ИТЕРАТИВНЫЙ ИГРОВОЙ АЛГОРИТМ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ КОАЛИЦИИ ИПОТЕЧНЫХ ЗАЁМЩИКОВ Ерешко А.Ф. Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН, г. Москва fereshko@ccas.ru Ключевые слова: экономические агенты, коалиция заёмщиков, общая модель, функция Лагранжа, декомпозиция. Введение Объемы жилищных инвестиций составляют существенную часть внутреннего валового продукта в развитых и развивающихся странах, при этом активно используется схема ипотечного кредитования, ключевой идеей которой является принцип использования актива экономическим агентом до полной его оплаты при условии его залога и выплаты финансовых средств, полученных в кредит, с процентами до полной оплаты приобретаемого актива. Так экономический агент сокращает время ожидания до потребления актива, но увеличивает собственные расходы на его приобретение. Очевидно, что многообразные факторы, сопутствующие процессу получения кредитов и его возврату, требуют соответствующего вычислительного арсенала. С точки зрения банков – это обычный кредит с достаточной гарантией, для потребителя – возможность досрочного обладания активом. Но для всех участников процесса методы оценки, базирующиеся на формальных моделях и вычислительных методах, остаются едиными. 1. Модель одного из вариантов Коалиции Рассмотрим ситуацию, когда в свободной экономической среде функционируют экономические агенты, имеющие возможность свободного финансового выбора в желании приобрести жилье. Обозначим номера агентов k 1,...K , время принимает дискретные значения t 0,..., T . Положим, что некоторый финансовый институт предлагает агентам набор договоров со следующими условиями: на первом этапе происходит накопление средств на счету агента с заданным ставками процентов на депозит. Затем через некоторое число шагов агент получает возможность получить в пользование жилье и заключает договор на получение кредита для приобретения данного жилья, и принимает на себя условия по возврату полученного кредита. На следующем шаге происходит объединение участников в пул (Коалицию) при их согласии. Инициатор (финансовый институт) создания пула в управлении финансами Коалиции располагает возможностями использовать различные финансовые инструменты и, в частности, организовывать выпуски облигационных займов под залог жилья Коалиции и суммарного потока платежей отдельных участников Коалиции. Введем соответствующие обозначения. k t 1k – момент начала депозитного договора агента номера k с банком, z t – процентные ставки на депозитный вклад агента k в момент t , d tk – вклады агента k в моменты времени t , Dtk2 – накопленная сумма на депозите агентом k в момент t t k2 , k Dtk1 Dtk (1 0.01z tk ) d tk , t 0,..., t k2 1 t k2 – момент передачи жилья в пользование агента, начало кредитного договора, C tk2 – веk личина получаемого кредита = H t 2 (стоимость приобретаемого жилья) – Dt 2 (накопленная k k сумма на депозитном счете). 1 g tk – процентные ставки на полученный агентом кредит, ctk – выплаты кредита по приня- той схеме, t k3 – момент времени завершения участником выплат по кредиту и получения жилья в собственность. Таким образом, возможности и обязательства агента определяются набором следующих параметров: {t1k , tk2 , tk3 , dtk , ctk } . В ситуации, когда агенты объединяют свои возможности и обязательства, у них появляются возможности в улучшении своего положения по сравнению с независимым поведением, поскольку появляется возможность для членов объединения (коалиции) воспользоваться средствами, собранными остальными членами на счетах Коалиции. Эта возможность, естественно, не должна допускать ущемления положения других участников: основной принцип объединения состоит в том, что выигрыш участника, который он может обеспечить себе автономно, не может быть уменьшен. Будем предполагать, что финансовый институт – инициатор объединения решает лексикографическую задачу: во-первых, стремится согласовать финансовые потоки всех участников и Коалиции с заданным уровнем