МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Майкопский государственный технологический университет»
Факультет
Кафедра
инженерно-экономический
высшей математики и системного анализа
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
______________Л.И.Задорожная
«_____»__________ 20 _____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Б.2.2. Линейная алгебра
по направлению
подготовки бакалавров 080100.62 Экономика
по профилю подготовки
Финансы и кредит
Налоги и налогообложение
квалификация (степень)
выпускника
Бакалавр
Майкоп
Рабочая программа составлена на основе ФГОС ВПО и учебного плана МГТУ по
направлению (специальности) 080100.62 Экономика
Составитель рабочей программы:
кандидат физико-математических наук, доцент
(должность, ученое звание, степень)
_____________ Шевякова О.П.
(подпись)
(Ф.И.О.)
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры
Высшей математики и системного анализа________________________________________
(наименование кафедры)
Заведующий кафедрой
«___»________20___г.
_____________ Дёмина Т.И.
(подпись)
(Ф.И.О.)
Одобрено научно-методической комиссией факультета
(где осуществляется обучение)
Председатель
научно-методического
совета направления (специальности)
(где осуществляется обучение)
Декан факультета
(где осуществляется обучение)
«___»________20___г.
СОГЛАСОВАНО:
Начальник УМУ
«___»________20___г.
Зав. выпускающей кафедрой
по направлению (специальности)
«___»_______20__г.
_____________ ______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
_____________ Ешугова С.К.
(подпись)
(Ф.И.О.)
___________
(подпись)
___________
(подпись)
Гук Г.А.
(Ф.И.О.)
Пригода Л.В.
(Ф.И.О.)
1. Цели и задачи освоения дисциплины
 Дать студентам абстрактные понятия линейной алгебры, используемые для описания и моделирования различных по своей природе математических задач.
 Привить студентам навыки использования алгебраических методов в практической
деятельности.
 Показать студентам универсальный характер алгебраических понятий для получения комплексного представления о подходах к созданию математических моделей экономических систем и объектов.
2. Место дисциплины в структуре ОП по направлению подготовки
Дисциплина «Линейная алгебра» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки бакалавра по направлению «Экономика».
Логическая и содержательно–методическая взаимосвязь с другими дисциплинами и
частями ОП выражается в следующем.
Дисциплине «Линейная алгебра» предшествует общематематическая подготовка в
объеме средней общеобразовательной школы или технического колледжа.
В результате освоения предшествующих дисциплин студент должен:
знать:
- основные понятия и методы элементарной математики, геометрии, алгебры и начал
математического анализа;
уметь:
- производить действия с числами;
- использовать основные алгебраические тождества для преобразования алгебраических выражений;
- выполнять геометрические построения;
- доказывать математические утверждения;
владеть:
- приемами вычислений на калькуляторе инженерного типа;
- навыками использования математических справочников.
Освоение данной дисциплины как предшествующей необходимо при изучении следующих дисциплин:
 математический анализ;
 теория вероятностей и математическая статистика;
 методы оптимальных решений;
 дискретная математика;
 экономико-математическое моделирование;
 теория игр;
 эконометрика.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
 владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
 способность логически верно, аргументировано, ясно строить устную и письменную речь (ОК-6);
 готовность к кооперации с коллегами, работе в коллективе (ОК-7);
 способность находить организационно-управленческие решения и готовность
нести за них ответственность (ОК-8);
 владение основными методами, способами и средствами получения, хранения и переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях
(ОК- 13);
 способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
 способность на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2);
 способность выполнять необходимые для составления экономических разделов
планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
 способность осуществлять сбор анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК–4);
 способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических
данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и
обосновать полученные выводы (ПК-5);
 способность на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);
 способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);
 способность использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-12).
В результате освоения дисциплины студент должен:
знать:
- основы линейной алгебры, необходимые для решения экономических задач;
уметь:
- применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, учитывая границы применимости математической модели;
- решать типовые задачи по основным разделам курса;
владеть:
- методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы. Общая трудоёмкость дисциплины
4.1. Объем дисциплины и виды учебной работы по очной форме обучения
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц (216 часов).
