Исследование операций и методы оптимизации. Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра программного обеспечения
ДОНКОВА И.А.
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направление 230700.62 «Прикладная информатика»,
профиль подготовки «Прикладная информатика в экономике»
Издательство
Тюменского государственного университета
2011
Донкова И.А. Исследование операций и методы оптимизации.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной
формы обучения, 230700.62 «Прикладная информатика», профиль
подготовки
«Прикладная
информатика
в
экономике».
Тюмень:
Издательство Тюменского государственного университета, 2011, 21 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Исследование операций и методы оптимизации [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Донкова И.А., 2011.
2
Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
1.2.
Целью преподавания дисциплины «Исследование операций и методы
оптимизации» является изучение студентами теоретических основ экономикоматематического моделирования, способов решения задач методами математического
программирования и применение на практике алгоритмов расчета оптимизационных задач
с использованием ЭВМ.
Лабораторные занятия должны включать рассмотрение конкретных приемов по
построению оптимизационных методов и сопровождаться практикумом на ЭВМ (где
студенты обязаны решить определенное количество задач на ЭВМ, используя известные
методы).
В результате выпускник должен уметь решать на ЭВМ определенный набор задач с
использованием изученных методов и понимать, какие методы исследования операций
лежат в основе программ широко используемых пакетов (например, MATLAB,
MATHCAD, MAPLE и т.пр.)
Задачи дисциплины:
 обучить студентов основным методам решения задач исследования операций;
 привить студентам устойчивые навыки математического моделирования с
использованием ЭВМ;
 дать опыт проведения вычислительных экспериментов.
1.3. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина
«Исследование операций и методы оптимизации» входит в
вариативную часть цикла естественно-научных дисциплин вариативной части
Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования (ФГОС ВПО) по направлению «Прикладная информатика». Для изучения и
освоения дисциплины нужны первоначальные знания из курсов математического анализа,
линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, обыкновенных
дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, методов вычислений.
Знания и умения, практические навыки, приобретенные студентами в результате изучения
дисциплины, будут использоваться при изучении курсов математического моделирования,
вычислительного практикума, при выполнении курсовых и дипломных работ, связанных с
математическим моделированием и обработкой наборов данных, решением конкретных
задач из механики, физики и т.п.
1.4. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Исследование операций и методы
оптимизации” цикла естественно-научных дисциплин вариативной части по направлению
подготовки 230700.62 «Прикладная информатика»
с квалификацией (степенью)
“бакалавр” в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами
3
профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать
следующими компетенциями:





Профессиональными компетенциями:
Умение понять поставленную задачу (ПК 2);
Умение формулировать результат (ПК 3);
Умение строго доказывать математическое утверждение (ПК 4);
Понимание корректности постановок задач (ПК 10);
Знание содержания, основных этапов и тенденции развития программирования,
математического обеспечения и информационных технологий (ПК 21);
В результате изучения дисциплины студенты должны
знать:
 теорию основных разделов математического программирования;
 классификацию задач исследования операций и виды экономикоматематических моделей;
 основные методы решения оптимизационных задач;
 анализ оптимального решения на чувствительность при изменении
параметров модели,
уметь:
 использовать основные понятия и методы исследования операций;
 практически решать типичные задачи исследования операций;
 решать достаточно сложные в вычислительном отношении задачи,
требующих их численной реализации на ЭВМ;
 иметь навыки в постановке и реализации задач исследования операций,
владеть: методами и технологиями разработки оптимизационных моделей и методов для
задач из указанных разделов.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Таблица 1.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
3.
Тематический план.
4
Всего
часов
112
56
56
104
216
6
Семестры
4
5
76
36
38
18
38
50
зачет
126
18
54
экзамен
90
Таблица 2.
