Стержневой конечный элемент для расчетов с большими

СТЕРЖНЕВОЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ РАСЧЕТОВ С БОЛЬШИМИ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ И ВРАЩЕНИЯМИ
П. Ю. Семенов
ООО Техсофт, Москва, Россия
1. Введение. Линейная теория стержней хорошо понята с точки зрения численной
реализации в рамках метода конечных элементов. Описание стандартного элемента
приведено, например, в [1, с. 128–132]. Элемент основан на теории, учитывающей
поперечный сдвиг, и имеет обычные степени свободы: перемещения нейтральной линии и
углы поворота сечения. Элемент не испытывает сдвигового запирания, более того,
предельный переход к теории без сдвиговых деформаций осуществляется внутри матрицы
жесткости точно. В то же время представляют интерес геометрически нелинейные
постановки [2]. В настоящей работе строится нелинейный элемент, который в режиме
малых деформаций дает те же результаты, что и элемент из [1].
2. Принцип виртуальной работы. Рассмотрим декартову систему координат
x, y, z  , с ортами i1 , i 2 , i 3 , ось x которой направлена вдоль нейтральной оси стержня, а
другие оси совпадают с главными осями сечения. Для стержней с недеформируемым
плоским сечением поле перемещений v выглядит следующим образом:
(1)
v  u  y ~i2  i 2   z ~i3  i 3  ,
где u – перемещение оси стержня, ~i и ~i – повернутые орты исходного базиса
2
3
~i  Λi и ~i  Λi ,
3
3
2
2
Λ – ортогональная матрица поворота. Вводя векторы a и b такие, что
(2)
(3)
a  Λ  Ii 2 и b  Λ  I i 3 ,
где I – единичная матрица, получим поле перемещений (1) в виде
(4)
v  u  ya  zb .
Подставляя выражение (4) в принцип виртуальной работы, сформулированный через
тензор деформации Грина, для линейного изотропного материала получим
 EA 
L
x
x
 EJ y k yk y  EJ z k zk z  GAy y y  GAz z z  GJ x k xk x dx  Fext ,
(5)
0
где E и G – модули упругости и сдвига, L – длина стержня, A – площадь его
поперечного сечения, Ay и Az – сдвиговые площади, J x , J y и J z – моменты инерции
сечения. В правой части собрана виртуальная работа внешних сил. Продольная
деформация  x , деформации сдвига  y и  z , а также кривизны k y , k z и k x , выражаются
через компоненты векторов u , a и b
 x  ux  12 uiui ,  y  a x  u y  uiai ,  z  bx  uz  uibi ,
(6)
k y  bx  uibi , k z  a x  uiai , k x  ca a z  bi ai   cb bz  ai bi ,
(7)
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, штрих означает
дифференцирование по x . Коэффициенты ca и cb зависят от формы поперечного
сечения. Вторая вариация левой части выражения (3)
 EAd x x  EJ y dk yk y  EJ z dk zk z  GAy d y y  GAz d z z  GJ x dk xk x  
dx (8)
0   EJ y k y dk y  EJ z k z dk z  GAy y d y  GAz z d z  GJ x k x dk x



дает формулу для построения касательной матрицы жесткости.
L
3. Параметризация вращений. В дальнейших построениях будем использовать
параметризацию матрицы поворота Λ посредством вектора конечного вращения θ
ΛI
sin 