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинарские занятия (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС) (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Подготовка к текущим занятиям, коллоквиумам
Подбор и анализ примеров
Составление плана-конспекта
Форма промежуточной аттестации:
экзамен
Общая трудоемкость
Всего
часов/з.е.
108/3,0
Семестры
1
108/3,0
54/1,5
54/1,5
108/3,0
54/1,5
54/1,5
108/3,0
18/0,5
4/0,11
30/0,84
4/0,11
16/0,44
18/0,5
4/0,11
30/0,84
4/0,11
16/0,44
36/1,0
216/6
36/1,0
216/6
4.2. Объем дисциплины и виды учебной работы по заочной форме обучения
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц (216 часов).
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинарские занятия (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС) (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Составление плана-конспекта, решение типовых
задач
Выполнение контрольной работы
Форма промежуточной аттестации:
экзамен
Общая трудоемкость
Всего
часов/з.е.
20/0,54
Семестры
5
20/0,54
10/0,27
10/0,27
196/5,46
10/0,27
10/0,27
196/5,46
-
-
36/1,0
36/1,0
216/6,0
216/6,0
5. Структура и содержание дисциплины
5.1. Структура дисциплины для очной формы обучения
№
п/п
Раздел дисциплины
Неделя
семестра
1.
Основные алгебраические структуры
Алгебра матриц
1, 2
6
4
10
Блиц-опрос
3, 4, 5
8
6
10
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Виды учебной работы, включая самостоятельную и трудоемкость
(в часах)
Л
С/ПЗ
ЛР
СРС
Формы текущего контроля
успеваемости
(по неделям семестра)
Форма промежуточной аттестации
(по семестрам)
Системы линейных
6, 7
уравнений.
Линейные простран- 8, 9, 10
ства
Векторная алгебра
11, 12, 13
6
10
20
Тестирование,
контрольная работа
10
10
10
Блиц-опрос
8
8
10
Элементы аналитической геометрии
16
16
12
-
-
36
Контрольная
работа
Контрольная
работа, тестирование
Экзамен в устной форме
54
54
108
14, 15,
16, 17,18
Промежуточная аттестация
Итого
5.2. Структура дисциплины для заочной формы обучения
№
п/п
Раздел дисциплины
1.
Основные алгебраические структуры
Алгебра матриц
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Неделя
семестра
Виды учебной работы, включая самостоятельную и трудоемкость
(в часах)
Л
С/ПЗ
ЛР
СРС
30
2
2
30
Системы линейных
уравнений.
Линейные пространства
Векторная алгебра
2
2
30
2
2
36
2
2
35
Элементы аналитической геометрии
Промежуточная аттестация:
экзамен
Итого
2
2
35
-
-
-
10
10
196
5.3. Содержание разделов дисциплины «Линейная алгебра», образовательные технологии
Лекционный курс
№
п/п
Наименование
Трудоемкость
темы дисциплины (часы/
зач. ед.)
ОФО
ЗФО
1
1.
2
Основные алгебраические структуры
3
6/0,17
4
-
2.
Алгебра матриц
8/0,22
2/0,05
Содержание
Формируемые
компетенции
Результаты освоения
(знать, уметь, владеть)
Образовательные
технологии
5
Отображения. Определение различных видов отображений. Понятие
мощности множества и кардинального числа.
Понятие операции на множестве.
Множества с алгебраическими операциями: полугруппы и моноиды, группы, кольца и поля.
Понятие отношения на множестве. Отношение эквивалентности и
факторизация отображений. Частично
упорядоченные множества.
Матрицы: основные определения.
Линейные операции над матрицами,
свойства. Умножение матриц, свойства.
Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства. Понятие минора и
алгебраического дополнения определителя. Разложение определителя по
элементам строки или столбца. Понятие определителя n-го порядка.
Определение обратной матрицы.
Вычисление обратной матрицы.
Ранг матрицы. Вычисление ранга
матрицы с помощью метода окайм-
6
ОК-1
ОК-6
ОК-7
ОК-13
7
8
Знать: основные понятия и тео- Проблемремы данного раздела.
ная лекция
Уметь: определять вид отображений и отношений, выполнять
алгебраические операции над
множествами.
Владеть: методами решения задач на свойства отображений.
ОК-1
ОК-6
ОК-7
ОК-13
ПК-1
ПК-4
Знать: основные понятия и тео- Проблемная лекция
ремы данного раздела.
Уметь: определять вид матриц,
выполнять операции над матрицами; вычислять определители
любого порядка; находить матрицу, обратную данной; находить
ранг матрицы.
Владеть: методикой вычисления
определителей и операций над
матрицами с помощью соответствующих программ.
3.
Системы линейных
уравнений
4.
Линейные
странства
5.
Векторная алгебра
6/0,17
2/0,05
про- 10/0,27 2/0,05
8/0,22
2/0,06
ляющих миноров.
Системы линейных алгебраических уравнений: основные определения. Формулы Крамера. Матричная
запись системы линейных уравнений
и решение систем линейных уравнений матричным способом.
Теорема Кронеккера-Капелли.
Решение системы линейных уравнений общего вида. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная системы решений однородной системы.
Понятие n-мерного линейного
векторного пространства. Понятие
линейной зависимости/независимости
системы векторов. Понятие ранга системы векторов.
Понятие линейного пространства.
Примеры линейных пространств. Базис, координаты, размерность. Подпространства линейного пространства, примеры.
Линейные преобразования линейных пространств (линейные операторы). Матричная запись линейных
операторов. Действия над линейными
операторами и соответствующие действия над их матрицами.
Инвариантные подпространства.
Собственные векторы и собственные
