

Математический анализ. 2ПО-МИ 3 семестр
3-й семестр
А) Ряды
1.Числовые ряды (основные определения, утверждение 1 (об остаточном члене ряда)).

1
Примеры: 1) nn 1 ;
n1
n

a
q.
.
.
a
q

.
.
.,a

0
2) a
; 3)


1
1
 n ; 4)  n .
n 1
n 1
2. Числовые ряды (утверждение 2 (отбрасывание любого конечного числа членов ряда),
утверждения 3, 4, утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда)). Примеры:


n1
n 1
n1
1) 1 ; 2)  sin n .
3. Числовые ряды (Теорема 1 (критерий Коши), теорема 2 (критерий Коши для

расходимости ряда)). Примеры: 1)

n 1
cos n
n
2

; 2)
1

1
 n ; 3)  n ln n .
n 1
n2
4. Ряды с неотрицательными членами (определения, теорема 1 (ограниченность
последовательности частичных сумм), признаки сравнения (теоремы 2, 3, следствие из
теоремы 2)). Пример.
5. Признак Даламбера (теоремы 4, 5). Примеры.
6. Признак Коши (теоремы 6, 7). Пример.

7. Признак Раабе (теоремы 1, 2(с доказательствами)). Пример:
n !e n
 nn p .
n 1
8. Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса (без доказательства). Интегральный признак Коши

1
– Маклорена (с доказательством). Пример:  n .
n 1
9. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Признак Лейбница. Оценка
остатка ряда Лейбница. Пример.
10. Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. Пример:
 100
ln n n
 n sin 4 . Перестановки членов ряда.
n1
11. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды.
12. Функциональные последовательности и ряды (основные определения). Разложения
различных функций по формуле Тейлора как примеры функциональных рядов. Ряд
Тейлора.
13. Равномерная сходимость (Определения, теорема 1 (о непрерывности суммы ряда в
точке)). Равномерно ограниченные на множестве последовательности. Утверждения 1-4.
14. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (критерий

Коши и его отрицание). Примеры: 1)
x

x
,2
1
 , x
; 2)
0

n

0
n

xn, x
0, 1.

n
1
15. Признаки равномерной сходимости (критерий равномерной сходимости для
бесконечно малой функциональной последовательности, определение мажоранты,
признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле). Теорема Дини и следствие из нее.
16. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда (теоремы 1,2 (с
доказательством), теорема 3 (без доказательства)). Пример.
17. Степенные ряды (основные определения, теоремы 1, 2, 5 (с доказательствами),
теоремы 3, 4, 6 (без доказательства)). Примеры.
18. Тригонометрический ряд и его основные свойства.
19. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье.
20. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
21. Ряд Фурье с периодом 2l.
22. Комплексная форма ряда Фурье.
23. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье.
24. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его
обращение. Спектральная функция.
25. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье.
26. Дельта-функция.
Б) Дифференциальное исчисление ФНП
1. Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение
функции двух переменных. Примеры.
2. Предел функции двух переменных. Примеры.
3. Определение непрерывности функции двух переменных. Примеры.
4. Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
5. Частные производные. Примеры.
6. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия
дифференцируемости функции.
7. Производные сложных функций.
8. Дифференциал функции. Примеры. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.
9. Касательная и нормаль к поверхности. Примеры.
10. Производные функции, заданной неявно. Примеры.
11. Частные производные высших порядков. Условие независимости значений смешанных
производных от порядка дифференцирования. Примеры.
12. Дифференциалы высших порядков. Примеры.
13. Производная по направлению. Градиент. Примеры.
14. Формула Тейлора для функции многих переменных.
15. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.
16. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Примеры.
17. Условный экстремум.
18. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной
области. Примеры.
19. Метод наименьших квадратов. Пример.