Олимпиадная подготовка по математике для учеников 5-6 классов

реклама
Олимпиадная подготовка по
математике для учеников
5-6 классов
Главное в олимпиадах – не побеждать в них,
и даже не участвовать в них. Главное – к ним
готовиться!
Не только готовим к олимпиадам, но и
развиваем навыки, ключевые с точки зрения
математического развития ребёнка.
Логический перебор
(Путь к Олимпу, Омск – 2014)
На доске в ряд написано четыре числа.
Первые три числа двузначные, последнее
число 5, и каждое, кроме первого, равно
произведению цифр предыдущего. Какое
число написано первым? Найдите все
варианты ответа и докажите, что другие
невозможны.
Логический перебор
Ответ: 75 или 57.
Решение. Число 5 можно получить только
перемножением 1 и 5. Поэтому предпоследнее
число в ряду – либо 15, либо 51. Но число 51
нельзя представить в виде произведения двух
цифр, а можно только получить как 3×17 или
1×51. Поэтому предпоследнее число в ряду
обязательно 15. Значит, перед ним стоит либо
число 35, либо число 53. Но 53 также нельзя
представить в виде произведения двух цифр.
Остаётся 35. Но 35=5×7. Поэтому первое число –
либо 57, либо 75.
Вторая идея: анализ с конца.
Логический перебор
(Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009)
В пятом классе учатся три девочки: Ира, Галя и
Наташа. Одна из них самая умная, и она всегда
говорит правду. Другая самая красивая, и она
всегда лжет. А третья девочка самая хитрая: она
иногда лжет, а иногда говорит правду. Ира
сказала: «Я красивее Гали». Галя сказала: «Я
умнее Наташи». Наташа сказала: «Я хитрее
Иры». Какая из девочек самая красивая?
Логический перебор
Ответ: Наташа самая красивая.
Решение. Ира не может быть самой
красивой, потому что иначе ее фраза верная, а
она обязана лгать. Значит, возможны два
варианта: Ира самая умная или самая хитрая.
Если Ира самая умная, то она сказала правду,
и Галя не может быть самой красивой. Тогда
самая красивая – Наташа. Если же Ира самая
хитрая, то высказывание Наташи ложно, и
Наташа может быть только самой красивой.
Итак, в любом случае Наташа самая красивая.
Арифметическое моделирование
Увидеть процесс, ввести основные численные
характеристики и «просчитать» его.
(Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009)
На уроки танцев ходят 90 школьников, среди
которых есть мальчики и девочки. Учитель
разбил их на группы по 3 человека. В каждой из
групп каждый школьник станцевал с каждым по
разу, а школьники из разных групп между собой
не танцевали. Оказалось, что было ровно 22
танца, в которых мальчик танцевал с мальчиком
и ровно 38 танцев, в которых девочка танцевала
с девочкой. Сколько было «смешанных» групп, в
которые входили и мальчики, и девочки?
Арифметическое моделирование
Ответ: 15 «смешанных».
Решение. Всего было 30 групп и в каждой
группе было 3 танца. Значит, всего было 90
танцев. При этом «смешанных» танцев, в
которых танцевали девочка и мальчик, было
90–22–38=30. Но в каждой «смешанной»
группе было по 2 «смешанных» танца.
Значит, «смешанных» групп было 15.
Арифметическое моделирование
(Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2011)
По траве вереницей вплотную друг за другом
ползут
сороконожки.
Длина
каждой
сороконожки — 10 сантиметров. В 12-00
сороконожки подползли к дорожке длиной 1
метр. Как только сороконожка поставит все 40
ножек на дорожку, она начинает ползти со
скоростью 15 см/сек, а пока хотя бы одна её
ножка на травке, она ползёт в 3 раза медленнее.
Ровно в 12-01 последняя сороконожка сползла с
дорожки и поставила свою последнюю ножку на
травку. Сколько было сороконожек?
Арифметическое моделирование
Ответ: 26.
Решение.
1) Для начала заметим, что каждая сороконожка,
дойдя до дорожки, заползает на нее 2 сек, и 2 сек
ей требуется чтобы полностью сползти с
дорожки на траву. Кроме того, по самой дорожке
она бежит 90 см и пробегает их за 6 сек.