значения. Понятие n - мерного евклидова пространства.
Понятие вектора, длина вектора.
Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Декартов базис.
ОК-1
ОК-6
ОК-7
ОК-8
ОК-13
ПК-1
ПК-2
ПК-3
ПК-4
ПК-5
ПК-6
ПК-10
ОК-1
ОК-6
ОК-7
ОК-8
ОК-13
ПК-1
ПК-2
ПК-3
ПК-4
ПК-5
ПК-6
ПК-10
ПК-12
Знать: основные понятия и теоремы данного раздела.
Уметь: решать системы линейных уравнений, находить фундаментальную систему решений
однородной системы.
Владеть: методами построения
математических моделей экономических задач.
Обсуждение
дискуссионных
моментов
ОК-1
ОК-6
ОК-7
Знать: основные понятия и тео- Проблемремы данного раздела.
ная лекция
Уметь: находить координаты
Знать: основные понятия и тео- Проблемремы данного раздела.
ная лекция
Уметь: определять линейную зависимость (независимость) системы векторов; находить ранг
системы векторов; выполнять
действия над линейными операторами; находить собственные
значения и собственные векторы
матриц.
Владеть: методом нахождения
национальных доходов стран для
сбалансированной торговли (модель международной торговли).
6.
Элементы анали- 16/0,44 2/0,06
тической геометрии
Линейные операции над векторами,
заданными координатами.
Скалярное произведение векторов, свойства.
Векторное произведение векторов, свойства.
Смешанное произведение векторов, свойства.
ОК-13
ПК-12
Координаты на плоскости и в
пространстве: аффинные, декартовы,
полярные, цилиндрические. Уравнение прямой: с угловым коэффициентом, общее, в отрезках. Уравнение
пучка прямых. Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.
Угол между двумя прямыми, условия
параллельности и перпендикулярности.
Окружность: определение, каноническое уравнение и свойства. Эллипс: определение, каноническое
уравнение и свойства. Гипербола:
определение, каноническое уравнение и свойства.
Парабола: определение, каноническое уравнение и свойства. Общая
теория кривых 2-го порядка.
Плоскость: общее уравнение, понятие нормального вектора. Частные
случаи расположения плоскости в координатном пространстве. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей.
Прямая в пространстве: понятие
ОК-1
ОК-6
ОК-7
ОК-13
ПК-12
вектора, его длину; выполнять
линейные операции над векторами, заданными координатами, и
геометрически; находить произведения векторов.
Владеть: геометрическими и физическими приложениями скалярного, векторного и смешанного произведений векторов .
Знать: различные способы зада- Проблемния прямой на плоскости и в ная лекция
пространстве; виды уравнения
плоскости; кривые и поверхности второго порядка.
Уметь: переходить от одного
вида уравнения прямой (плоскости) к другому; определять взаимное расположение прямых на
плоскости и в пространстве,
плоскостей, прямой и плоскости;
приводить уравнение кривой
второго порядка к каноническому виду; изображать кривые второго порядка.
Владеть: методами перехода от
декартовых координат к полярным (цилиндрическим) и наоборот.
направляющего вектора, каноническое уравнение прямой, общее уравнение, параметрическое уравнение.
Взаимное расположение двух прямых
в пространстве. Угол между прямыми.
Взаимное расположение прямой и
плоскости. Угол между прямой и
плоскостью. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и
плоскости. Обзор поверхностей 2-го
порядка.
Итого
54/1,50 10/0,27
5.4. Практические и семинарские занятия, их наименование, содержание и объем в часах
№
п/п
№ раздела дисциплины
1.
Основные
раические
туры
2.
3.
4.
5.
6.
Наименование практических и семинарских занятий
алгебРешение задач на свойства отображеструк- ний.
Свойства основных алгебраических систем. Алгебраические свойства основных
числовых систем.
Алгебра матриц
Действия над матрицами: линейные
операции, умножение.
Вычисление определителей 2-го и 3-го
порядков. Разложение определителей по
элементам строки. Вычисление произвольного определителя.
Вычисление обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью метода окаймляющих миноров.
Системы линейРешение систем линейных уравнений с
ных уравнений
помощью формул Крамера. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
Исследование
системы
линейных
уравнений общего вида на совместность и
решение совместных систем общего вида.
Нахождение фундаментальной системы решений однородной системы.
Контрольная работа №1 «Системы линейных уравнений»
Линейные
проЛинейная зависимость векторов. Ранг
странства
системы векторов.
Базис, координаты, размерность линейного пространства. Подпространства
линейного пространства.
Собственные векторы и собственные
значения линейных операторов. Понятие n
- мерного евклидова пространства.
Векторная алгебра
Линейные операции над векторами.
Разложение векторов по базису. Линейные
операции над векторами, заданными координатами.
Скалярное произведение векторов,
приложения: работа силы, угол между векторами.
Векторное произведение векторов,
приложения: площадь параллелограмма,
момент силы. Смешанное произведение
векторов, приложения: объем параллелепипеда.
Контрольная работа №2 «Векторная
алгебра».
Элементы аналиУравнение прямой: с угловым коэффитической геомет- циентом, общее, в отрезках. Угол между
рии
двумя прямыми, условия параллельности и
Объем в часах/трудоемкость в з.е.
ОФО
ЗФО
2/0,05
2/0,05
2/0,05
