56-65

5.4. Касательные напряжения при изгибе
Касательные напряжения при изгибе возникают от действия
поперечной силы. При выводе формулы для касательных напряжений
сделаем следующие допущения:
1. Касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения
считаются параллельными поперечной силе (точно это выполняется
только для прямоугольного поперечного сечения)
2. Касательные напряжения постоянны по ширине сечения.
Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения размерами
h*b , находящуюся в состоянии плоского изгиба. Вырежем параллелепипед
двумя поперечными
y
сечениями I-I и II-II , и
(площадь)
продольным сечением
Z
y
III-III, проведенным
h
x
на расстоянии y от
нейтрального слоя. В
dz
b
сечении I-I действует
Рис. 5.13
Рис. 5.14
изгибающий момент
Мx, в сечении II-II
dz
2
1
действует
изгибающий момент
Мх+dМх.
Будем
N1
N2
считать,
что
на
элементе dz распредеb
dT
ленная нагрузка отсутствует. Тогда поперечРис. 5.15
ная сила Qy на этом
элементе будет постоянной. Заменим действие отброшенной части балки
на этот элемент нормальными и касательными напряжениями.
Равнодействующая всех нормальных усилий на левой грани –N1, на
правой – N2. Равнодействующую касательных напряжений, действующих
на нижнюю грань, обозначим через dT.
M X  dM X
M X ydA
ydA ; dT  bdz
N1= 1dА = 
;
N2=  2 dА = 
I
I
X
X




Так как этот элемент находится в равновесии, то из уравнения равновесия

 FZ  0 , N1  dT  N2  0
56

MX
M X  dM X
ydA

 I X
 I X ydA  bdz  0

dM X
dM X  ydF
ydF  bdz  0


IX 
.
.   dzbI
y
X
Величина  ydF  S X
ОТС
- статический момент
yC
h
z
y
X
 max

части сечения, которая расположена выше
b
исследуемой точки, относительно оси X
dM X
 QY .
Рис. 5.16
dz
ОТС
Q YS X

Тогда
.
( 5.7 )
bI X
Это формула Жуковского для определения касательных напряжений.
Обычно сечение балки подбирают по нормальным напряжениям и
проверяют по касательным.  max    - условие прочности по касательным
напряжениям. Найдем касательные напряжения в балке, прямоугольного
поперечного сечения ( рис. 5.1,6 ).
S
ОТС
X
h h 1 h 
h
h y b h
h
b h2 2
 y С  b(  y)  (  y)  b(  y)(  )  (  y)(  y)  (  y )
2 2 2 2 
2
4 2 2 2
2
2 4
b h2
h2
2
(

y
)
6
Q
(
 y2)
Y
Q Y S ОТС
3 QY
4y 2
X
2
4
4




(1  2 )
bh 3
bI X
bh 3
2 bh
h
b
12
Таким образом касательные напряжения изменяются по высоте балки
по параболическому закону ( рис. 5.1,6 ).
3 QY 3 QY
   max 

При y = 0
, при y =  h/2
=0.
2 bh 2 A
2 QY
Для балки круглого поперечного сечения.  max 
.
3 A
Иначе распределяются касательные напряжения по сечению
прокатных профилей. Двутавр - тонкостенный профиль, и касательные
напряжения в нем направлены вдоль профиля ( рис. 5.17 ). Только на
стенке двутавра они параллельны поперечной силе. Для двутавра:
QY
 max
Q Y S ОТС
X
отс

