Примеры уроков

Тема:
«ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
1-ый урок:
Цель:
1) научится решать показательные уравнения, и уравнения, сводящиеся к
простейшим;
2) проведение аналогии, обобщения, классификации, перенос знаний;
3) развитие устной и письменной математической речи, формирование темпа
обучения.
План урока:
1) Организационный момент – 1 мин.
2) Проверка домашнего задания: № 125г, 458б. Записывают на доске во время
перемены двое учащихся. Повторить, что называется показательной функцией, ее
свойства.
3) Объяснение нового материала – 10 мин. (все примеры задачи записать
столбиком на правой доске)
4) Закрепление – 26 мин.
5) Подведение итогов урока, домашнее здание – 3 мин.
а) Карп А.П. «Сборник задач», стр. 71 № 8.103 – 8.108;
б) Колмогоров № 461, 462, 463, 470 и 36 (1).
Ход III этапа:
1) Что называется показательным уравнением?
2) К какому виду часть сводится показательные уравнения?
a x= a b , где a 0, a≠ 1, x− неизвестное , x= b− единственный корень
т.е. справедливая теорема.
Доказательство теоремы:
1) Как бы вы стали доказывать? (методом от противного)
2) Устно учащиеся проводят доказательство, учитель оформляет его на доске.
Общего приема решения трансцендентных (не алгебраических) уравнений не
существует. Рассмотрим наиболее употребительные способы.
Приведение обеих ча-
Введение новых
Графический
Прологарифмироват
стей уравнения к одному переменных:
(коэффициентны ь обе части
основанию:
й способ):
уравнения (будете
проходить позже):
Если уравнение
x
x
Пр.3: 5 − 25⋅ 2 24
приводится к виду
x
Положив t= 5 , по-
a f x = aд x ,
а 0, a≠ 1
лучим
то оно равносильно:
t−
f x =д x
3
x− 4
2
7 = 7
7 x− 4= 72/3
по теореме : x− 4= 2/3
2
x= 4
3
2
Ответ: 4 3
5
=
3
8− x
Построить график
способы решения левой части.
неприменимы.
Построить график
t − 24t− 25= 0
наглядное
точку перечечения.
Находим
представление о
t 1= 25 ;t 2= − 1
корнях уравнения.
следовательно,
−x
Пр.4: 2 = x
данное уравнение
Рассматриваем
равносильно
простейших
x 2 2x− 11
остальные
правой части и найти
совокупности
Пр.2:
x
x
Пр.5: 25 = 7
Получаем
2
Пр.1:
9
25
25
= 24 или
t
применим, когда
показательных
уравнений:
(Решают
5 x= − 1 ;5 x= 25
самостоятельно. Мое
5 x= − 1 5 x= 52
решение за доской.
Сверяем. Если нужно,
корней x= 2
нет.
(почему?)
отвечаем на вопросы).
Ответ: 2
y 1= 2− x =
1
2
x
и
y 2= x
x=
1
2
x
1
1
y 1=
=
2
2
1
Ответ: 2
−7
Ответ: 2 ; 2
Ход IV этапа:
Решение уравнений (остальные из списка) либо по вариантам, либо по группам по
5-6 человек. С последующей записью решения одним из группы на доске.
x 5
x 17
1) 32 x− 7 = 0,25⋅ 128 x− 3
x
x
x
x
2) 27 − 13⋅ 18 − 12 13⋅ 8 = 0
2
cos2x
4cos x= 3
3) 4
x
x
4) 3 = 7
(можно довершить дома с последующим отчетом).
2-ой урок:
Решение задач по учебнику Колмогорова № 470, 462, 463 (по группам раздать
буквы).
Мои задания:
x − 2x
= 23x− 6 (Ответ: 2;3)
1. 2
2
2
2. x x− 57
3x2 3
= x 2 x− 57 10x
Это показательно – степенное уравнение. При его решении возможны пять случаев:
I.
II.
x 2 x− 57= 1
x 2 x− 58= 0
тогда исходное
III.
x 2 x− 57= − 1
VI.
x 2 x− 57= 0
x 2 x− 56= 0
V.
x 2 x − 57 0
x 2 x− 58≠ − 1
x 2 x− 57 0
x 2 x− 58≠ 1
тогда
уравнение в
−1
3x2 3
= −1
10x
2
3x 3
= 110x
виде 1
x 1, 2=
− 1 ± 233
2
Вывод:
x
1) Уравнение a = b решать графически.
2)
Решение
a f x = a д x , а 0, a≠ 1 основано
на
том,
что
это
уравнение
равносильно уравнению f x = д x
2x
Ba x C= 0 с помощью подстановки a x= y сводится к
3) Уравнение вида Aa
2
квадратному уравнению Ay By C= 0 .
x− 1
3. 3 ⋅ x
3x− 2 x = 2 2 x− 3 x−1
∣: 3x− 1
x
x
2
2
3x 2− 3⋅
⋅ x 2 =0
3
x 2 x 1
[
x 2 x 1− 3⋅
2
3
x
]
=0
Как решаем подобного типа уравнения?
x
2
x 1− 3⋅
=0
3
x
2)
2
x 1= 3⋅
3
x 2= 0
1) x 1= − 2 или
Как думаете решить это уравнение?