1/0,03
2/0,05
1/0,03
2/0,05
2/0,05
2/0,05
4/0,11
2/0,05
2/0,05
2/0,06
2/0,05
4/0,11
4/0,11
2/0,06
1/0,03
2/0,06
1/0,03
2/0,06
2/0,06
2/0,06
1/0,03
перпендикулярности.
Кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Плоскость: общее уравнение, понятие
нормального вектора. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Прямая в пространстве: понятие
направляющего вектора, каноническое
уравнение прямой, общее уравнение, параметрическое уравнение. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Угол между прямыми.
Взаимное расположение прямой и
плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Поверхности второго порядка.
Контрольная работа №3 «Элементы
аналитической геометрии»
Итого
4/0,11
2/0,06
1/0,02
2/0,06
2/0,06
2/0,06
2/0,06
54/1,5
10/0,27
При проведении практических занятий создаются условия для максимально самостоятельного выполнения заданий. Поэтому при проведении практического занятия преподавателю
рекомендуется:
1. Провести экспресс-опрос (устно или в тестовой форме) по теоретическому материалу,
необходимому для выполнения работы (с оценкой).
2. Проверить правильность выполнения заданий, подготовленных студентом дома (с оценкой).
Любое практическое занятие включает самостоятельную проработку теоретического материала и изучение методики решения типичных задач. Некоторые задачи содержат элементы научных исследований, которые могут потребовать углубленной самостоятельной проработки теоретического материала.
5.5. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах
Лабораторные работы учебным планом не предусмотрены
5.6. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Курсовой проект (работа) учебным планом не предусмотрен.
5.7. Самостоятельная работа студентов
При организации внеаудиторной самостоятельной работы по данной дисциплине преподавателю рекомендуется использовать следующие ее формы:
- конспектирование первоисточников и другой учебной литературы;
- проработку учебного материала (по конспектам, учебной и научной литературе);
- изучение учебного материала, перенесённого с аудиторных занятий на самостоятельную
проработку;
- написание рефератов;
- решение студентом самостоятельных задач обычной сложности, направленных на закрепление знаний и умений;
-выполнение индивидуальных заданий повышенной сложности, направленных на развитие
у студентов научного мышления и инициативы;
- выполнение расчетно-графических домашних заданий;
- подготовку к контрольным срезам знаний, тестированию, экзамену.
5.7.1. Содержание и объем самостоятельной работы студентов для ОФО
Разделы и темы рабочей програм- Перечень домашних зада- Сроки выпол- Объем в чамы для самостоятельного изучения ний и других вопросов для
нения
сах/трудосамостоятельного изучения
ёмкость в
з.е.
1. Использование алгебры матриц в Подбор и анализ примеров.
экономике.
4 неделя
2/0,05
2. Составление и решение систем ли- Подбор и анализ примеров.
нейных уравнений на основе прогноза
выпуска продукции по известным запасам сырья.
6 неделя
2/0,05
3. Линейная модель многоотраслевой Составление плана-конспекэкономики.
та.
7 неделя
2/0,05
4. Продуктивные модели Леонтьева.
7 неделя
2/0,05
7 неделя
2/0,06
10 неделя
4/0,11
Составление плана-конспекта.
Составление плана-конспекта.
12 неделя
2/0,06
16 неделя
2/0,06
9. Пучок прямых, связка и пучок плос- Составление плана-конспеккостей.
та.
16 неделя
2/0,06
10. Фрактал, фрактальная линия и её
размерность.
11. Расчетно-графическая работа
17 неделя
4/0,11
8-10 недели
18/0,50
2-17 недели
30/0,84
-
36/1,0
5. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
6. Модель международной торговли.
7. Двойное векторное произведение.
8. Векторные уравнения плоскости и
прямой.
Составление плана-конспекта.
Составление плана-конспекта.
Составление плана-конспекта, подбор примеров.
Написание реферата
Решение типовых задач
12. Подготовка к текущим занятиям, Проработка теоретического и
коллоквиумам
практического материала
13. Промежуточная аттестация
Проработка теоретического и
практического материала
Итого
108/3,0
5.7.2. Содержание и объем самостоятельной работы студентов для ЗФО
Разделы и темы рабочей програм- Перечень домашних зада- Сроки выпол- Объем в чамы для самостоятельного изучения ний и других вопросов для
нения
сах/трудосамостоятельного изучения
ёмкость в
з.е.
1. Основные алгебраические структу- Составление
планары
конспекта. Решение задач из
контрольной работы.
2. Алгебра матриц
Составление
планаконспекта. Решение задач из
контрольной работы.
3. Системы линейных уравнений.
Составление
плана-
Сентябрь
30/0,84
Сентябрь
30/0,84
Октябрь
30/0,84
конспекта. Решение задач из
контрольной работы.
4. Линейные пространства
Составление
планаконспекта. Решение задач из
контрольной работы.
5. Векторная алгебра
Составление
планаконспекта. Решение задач из
контрольной работы.
6. Элементы аналитической геомет- Составление
планарии
конспекта. Решение задач из
контрольной работы.
Итого
Ноябрь
36/1,0
Декабрь
35/0,97
Декабрь
35/0,97
196/5,46
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения
6.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля для студентов ОФО
Самостоятельная работа «Действия над матрицами»
Вариант 1. Даны матрицы:
1
 4 1 1
 1 2
 3





