5 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
01.02.14  5 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
Довыводные задачи.
1.
Несколько пингвинчиков построились в колонну по росту и двинулись к морю. Каждый следующий пингвин на 2 см ниже предыдущего, а самый маленький пингвинчик на 3 дм ниже самого высокого.
Сколько всего пингвинов в колонне?
2.
Ежи перевозил воду, а Петруччо – воздух. Они арендовали один и тот
же поезд на два рейса. В первом рейсе вагонов с воздухом было в
пять раз больше, чем вагонов с водой. А во втором рейсе вагонов с
водой и с воздухом было поровну. Во сколько раз больше воздуха перевез Петруччо, чем Ежи – воды?
3.
К переправе через бурную реку подошли 6 человек: А, Б, В, Г, Д и Е.
Есть трехместная лодка, грести должны двое. Каждый согласен переправляться, если в лодке у него будет хотя бы один знакомый. Как им
всем переправиться на другой берег, если знакомы А и Б, Б и В, В и
Г, Д и Е?
4.
На листе клетчатой бумаги со стороной клетки 1 см нарисован прямоугольник 3×4. Разрежьте его по сторонам клеток на две части, у
которых площади равны, а периметры отличаются на 2 см.
5.
Рапунцель растет со скоростью 2 см/год, а ее волосы со скоростью 7
см/год, и с такой же скоростью растет Алиса. Волосы Рапунцель достигли пола, когда она была одного роста с Алисой. На сколько сантиметров выросла Алиса с тех пор, как волосы Рапунцель были в 40
сантиметрах от пола?
6.
Король вписал в каждую клетку квадрата 3×3 числа так, что суммы
трех чисел в каждой строке, каждом столбце и обеих диагоналях оказались равны, а потом закрыл все клетки картонками. Барон Мюнхгаузен похвастался, что если откроет всего 4 картонки, он сможет
узнать числа во всех клетках квадрата. Стоит ли ему верить?
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
01.02.14  5 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
Выводные задачи
7.
Пятиклассник Вася нарисовал на полу мелом
C
D
окружность с центром О, разделил её точками A, B,
B
C, D, E, F, G, H на 8 одинаковых частей и соединил
противоположные точки дорожками из варенья AE, A
E
O
BF, CG, DH (см. рис.). Дрессированная муха Маша
проползает путь ABOCDOEFOGHOA за 50 минут, а
F
H
G
путь ACOEGOA за 40 минут. За какое время Маша
проползёт всю окружность? (Скорости движения Маши по меловой
дорожке и дорожке из варенья, конечно же, отличаются).
8.
Рыбка состоит из 4 равных по питательности, но разных
по вкусу частей: голова, хвост и две серединки. Кошка
за минуту съедает одну часть рыбки, причем одну рыбку не могут одновременно есть две кошки. Нельзя начинать поедание рыбки с серединки. Васька не ест хвосты, Барсик – головы, а Мурка – серединки. За какое наименьшее время три кошки
съедят 4 рыбки?
9.
На белый квадрат 4×4 по очереди наклеили (вертикально
или горизонтально) шесть полосок трех различных цветов
шириной 1 и длины 4. В результате квадрат стал выглядеть
так, как показано на рисунке. В каком порядке наклеивались полоски?
10. Пятиклассник Петя из цифр 0, 1, …, 9 составил пять двузначных чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Чему равна сумма всех
пяти чисел, если известно, что количество простых среди них – максимально возможное?
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
01.02.14  5 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
Решения задач довывода.
1.
Ответ. 16 пингвинов. Решение. Так как самый высокий на 30 см выше самого
маленького, то имеется всего 15 промежутков между соседними пингвинчиками. Значит, всего 15+1=16 пингвинчиков.
2.
Ответ. В два раза. Решение. Примем за единицу количество воды, перевезённой в 1-м рейсе. Тогда в 1-ом рейсе было перевезено пять единиц воздуха, а во
2-ом рейсе по 3 единицы того и другого. Значит, всего было перевезено 4 единицы воды и 8 единиц воздуха.
3.
Решение. Выписываем расположение всех участников после каждой переправы
ГДЕ–АБВ; БВГДЕ–А; ДЕ–БВГА; ВГДЕ–БА; ВГ–БАДЕ; БАВГ–ДЕ; Г–БАВДЕ;
БВГ–АДЕ; – АБВГДЕ.
4.
Решение. Например, так (см. рисунок). Площади полученных частей равны, периметр одной равен 12 см, а другой – 14 см.
5.
Ответ. На 56 см. Решение. Так как Рапунцель растет со скоростью 2 см/год, а
ее волосы со скоростью 7 см/год, то волосы «приближаются к полу» на 7–2=5
см/год. Тогда волосы Раунцель были 40 см над полом 40:5=8 лет назад. За это
время Алиса выросла на 7·8=56 см.
6.
Ответ. Барон Мюнхгаузен, как всегда, прав. Решение. Занумеруем 1 2 3
клетки, как показано на рисунке. Барон может открыть, например, 4 5
6
клетки 3, 4, 5 и 6. Зная числа в клетках 4, 5 и 6, он знает сумму чисел в каждой строке, а также столбце и диагонали. Зная 3 и 5, 7 8 9
найдет 7; зная 3 и 6, найдет 9; зная 5 и 9, найдет 1; зная 1 и 3, найдет 2; зная 2 и
5, найдет 8.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
01.02.14  5 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
Решения задач вывода.
7.
Ответ. За 1 час. Решение. Первый маршрут Маши составляет ровно половину
окружности и все 4 дорожки из варенья. Второй маршрут – это половина
окружности и только две дорожки из варенья. Следовательно, две дорожки муха Маша проползает за 10 минут. Тогда на прохождение половины окружности
Маша тратит 50–2·10=30 минут. Всю окружность Маша проползет за 1 час.
8.
Ответ. За 6 минут. Решение. Представим рыбок «по частям» (всего их 16):
Г1С1С1Х1, Г2С2С2Х2, Г3С3С3Х3, Г4С4С4Х4. Алгоритм:
1 минута: Васька – Г1, Барсик – Х2, Мурка – Х3;
2-3 минуты: Васька - С1С1, Барсик - С2С2, Мурка – Г3, Г4;
4-5 минуты: Васька – С3С3, Барсик – С4С4, Мурка – Г2, Х1;
6 минута: Васька (или Мурка) – Х4.
За 5 минут три кошки съедят не более 15 частей, потребуется еще 1 минута,
чтобы кто-то из них съел 16-ую.
9.
Решение. Полоски наклеивались в таком порядке:
10. Ответ. 270. Решение. Двузначные простые числа могут заканчиваться только
на 1, 3, 7 и 9 (иначе число делится на 2 или на 5), то есть их не более четырёх.
Четыре простых числа можно составить. Например, Петя мог придумать числа
23, 41, 59, 67, 80. Пятое число всегда оканчивается на 0 (т.к. начинаться с нуля
число не может). Таким образом, в разрядах единиц стоят цифры 0,1,3,7,9 с общей суммой 20, а в разрядах десятков – оставшиеся числа 2,4,5,6,8 с общей
суммой 25 (десятков), и сумма всех пяти чисел всегда равна 270.