Задача № 8. В горизонтальной трубе длиной l находится положительно заряженный шарик. Вблизи противоположных концов трубы находятся закрепленные положительные заряды 𝑞1 и 𝑞2 . Найти положение равновесия шарика из условия минимальности потенциальной энергии системы в этом положении. Задача № 9. Два одинаковых положительных заряда величиной q расположены на расстоянии a друг от друга. В какой точке на оси симметрии напряженность результирующего поля, созданного этими зарядами, максимальна? Задача № 10. При действии на механическую колебательную систему гармонически изменяющейся внешней силы 𝐹 = 𝐹0 ∙ sin𝜔𝑡 в ней устанавливаются вынужденные колебания с амплитудой: 𝐹0 𝐴= , 𝑚√( 𝜔02 −𝜔2 )2 +4𝛽2 𝜔2 где m – масса системы, 𝜔0 – собственная циклическая частота колебаний системы, 𝛽 – показатель затухания, характеризующий силу сопротивления среды. При какой частоте 𝜔 периодической внешней силы наступит резонанс, то есть амплитуда станет максимальной? Задача № 11. По какой наклонной плоскости, образующей угол 𝛼 с горизонтом, втаскивают за веревку ящик. Коэффициент трения ящика о плоскость 𝜇. При каком угле 𝛽 между веревкой и горизонтом потребуется минимальное усилие для втаскивания ящика? Задача № 12. Человек может двигаться по полю со скоростью v, а по шоссе – со скоростью u. Ему необходимо из точки А в поле попасть в точку С на шоссе. Под каким углом к шоссе ему нужно двигаться, чтобы попасть в точку С за минимальное время? Задача № 13. Из миномета ведут обстрел склона горы. Какова максимальная дальность обстрела вдоль склона, если начальная скорость мин 𝑣0 , угол, образуемый склоном горы с горизонтом, 𝛽? Сопротивление воздуха не учитывать. Задача № 14. В вертикальной трубе находится столб жидкости высотой Н. На какой высоте h от основания следует проделать отверстие в стенке трубы, чтобы дальность полета струи оказалась максимальной? Задача № 15. Гелий массой m в цилиндре под поршнем занимает объем 𝑉1 при давлении 𝑝1. Этот газ медленно переводят в состояние с параметрами 𝑉2 и 𝑝2 , причем процесс перехода характеризуется законом 𝑝 = 𝑏 − 𝑎 ∙ 𝑉. Определить максимальную температуру в этом процессе. Задача № 16. Электрически заряженная частица с зарядом e и массой m, пролетев поле конденсатора, вылетает из него под углом 𝛽 к пластине. Напряженность поля внутри конденсатора Е, длина пластины l. Оценить интервал значений кинетической энергии влетающей частицы, если угол 𝛼, под которым она влетает, не регистрируется. Решение к задаче № 12. Выделим два отрезка траектории – AB и BC и введем обозначения 𝐴𝐵 𝐵𝐶 (смотри рис.). Общее время движения: 𝑡0 = 𝑣 + 𝑢 . Используя чертеж, выразим отрезки AB и BC через h, l и 𝜑: ℎ ℎ 𝐴𝐵 = sin 𝜑; 𝐵𝐶 = 𝑙 − tg 𝜑. После подстановки при заданных v и u время ℎ 𝑙 ℎ выражается как функция угла: 𝑡0 = 𝑣 sin 𝜑 + 𝑢 − 𝑢∙tg 𝜑 . Эту функцию необходимо исследовать на экстремум. Решение к задаче № 13. В полете мина испытывает действие только силы тяжести. Поэтому ее траектория – парабола. Расстояние до точки ее пересечения со склоном OA обозначим S. Свяжем с точкой выстрела систему координат (смотри рис.). Как видно из чертежа: 𝑆 = √𝑥12 + 𝑦12 (*) или 𝑥 𝑆 = cos1𝛽 (**). Наклонная дальность максимальна при максимальном x. Поэтому будем отыскивать угол 𝛼 , при котором максимальна координата x точки А. Выразим x и y через параметры начальной скорости: 𝑥1 = 𝑣0 cos 𝛼0 𝑡; 𝑦1 = 𝑣0 sin 𝛼0 𝑡 − g g𝑡 2 2 . Исключая 𝑡 = 𝑣 𝑥 0 cos 𝛼0 получим: 𝑦 = tg 𝛼0 ∙ 𝑥1 − 2𝑣2 cos2 𝛼 𝑥12 (***). 0 0 На основе равенств (*), (**), (***) произведем преобразования: 2 1 g𝑥1 2 2 𝑥1 ( 2 − 1) = 𝑥1 (tg 𝛼0 − 2 2 ) ⟹ cos 𝛽 2𝑣0 cos 𝛼0 g ⟹ tg 𝛽 = ± (tg 𝛼0 − 2𝑣2 cos2𝛼 ∙ 𝑥1 ). 0 0 Полученное равенство позволяет выразить x как функцию угла: 𝑥1 = 𝑣02 g ∙ (sin 2𝛼 ± tg 𝛽 ∙ cos 2 𝛼0 ). Исследование этой функции на экстремум приводит к окончательному ответу на вопрос задачи. Решение к задаче № 14. Смотри рис. Горизонтальная дальность полета струи зависит от ее скорости и времени полета 𝑥 = 𝑣0𝑥 ∙ 𝑡. Начальная скорость струи определяется расположением отверстия относительно уровня свободной поверхности: 𝑣0𝑥 = √2g(𝐻 − ℎ), а время полета зависит от высоты: ℎ = g𝑡 2 2 2ℎ , 𝑡 = √ g . На основании приведенных соотношений 2ℎ для горизонтальной дальности получим: 𝑥 = √2g(𝐻 − ℎ) ∙ √ g или 𝑥 = 2√ℎ ∙ (𝐻 − ℎ) (*). Считая переменной h, функцию (*) исследуем на экстремум. Решение к задаче № 15. Микроскопические параметры состояния газа связаны уравнением 𝑚 Менделеева – Клапейрона: 𝑝𝑉 = 𝑀 𝑅𝑇. Здесь М – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная. Подводим сюда выражение p: 𝑚 (𝑏 − 𝑎𝑉) ∙ 𝑉 = 𝑅𝑇 . Отсюда температура как функция объема: 𝑀 𝑀 𝑇(𝑉) = 𝑚𝑅 ∙ (𝑏𝑉 − 𝑎𝑉 2 ) (*). Значения параметров начального и конечного состояний газа позволяют конкретизировать коэффициенты 𝑝 = 𝑏 − 𝑎𝑉1 , a и b. { 1 Решая данную систему, получим: 𝑝2 = 𝑏 − 𝑎𝑉2 . 𝑝 −𝑝 𝑝 𝑉 −𝑝 𝑉 𝑎 = 𝑉1 −𝑉2 и 𝑏 = 1𝑉2−𝑉2 1 . Итак, следует исследовать на экстремум 2 1 2 1 функцию (*) и воспользоваться полученными выражениями для коэффициентов.