Тематический план
Лабораторн
ые занятия*
2
Модуль 1
1. Основные понятия
исследования операций
2 Основы линейного
программирования
Всего
Модуль 2
1 Прикладные оптимизационные
методы решения задач
линейного программирования
2 Теория двойственности
3 Анализ оптимального решения
задач математического
программирования на
чувствительность
Всего
Модуль 3
1. Специальные задачи
математического
программирования
2 Прикладные оптимизационные
методы решения задач
нелинейного программирования
Всего
Итого (часов, баллов) за 1-й
семестр:
Из них в интерактивной форме
Модуль 4
1. Общая характеристика
методов оптимизации
2 Математические модели и
методы выпуклого нелинейного
программирования
Всего
Модуль 5
Лекции*
1
недели семестра
Тема
Итого Из них в Итого
часов интеракт колич
по
ивной
ество
теме
форме
балло
в
Самостоятел
ьная
работа*
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
№
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
4
8
2
0-7
2-3
4
4
4
12
4
0-17
6
6
8
20
6
0-24
4-6
6
6
10
22
4
0-15
7-9
10
6
2
6
2
10
2
22
6
4
0-15
0-10
14
14
22
50
8
0-40
11-14
8
8
10
26
15-19
10
10
10
30
4
0-24
18
38
18
38
20
50
56
126
4
18
0-36
0–
100
0-12
18
1
2
2
4
8
2
0-9
2-3
4
4
4
12
4
0-22
6
6
8
20
6
0-31
5
Численные оптимизационные
одномерные методы
2 Многомерная безусловная
численная оптимизация.
Методы нулевого порядка
3 Анализ оптимального решения
задач математического
программирования на
чувствительность
Всего
Модуль 6
1. Специальные задачи
математического
программирования
2 Прикладные оптимизационные
методы решения задач
нелинейного программирования
Всего
Итого (часов, баллов) за 2-й
семестр:
Из них в интерактивной форме
1
4
2
2
10
14
4
0-9
5
2
2
10
14
4
0-15
6-7
4
4
4
12
8
8
24
40
8
2
2
10
14
9
2
2
12
16
4
0-14
4
18
4
18
22
54
30
90
4
18
0-29
0–
100
0-16
8
0-40
0-15
18
Таблица 3.
Итого количество баллов
электронные
практикум
программы
компьютерного
тестирования
тест
контрольная
работа
ответ на семинаре
собеседование
коллоквиумы
№
темы
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Устный опрос Письменны Технические Информацион
е работы
формы
ные системы и
контроля
технологии
Модуль 1
Т1
Т2
Всего
Т1
Т2
Т3
Всего
Т1
Т2
Всего
0-5
0-5
0-1
0-2
0-3
0-2
0-4
0-6
0-5
0-5
0-3
0-3
0-1
0-7
0-6
0-6
0-2
014
0-5
0-5
0-4
0-5
0-9
0-6
0-8
014
0-2
0-2
0-2
0-2
0-4
0-4
Модуль 2
0-2
0-2
0-2
0-2
0-2
0-6
0-4
Модуль 3
0-2
0-2
0-2
0-4
0-2
6
0-2
0-2
0-2
0-2
0-7
0-17
0-24
0-4
0-15
0-15
0-10
0-40
0-2
0-2
0-12
0-24
0-36
Итого за
1-й
семестр:
015
0-19
034
0-14
0-10
0-8
0 – 100
0-2
0-2
0-4
0-9
0-22
0-31
0-2
0-2
0-2
0-6
0-9
0-15
0-16
0-40
0-3
0-2
0-4
0-14
0-15
0-14
0-29
0 – 100
Модуль 4
Т1
Т2
Всего
Т1
Т2
Т3
Всего
Т1
Т2
Всего
Итого за
2-й
семестр:
0-5
0-5
0-1
0-2
0-3
0-2
0-4
0-6
0-5
0-5
0-1
0-2
0-1
0-4
0-2
0-2
0-4
0-8
0-1
0-1
0-2
0-9
0-2
0-2
0-4
018
0-5
0-5
015
0-5
0-5
0-5
0-5
0-5
0-5
0-15
0-2
0-2
0-2
0-2
0-4
0-4
Модуль 5
0-2
0-2
0-2
0-2
0-2
0-2
0-6
0-6
Модуль 6
0-2
0-2
0-2
0-2
0-4
0-4
0-14
0-14
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и
темы
Модуль 1
1.1
Т1.