2) Будем следить за последней сороконожкой.
Поскольку ей потребовалось 10 сек от начала
дорожки и до самого конца путешествия, то по
траве она бежала 50 сек и пробежала 250 см.
Значит, в 12.00 перед ней стояли 25 сороконожек,
а всего их было 26.
Устная алгебра
Учимся работать с абстрактными
величинами.
(Путь к Олимпу, Омск – 2011)
В 1001 году на багдадском базаре ковер-самолет
стоил 1 динар, а в 1100 году такой же коверсамолет стоил 152 динара. Известно, что
каждый год, кроме одного, он дорожал на 1
динар, а в один год он подорожал в 2 раза. В
каком году произошло такое большое
подорожание?
Устная алгебра
Ответ: в 1054 году.
Решение. Если бы ковёр-самолёт дорожал
каждый год на 1 динар, то в 1100 году он
стоил бы 100 динаров. Значит, в год большого
подорожания его стоимость увеличилась не
на 1, а на 53 динара. Это означает, что в
предшествующий год она составляла как раз
53 динара. То есть, году подорожания
предшествовал
1053
год,
а
годом
подорожания был 1054 год.
Устная алгебра
(Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009)
Чтобы построить поросячий домик, НифНифу не хватало 300 кирпичей, Нуф-Нуфу не
хватало 200 кирпичей, а Наф-Нафу не хватало
всего 100 кирпичей. Когда они сложили все
свои кирпичи вместе, оказалось, что они
могут построить только один домик на троих,
и кирпичей больше не останется. Сколько
кирпичей нужно для одного поросячьего
домика?
Устная алгебра
Ответ: 300 кирпичей.
Решение. Ниф-Нифу, Нуф-Нуфу и Наф-Нафу
вместе не хватает 600 кирпичей, чтобы
построить 3 домика, а не один. Значит, на 2
домика понадобилось бы как раз 600
кирпичей. А значит, один поросячий домик
строится из 300 кирпичей.
Устная алгебра
(Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009)
Землемер Костя вбил в землю вдоль одной
прямой по порядку слева направо три колышка:
сперва красный, потом синий, потом зелёный.
Он связал красный и синий колышек, а потом
красный и зелёный колышек, затратив на это
всего 5 метров верёвки. Затем он сдвинул синий
и зелёный колышек на 1 метр влево и снова
привязал каждый из них к красному. На этот раз
ушло 4 метра верёвки. Сколько метров верёвки
уйдёт на эту конструкцию, если он ещё раз
сдвинет синий и зелёный колышек на 1 метр
влево?
Устная алгебра
Ответ: 4 метра.
Решение. Начальная конфигурация: Красный – Синий –
Зелёный
Конфигурация после первого передвижение: Синий –
Красный – Зеленый.
Начальные расстояния от красного колышка до синего и
зеленого обозначим через С и З соответственно. Тогда
С+З=5, С<1, З>4. Действительно, если С>1, то во
второй раз понадобится 3 метра веревки. После второго
передвижения порядок сохранится, ибо расстояние от
красного до зеленого все еще больше 3 метров. Откуда
и заключаем, что понадобится опять 4 метра веревки.
Вторая составляющая: геометрическое воображение.
Для юных математиков
Грант Российского союза молодежи «Олимпиадная подготовка по
математике» для учеников 5-7 классов. В дистанционных занятиях
принимают участие 150 школьников, показавших наиболее высокие
результаты в конкурсе «ПОНИ® в мире знаков».
Занятия ведут не только омские педагоги, но и специалисты из
различных регионов России.
Зимняя гуманитарно-математическая школа в новогодние
каникулы: программы олимпиадной подготовки для учеников 5-6
классов.
Устная математическая олимпиада им. Г.П. Кукина для учеников 57 классов, 30 января 2016 г., регистрация на сайте imit.omsu.ru
Летняя школа «Математика у моря» (июль, Болгария)
http://www.perspektiva-omsk.ru/mm
До новых встреч!
Скачать