Математика - Барановичский государственный университет

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________________ФИО
_____________________
подпись
«____»________20___г.,
протокол №___
Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию
по математике
дисциплина
для специальности (-ей):
1-72-06-01 Техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства
(название специальности)
__1___курс___________1-2___________семестр ФЗО
3___курс___________5-6___________семестр ФНО
(номер курса (1, 2, 3…), номер семестра (1, 2, 3…)
факультет заочного образования, факультет непрерывного образования
(название факультета (ФЗО, ФНО))
Барановичи 2011
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания содержат тематический план курса «Математика»,
задачи для самостоятельного решения, вопросы для подготовки к компьютерному
тестированию, список учебной литературы.
Тематический план курса
№
п/п
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
2.
2.1
2.2
2.3
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Наименование раздела, темы
РАЗДЕЛ I. «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»
Матрицы и операции над матрицами
Определители. Свойства определителей
Обратная матрица. Ранг матрицы
Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Векторы. Линейные и нелинейные операции над векторами
N-мерный вектор и векторное пространство
Линии и их уравнения на плоскости. Прямая линия
Плоскость и прямая в пространстве
Кривые линии второго порядка
Поверхности второго порядка
РАЗДЕЛ II. «Математический анализ: функция одной переменной»
Предел числовой последовательности
Функции, предел функции
Непрерывность функции
Аудиторная контрольная работа по разделу II
РАЗДЕЛ III. «Дифференциальное исчисление»
Производная и дифференциал функции
Монотонность и экстремум функции
Комплексное исследование функции
Кривизна плоской линии
РАЗДЕЛ IV. «Функции нескольких переменных»
Функция нескольких переменных: базисные понятия
Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
Экстремум функции двух переменных
Условный экстремум функции двух переменных
Градиент и производная по направлению
Аудиторная контрольная работа по разделу IV
РАЗДЕЛ V. «Интегральное исчисление»
Первообразная функции и неопределенный интеграл
Основные методы интегрирования неопределенных интегралов (метод
подстановки, метод интегрирования по частям, интегрирование выражений
содержащих квадратный трехчлен)
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций
Определенный интеграл
Применение определенного интеграла
Несобственные интегралы
2
РАЗДЕЛ I ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Вопросы для подготовки к тестированию:
1. Что называется матрицей?
2. Каковы виды матриц?
3. Сформулируйте определение операции сложения, разности, умножения матриц, возведения в
степень и умножения на число. Какие матрицы можно перемножать?
4. Что называется определителем 1-го 2-го и 3-го порядков?
5. Что называется минором и алгебраическим дополнением?
6. Сформулируйте определение определителя n-го порядка.
7. Сформулируйте основные свойства определителей?
8. Каковы способы вычисления определителей?
9. Что называется обратной матрицей?
10.
Сформулируйте теорему о единственности матрицы обратной данной?
11.
Опишите алгоритм нахождения матрицы обратной данной?
12.
Что называется рангом матрицы?
13.
Какие из элементарных преобразований матрицы сохраняют ранг матрицы?
14.
Опишите алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймления.
15.
Что называется вектором, длиной вектора, единичным вектором, нулевым вектором ?
16.
Как найти длину вектора ?
17.
Как найти расстояние между двумя точками ?
18.
Какие векторы называются коллинеарными ? компланарными ?
19.
Какие операции над векторами называются линейными ?
20.
Как определяются эти операции и каковы их свойства ?
21.
Выведите формулы деления отрезка в данном отношении.
22.
Как найти координаты середин отрезка ?
23.
Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно
выражается через координаты векторов ?
24.
Запишите формулу угла между векторами.
25.
Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов ?
26.
Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно
выражается через координаты векторов ?
27.
Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно
выражается через координаты векторов ?
28.
Что называется системой m линейных уравнений c n неизвестными ?
29.
Какая система уравнений называется совместной (несовместной), определенной
(неопределенной), равносильной ?
30.
В чем сущность матричного способа решения системы линейных уравнений (метод
обратной матрицы).
31.
Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы ?
32.
В чем сущность метода Гаусса для решения системы линейных уравнений ?
33.
Что называется однородной системой уравнений ?
34.
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
35.
Что называется уравнением линии на плоскости?
36.
Что называется направляющим ветором прямой?
37.
Что называется нормальным вектором прямой?
38.
Как записывается общее уравнение прямой?
39.
Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициентом?
40.
Как записывается векторное уравнение прямой?
41.
Как записывается каноническое уравнение прямой?
42.
Как записывается параметрическое уравнение прямой?
3
43.
Как записывается уравнение прямой проходящей через данную точку, уравнение пучка
прямых?
44.
Как записывается уравнение прямой проходящей через две точки?
45.
Напишите формулу угла между прямыми.
46.
Напишите формулу расстояния от точки до прямой.
47.
Сформулируйте условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.
48.
Как записывается общее уравнение плоскости?
49.
Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки.
50.
По какой формуле можно рассчитать угол между двумя плоскостями?
51.
Напишите виды уравнений прямой в пространстве.
52.
Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
53.
По какой формуле можно рассчитать угол между прямой и плоскостью?
54.
Сформулируйте определение окружности, эллипса, гиперболы и параболы, запишите их
уравнения.
Задачи для подготовки к тестированию:
1
0
2

