Задание С2 Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ 1 или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 Задание №1. Дана правильная четырёхугольная пирамида миды равно высота — точки и — середины ребер Найдите расстояние от и соответственно. с вершиной середины ребра Ребро основания пирадо прямой где Решение. Пусть — центр основания, а — середина ребра — середина ребра Тогда этому точки лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции. По теореме о средней линии треугольника по- так что трапеция равнобедренная. Так как Основания трапеции ты и Тогда Заметим, что равны В треугольнике равно точки высо- поэтому Ответ: Задание №2. проведем Дана правильная треугольная пирамида с вершиной . . Боковое ребро пирамиды , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра и — середины ребер и соответственно. до прямой , где Решение. Пусть ка — середина ребра , — середина ребра . По теореме о средней линии треугольни, следовательно, точки , , , лежат в одной плоскости. , следовательно, перпендикулярах (так как мое расстояние есть длина отрезка — параллелограмм. Кроме того, , а по теореме о трёх ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, иско. По теореме Пифагора ; тогда ,а . Ответ: Задание №3. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы. Решение. Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, MA = 10, MH = 6, откуда Треугольник ABH равносторонний, следовательно, AB = AH = 8. В треугольнике AMB высота В правильном треугольнике AHB высота Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому где r — радиус сферы. Площадь сферы Ответ: Задание №4. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирами- ды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AВ соответственно. Решение. Пусть Q — середина ребра CD, P — середина ребра ВD. По теореме о средней линии треугольника ; следовательно, точки М, Т, Р, Q лежат в одной плоскости. , следовательно, точки М, Т, Р, Q являются вершинами параллелограмма. Кроме того, , а по теореме о трёх перпендикулярах (так как ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка РТ. Отрезок АО равен . По теореме Пифагора ; а Задание №5. вания равна Ответ: . В правильной четырехугольной призме Точка — середина ребра . высота равна Найдите расстояние от точки а сторона осно- до плоскости Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду 1) . 2) , где искомое расстояние. Ее объем можно выразить двумя способами: Приравняем выражения для объемов и выразим его: Найдем площадь равнобедренного треугольника Проведем в нем высоту . . Следовательно, искомое расстояние Ответ: Задание №6. Основанием прямой призмы является равнобедренный ник Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой стью треугольи плоско- Решение. Поскольку призма сти Поэтому прямая углу Так как Отсюда прямая, то высота — проекция прямой треугольника на плоскость перпендикулярна плоскоЗначит, искомый угол равен имеем: Следовательно, Ответ: Задание №7. В правильной четырёхугольной призме ковые ребра равны . На ребре отмечена точка так, что плоскостями и . Решение. сти и Прямая пересекаются по прямой . пересекает прямую стороны основания равны , а бо. Найдите угол между в точке . Плоско- Из точки рен прямой ми и опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикуля. Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостя. Поскольку , получаем: Из подобия треугольников В прямоугольном треугольнике откуда высота и находим: с прямым углом : ; ; ,; . Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем: . Задание №8. Основанием прямой призмы Ответ: . является равнобедренный треугольник ковая сторона которого равна а угол равен Найдите расстояние от точки мой если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12. бодо пря- Решение. Опустим из точки перпендикуляр на прямую плоскости грани прямую параллельную прямой Так как то и чит, прямая является проекцией прямой на плоскость Поскольку следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах. Далее находим: и проведем в а, знато а, 1) из 2) из О т в е т : 15. В правильной треугольной призме боковое ребро равно Точка — середина ребра Найдите объём пятигранника Задание №9. ния равно а ребро основа- Решение. Пусть — высота треугольника плоскости, поскольку в правильной призме . Тогда по признаку перпендикулярности прямой и и, значит, Пятигранник — четы- рехугольная пирамида с вершиной в точке миды и основанием — прямоугольной трапецией. Высота пира- Площадь основания равна Ответ: 3. В правильной шестиугольной призме 10, найдите расстояние от точки до прямой Задание №10. все рёбра которой равны Решение. Так как мые и пендикулярна — правильный шестиугольник, прямые и перпендикулярны. Поскольку пряпараллельны, перпендикулярно Тогда по теореме о трёх перпендикулярах пер, поэтому длина отрезка равна искомому расстоянию. По условию для треугольника диагональ правильного шестиугольника находим, что . Тогда по