У р о к 81 КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Цели: Ход урока

У р о к 81
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Цели: ввести классическое определение понятия вероятности события;
формировать умение непосредственно применять классическое определение
вероятности.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определить, какие из следующих чисел:
7; 14; 25; 36; 41; 50; 62; 73; 75; 81; 87; 93 –
а) являются четными (нечетными);
б) кратны 5;
в) делятся на 3;
г) являются простыми;
д) являются квадратами целых чисел.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника в несколько этапов.
1. М о т и в а ц и я и з у ч е н и я.
Для оценки вероятности интересующего нас события путем статистического
исследования необходимо провести большое количество опытов или наблюдений, только
после этого возможно приближенно оценить вероятность этого события. Мы не всегда в
реальной действительности имеем для этого возможности. Теория вероятностей
располагает методами определения вероятности событий (в ряде случаев)
непосредственно из условий опыта или наблюдений путем рассуждений, не прибегая к
испытаниям.
2. В в е д е н и е п о н я т и я равновозможных исходов.
В учебнике нет однозначного определения понятия равновозможных исходов, оно
вводится на интуитивном уровне. Поэтому следует привести как можно больше примеров
различных событий, имеющих равновозможные и неравновозможные исходы, чтобы у
учащихся сложилось четкое представление о данном понятии.
Целесообразно выполнить следующее упражнение, обращая внимание на грамотность
обоснования учащимися своих ответов:
1) Перечислить все равновозможные события, которые могут произойти в результате:
а) подбрасывания 1 монеты;
б) подбрасывания игрального кубика;
в) подбрасывания тетраэдра с гранями, занумерованными числами 1, 2, 3, 4;
г) раскручивания стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых
секторов A, B, C, D и Е.
О т в е т: а) 2 исхода; б) 6 исходов; в) 4 исхода; г) 5 исходов.
2) Имеется правильная треугольная пирамида. Одна из ее граней белая, а 3 другие –
серые. Тетраэдр бросают на стол и наблюдают за гранью, которой он соприкасается со
столом. Являются ли равновозможными события «тетраэдр упал на серую грань» и
«тетраэдр упал на белую грань»?
О т в е т: неравновозможные.
3. В в е д е н и е классического определения вероятности.
Необходимо напомнить учащимся, как они раньше оценивали вероятность случайного
события по относительной частоте его появления в серии одинаковых опытов. Обратить
их внимание на то, что в случае, если все исходы случайного эксперимента
равновозможны, то вероятность каждого исхода подсчитывается более простым способом.
Далее продемонстрировать учащимся этот способ, рассмотрев примеры 1–4 из
учебника. На доску выносится формула вычисления вероятности события В:
m
P(В) = n , где п – число всех исходов, т – число благоприятных исходов.
4. А л г о р и т м р е ш е н и я з а д а ч на классическое определение вероятности.
После рассмотрения примеров и введения классического определения вероятности
можно вместе с учащимися составить алгоритмы решения соответствующих задач.
1) Убедиться, что события, рассматриваемые в задаче, равновозможны.
2) Найти п – число всех возможных исходов эксперимента.
3) Найти т – число всех благоприятных исходов.
m
4) Найти вероятность события по формуле P(В) = n .
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
№ 798.
Решение
Если продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1500 билетов
будет равновозможна, то можно применить формулу классической вероятности.
Событие А – «купленный билет – выигрышный»;
п = 1500 – число равновозможных исходов;
т = 120 – число благоприятных исходов;
m 120
P(А) = n = 1500 = 0,08.
О т в е т: 0,08.
П р и м е ч а н и е. Можно отметить, что вероятность события можно выразить в
процентах: 0,08 означает, что вероятность составляет 8 %.
З а д а ч а:
Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:
а) четным;
б) кратным 3;
в) меньшим 12?
Решение
Двузначных чисел всего 90 – это общее количество равновозможных исходов.
а) Среди двузначных чисел имеется 45 четных, то есть количество благоприятных
исходов равно 45. По классическому определению вероятности:
45
P = 90 = 0,5.
б) Среди двузначных чисел имеется 30, кратных 3: 3; 12; 15; 18; …; 93; 96; 99.
Получаем, что количество благоприятных исходов равно 30. По определению
вероятности:
30 1
P = 90 = 3 .
П р и м е ч а н и е. Для подсчета количества чисел, кратных 3, целесообразно
воспользоваться формулой п-го члена арифметической прогрессии ((ап) – арифметическая
прогрессия, а1 = 3; ап = 99; d = 3).
в) Двузначными числами, меньшими 12, являются числа 10 и 11, то есть количество
2
1
благоприятных исходов равно 2. По определению вероятности: P = 90 = 45 .
1
1
О т в е т: а) 0,5; б) 3 ; в) 45 .
№ 801.
Решение
Общее число равновозможных исходов п = 93.
1-й с п о с о б. Событие А – «жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или на
последнем этаже» совпадает с событием «жильцу достанется квартира, расположенная со второго
по предпоследний этаж включительно».
Таких квартир т = 93 – 3 – 6 = 84. По определению вероятности:
84
93 .
P(А) =
2-й с п о с о б. Для сильного класса можно дать теорему о вероятности противоположного
события (см. п. 36), тогда В – «жильцу досталась квартира на первом или последнем этажах»:
Р( В)  1  Р( В)  1 
3 6
9 84
1 
93
93 93 .
№ 802.
Решение
Общее число возможных исходов п = 6 · 6 = 36. Количество благоприятных исходов т
2
1
= 2 (это пары (1; 2) и (2; 1)). По определению вероятности: P = 36 = 18 .
П р и м е ч а н и е. При решении этой задачи используется комбинаторное правило
умножения.
№ 804.
Решение
Общее число возможных вариантов набора трех последних цифр равно Р3 = 3! = 6 (так
как порядок цифр важен). Так как только один из наборов является верным, то по
1
определению вероятности: P = 6 .
1
О т в е т: 6 .
V. Итоги урока.
– Приведите примеры равновозможных событий, неравновозможных событий.
– Определите, равновозможны ли следующие события: «наудачу выбранная цифра
окажется цифрой 7» и «наудачу выбранная цифра окажется отличной от цифры 7».
– Как вычислить вероятность какого-либо события?
Домашнее задание: № 799, № 800, № 803.