1
1. Вычислить матрицу D  3  A  4  B  2  C , если A   3  4
2 
1 1 0
5  , B   2 3 4 ,
1  5 6
 3 


5 
3 4
C  1  3 2  .
8 6  7 


 12  4 
6
27  .
  6  29 29 


 1
Ответ: D   15
2. Вычислить матрицу D  A  B  C , если
 2 0
A   3 4 2 , B   1 3 , C   1 3  .
 0 5
1 0 5
 0 4


25  .
Ответ: 11

2
29


3 4
3 2 1
1 6 ; б) 2 4 5 .
1 3  2
1 2 3
2
3. Вычислить определители третьего порядка: а) 5
4. Определить, имеет ли матрица А обратную, и если имеет, то вычислить ее:
 4  8  5
A    4 7  1
3 5
1 .

Ответ:
 
5. Найти скалярное произведение векторов a и b , если:



 1 
 2
1   12 17  43 
 7 11  24 .
13   1  4
4 

1 
3 
а) a  (1,0) , b  (0,3) ; б) a   3,  , b   ,2  .
Ответ: а) 0; б) 2.
6. Даны два вектора a  (1,2,2) и c  (2,2,1) . Найти их скалярное произведение и угол между
2
2
ними. Чему равно выражение 2a  4ac  5c .
Ответ: (4; 4/9; 47)
4
7. Найти
векторное
произведение
векторов:
a  2i  3 j  5k ,
b  4i  2 j  6k ;
a  (1,2,2), b  (3,0,4) .
Ответ: (8; 32; 16);
(8; 10; 6).
8. Решить системы уравнений методом обратной матрицы.

 x1  x2  x3  4,

 x1  4 x2  5 x3  8,

 x1  3x2  9 x3  2.

 x1  2 x2  x3  6.
а)  x1  2 x2  4 x3  4, б) 2 x1  3x2  4 x3  9,
Ответ: а) (2; 3; –1); б) (2; –1; –2)
9. Решить системы уравнений методом Крамера.
2 x  y  3z  9,
 x  3 y  2 z  0,
2 x  5 y  z  5.
3 x  2 y  4 z  6.
а) 8 x  3 y  5 z  13, б)  x  4 y  3 z  1,
Ответ: а) (1; –2; –3); б) (2; 4; 5).
10.
Решить системы уравнений методом Гаусса.
2 x1  x2  4 x3  3 x4  4,


 x1  3x2  2 x3  1,
а)  x1  4 x2  x3  7, б) 3x1x42x2x 32x3x2 xx4  3,1,
1
2
3
4

3x1  10 x2  4 x3  3. 2 x1  4 x2  2 x3  3 x4  6.
Ответ: а) (3; –2; –2); б) (1; 2; 2; 0)
11.
Даны вершины треугольника A(2,1), B(4,  3), C (3, 5) . Составить уравнение медианы,
проведенной из вершины С.
Ответ: 3x  2 y  1  0
11.
Составить уравнение сторон треугольника, вершинами которого являются точки
A(2, 0), B(2,  1), C (7, 3) .
y
x2 y
x  2 y 1
x2
.

