программа коллоквиума

Вопросы коллоквиума по алгебре для 151 и 153 групп
Первый семестр 2013/2014 учебного года
1. Множества, подмножества. Примеры множеств, основные операции над множествами.
2. Свойства операций над множествами, декартово произведение.
3. Отображения. Примеры отображений, инъекция, сюръекция, биекция,
4. Композиция отображений. Обратное отображение, условие его существования,
5. Бинарные отношения, примеры, график отображения.
6. Свойства бинарных отношений, отношения эквивалентности, классы эквивалентности и их
свойства. Фактор-множество.
7. Делимость целых чисел, свойства делимости.
8. Теорема о делении с остатком в целых числах.
9. НОД двух целых чисел. Существование НОД и его линейного представления.
10. Алгорифм Евклида, лемма и теорема об алгорифме Евклида. Линейное представление НОД
при помощи алгорифма Евклида.
11. Свойства взаимно-простых чисел.
12. Линейные уравнения от двух переменных в целых числах. Разрешимость, описание множества
решений.
13. НОД нескольких целых чисел. Существование НОД, рекуррентная формула для его
вычисления. Условие разрешимости в целых числах линейного уравнения от n переменных.
14. Свойства простых чисел.
15. Любое натуральное число, отличное от 1, имеет простой делитель. Бесконечность множества
простых чисел.
16. Основная теорема арифметики целых чисел. Пример числовой системы, в которой нет
единственности разложения.
17. Каноническое разложение целого числа. Делимость, количество делителей, НОД и НОК –
описание на языке канонического разложения.
18. Свойства сравнений. Другое доказательство бесконечности множества простых чисел.
19. Классы вычетов, действия над ними. Свойства действий над классами вычетов./Кольцо
классов вычетов.
20. Свойства обратимых классов вычетов. Описание обратимых классов вычетов.
21. Теорема Вильсона и следствие из неё.
22. Малая теорема Ферма, её следствие.
23. Функция Эйлера. Случай степени простого числа. Поле вычетов. Теорема Эйлера.
24. Китайская теорема об остатках.
25. Мультипликативность функции Эйлера. Вычисление функции Эйлера при помощи
канонического разложения.
Некоторые упражнения, предлагавшиеся на лекциях
1. Придумать и доказать другие рекуррентные формулы для вычисления НОД нескольких целых
чисел.
2. Придумать бесконечное множество попарно взаимно простых целых чисел (кроме
суперстепеней двойки, рассматривавшихся на лекциях) и с его помощью доказать теорему о
бесконечности множества простых чисел.
3. Описать все чётные числа, для которых разложение в произведение чётно-простых
сомножителей единственно (с точностью до порядка).
4. Доказать малую теорему Ферма при помощи бинома Ньютона.
5. Доказать малую теорему Ферма при помощи подсчёта числа раскрасок секторов круга.