. Величины S X , I X , s приводятся в приложении 1 .
sI X
57
b
Y
Z
Y
 max
X
S
K
S
t
 max
X
h
Qy
e
Рис. 5.17
Рис. 5.18
Рассмотрим распределение касательных напряжений в швеллере
( рис. 5.18 ). Поперечная сила Qy проходит через центр тяжести сечения.
Составляющие касательных напряжений, параллельные поперечной силе ,
будут, как и у двутавра в стенке. На полках швеллера касательные
напряжения распределяются по линейному закону, как и у двутавра. Силы,
возникающие от касательных напряжений на полках и в стенке швеллера,
создают крутящий момент относительно центра тяжести С, поэтому, кроме
изгиба, возникает и кручение. Для того, чтобы крутящий момент не
возникал, вертикальную нагрузку надо прикладывать не в точке С, а в
точке К, называемой центром изгиба. Для этого необходимо
конструктивно создать условия приложения вертикальной нагрузки.
Расстояние от средней линии стенки до точки К
равно
e
3b
, где
6  ( A ст / A пол )
Аст=hs, Апол=bt. Кручение балок происходит
от действия поперечной силы, поэтому в случае чистого изгиба оно не
возникает.
5.5. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
и его интегрирование.
При действии нагрузки на балку ( рис. 5.19 ) плоское поперечное
сечение I – I переместится вниз на величину прогиба v (z ) и повернется
 (z ) . Проведем касательную к балке в точке B . Угол поворота
1
 равен углу наклона касательной к оси z. Если известно
сечения
на угол
уравнение
58
плоской
кривой
v (z ) , то угол наклона касательной
определяется
из
формулы
d
tg 
 v(z ) . Так
dz
как деформации малы,
то
tg  
  v(z ) .
I (z)
Y
H0
R0
B
Z
и
O
Из аналитической
геометрии известно,
что зная уравнение
v (z ) плоской кривой
m0
v(z)
z
B1
(z)
lРис 5.19
можно найти ее кривизну по формуле
I
Рис. 5.19
1
В данном случае
F

v( z )

  dv 
1   
  dz 
2



3
2
.
dv
   1 , и квадратом  в знаменателе можно
dz
пренебречь по сравнению с единицей. Тогда
1