2
y 1= x 1 и y 2= 3⋅
3
Строится графики функции y 1= x 1
2
3
y 2= 3⋅
x
x
и находится точка пересечения с
координатой (1;2). Откуда x 2= 1
Ответ: -2;1.
3 урок:
Решение задач по учебнику Колмогорова № 461.
Решение моих заданий:
∣3x− 4∣
= 9∣2x− 2∣ (решаем вместе)
1) 3
Остальные делим на три ряда:
∣ 2− x∣
= 25− 1 ;
2) 0,04
1
;
5
5 x 2=
3)
5
7
;
7
7 2x 6=
5
49
;
7
7 x 1=
4)
0,8 ∣3− 2x∣= 1,25 3 ;
4
9
;
3
3
5
4 x 2=
4
49
6
6
362− 3x=
4
272− x =
3,5 ∣ x− 5∣=
4
2
5
5) Найдите наибольшие корни уравнений:
5x2− 29
2
3
3
=
2
28x2− 5
7
13
x2 5
2
7
;
13
=
7
5x 2− 127
4x 2− 23
7
=
2
11
2
;
5x 2− 13
8x2 5x
2
=
11
;
− 2x2− 8x13
;
(при необходимости показать)
6) Решение уравнений
5
6
13 x 5
33
16
6
5
=
11
5
x 1
=
7 x− 45
;
16
33
7 −8
x 1
14
23
;
x
2
x
=
23
14
5 − x− 1
x
;
2
4-5 уроки:
Уроки Закрепления
Цели:
1) Закрепить и расширить полученные знания о решении показательных уравнений.
2) Развить внимание и память.
3) Проведение аналогии.
4
1.
1
3 3− 2x 4
5
3
54
3− 2x
Что нужно делать?
5
5
1233− 2x=
4
(Преобразовать правую и левую
1− 1
4
части уравнения, чтобы в
=5
основании было число 5)
3
= 54
3
3
3− 2x =
4
4
3− 2x= 1
x= 1
Ответ:1
2. 3 3
3
3
1
x 3 2 x
x 3
4
2 x
3 x 3
x x− 1
2
x− 1
=3
9
10
2
x− 1
=3
=
3
3
10
9
10
равносильно уравнению
3 x 3
9
=
x x− 1 10
x− 1 = 9x− 9 x
30 x 30= 9 x
39 x− 9x 30= 0
Пусть
x= y , тогда
9y2− 39y− 30= 0
Д = 2601
y 1= 5 ;
y 2=
−2
3
x= 5 ;
−2
3
x=
x= 25
Корней нет (Почему?)
- корень иррационального уравнения, значит
необходимо проверить
Ответ: 5.
3x x
3. 2 ⋅ 3 = 576
−1
4. 3⋅ 4 x − 5⋅ 6
−1
x
−1
2⋅ 9 x = 0
x
x
5. 3 − 2 = 1
x −1
x
x −1
x
6. 2 − 3 = 3 − 2
2
2
2
7. 4 3
2cos2x
1
8. 3
2cosx sinx
− 7⋅ 4
2
2
1 cos2x
=4
1
2
=3 3
2cos2x 1
=1
9. 3
sinx
10. 3
cosx
=1
2x− 2
11. cos
=1
6
5
12. sin
6
7
9
3x− 4
= 8
∣4x− 6∣
= 253x− 4
13. 5
14.
7
48
x
5 2 6
15.
y
x
x
7− 48 = 14
x
5− 2 6 = 10
1
y
y 2− 10y 1= 0
y 1= 5 2 6 следовательно x 1= 2
y 2= 5− 6
следовательно x 2= − 2
2x
x
16. 6 2− 2= 8
1
1
6⋅ 2 2x − 2 2x = 8
1
2
Пусть t= 2 2x тогда 6t− 2t = 8
t 2− 3t 4= 0
Д = 9− 16 0
Корней нет
6 урок:
Контрольная работа
I в.
2
9
1)
II в.
2x 3
= 4,5x− 2
2x− 3
x− 2
2) 5 − 2⋅ 5 = 3
5⋅ 53x=
4)
−2 x
1) 8 ⋅ 2 = 4
−1 2x
1) 27 ⋅ 3 = 81
x
x− 3
2) 2 3⋅ 2 = 22
3x
x− 2
2) 2⋅ 3 3 = 57
x
3) 3 = 4− x
−x −3
3) 3 = x
1
3⋅ 3 =
9
2x
4)
1
5
x
x− 2
5) 5 − 7⋅ 5 = 90
x
x
x− 2
5) 4 − 3⋅ 4 = 52
6)
x
6) 4 = 5− x
III в.
1
=x 1
3
x
3)
1
=x 3
2
2x− 3
4) 0,8 = 1
x
x− 1
5) 5 − 0,2 = 4
1− x
6) 3 = 2x 1
Дополнительно (можно выбрать любой):
x
1
7) 4 − 4
8)
x
x
= 3⋅ 2 x
4− 2 x 6
x
x
9= 0
∣1− 2x∣
= 5 4− 6x
9) 25
8x− 2
∣3x− 1∣
10) 3 = 9