1.2
Т2.
Виды СРС
обязательные
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ. Выполнение тестовых и
контрольных работ
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Т1.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
7
дополнител
ьные
Работа с
учебной
литературой
Неде
ля
семес
тра
Объ
ем
часо
в
Кол
-во
бал
лов
1
4
0-7
2-3
4
0-17
Написание
программы
8
4-6
Работа с
учебной
литературой
0-24
10
0-15
2.2
2.3
Т2.
Т3.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Т1.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
3.2
Т2.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
7-9
10
0-15
10
2
0-10
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
22
11-14
10
0-12
15-19
10
0-24
20
50
0-36
0100
1
4
0-9
2-3
4
0-22
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Всего по модулю 3:
ИТОГО за 1-й семестр:
Модуль 4
4.1
Т1.
4.2
Т2.
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ. Выполнение тестовых и
контрольных работ
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 4:
Модуль 5
5.1
Т1.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
8
0-40
Работа с
учебной
литературой
Написание
программы
8
Работа с
учебной
4
0-31
10
0-9
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
5.2
5.3
Т2.
Т3.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 5:
Модуль 6
6.1
Т1.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
6.2
Т2.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
литературой
5
10
0-15
6-7
4
0-16
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
24
0-40
8
10
0-15
9
12
0-14
22
54
0-29
0100
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Всего по модулю 6:
ИТОГО за 2-й семестр:
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Проблемноориентированные
программные комплексы
Методика и технологии
поддержки принятия
решений
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
3.3
+
+
+
+
+
9
+
3
Основы управления
проектами
+
4
Имитационное
моделирование
+
5.
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1
Тема 1.1. Основные понятия исследования операций
Этапы экономико-математического моделирования. Обзор научных работ (научные
школы, организации, направления деятельности и достижения). Общая постановка задачи
исследования операций. Целевая функция. Оптимальное решение (оптимальный план).
Классификация задач исследования операций. Примеры постановок задач
математического программирования. Общая характеристика методов оптимизации.
Аналитическое исследование оптимизационных задач классическими методами.
Исследование нелинейных задач численными методами. Экспериментальные методы
исследования на ЭВМ. Специализированные математические пакеты.
Тема 1.2. Основы линейного программирования
Классификация линейных задач по системе ограничений (общая, стандартная, основная
(каноническая)). Формы записи линейных задач.
Свойства решений задач линейного программирования.
Графический метод решения стандартных задач. Построение области решений,
градиента и линии уровня целевой функции.
Исследование на совместность систем ограничений основных задач. Нахождение
базисных решений для задач линейного программирования. Геометрическая
интерпретация решения основных линейных задач на плоскости.
Модуль 2
Тема 2.1. Прикладные оптимизационные методы решения задач
линейного программирования
Симплекс-метод решения задач линейного программирования и его модификации.
Критерии оптимальности решения. Аналитический симплекс метод. Табличная
организация вычислительного процесса по схеме Жордана-Гаусса. Построение симплекстаблиц. Особые случаи симплекс метода. Метод искусственного базиса.
Тема 2.2. Теория двойственности
Двойственность в линейном программировании. Модели взаимно двойственных задач
(симметричные, несимметричные двойственные модели, общий случай). Экономическая
интерпретация двойственных задач на примере задачи об использовании ресурсов
предприятия. Теоремы двойственности.
10
Тема 2.3. Анализ оптимального решения задачи на чувствительность
Понятие чувствительности (устойчивости) оптимального решения. Способы
исследования на устойчивость. Геометрическая интерпретация анализа на
чувствительность. Исследование на устойчивость оптимального решения задач на ЭВМ.
Модуль 3
Тема 3.1. Специальные задачи математического программирования
Постановка и математические модели задач целочисленного программирования
(ЦП). Экономические задачи ЦП и основные методы решения. Статические задачи
распределительного типа. Частный случай – транспортные задачи (ТЗ), задачи управления
запасами. Методы решения ТЗ: метод северо-западного угла, метод потенциалов и др.