 v( z ) . Подставляем
сюда значение кривизны ( 5.3 ). Получим дифференциальное уравнение
MX
 v(z ) или
EI X v( z)  M X ( z) .
изогнутой оси балки
( 5.7 )
EI X
Это уравнение можно проинтегрировать непосредственно.
EI X v( z )   dz  M X ( z )dz  Cz  D .
EI X v( z )   M X ( z )dz  C ,
Здесь С и D – постоянные интегрирования, которые определяются из
условий на опорах балки. Эти условия таковы: для однопролетной балки
( рис. 5.1,а ) при z  0 v(0)  0 ; при z  l v(l )  0 ,
v(a )  0 ; при z  a  l
v(a  l )  0 , для балки – консоли ( рис.5.1,в ) при z  0 v(0)  0 и
 (0)  v(0)  0 .
для консольной балки ( рис.5.1,б ) при z  a
Рассмотрим пример на определение
перемещений свободного
конца балки – консоли ( рис.5.19 ) методом непосредственного
интегрирования уравнения ( 5.8 ).
Выражение для изгибающего момента: MX (z)  F(l  z) подставим
в ( 5.8) и два раза проинтегрируем.
59
Интегрируем первый раз
EI X v( z )   ( F (l  z ))dz  C   Flz  F
z2
C .
2
Из условия, что v( z  0)   ( z  0)  0 , получим 0=0+0+С, откуда С=0.
Интегрируем второй раз с учетом С=0
z2
z3
EI X v( z )   dz   F (l  z )dz  Cz  D   Fl  F
 D, .
2
6
Из условия, что v( z  0)  0 , получим 0=0+0+D, откуда D=0.
Таким образом,
1
z2
z3
Flz 2
z
v( z ) 
( Fl  F )  
(1  ),
EI X
2
6
2 EI X
3l
( 5.8 )
1
z2
Flz
z
 ( z) 
( Flz  F )  
(1  ) .
EI X
2
EI X
2l
( 5.9 )
Максимальных значений прогиб и угол поворота сечений достигают в
точке B, то есть при z = 0.
Fl 3
v B  v( z  l )  
;
3EI X
Fl 2
B  (z  l)  
.
2EI X
(5.10)
Знак минус для прогиба показывает, что он направлен вниз, а ось y вверх . Знак минус для угла поворота показывает, что изогнутая ось балки
выпуклостью направлена вверх.
5.6. Метод начальных параметров
При
непосредственном
интегрировании
дифференциального
уравнения изогнутой оси балки на каждом участке балки возникают две
постоянные интегрирования. При числе участков больше двух,
определение этих постоянных затруднительно. При использовании метода
начальных параметров необходимо определить только два неизвестных
начальных параметра при любом числе участков балки. Приведем
окончательные результаты метода начальных параметров, так называемые
« универсальные » уравнения для определения прогибов и углов поворота
сечений балки. Эти уравнения приводятся в соответствии с направлениями
нагрузок, показанными на рис. 5.20. Начало координат располагается на
одном из концов балки. В уравнения необходимо включать только те
нагрузки, которые находятся между началом координат и сечением,
перемещение которого определяется. Начальные параметры – прогиб
балки у0 и угол поворота сечения балки 0 в начале координат находятся
из условий на опорах балки, см. п. 5.5.
60
Y
mi
gi
O
z
ai
Fi
bi
ci
di
Рис. 5.20
( z  ai ) 2
( z  bi ) 3
( z  ci ) 4
(z  di )4
EI xv( z)  EI x (v0   0 z)   mi
  Fi
  qi
  qc
; (5.11)
2
6
24
24
i
i
i
i
2
3
( z  bi )
( z  ci )
(z  di )3
EI x ( z)  EI x 0   mi ( z  ai )   Fi
  qi
  qi
. ( 5.12 )
2
6
6
i
i
i
i
Рассмотрим пример на определение
перемещений свободного
конца балки - консоли ( рис.5.19 ) методом начальных параметров.
Запишем универсальные уравнения для данной балки
( z  a) 2
( z  b) 3
( z  b) 2
EI x v( z )  EI x (v0   0 z )  m0
 R0
, EI x  0 ( z )  EI x 0  m0 ( z  a)  R0
2
6
2
В даннюм случае v0 = 0, 0 = 0, ( cм. п. 5.5 ), m0 = Fl, R0 = F, a = 0, b = 0.
Flz 2
z
z2
z3
(1  ) ;
Тогда EI x v( z )   Fl  Fl или EI x v( z )  
2 EI x
3
2
6
EI x  ( z )   Flz  F
z2
Flz
z
(1  ) , что совпадает с ( 5.8 ) и ( 5.9 ).
или  ( z )  
EI x
2l
2
5.7. Интегралы Мора
Для определения перемещений можно использовать и другие методы,
например, теорему Кастилиано и интегралы Мора.
Теорема Кастилиано. Пусть упругое тело нагружено произвольной
системой сил ( рис. 5.21,а ), потенциальная энергия деформации от их
действия равна – U. Одной из сил – Fn даем приращение dFn , тогда и
U
U  U 
dFn . Изменим порядок приложения сил ( рис. 5.21,б ).
Fn
Приложим вначале dFn . Проекцию перемещения на направление силы dFn
61
обозначим dn . Работа силы dFn
равна
dFn d n
. Затем приложим
2
систему внешних сил. Если бы не было силы dFn , то потенциальная
энергия деформации была бы U, но сила dFn при деформации тела
совершает работу dFnn (без 1/2, так как она уже приложена). Здесь n –
полное перемещение тела по направлению силы Fn . Итак, в данном случае:
1
U  U  dFn  n  dFn d n .
Fn dFn
2
F2
F1


Потенциальная энергия деформации
не зависит от порядка приложения сил,
а связана с конечным состоянием
системы, которое в I и II случаях
а
одинаково.
dFn
Поэтому U  U .

