц вещества
 Длина волны де Бройля λ 
h
h
.

p mυ
ω c2
 Фазовая скорость волн де Бройля
υфаз   .
k υ
dω
 Групповая скорость волн де Бройля
u
 υ.
dk
h
.
2mK
h
.
λ
3mkT
λ
 Связь длины волны с кинетической энергией
 Длина волны, соответствующая атому массой т
4. Элементы квантовой механики
 Соотношение неопределенностей Гейзенберга ΔxΔp  h, ΔEΔt  h .
dW
2
 Плотность вероятности
 Ψ  x, y , z , t  .
dV
2
 Вероятность нахождения частицы в элементе объема W   Ψ dV .
V
 Условие нормировки вероятностей

Ψ
2
dV  1 .


 Среднее расстояние электрона от ядра  r   r Ψ dV .
2


 2Ψ

ΔΨ  U ( x, y, z, t )Ψ  i 2 .
2m
t
 Уравнение Шредингера для стационарных состояний

2m
 2 Ψ  2 ( E  U )Ψ  0 или H Ψ  EΨ .


h 2
 Оператор энергии (гамильтониан) H  
 U .
2m
2
 Общее уравнение Шредингера
5. Движение свободной частицы в одномерной
потенциальной яме
 Уравнение Шредингера для свободной частицы
39
Ψ 2m

EΨ  0.
x 2  2
 2k 2
.
2m
p2
 Связь энергии с импульсом E 
.
2m
2
2
 Плотность вероятности обнаружения частицы Ψ  ΨΨ  A .
, x  0,

 Потенциальная энергия для прямоугольной ямы Еп  0, 0  x  l ,
, x  1.

 Уравнение Шредингера для частицы в яме
 2 Ψ 2m
 2Ψ

E
Ψ

0
или
 k 2 Ψ  0.
2
2
2
x

x
 Общее решение уравнения Шредингера Ψ( x)  A sin kx .
 Энергия свободной частицы E 






n 2 π 2 2
Энергия частицы в яме En 
, (n  1, 2, 3, ...)
2ml 2
2
nπ
Собственные функции частицы в яме Ψn ( x) 
sin
x.
l
l
Энергетический интервал между двумя соседними уровнями
π 2 2 2
ΔEn  En1  En 
n .
ml 2
ΔP 2 π 2  2
Минимальная энергия частицы в яме Emin 
.

2m
ml 2
Уравнение Шредингера для квантового осциллятора
d 2Ψ 2m
mω2 x 2

(E 
)Ψ  0 .
2
dx 2  2
1

Энергия квантового осциллятора En   n  ω .
2

1
 Минимальная (нулевая) энергия квантового осциллятора E0  ω .
2
 Правило отбора Δn  1 .
 Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера
 2l 2m(U  E ) 
.
D  D0 exp




40
1
.
 Ei  u 
exp
 1
 kT 
1
 Распределение Ферми – Дерака
.
 N i 
 Ei  u 
exp
 1
 kT 
ΔE
 Уровень Ферми в собственном полупроводнике E F 
.
2
 Удельная проводимость собственных полупроводников
 ΔE 
γ  γ 0 exp 
.
 2kt 
 Распределение Бозе – Эйнштейна
 N i 
 Правило Стокса для люминесцентного излучения
hv  hv люм  ΔE .
6. Модели атомов. Атом водорода по теории Бора
1 
 1
 Обобщенная формула Бальмера v  R 2  2  или
n 
k
1
1 
 1
 R 2  2  (k  1, 2, 3,... т  k  1, k  2, k  3,...) .
λ
n 
k
 Первый постулат Бора (правило квантования орбит)
me υr  n, (n  1, 2, 3, ...) .
 Второй постулат Бора (правило частот) hv  En  Ek .
 Уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода
2m 
e2 
E 
Ψ  0 .
ΔΨ 
 