Тема 3.2. Прикладные оптимизационные методы решения задач
нелинейного программирования
Общая постановка задачи нелинейного программирования. Особенности решения
задач нелинейного программирования. Графический метод решения нелинейных задач.
Классические методы решения на основе дифференциального исчисления. Понятие о
необходимых и достаточных условиях экстремума. Метод множителей Лагранжа.
Геометрическая интерпретация решения нелинейных задач. Примеры постановок и
решение экономических нелинейных задач классическими методами условной и
безусловной оптимизации.
Модуль 4
Тема 4.1. Общая характеристика методов оптимизации
Аналитическое исследование оптимизационных задач классическими методами.
Исследование нелинейных задач численными методами. Классификация численных
методов по размерности, порядку, ограничениям задачи. Экспериментальные методы
исследования на ЭВМ. Специализированные математические пакеты.
Тема 4.2. Математические модели и методы выпуклого нелинейного
программирования
Понятие выпуклых областей, выпуклых и вогнутых функций. Геометрическая
интерпретация. Аналитические и алгебраические свойства выпуклых (вогнутых) функций.
Теорема Куна-Таккера для задач выпуклого нелинейного программирования. Понятие
двойственности
для
задач
нелинейного
программирования.
Квадратичное
программирование.
Модуль 5
Тема 5.1. Численные оптимизационные одномерные методы
Численные оптимизационные одномерные методы 0-, 1-, 2-го порядка: метод
дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения, метод квадратичной интерполяции Пауэлла,
11
Ньютона и др. Условия сходимости. Теорема (о локализации точек экстремума
унимодальной функции).
Тема 5.2. Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы нулевого порядка
Многомерная безградиентная оптимизация (концепция методов). Метод
покоординатного спуска (Гаусса-Зейделя), метод Розенброка, метод деформируемого
многогранника (Нелдера-Мила), метод вращающихся координат, метод Хука-Дживса
(метод конфигураций, метод пробных шагов), и др.
Тема 5.3. Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы первого и второго порядка
Многомерная безусловная градиентная оптимизация: метод наискорейшего спуска,
метод сопряженных направлений (градиентов) и др. Численные оптимизационные методы
2-го порядка: метод Ньютона и его модификации. Условия сходимости и геометрическая
интерпретация.
Модуль 6
Тема 6.1. Многомерная условная численная оптимизация
Метод проектирования для линейных областей. Понятие сепарабельной функции.
Приближенное решение задачи выпуклого программирования (ЗВП) методом кусочнолинейной аппроксимации. Метод проекции градиента. Методы внешних и внутренних
штрафных функций.
Тема 6.2. Численные оптимизационные методы случайного поиска и
переменной метрики
Численные оптимизационные методы переменной метрики: метод Бройдена, метод
Флетчера, метод Пирсона и др. Условия сходимости. Численные оптимизационные
методы случайного поиска: случайный поиск, блуждающий поиск, метод случайных
направлений.
6.
Планы семинарских занятий.
Не планируется
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Задания практикума могут выполняться с использованием систем программирования
(например, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.пр.).
Тема 1.1. Основные понятия исследования операций
Общая постановка задачи исследования операций. Примеры постановок задач
математического программирования. Аналитическое исследование оптимизационных
задач классическими методами.
12
Тема 1.2. Основы линейного программирования
Формы записи линейных задач. Графический метод решения стандартных задач.
Построение области решений, градиента и линии уровня целевой функции. Исследование
на совместность систем ограничений основных задач. Нахождение базисных решений для
задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация решения основных
линейных задач на плоскости.
Тема 2.1. Прикладные оптимизационные методы решения задач
линейного программирования
Симплекс-метод решения задач линейного программирования и его модификации.
Аналитический симплекс метод. Табличная организация вычислительного процесса по
схеме Жордана-Гаусса. Построение симплекс-таблиц. Особые случаи симплекс метода.
Метод искусственного базиса.
Тема 2.2. Теория двойственности
Модели взаимно двойственных задач (симметричные, несимметричные двойственные
модели, общий случай). Нахождение решения взаимно двойственных задач на основе
теорем двойственности.