F1
F2
U
Fn
б
m
U
1
dFn  U  dFn  n  dFn d n .
Fn
2
U
1
dFn  dFn  n  dFn d n .
Fn
2
d n
n
Рис. 5.21
Последним членом пренебрегаем, так как он второго порядка
малости, а остальные – первого порядка.
U
Сокращая на dFn ,
получим  n 
.
( 5.13 )
Fn
Частная производная от потенциальной энергии деформации системы
по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой
силы.
Рассмотрим пример на применение теоремы Кастилиано для
определения перемещений при изгибе. Так как для использования теоремы
Кастилиано необходимо знать значение потенциальной энергии деформации при изгибе, вычислим его. Влиянием поперечной силы пренебрегаем
вследствие его малости. Проведем такие же выкладки, как и в п.4.5, при
нахождении потенциальной энергии деформации при кручении. При
изгибе материал испытывает деформацию растяжения - сжатия, поэтому
используем выражение ( 2.10 ) для удельной потенциальной энергии
деформации . Тогда потенциальная энергия деформации бесконечно
малого волокна будет
U = u dA dz =
2
2E
dAdz .
Потенциальная деформация деформации участка балки длиной dz

A
62
udAdz =

A
2
2E
dAdz .
Полная потенциальная энергия деформации балки длиной l
Mx 2 dz
2
Mx 2 y 2
Mx 2
2
U=   udAdz=  
. (5.14)
dAdz =  
dAdz =  
 y dA = 
2
2
1 A 2E
1 A Ix 2 E
1 A Ix 2 E A
1A
1 Ix 2E
Определим прогиб свободного конца консоли, нагруженной силой F
( рис. 5.19 ). Подставим уравнение ( 5.14) в формулу ( 5.13 ).
l
l
U
Fl 3
M 2x dz
F 2 z 2dz
F2
F 2l 3
2


U


z dz 
,
,


F
3EI x
2
EI
2
EI
2
EI
6
EI
x
x
x 0
x
0
0
что совпадает с выражением (5.10).
Однако теорема Кастилиано дает возможность определения
перемещений лишь точек приложения внешних сил и только в
направлении этих сил. Если же надо определить перемещение некоторой
точки в заданном направлении, то приложим в этой точке фиктивную силу
Ф, затем составим выражение потенциальной энергии деформации с
учетом силы Ф. Дифференцируя это выражение по Ф, найдем
перемещение точки приложения силы Ф (заданной точки) в направлении
действия силы Ф (в заданном направлении). Чтобы определить искомое
перемещение необходимо положить Ф=0, так как на самом деле ее нет.
При изгибе в поперечном сечении балки возникают внутренние
силовые факторы Qy, и Mx . Пренебрегаем влиянием Qy на перемещения
балки. Пусть на балку действует заданная нагрузка F. От нее в
поперечных сечениях возникнет грузовой изгибающий момент МхF
Приложим в некоторой точке А по заданному направлению единичную
силу Ф  1 . Тогда к изгибающему моменту от заданной нагрузки в
поперечном сечении добавится единичный изгибающий момент от Ф  1 ,
обозначим его M x . Если в этой точке А по заданному направлению
приложить силу Ф  1 , то вследствие пропорциональности силовых
факторов нагрузке, изгибающий момент от фиктивной силы будет в Ф раз
больше единичного - M x  Ф , то есть, если к заданной системе
приложить заданную нагрузку и фиктивную силу Ф, то в поперечных
M x  M xF  M x  Ф .
сечениях балки изгибающий момент будет равен
Используем теорему Кастилиано для определения перемещения балки в
направлении силы Ф
l
 M XF  M X Ф dz
dz

M XF  M XФ2   dz  2M XF  M XФ M X




Ф l
2EI X
2EI X Ф
2EI X
l
l
2

l
M XF  M X  dz
.
EI X
. Этот
Ф0

интеграл называется интегралом Мора.
63
MxF(C)
MxF
MxF(B)
MxF(A)
A
C
B
Z
Для
приближенного
вычисления
интегралов Мора можно использовать
способ Симпсона. Предварительно надо
построить эпюры грузовых ( рис. 5.22,а )
и единичных ( рис. 5.22,б ) изгибающих
моментов. На участке конструкции
длиной l интеграл Мора запишется
Mx(C)
Mx(B)
Mx
Mx(A)
A
l/2
B
C
Z
l
l
M x M xF
l
dz