A   4
2
0 , B   2  1
2 , C   0
 1
 1
 2
2  1
2  3 



Найти: 1) AB  BA ; 2) 2 A  4 B .
Вариант 2. Даны матрицы:
1
 4 1 1 
 1 2
 3





A    4 2 0 , B   2  1 2 , C   0
 1
 1 2  3
 2
2  1




Найти: 1) AC  CA ; 2) 3C  3A .
2  1

 1 2 .
1
1 
2  1

 1 2 .
1 1 
Самостоятельная работа «Определители»
1.
Вычислить определитель четвертого порядка.
2 5
3 7
2. Вычислить определитель четвертого порядка.
5 3
4
0
2 3 2 3
3
4
2
1
3
0
4
3
1
5
2
1
0
4
2 3 5
0
1
3
Контрольная работа № 1 «Системы линейных уравнений»
Вариант 1.
Задание 1. Дана система трех линейных
уравнений с тремя неизвестными. Решить систему: 1) методом Крамера; 2)
в матричной форме; 3) методом Гаусса.
 х1  2 х2  4 х3  7,

4 х1  х2  3х3  15,
 х  х  2 х  1.
2
3
 1
Задание 2. Решить систему методом
Вариант 2.
Задание 1. Дана система трех линейных
уравнений с тремя неизвестными. Решить систему: 1) методом Крамера; 2) в
матричной форме; 3) методом Гаусса.
5 х1  10 х2  6 х3  1,