Тема 2.3. Анализ оптимального решения задачи на чувствительность
Способы исследования на устойчивость. Геометрическая интерпретация анализа на
чувствительность. Исследование на устойчивость оптимального решения задач на ЭВМ.
Тема 3.1. Специальные задачи математического программирования
Постановка и математические модели задач целочисленного программирования (ЦП).
Экономические задачи ЦП и основные методы решения. Задачи распределительного типа:
задачи управления запасами, транспортные задачи. Способы реализации на ЭВМ.
Тема 3.2. Прикладные оптимизационные методы решения задач
нелинейного программирования
Особенности решения задач нелинейного программирования. Графический метод
решения нелинейных задач. Классические методы решения на основе дифференциального
исчисления. Понятие о необходимых и достаточных условиях экстремума. Метод
множителей Лагранжа. Геометрическая интерпретация решения нелинейных задач.
Тема 4.1. Общая характеристика методов оптимизации
Исследование нелинейных задач численными методами. Специализированные
математические пакеты.
Тема 4.2. Математические модели и методы выпуклого нелинейного
программирования
13
Исследование функций на выпуклость (вогнутость). Локальные условия теоремы КунаТаккера для задач выпуклого нелинейного программирования. Квадратичное
программирование.
Тема 5.1. Численные оптимизационные одномерные методы
Численные оптимизационные одномерные методы 0-, 1-, 2-го порядка: метод
дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения, метод квадратичной интерполяции Пауэлла,
Ньютона и др. Условия сходимости.
Тема 5.2. Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы нулевого порядка
Метод покоординатного спуска (Гаусса-Зейделя), метод Розенброка, метод
деформируемого многогранника (Нелдера-Мила), метод вращающихся координат, метод
Хука-Дживса (метод конфигураций, метод пробных шагов), и др.
Тема 5.3. Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы первого и второго порядка
Метод наискорейшего спуска, метод сопряженных направлений (градиентов) и др.
Численные оптимизационные методы 2-го порядка: метод Ньютона и его модификации.
Тема 6.1. Многомерная условная численная оптимизация
Метод проектирования для линейных областей. Приближенное решение задачи
выпуклого программирования (ЗВП) методом кусочно-линейной аппроксимации. Метод
проекции градиента. Методы внешних и внутренних штрафных функций.
Тема 6.2. Численные оптимизационные методы случайного поиска и
переменной метрики
Численные оптимизационные методы переменной метрики: метод Бройдена, метод
Флетчера, метод Пирсона и др. Численные оптимизационные методы случайного поиска:
случайный поиск, блуждающий поиск, метод случайных направлений.
8.
Примерная тематика курсовых работ
Не планируются.
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Контроль качества подготовки осуществляется путем проверки теоретических
знаний и практических навыков с использованием
a) Текущей аттестации:
проверка промежуточных контрольных работ и прием практических
заданий;
b) Промежуточной аттестации:
тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины.
14
Зачет в конце 4 семестра. Экзамен в конце 5 семестра (к зачету (экзамену)
допускаются студенты после сдачи всех заданий лабораторных работ, решения всех
задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы).
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Пример тестового задания по теме «Основы линейного программирования»:
1. Задача линейного программирования - это задача поиска оптимальных значений
линейных целевых функций, на переменные которых наложены
1) линейные ограничения; 2) нелинейные ограничения;
3) линейные ограничения и условия целочисленности; 4) произвольные ограничения.
2. Представлена математическая модель
z = 5x1 + 4x2  max,
- 2x1 + x2 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
2x1 + 3x2 = 4,
1) задачи нелинейного программирования; 2) задачи целочисленного
программирования; 3) задачи линейного программирования;
4) задачи динамического программирования.
3.