(M xF (A)  M x (A) 
0 EI x
6EI x
 4M xF (B)  Mx (B)  M xF (C)  Mx (C))
Рис. 5.22
Рассмотрим пример на применение интегралов Мора и способа
Симпсона для определения перемещений при изгибе. Определим прогиб
свободного конца консоли, нагруженной силой F ( рис. 5.19 ). Приложим
заданную нагрузку F ( рис. 5.24,а ). Построим эпюру грузовых
изгибающих моментов MXF ( рис. 5.24,б ). На конце консоли, где мы хотим
определить перемещение, в направлении искомого перемещения –
вертикально, приложим единичную фиктивную силу Ф1 = 1 ( рис. 5.24,в )
и построим эпюру единичных изгибающих моментов ( рис. 5.24,г ).
l
Тогда
vc  
0

M XF M x1
l
Fl l
2 Fl 3
Fl 3

( Fll  4 *  0.0) 

,
EIx
6 EIx
2 2
6 EIx 3EIx
что совпадает с выражением (5.10).
С помощью интегралов Мора можно
F
определять перемещения конструкций не
l
z
только при изгибе, но и при произвольном
их нагружении. В общем случае при
Fl
a Fl/2
нагружении
в
поперечном
сечении
конструкции,
возникают
все
шесть
МXF
внутренних силовых фактора N, Qy, Qy,
A
б В С Ф1=1
Mk , Mx , My. Ранее мы получили
потенциальную энергию деформации при
l
в l/2
растяжении и сжатии – формула ( 2.7 ), при
A
кручении – формула ( 4 . 5 ), при изгибе –
г В С
MX1
формула ( 5. 14 ).
l/2
Аналогичным способом можно получить
значение
потенциальной
энергии
Рис. 5.23
деформации для QX, QY, MY. Используя
64
принцип суперпозиции, запишем формулу для потенциальной энергии
деформации в общем случае нагружения
2
Qy2 dz
Qx dz
M k2 dz
N 2 dz
U  
  x
   y
 

2GA
2GA
li i 2 EA
li li
i li
i li 2GI k
( 5.15 )
M y2 dz
M x2 dz
 
 
.
2
EI
2
EI
i li
i li
x
y
Здесь
х и y
– коэффициенты формы сечения. Они возникают
вследствие неравномерности распределения касательных напряжений по
сечению, уравнение ( 5.7 ). Например , для некоторых сечений значения
коэффициента формы сечения приведены на рис. 5.24..
x 
x  y 
 x   y  1,2
10
9
А
А СТ
Рис. 5.24
Здесь АСТ – площадь стенки двутавра.
Проведем такие же выкладки для всех внутренних сил, какие ранее
провели для изгибающего момента МХ. От действия заданной нагрузки
найдем
грузовые силовые факторы МkF; МхF; МyF; NF; QxF; QyF. Под
заданной нагрузкой понимается любая нагрузка (F, М, q .).
От действия единичной нагрузки Ф  1 , приложенной в заданном
направлении в точке, перемещение которой ищется, найдем единичные
силовые факторы Mk , Mx , My , N, Qx , Qy . В том случае, если требуется
найти линейное перемещение, в качестве единичной фиктивной силы
используется сосредоточенная сила, равная единице, а если угловое
перемещение, то сосредоточенный момент равный единице.
Затем, используем принцип суперпозиции и складываем грузовые
силовые факторы с единичными силовыми факторами, увеличенными в Ф
раз, подставляем их в ( 5.15 ). Используем теорему Кастилиано
– дифференцируем полученное выражение по Ф , приравниваем Ф = 0,
и получим выражение для интегралов Мора в общем случае нагружения.
A 
U
Ф
Ф 1
M yF  M y
M kF  M k
M Mx
dz    xF
dz   
dz 
GI k
EI x
EI y
i li
i li
li
 
i
 y QeF Qy
Q Q
N N
   F dz    x xF x dz   
dz
EA
GA
GA
i li
i li
i li
( 5.16)
65