6 х1  5 х2  х3  17,
2 х  7 х  2 х  31.
2
3
 1
Задание 2. Решить систему методом
Гаусса. Записать общее решение и вы- Гаусса. Записать общее решение и выделить два частных решения.
делить два частных решения.
 х1  5 х2  3 х3  4 х4  4,
 х1  х2  4 х3  2 х4  0,


2 х1  9 х2  2 х3  х4  7,
3х1  4 х2  х3  3х4  1,
 х  4 х  х  3 х  3.
2 х  3х  3х  х  1.
2
3
4
 1
2
3
4
 1
Тест «Алгебра матриц и системы линейных уравнений»
Вариант 1
Вариант 2
1. Основные сведения о матрицах. 1. Однородные системы линейных
Виды матриц.
уравнений. Фундаментальная си1
2
1
2




стема решений.
2. 
 3 4  3 4   ?
 2 0 0




 Вид матрицы – ?
2.
А

 0 3 0 .
3. Определителем третьего порядка
 0 0 5


называется...
-1
S
3.
При
каком
условии можно умно4. Верно ли, что A = det AA ? Пожить две матрицы ?
чему?
4.
Верно ли, что
5. Две системы называются равно1
2
3
сильными ...
6. Перечислите элементарные пре- 4 5 6  1  M 11  4  M 21  7  M 31 ?
7 8 9
образования матриц.
Почему ?
5. Рангом матрицы называется...
6. Решением системы линейных
уравнений называется ...
Самостоятельная работа «Действия над векторами»
1.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 векторы m, n, p представлены ребрами
BA, BC , BB1 . Найти векторы: 1) m  n  p ; 2) m  n  p ;
3) m  n  p ; 4) m  n  p ;
5)  m  n  p .
2.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 векторы m, n, p представлены ребрами
CB, CD, CC1 . Найти векторы: 1) m  n  p ; 2) m  n  p ;
3) m  n  p ; 4) m  n  p ;
5)  m  n  p .
Контрольная работа № 2 «Векторная алгебра»
Вариант 1
   




a (2,2,1), b (1,3,1), c (1,0,1), d (3,1,5) .

  
Показать, что векторы a , b , c образуют базис и найти координаты вектора d в этом баЗадание 1. Даны векторы a , b , c , d в некотором базисе
зисе.
Задание 2. Проверить коллинеарность векторов c1 и c 2 , если






a(1,2,5), b (3,1,0), c1  4a  2b , c2  a  2b .
Задание 3. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 :
A1 (7,1,2), A2 (5,3,2), A3 (3,3,5), A4 (4,5,1) .
Требуется:
1) показать, что точки A1 , A2 , A3 , A4 не лежат в одной плоскости;
2)
найти угол между векторами A1 A2 и A1 A4 ;
3)
найти проекцию вектора A1 A4 на вектор A1 A3 ;
найти площадь треугольника A1 A2 A3 ;
найти объем пирамиды A1 A2 A3 A4 .
4)
5)


Задание 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c и d , где

 
 
 



c  7a  9b , d  2a  9b , | a | 3, | b | 3, (a , b )  2 / 3 .
Вариант 2
   




a (4,1,2), b (2,3,0), c (3,1,2), d (7,1,3) .

  
Показать, что векторы a , b , c образуют базис и найти координаты вектора d в этом баЗадание 1. Даны векторы a , b , c , d в некотором базисе
зисе.
Задание 2. Проверить коллинеарность векторов c1 и c 2 , если






a(1,2,5), b (3,1,0), c1  4a  2b , c 2  2a  4b .
Задание 3. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 :
A1 (2,3,2), A2 (2,3,2), A3 (2,2,0), A4 (1,5,5) .
Требуется:
1) показать, что точки A1 , A2 , A3 , A4 не лежат в одной плоскости;
2)
найти угол между векторами A1 A2 и A1 A4 ;
3)
найти проекцию вектора A1 A4 на вектор A1 A3 ;
найти площадь треугольника A1 A2 A3 ;
найти объем пирамиды A1 A2 A3 A4 .
4)
5)


Задание 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c и d , где

 
 
 



c  2a  3b , d  2a  8b , | a | 2, | b | 3, (a , b )  2 / 3 .
Тест «Векторная алгебра»
Вариант 1.
1. Полярные координаты.
2. Какие векторы называются равными?
3. Базисом в пространстве называется …
4. Как найти координаты точки С,
которая делит отрезок АВ в отно-
АС
,
если
СВ
A( x1 , y1 , z1 ), B( x 2 , y 2 , z 2 ) ?
шении  
Тест «Аналитическая геометрия»
Вариант 1.
Вариант 2.
1. Смешанное произведение векторов,
его свойства, выражение через координаты векторов.
2. Какой вектор называется нулевым?
3. Базисом на плоскости называется …