Развернутая
форма
записи
для
задачи
z = С Х  max, АХ ≤ В, Х ≥ 0, где Х = (x1 ; x2
1) z = 3x1 + 3x2  max,
2) z = x1 + 3x2  max,
)Т,
линейного
С = (3; 3), В = (2;
x1 + x2 ≤ 2,
1) Т;
программирования:
А =
 1 1



1
1


- x1 + x2 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;
3x1 + x2 ≤ 2, - x1 + x2 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;
3) z = 3x1 + 3x2  max,
x1 + x2 ≤ 1,
- x1 + x2 ≤ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;
4) z = 3x1 + x2  max,
x1 + x2 ≤ 2,
- x1 + x2 ≤ 3, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
4. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования
соответствует
1) угловая точка множества допустимых решений;
2) внутренняя точка множества допустимых решений;
3) точка, не принадлежащая множеству допустимых решений;
4) все множество допустимых решений.
5. Количество допустимых базисных решений линейной задачи
1) бесконечно; 2) равно общему числу переменных задачи; 3) определяется числом
переменных и величиной ранга; 4) равно числу основных переменных задачи.
Пример лабораторного задания в 4 семестре
15
Дана задача линейного программирования
z = 2x1 + 7x2  max, - 2x1 + 3x2 ≤ 14, x1 + x2 ≤ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Найти оптимальные решения исходной и двойственной задач симплексным методом.
Выполнить геометрическую интерпретацию полученных решений.
Вопросы к зачету в 4 семестре:
1. Общая постановка задачи исследования операций. Целевая функция. Оптимальное
решение (оптимальный план).
2. Экономико-математическая модель. Задача планирования производства (задача об
использовании ресурсов).
3. Общая задача линейного программирования. Стандартная задача линейного
программирования. Основная задача линейного программирования.
4. Формы записи линейных задач (матричная, векторная, развернутая, сокращенная).
5. Свойства задач линейного программирования.
6. Понятие выпуклых множеств.
7. Графический метод решения стандартных задач линейного программирования с
двумя переменными на плоскости.
8. Исследование на совместность систем ограничений основных линейных задач.
Нахождение ранга матриц систем линейных алгебраических уравнений, базисных
решений для основной задачи линейного программирования.
9. Геометрическая интерпретация решения линейных задач на плоскости.
10. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Критерии
оптимальности решения. Аналитический симплекс метод.
11. Табличная организация вычислительного процесса по схеме Жордана-Гаусса.
Построение симплекс-таблиц.
12. Особые случаи симплекс метода: конечный оптимум, альтернативный оптимум,
появление вырожденного базисного решения.
13. Основная
(каноническая)
задача
линейного
программирования.
Метод
искусственного базиса. Искусственные переменные.
14. Теорема о разрешимости расширенной задачи.
15. Двойственность в линейном программировании. Модели взаимно двойственных
задач (симметричные, несимметричные двойственные модели, общий случай).
16. Экономическая интерпретация двойственных задач на примере задачи об
использовании ресурсов предприятия.
17. Первая и вторая теоремы двойственности. Основное неравенство теории
двойственности.
18. Нахождение решения двойственных задач по решению исходной. Теорема
равновесия.
19. Двойственный симплекс-метод.
20. Анализ оптимального решения на устойчивость (чувствительность) при изменении
коэффициентов целевой функции, правых частей систем ограничений и
коэффициентов основной матрицы системы.
21. Геометрическая интерпретация анализа на чувствительность.
16
22. Постановка и математические модели задач целочисленного программирования
(ЦП).
23. Экономические задачи ЦП и основные методы решения.
24. Классификация оптимизационных методов и задач.
25. Виды экстремумов. Основные понятия и определения.
26. Геометрический метод решения нелинейных задач.
27. Постановка общей задачи нелинейного программирования (ЗНП).
28. Необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких
переменных.
29. Нахождение градиента, производной по направлению, частных производных и
дифференциалов 1 и 2-го порядков нелинейных функций.
30. Построение поверхностей методом сечений. Кривые второго порядка.
31. Метод множителей Лагранжа. Геометрическая интерпретация метода.
32. Условия и способ перехода от задачи условного экстремума к безусловному
экстремуму.
33. Принцип Лагранжа (необходимое условие существования экстремума).