Sθ  
1  cos 
Sθ Sθ  ,
2
 0

где   θ , а кососимметричная матрица Sθ     z

 y
 z
0
(9)
y 

  x  . При этом единичный
0 
вектор e  θ θ определяет ось вращения, а величина  – угол поворота.
4. Построение матрицы жесткости. Перемещение оси стержня будем
интерполировать кубическими функциями формы. Узловыми параметрами при этом
выберем перемещения концов стержня u1 и u 2 и их производные u1 и u2
x
u  1 x u1   2 x u 2   3 x u1   4 x u2 .
Для векторов a и b будем использовать квадратичную интерполяцию
(10)
(11)
a   1 x a1   2 x a 2   3 x a3 и b   1 x b1   2 x b 2   3 x b 3 ,
где a1 , a 2 , b1 , b 2 и a 3 , b 3 – значения, принимаемые векторами a и b на концах и в
середине стержня. При этом, в силу (9), узловыми степенями свободы будут компоненты
вектора конечного вращения θ в соответствующих точках a1  Λθ1   Ii 2 ,
b1  Λθ1   I i 3 и т.д. Определяя деформации и кривизны (6)–(7), а также их вариации,
используя аппроксимации (10)–(11), и, подставляя затем полученные при этом выражения
в (8), получим матричную запись второй вариации левой части (5) dq T K q q , где вектор
qT   u1 u2 u1 u2 θ1 θ2 θ3 
T
составлен из введенных ранее узловых параметров, K –
касательная матрица жесткости стержневого элемента. Чисто технической сложностью
при реализации алгоритма является необходимость выражать вариации a , b и da ,
db через приращения θ и dθ . Например, для вектора a имеем
a  Λθi 2  Δ1 θ, θi 2 и da  dΛθi 2  Δ2 θ, θ, dθi 2 ,
то есть необходимо дважды дифференцировать выражение (9). Формулы для матриц
Δ1 θ, θ и Δ2 θ, θ, dθ получаются громоздкими, в развернутом виде они приводятся в
[3]. Непрерывности производных не требуется, поэтому можно исключить параметры u1
и u2 на уровне элемента. Также, исключая в промежуточной точке вектор конечного
вращения θ 3 , получим элемент с обычными степенями свободы в узлах: тремя
поступательными и тремя вращательными. Можно показать, что при бесконечно малых
перемещениях и вращениях элементы полученной таким образом касательной матрицы
будут совпадать с элементами “линейной” матрицы из [1].
5. Обобщенный момент. В результате решения системы уравнений будут найдены
компоненты перемещений и вращений в узлах конструкции. После этого могут быть
найдены реакции в узлах элемента (усилия в сечении). Если реакции, соответствующие
перемещениям, являются силами, то реакции, соответствующие вращательным степеням
свободы, не являются моментами. Это некие обобщенные моменты, сопряженные с
вектором конечного вращения. Истинный же момент сопряжен с виртуальным
вращением. Связь между обобщенным и истинным моментом можно получить, зная связь
между приращением вектора конечного вращения θ и виртуальным вращением φ :
φ  Tθ . Приравняем элементарную работу истинного момента m и обобщенного g :
m T φ  g T θ . Отсюда mT Tθ  g T θ и, следовательно, m  T T g . Формулы для матриц
T , T 1 приведены, например, в [4]:
2 
1 
1 
S S  .
(12)
2 
  tg  2 
Заметим, что, в отличие от формулы (9), выражение (12) не определено при   2n ,
n  1, 2,
Это выявляет потенциальную неоднозначность параметризации (9), если
полный поворот больше 2 . Но в задачах, где повороты не столь велики, вектор
конечного вращения может успешно использоваться.
6. Примеры. Были решены как простейшие плоские задачи, так и более сложные
трехмерные. Первым двумерным тестом является заделанный с одного торца стержень. На
свободном торце приложена поперечная сила или изгибающий момент. Исходная и
деформированная геометрии представлены на рис. 1.
T 1  I  12 S  
Рис. 1
Рис. 2
На рис. 2 представлена пространственная рама [5]. Две нижние точки полностью
заделаны, третья закреплена в двух направлениях, а по третьему производится
растяжение. Приводятся деформированные схемы для двух разных по величине нагрузок.
В этих и других задачах имеется хорошее соответствие с аналитическими решениями или
численными результатами других авторов.
7. Заключение. Полученный в настоящей работе элемент является, по существу,
расширением элемента [1] в геометрически нелинейную область. В линейной области
матрицы этих элементов совпадают и, следовательно, сдвиговое запирание отсутствует.
Численное тестирование показало, что запирание не проявляется и в нелинейном случае.
ЛИТЕРАТУРА
1. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. – М.:
Машиностроение, 1988. – 392 с.
2. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Ошибки и парадоксы пространственных
геометрически нелинейных задач и задач устойчивости равновесия // Актуальные
проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений. Тезисы
симпозиума. Н. Новгород. 5–8 июня 2007. – С. 11–13.
3. Parisch H. An investigation of a finite rotation four node assumed strain shell element //
Int. J. Numer. Meth. Engng. – 1991. – Vol. 31. – 127–150.
4. Ibrahimbegovic A., Frey F. Stress resultant geometrically nonlinear shell theory with
drilling rotations. Part II: Computational aspects // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. –
1994. – 118. – P. 258–308.
5. Conci A., Gattass M. Natural approach for geometric non-linear analysis of thin-walled
frames // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 1990. – Vol. 30. – P. 207–231.