4. Как найти координаты вектора AB ,
если A( x1 , y1 , z1 ), B( x 2 , y 2 , z 2 ) ?
1. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, называется … вектором
этой прямой.
а) коллинеарным
б) компланарным
в) перпендикулярным
г) нормальным
д) направляющим
2. Какими уравнениями может задаваться прямая в пространстве?
x  x1
y  y1
z  z1
а)
б) Ax  x0   B y  y0   0


x2  x1 y2  y1 z2  z1
x y
 1
a b
x  x0 y  y 0 z  z 0
 x  x 0  t ,

д) 1
е)  y  y0  t ,
1
1  0
 z  z  t.
2
2
2
0

3. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
x2 y2
а) y 2  2 px
б) 2  2  1
a
b
2
2
2
x
y2 z2
x
y
в) 2  2  1
г) 2  2  2  1
a
b
c
a
b
x y
д)   1
е) x 2  y 2  R 2
a b
4. Если плоскость задана уравнением 4 y  2 z  3  0 , то она…
а) проходит через начало координат
б) параллельна оси Ox
в) параллельна плоскости Oyz
г) совпадает с плоскостью Oyx
д) параллельна оси Oy
5. Прямые заданы уравнениями
x  x2 y  y 2
x  x1 y  y1
l1 :


; l2 :
,
в) Ax  By  Cz  D  0
г)
1
1
эти прямые параллельны, если…
а) 1   2  1   2  0 б) x1  x2  y1  y2


в) 1  1   2   2  0 г) 1  2
1  2
2
2
Вариант 2.
1. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется … вектором этой плоскости.
а) коллинеарным
б) компланарным
в) перпендикулярным
г) нормальным
д) направляющим
2. Какими уравнениями может задаваться плоскость?
x  x1
y  y1
z  z1
а)
б) Ax  x0   B y  y0   0


x2  x1 y2  y1 z2  z1
x y
в) Ax  By  Cz  D  0
г)   1
a b
 x  x 0  t ,

д) 1
1
 1  0 е)  y  y0  t ,
 z  z  t.
2
2
2
0

3. Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет
x  x0
y  y0
z  z0
вид
а) y 2  2 px
x2 y2

1
a2 b2
x2 y2 z 2
г) 2  2  2  1
a
b
c
б)
x2 y2

1
a2 b2
x y
д)   1
е) x 2  y 2  R 2
a b
4. Если плоскость задана уравнением 3x  4  0 , то она…
а) проходит через начало координат
б) параллельна оси Ox
в) параллельна плоскости Oyz
г) совпадает с плоскостью Oyx
д) параллельна оси Oy
5. Прямые заданы уравнениями
x  x2 y  y 2
x  x1 y  y1
l1 :


; l2 :
,
в)
1
1
эти прямые перпендикулярны, если…
а) 1   2  1   2  0
б) x1  x2  y1  y2