34. Свойства и особенности решения ЗНП.
Пример тестового задания по теме «Общая характеристика методов оптимизации»:
1. Задача математического программирования является задачей нелинейного
программирования, если постановка задачи содержит:
1) линейные ограничения; 2) линейные целевые функции;
3) условия целочисленности; 4) хотя бы одну нелинейную функцию.
2. Представлена математическая модель
z = 3x12 + 4x2  max,
2x1 + 3x2 ≤ 4,
- 2x1 + x2 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
1) задачи нелинейного программирования; 2) задачи целочисленного программирования;
3) задачи линейного программирования; 4) задачи динамического программирования.
3. Условие применения градиентной оптимизации
1) дифференцируемость целевой функции; 2) наличие системы ограничений;
3) дифференцируемость функций системы ограничений; 4) дифференцируемость всех
функций задачи.
Пример лабораторного задания в 5 семестре:
Дана задача нелинейного программирования
z =2 (x1 - 5) 2 + (x2 - 3) 2  max (min),
x1 + x2 ≥ 1,
x1 + 2x2 ≤ 8, 3x1 + x2 ≤ 15, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Для указанной оптимизационной задачи:
17
1) показать, что нелинейная задача является задачей выпуклого программирования;
2) найти оптимальное решение задачи методом кусочно-линейной аппроксимации.
Пример контрольной работы в 5 семестре:
Дана задача нелинейного программирования
z = (x1 - 6) 2 + (x2 - 2) 2  max (min),
x1 + x2 ≥ 1,
x1 + 2x2 ≤ 8, 3x1 + x2 ≤ 15, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Для указанной оптимизационной задачи:
а) изобразить область допустимых решений (ОДР);
б) построить линии уровня целевой функции, проходящие в ОДР;
в) найти оптимальное решение задачи графически, аналитически.
Вопросы к экзамену в 5 семестре
Классификация оптимизационных методов и задач.
Виды экстремумов. Основные понятия и определения.
Постановка общей задачи нелинейного программирования (ЗНП).
Нахождение градиента, производной по направлению, частных производных и
дифференциалов 1 и 2-го порядков нелинейных функций
5. Построение поверхностей методом сечений
6. Условия и способ перехода от задачи условного экстремума к безусловному
экстремуму.
7. Свойства и особенности решения ЗНП.
8. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Определение. Геометрическая
интерпретация.
9. Постановка задачи выпуклого нелинейного программирования.
10. Определение выпуклой (вогнутой) функции. Геометрическая интерпретация.
11. Аналитические и алгебраические свойства выпуклых (вогнутых) функций.
12. Теорема (необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости) функций)
13. Теорема (о существовании глобального экстремума).
14. Теорема (о выпуклости (вогнутости) дважды дифференцируемой функции).
15. Критерий Сильвестра. Матрица Гессе.
16. Постановка задачи квадратичного программирования. Квадратичные формы.
17. Определение сепарабельной функции.
18. Приближенное решение задачи выпуклого программирования (ЗВП) методом кусочнолинейной аппроксимации.
19. Симплекс-метод решения линейной задачи программирования, полученной в
результате линеаризации ЗВП.
20. Классификация численных оптимизационных методов.
21. Одномерная оптимизация. Метод половинного деления.
1.
2.
3.
4.
18
22. Одномерная оптимизация. Метод Фибоначчи.
23. Одномерная оптимизация. Метод золотого сечения.
24. Теорема (о локализации точек экстремума унимодальной функции).
25. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Концепция методов.
26. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Метод наискорейшего спуска.
Геометрическая интерпретация. Критерий окончания.
27. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Метод сопряженных
направлений. Критерий окончания.
28. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Метод Ньютона
29. Многомерная безградиентная оптимизация (концепция методов). Метод
покоординатного спуска, метод Розенброка, метод деформируемого многогранника.
30. Многомерная случайная оптимизация.
31. Многомерная условная оптимизация (концепция методов).
32. Понятие допустимых, прогрессивных направлений. Исходные понятия и критерий
окончания метода допустимых направлений
33. Многомерная условная оптимизация. Метод проекции градиента.