теореме Пифагора Ответ: 20. Задание №11. В рёбра: от вершины точки и Решение. прямоугольном параллелепипеде известны Точка принадлежит ребру и делит его в отношении считая Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через Сечение плоскостью пересекает ребро в точке Отрезок зок параллелен Следовательно, искомое сечение — параллелограмм Значит, параллелен отре(рис. 1). Далее имеем: — ромб. Найдем его диагонали: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому Ответ: Задание №12. Расстояние между боковыми ребрами и прямой треугольной призмы расстояние между боковыми ребрами и равно 8. Найдите расстояние от прямой сти если известно, что двугранный угол призмы при ребре равен 60°. равно 5, а до плоско- Решение. Поскольку ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами и равно а расстояние между боковыми ребрами и равно Кроме того, угол ― линейный угол двугранного угла при ребре Таким образом, Пусть отрезок ― высота основания (см. рисунок). Поскольку и то и, значит, длина отрезка и есть искомое расстояние от прямой до параллельной ей плоскости Рассматривая треугольник находим: Ответ: Задание №13. Основанием зой стью прямой призмы и катетом Решение. пендикулярна плоскости искомый угол равен углу является Высота призмы равна Поскольку призма Поэтому прямая прямоугольный треугольник с гипотену- Найдите угол между прямой и плоско- прямая, то высота треугольника пер— проекция прямой на плоскость Значит, Так как Рассмотрим прямоугольный треугольник : Ответ: Задание №14. В правильном тетраэдре грани . найдите угол между высотой тетраэдра и медианой боковой Решение. Пусть и чит, и, следовательно, — средняя линия треугольника . Кроме того, Пусть длина ребра тетраэдра равна , тогда имеем: . Тогда , зна. Ответ: . Задание №15. Дана правильная четырехугольная пирамида равна . Найдите расстояние от точки до плоскости Боковое ребро сторона основания где — середина ребра Решение. мая сти Построим сечение где — середина ребра Пряпараллельна значит, искомое расстояние равно расстоянию от точки до плоскогде — середина Пусть — середина Рассмотрим сечение . от Значит, треугольник до где — середина ние равно . равносторонний. Искомое расстояние равно расстоянию — медиана и высота треугольника Поэтому искомое расстояОтвет: . Задание №16. В правильной треугольной призме стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка — середина ребра Найдите угол между плоскостями и Решение. Прямая пересекает прямую в точке Плоскости и пересекаются по прямой Из точки опустим перпендикуляр на прямую тогда отрезок (проекция ), по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярен прямой Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и Точка — середина ребра поэтому Из равенства треугольников и получаем: В равнобедренном треугольнике угол равен , биссектрисой, откуда Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем: высота , тогда является высотой и . Ответ: Замечание: Ответ может быть представлен и в другой форме: Задание №17. В правильной шестиугольной призме стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой . Решение. Так как ABCDEF правильный шестиугольник, то прямые FC и DE параллельны, параллельны также прямые иDE, следовательно, прямые и FC параллельны. Расстояние от точки С до прямой , равно расстоянию между прямыми и FC. В трапеции : , , , , тогда . Ответ: . Задание №18. В правильной треугольной призме Изобразите сечение, проходящее через вершины Решение. стороны основания равны , боковые рёбра равны и середину ребра . Найдите его площадь. . Обозначим через и средины ребер и соответственно. По теореме о средней линии треугольника так что прямые и лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию Основания трапеции по теореме Пифагора найдем боковую сторону: Проведем в трапеции высоту Отрезок равен полуразности оснований трапеции: Следовательно, высота трапеции Зная её, находим площадь трапеции: Ответ: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD. Задание №19. Решение. Пусть точка — центр основания, а — середина ребра Поскольку и плоскость перпендикулярна прямой Это значит, что плоскость и есть плоскость, проходящая через точку перпендикулярно Проведем отрезки и Так как треугольник правильный, Так как треугольник — равнобедренный, Следовательно, искомый угол равен углу Найдем стороны треугольника По теореме косинусов: Отсюда Ответ: Примечание. Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник — прямоуголь- ный: Задание №20. На ребре прямыми и куба отмечена точка так, что Найдите угол между Решение. Примем ребро куба за . Тогда Поскольку , получаем: и Проведем через точку прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке угольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним). В прямоугольном треугольнике с прямым углом В прямоугольном треугольнике с прямым углом В треугольнике откуда Тогда Ответ может быть представлен и в другом виде: или , причем тре- Ответ: Задание №21.