Устойчивость очереди ипотечных заемщиков.

УСТОЙЧИВОСТЬ ОЧЕРЕДИ ИПОТЕЧНЫХ ЗАЁМЩИКОВ
Ерешко А.Ф.
(Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН,
Москва)
ereshko@ccas.ru
Ключевые слова: ипотека, коалиция, критерий VaR, ставки, депозит, кредит, динамика, самофинансирование
Введение
Целью настоящей работы является построение вычислительной схемы для оценки выпуска
облигационных займов (секьюритизации), обеспеченных пулом ипотек. Основная идея схемы
состоит в использовании динамических моделей [2,3] для описания формирования общих
финансовых средств коалиции заёмщиков, описания трансформации исходного потока платежей в поток обязательств перед покупателями облигаций и выбора управлений. В качестве
управлений рассматриваются внутренние ставки на внутренние депозиты участников, внутренние ставки на кредиты участникам, управление потоком новых участников, а также политика
использования внешних, рыночных кредитов и депозитов, облигационных займов финансового
института и взносов на депозит. Один из базовых пунктов состоит в выборе критерия согласования всех финансовых потоков в данной системе. Наше предположение состоит в том, что в
известном ипотечном кризисе финансовые институты в своей предшествующей кризису деятельности опирались на критерии согласования в форме усреднённых характеристик, в то
время как более соответствующим критерием для современных условий мировой экономики
является критерий допустимых потерь VaR [1].
Неопределенными факторами являются динамика рыночных ставок и цен на жилье, поток
новых участников, преждевременные возвраты кредитов, выход участников из Коалиции и
спрос на облигации.
1. Модель одного из вариантов пула ипотек (Коалиции)
Рассмотрим ситуацию, когда в свободной экономической среде функционируют экономические агенты, имеющие возможность свободного финансового выбора в желании приобрести
жилье. Обозначим номера агентов k  1,...K , время принимает дискретные значения t  0,..., T .
Положим, что некоторый финансовый институт предлагает агентам набор договоров со следующими условиями: на первом этапе происходит накопление средств на счету агента с заданным ставками процентов на депозит. Затем через некоторое число шагов агент получает возможность получить в пользование жилье и заключает договор на получение кредита для
приобретения данного жилья, и принимает на себя условия по возврату полученного кредита.
На следующем шаге происходит объединение участников в пул (Коалицию) при их согласии. Инициатор (финансовый институт) создания пула в управлении финансами Коалиции
располагает возможностями использовать различные финансовые инструменты и, в частности,
организовывать выпуски облигационных займов под залог жилья Коалиции и суммарного
потока платежей отдельных участников Коалиции.
Введем соответствующие обозначения.
t 1k – момент начала депозитного договора агента номера k с банком,
z tk
d tk
Dtk2
k
– процентные ставки на депозитный вклад агента k в момент t ,
– вклады агента k в моменты времени t ,
– накопленная сумма на депозите агентом k в момент t  t k2 ,
1
Dtk1  Dtk (1  0.01z tk )  d tk , t  0,..., t k2  1
t k2 – момент передачи жилья в пользование агента, начало кредитного договора,
C tk2 – величина получаемого кредита = H t 2 (стоимость приобретаемого жилья) – Dt 2
k
k
k
(накопленная сумма на депозитном счете).
g tk – процентные ставки на полученный агентом кредит,
ctk – выплаты кредита по принятой схеме,
t k3 – момент времени завершения участником выплат по кредиту и получения жилья в собственность
Таким образом, возможности и обязательства агента определяются набором следующих
параметров: {t1k , tk2 , tk3 , dtk , ctk } .
В ситуации, когда агенты объединяют свои возможности и обязательства, у них появляются возможности в улучшении своего положения по сравнению с независимым поведением,
поскольку появляется возможность для членов объединения (коалиции) воспользоваться средствами, собранными остальными членами на счетах Коалиции. Эта возможность, естественно,
не должна допускать ущемления положения других участников: основной принцип объединения состоит в том, что выигрыш участника, который он может обеспечить себе автономно, не
может быть уменьшен. Будем предполагать, что финансовый институт – инициатор объединения решает лексикографическую задачу: во-первых, стремится согласовать финансовые потоки
всех участников и Коалиции с заданным уровнем обеспеченности и затем, во-вторых, решает
задачу максимизации собственного капитала.
Таким образом, параметры модели Коалиции – времена вхождения участников в Коалицию, условия внешних займов и внешних депозитов, потоки платежей участников
{t 1k , t k2 , t k3 , d tk , ctk } , являются внешними для Коалиции величинами. Их изменение составляет
содержание сценариев, которые определяют внешнюю среду.
Выпишем в целях иллюстрации общего подхода фрагмент соотношений для Коалиции в
промежуточный момент времени.
Динамику финансовых средств компании запишем в виде:
S t  S t 1  f t   t  C t  l t  cf t  H t – Qt – qt ,
здесь S t – суммарные финансовые средства Коалиции в кассе и на расчетном счете,
f t – объем изъятия с депозитного счета Коалиции,
 t – объем размещения средств на депозитном счете Коалиции,
Ct – объем средств, взятых Коалицией в кредит в момент t .
lt – объем возвращаемых Коалицией кредитов,
Qt – объем средств, полученных коалицией за счет выпуска облигаций,
qt – объем возвращенных коалицией средств по облигационным займам.
.
Поток платежей k -го участника выглядит следующим образом:
 0, 0  t  t 1k
 k 1
2
d , t  t  t k
cf t   tk 2k
, где
3
 ct , t k  t  t k
 0, t 3  t  T
k

1
t k – момент времени заключения договора участника с Коалицией,
t k2 – момент времени завершения участником периода накопления средств,
2
t k3 – момент времени завершения участником выплат после получения жилья в пользование и получения жилья в собственность.
Динамика средств на депозитном счете компании во внешнем банке запишется в виде:
Dt  (1  zt 1 ) Dt 1  ft  t ,
где z t – процентная ставка на депозитный вклад Коалиции во внешних банках.
Динамика обязательств Коалиции на кредитном счете компании во внешних банках запишется в виде:
Lt  (1  gt 1 ) Lt 1  lt  Ct  Qt  qt ,
где g t 1 – процентная ставка на средства, полученные Коалицией во внешних организациях.
Ограничения на выбор f t и  t :
f t  Dt  0 ,  t  S t  0 , lt  St  0 .
Функционал задачи, определяющий уровень обеспеченности, имеет вид:
Bep (max Lt  L*t   )  min ,
t
функционал, который относится к конечному финансовому состоянию Коалиции, имеет
вид:
ST  DT  max
2. Схема анализа модели
Для анализа сформулированной модели естественно рационален подход, основанный на
использовании имитационных экспериментов. Формирование сценариев внешних условий
является прерогативой лиц, принимающих решения. Проигрывание различных вариантов
состояния внешней среды позволит определить чувствительность финансового положения
инициатора и участников пула ипотек [1,2] к изменениям неконтролируемых параметров.
Литература
1.
2.
3.
Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов. - М.:
Экономика и математические методы. 2005. т. 41. №4. С. 88 – 98.
Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием /
И.И. Гасанов, Ф.И. Ерешко. // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН,
2008. 60с.
Ерешко А.Ф. Расчет эффекта пула ипотек. // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем.
Выпуск 10(2). - М.: ИСА РАН, 2006. С. 370-377.
3