34. Многомерная условная оптимизация. Методы штрафных функций.
35. Способы коррекции шага в градиентных методах.
36. Область эффективности и сходимость методов.
37. Понятие седловой точки.
38. Условие регулярности функции.
39. Теоремы Куна-Таккера.
40. Двойственные задачи НП. Теоремы о минимаксах.
10.
Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций,
компьютерных лабораторных работ и проведение контрольных мероприятий
(контрольных работ, промежуточного тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные и компьютерные лабораторные занятия; на практических
занятиях контроль осуществляется при сдаче заданий в аналитическом
виде, в виде программы (на одном из используемых языков
программирования) и пояснительной записки к задаче. В течение
семестра студенты выполняют задачи, указанные преподавателем к
каждому занятию.
активные и интерактивные формы
компьютерное моделирование и анализ результатов при выполнении
самостоятельных работ
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности
при выполнении практических заданий, подготовка к аудиторным
занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов.
Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и
контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний:
19
текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации;
индивидуальные консультации.
11.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
11.1. Основная литература:
1. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: Учеб. для вузов. 2-е изд./ Под
ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2002. –
436 с.
2. Волошин Г.Я. Методы оптимизации в экономике: учебное пособие. – М.:
«Издательство «Дело и сервис», 2004. – 320 с.
3. Исследование операций в экономике: Учеб.пособие для вузов/ Под ред.
Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001. – 407 с.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование:Учеб. Пособие.– 5-е изд.,
стереотип.– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 264 с.
5. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций. – СПб: Питер,
2004. -192 с.
11.2. Дополнительная литература:
1. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по
решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2004. – 144 с.
2. Решение экономических задач средствами Excel: Практикум/ В.Я. Гельман. – СПб.:
Питер, 2003. – 240 с.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике:
Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 384 с.
4. Струченков В.И. Методы оптимизации. Основы теории, задачи, обучающие
компьютерные программы: учебное пособие/ В.И. Струченков. 2-е изд., перераб. –
М.: Издательство «Экзамен», 2007. - 256 с.
5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб.пособие для
вузов/ В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М.Дайтбегов; Под ред. В.В.Федосеева. – М.:
ЮНИТИ, 2003. – 391 с.
6. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в
математическом моделировании: Учеб.пособие. – М.: Финансы и статистика, 2004.
– 256 с.
7. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология: Учеб.
пособие для Втузов. – М.: Высш.шк., 2002. – 208 с.
8. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в
экономике. Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во «Дис», 2003. – 368 с.
9. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория/
Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана. – М.: Айрис-пресс, 2002. – 576 с.
20
10. Кислица Е.П. Экономико-математический практикум. Учебное пособие. Тюмень:
Издательство Тюменского государственного университета, 2003. – 156 с.
11. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. –
М.: ИНФА, 2007.- 464 с.
12. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. –
2-е изд., перераб. и испр./ Под нуач. ред. проф. Б.А. Суслакова. – М.: Издательскоторговая компания «Дашков и К», 2005. – 352 с.
13. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы: учебник. 2-е изд., испр. и доп.
– М.:ФОРУМ:ИНФА – М, 2007. - 464 с.
14. Справочник по математике для экономистов/ В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н.
Кривенцова и др., под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.:
Высш.шк., 2003. – 384 с.
15. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций: учеб. – М.: ТК Велби, изд-во
Проспект, 2008. – 280 с.
1. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad. Спб.: Лань, 2008 – 352 с.
2. Донкова И.А. Методы оптимизации, часть 1. Тюмень: изд.ТюмГУ, 2002 – 44 с.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Донкова И.А. Исследование операций (2008), режим доступа: http://study.kib.ru/ по
паролю.
2. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ http://num-anal.srcc.msu.ru/
12.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для выполнения практических
работ необходимы классы персональных компьютеров с набором базового программного
обеспечения разработчика - системы программирования на языках Borland Delphi, С/С++,
системы MATLAB, MATHCAD, MAPLE.
21