4 πε 0 r 
4πε 0  2 n 2
rn 
, (n  1, 2, 3, ...) .
 Радиусы стационарных орбит
k 0 me Ze2
 Энергия электрона в водородоподобном атоме
1 me Z 2 e 4
En   2
, (n  1, 2, 3, ...) .
n 8h 2 ε 02
me e 4  1
1 
 Энергия испускаемого кванта hv  En  E m  2 2  2  2  .
8h ε 0  n
m 
 Энергия ионизации атома водорода
41
me e 4
Ei   E1   2 2 .
8h ε 0
7. Водородоподобные системы в квантовой механике
r
 Волновая функция положения электрона в атоме

1
r1
Ψ(r ) 

e
.
3
πr1
 Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром
Ze 2
Еп ( r )   k 0
.
r
2m
 Уравнение Шредингера для электрона в атоме ΔΨ  2 ( E  U )Ψ  0 .

2
e
e
 Магнитный момент атома Pm 
L
l (l  1)  μ Б l (l  1) .
2me
2me
e
 Магнетон Бора μ Б 
 9,27  10  24 Дж  Тл1 .
2me
 Квантование орбитального момента импульса L   l (l  1) .
 Связь между магнитным моментом и орбитальным моментом им

e 
пульса электрона Pm   γLe  
Le .
2me
e
 Орбитальное гиромагнитное отношение γ 
.
2me
 Квантование спина электрона Ls   s(s  1) .

 Численное значение спина электрона Ls   .
2
P
e
 Спиновое гиромагнитное отношение γ s  msz  
.
Lsz
me
 Принцип Паули Z (n, l, m , m s ) = 0 или 1.
8. Физика атомного ядра




Радиус ядра R  R0 A1 3 .
Массовое число A  Z  N .
Спин ядра Lяд   I ( I  1) .
Связь между магнитным моментом ядра и спином Pm яд  γ яд Lяд .
 Ядерный магнетон μ яд 
e
.
2m p
2
 Квадрупольный электрический момент ядра Q  Z e (b 2  a 2 ) .
5
42
 Дефект массы ядра
Δm  Zm p   A  Z mп  mя 
Wсв
.
с2
 Энергия связи нуклонов в ядре .
Wсв  Δmc 2  [ Zm p  ( A  Z )mn  M яд ]  c 2 .
Wсв
.
A
N  N 0 e  λT .
 Удельная энергия связи ядра ωсв 
 Закон радиоактивного распада
ln 2
 Период полураспада T1 2 
.
λ
 Среднее время жизни радиоактивного ядра
τ
1
.
λ
dN
 λN .
dt
 Правило смещения для α -распада ZA X  ZA42Y  24He .
 Активность нуклида
A
 Правило смещения для β  -распада
A
A
0
Z X  Z 1Y  1 e .
A
A
0
Z X  Z 1Y  1 e .
 Правило смещения для β  -распада
 Символическая запись для ядерной реакции
X  a  Y  b или X (a, b)Y .
 Эффективное сечение поглощения ядерной реакции σ 
 Формула Вайцзеккера
2
dN
.
nNdx
Z2
A

Eсв  α1 A  α 2 A  α 1 3  α 4   Z  A  α 5 A3 4 .
A
2

 Константа взаимодействия между элементарными частицами
E
α
.
m0 c 2
 Три уровня микромира:
 молекулярно-атомный: E  1 10 эВ, Δr  10 8  10 10 м;
 ядерный: E  10 6  10 8 эВ, Δr  10 14  10 15 м;
 элементарные частицы: E  108 эВ, Δr  10 15
23
43
Учебное издание
КУЗНЕЦОВ Сергей Иванович
КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ФИЗИКЕ
Учебное пособие
Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор
И.П. Чернов
Редактор О.Н. Свинцова
Компьютерный набор: Я.А. Панов
Дизайн обложки: О.Ю. Аршинова
Подписано к печати 30.04.2011. Формат 60х84/16. Бумага «Классика».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 6,98. Уч.-изд.л. 6,42.
Заказ
. Тираж 150 экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.