в) 1  1   2   2  0
г) 1  2
1  2
2
2
Контрольная работа № 3 «Элементы аналитической геометрии»
Задание 1. Даны точки А(1;-1), В(0;3), С(-2;1). Найти:
1) уравнения сторон АВС ;
2) уравнение медианы AD;
3) равнение высоты АН;
4) длину высоты АН;
Задание 2. Написать каноническое уравнение эллипса с параметрами a  5,   0,4
Задание 3. Даны точки А(1;-1;2), В(0;3;-1), С(-2;0;1), D(2;1;0). Найти:
1) уравнение плоскости АВС;
2) уравнение плоскости, проходящей через точку А, для которой вектор BC является нормальным;
3) расстояние от точки D до плоскости АВС;
4) каноническое и параметрические уравнения прямой АD;
5) угол между прямой АD и плоскостью АВС.
Задания расчетно-графической работы (18 часов/0,5 з.е) стр.61-75, 119-127, 176-186 в
учебнике:
Курс высшей математики: учебник. Ч. 1/ М.К. Беданоков М.К. и др. – Майкоп: Магарин О.Г., 2009. – 384 с.
6.2. Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной аттестации
Примерный перечень вопросов к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра»
1.
2.
Множества и отображения. Понятие декартового произведения множеств.
Определение различных видов отображений.
3.
4.
5.
Понятие мощности множества и кардинального числа.
Понятие операции на множестве.
Множества с алгебраическими операциями: полугруппы и моноиды, группы, кольца и
поля.
6. Понятие отношения на множестве. Отношение эквивалентности и факторизация отображений. Частично упорядоченные множества.
7. Основные числовые системы: натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел,
действительных чисел.
8. Принцип математической индукции
9. Операции над матрицами, их свойства.
10. Определители квадратных матриц, свойства определителей.
11. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Теорема о разложении
определителя по элементам строки (столбца).
12. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
13. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.
14. Системы линейных уравнений: матричная запись и матричное решение систем.
15. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
16. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Исследование систем линейных
уравнений на совместность.
17. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
18. Понятие n-мерного линейного векторного пространства.
19. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов.
20. Понятие ранга системы векторов.
21. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств.
22. Базис, координаты, размерность.
23. Подпространства линейного пространства, примеры.
24. Линейные преобразования линейных пространств (линейные операторы).
25. Матричная запись линейных операторов. Действия над линейными операторами и соответствующие действия над их матрицами.
26. Инвариантные подпространства.
27. Собственные векторы и собственные значения.
28. Понятие n - мерного евклидова пространства.
29. Векторы (основные понятия).
30. Линейные операции над векторами, их свойства.
31. Декартовая система координат. Нахождение координат вектора. Деление отрезка в
данном отношении.
32. Скалярное произведение векторов, его свойства. Теорема о выражении скалярного
произведения через координаты векторов. Угол между векторами.
33. Векторное произведение векторов, его свойства. Теорема о выражении векторного
произведения через координаты векторов.
34. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение
смешанного произведения через координаты векторов.
35. Координаты на плоскости и в пространстве: аффинные, декартовы, полярные, цилиндрические.
36. Прямая на плоскости.: уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно
вектору; общее, каноническое уравнения.
37. Прямая на плоскости: уравнение прямой “в отрезках”; уравнение прямой с угловым
коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две точки.
38. Исследование общего уравнения прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости: угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.
39. Линии второго порядка: эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
40. Линии второго порядка: гипербола. Вывод канонического уравнения гиперболы.
41. Линии второго порядка: парабола. Вывод канонического уравнения параболы.
42. Уравнения поверхности и линии.
43. Различные виды уравнения плоскости.
44. Исследование общего уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей: угол
между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности.
45. Различные виды уравнения прямой в пространстве.
46. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: угол между прямыми, условия
параллельности и перпендикулярности.
47. Взаимное расположение прямой и плоскости.
48. Поверхности второго порядка.
6.3. Тематика контрольных работ для студентов ЗФО
Задания контрольной работы и образцы решения типовых задач:
Дёмина Т.И., Шевякова О.П. Линейная алгебра: Учебно-методическое пособие для студентов направления 080100.62 «Экономика». – Майкоп: Изд-во «Магарин О.Г»., 2013. -48 с.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. ЭБС «Znanium.com» Красс, М.С. Математика для экономического бакалавриата: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 472 с.: - Режим доступа:
http://znanium.com/
2. Мальцев И.А. Линейная алгебра: учеб. пособие/ И.А. Мальцев.- Спб.: Лань, 2010.
б) дополнительная литература
3. Курс высшей математики: учебник. Ч. 1/ М.К. Беданоков М.К. и др. – Майкоп:
Магарин О.Г., 2009. – 384 с.
4. Дёмина Т.И., Шевякова О.П. Линейная алгебра: Учебно-методическое пособие для студентов направления 080100.62 «Экономика». – Майкоп: Изд-во «Магарин О.Г»., 2013. -48 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. 1 http://www.exponenta.ru – Образовательный математический сайт Exponenta.ru.
2. http://www. mathelp.spb.ru – Лекции по высшей математике
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
1) библиотечный фонд ГОУ ВПО «МГТУ»;
2) мультимедийное оборудование для чтения лекций-презентаций.
9. Дополнения и изменения в рабочей программе
за ________/________ учебный год
В рабочую программу ____________________________________________________
(наименование дисциплины)
для направления (специальности) ___________________________________________________
(номер направления (специальности)
вносятся следующие дополнения и изменения:
Дополнения и изменения внес _______________________________________________
(должность, Ф.И.О., подпись)
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
_____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
«____»___________________20__г.
Заведующий кафедрой
__________________
(подпись)
_____________
(Ф.И.О.)