обеспеченности и затем, во-вторых, решает задачу максимизации собственного капитала. Выпишем в целях иллюстрации общего подхода фрагмент соотношений для Коалиции в промежуточный момент времени. Динамику финансовых средств компании запишем в виде: S t S t 1 f t t C t l t cf t H t – Qt – qt , здесь S t – суммарные финансовые средства Коалиции в кассе и на расчетном счете, f t – объем изъятия с депозитного счета Коалиции, t – объем размещения средств на депозитном счете Коалиции, Ct – объем средств, взятых Коалицией в кредит в момент t , lt – объем возвращаемых Коалицией кредитов, Qt – объем средств, полученных коалицией за счет выпуска облигаций, qt – объем возвращенных коалицией средств по облигационным займам. Поток платежей k -го участника выглядит следующим образом: 0, 0 t t 1k k 1 2 d , t t t k cf t tk 2k , где t 1k – момент времени заключения договора участника с Коалицией, t k2 3 c , t t t k k t 0, t 3 t T k – момент времени завершения участником периода накопления средств, t k3 – момент времени завершения участником выплат после получения жилья в пользование и получения жилья в собственность. Динамика средств на депозитном счете компании во внешнем банке запишется в виде: Dt (1 zt 1 ) Dt 1 ft t , где z t – процентная ставка на депозитный вклад Коалиции во внешних банках. Динамика обязательств Коалиции на кредитном счете компании во внешних банках запишется в виде: Lt (1 gt 1 ) Lt 1 lt Ct Qt qt , где g t 1 – процентная кредитная ставка для Коалиции во внешних организациях. Ограничения на выбор f t и t : f t Dt 0 , t S t 0 , lt St 0 . Функционал относится к конечному финансовому состоянию Коалиции и имеет вид: ST DT max Для решения сформулированной оптимизационной задачи можно применить различные методы. В частности, вполне стандартно можно выписать соотношения динамического программирования и построить алгоритмы переборного характера, как это предложено в [5]. Так 2 же вполне традиционно использовать методы решения задач линейного программирования, учитывая их обширную проработанность и наличие доступных стандартных библиотек. Остановимся здесь на втором подходе. Для этих целей необходимо привести задачу к стандартному виду задач линейного программирования: В общем виде соотношение можно записать в виде: Ax b , где x {St , Dt , f t ,t , Ct1 ,..., CtL } , t 1,..., T , b (cft H t ) , cf t – суммарный поток платежей участников компании, H t 0 , t tk2 , H t 2 – стоимость квартиры k -го участника. k (c, x) ST DT max 2. Схема анализа Воспользуемся приемом преобразования исходной оптимизационной задачи к задаче поиска седловой точки функции Лагранжа и построения итеративных игровых методов. Соотношения игрового метода, основанного на поиске седловой точки функции Лагранжа, имеют вид: L( x, y ) (c, x) y ( Ax b) , x X , y Y , где X , Y – параллелепипеды, определяемые из условия совпадения решения исходной задачи и поиска седловой точки функции Лагранжа и x – исходные переменные, y – двойственные переменные. Итеративный алгоритм запишется в виде: xn 1 xn n xn , xn ~ xn xn , n 0 , n 0 yn yn , n 0 , n 0 , yn 1 yn n yn , yn ~ ~ где xn определяется из решения задачи max [(c yn A) x] , x X ~ и y из решения задачи max [ y( Ax b)] . n yY Фрагменты данных задач имеют вид: Для задачи max [(c yn A) x] : x X [... ( y S t ,n yt, n ytS1, n ) St ( ytD, n ytf, n ytD, n (1 zt )) Dt ( ytS, n ytD, n ytf, n ) f t ( ytS, n ytD, n yt, n )t ...] max Для задачи max [ y( Ax b)] : yY [... ( y S t,n ytS1, n g 1 )Ct1 ( ytS, n ytS1, n g 2 ytS 2, n g 2 )Ct2 ... ( ytS, n ytS1, n g l ... ytS l , n g l )Ctl ( ytS, n ytS1, n g L ... ytS L , n g L )CtL ...] max при условиях: 0 St S max , 0 Dt D max , 0 ft f max , 0 t max , 0 Ctl , l 1,..., L Литература 1. Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием. // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2008. 60с. 1. Ерешко А.Ф. Устойчивость очереди ипотечных заёмщиков. / Материалы Второй международной конференции “Управление развитием крупномасштабных систем”. М.: ИПУ РАН, 2008. 3