; ( BC ) :

; ( AC ) :

4
1
9
4
5
3
Даны координаты вершин треугольника АВС: A(1,1), B(7, 4), C (4, 5) . Составить уравнение
Ответ: ( AB) :
12.
высоты СК.
Ответ: 2 x  y  13  0 .
РАЗДЕЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Вопросы для подготовки к тестированию
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений
функции?
2. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.
3. Какая функция называется четной, нечетной? Приведите примеры.
4. Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Р ?
5. Какая функция называется переодической? Приведите примеры.
6. Какие функции называются элементарными?
7. Перечислите основные элементарные функции.
1
3
x
8. Постройте график функции y  3 x , y    .
5
9. Какая функция называется сложной?
10.
Какая функция называется явной?
11.
Какая функция называется неявной?
12.
Какой вид имеет параметрическое задание функции?
13.
Сформулируйте определение предела числовой последовательности.
14.
Сформулируйте определение предела функции в точке и в бесконечности.
15.
Какая величина называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства ?
16.
Какая величина называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой ?
17.
Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.
18.
Какой предел называется первым замечательным пределом?
19.
Какой предел называется вторым замечательным пределом?
20.
Сформулируйте основные правила раскрытия неопределенностей.
21.
Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.
22.
Сформулируйте свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.
23.
Какие точки называются точками разрыва функции ?
24.
Дайте определение точки разрыва первого рода.
25.
Какую точку x0 называют точкой устранимого разрыва?
26.
Дайте определение точки разрыва второго рода.
Задачи для подготовки к тестированию:
1. Найти области определения следующих функций:
a) f ( x)  3  x  7  x ; b) f ( x)  lg(5x - x 2  6); c) f ( x)  1 
2
.
3x  1


1
3
1
3


Ответ: а)  3, 7  ; b) 2, 3 ; c)   ,    ,   .
2. Определите, какие из данных функций являются четными, нечетными, общего вида.
a ) f ( x )  x 4  5 x 2 ; , b) f ( x )  x 2  x 3 ;
x
c) f ( x )  3 ( x  a ) 2  3 ( x  a ) 2 ; d ) f ( x ) 
2
x2
.
1
Ответ: a) четная; b) общего вида; c) четная; d) нечетная.
3. Найти пределы:
x 3  2x  3
;
x 1 x 2  3x  1
lim (7 x 2  5x  3) ; lim
x2
Ответ: 21; –2/3 .
4. Найти пределы:
sin 2 x
x 2  3x
x2  x  2
x
; б) lim
; в) lim 2
; г) lim
;
x  2tgx
x 0
x 1 x  8 x  7
x 0 3  x  3  x
2x
а) lim
Ответ: а)
5. Найти пределы:
а) lim
x 
6 x 2  5x  4
3x 2  7 x  2
;
1
3
; б) 1; в)  ; г)
2
2
3
7 x 2  6x  3
x  9 x 3  8 x 2  2
б) lim
6
Ответ: а) 2; б) 0.
6. Найти пределы:
а) lim
x 0
sin x
x9 3

x 
2
x
x
; б) lim 1  
Ответ: а) 6; б) e 2
7. Исследовать на непрерывность функцию:
 xx  0,

 2
f ( x)   x  1x,0  x  1,
2x  1.

Ответ: в точке x2  1 функция непрерывна, точка x1  0 – точка разрыва первого рода.
РАЗДЕЛ III ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вопросы для подготовки к тестированию:
1. Сформулируйте определение производной функции. Каков ее геометрический,
экономический и механический смысл?
2. Запишите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите
примеры.
3. Запишите формулу дифференцирования сложной функции.
4. Запишите формулы дифференцирования степенной, показательной, логарифмической и
тригонометрических функций.
5. Как находится производная обратной и неявной функции?
6. Как находится производная функции, заданная параметрическими уравнениями?
7. Сформулируйте определение дифференциала функции.
8. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
0 

9. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида  или   .
0 

10.
Сформулируйте достаточное и необходимое условия возрастания и убывания функции.
11.
Сформулируйте определение точки экстремума функции.
12.
Дайте определение критической (стационарной) точки.
13.
Сформулируйте первое и второе достаточные условия экстремума.
14.
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?
15.
Сформулируйте условия выпуклости функции.
16.
Что называется асимптотой графика функции?
17.
Как определить вертикальные и наклонные асимптоты?
18.
Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
Задачи для подготовки к тестированию:
1. Вычислить производные следующих функций:
а) y  x 5  3x 3  4 x  6 ; б) y  23 x  3 x
Ответ: а) 5 x 4  9 x 2  4 ; б)
2
33 x 2

3
2 x
2. Вычислить производные сложных функций:
а) y  ( x 3  2 x  1) 5 ; б) y  x 2  3 ; в) y  tg ( x 2  3) ; г) y  x 2 ln x ; д) y  ln
1 x
;
1 x
7
Ответ: а) 5( x 3  2 x  1) 4 (3x 2  2) ; б)
в)
x
x2  3
;
1
2x
г) x(2 ln x  1) ; д)
; е) 2tg 3 x .
2
1 x2
cos ( x  3)
2
3. Составить уравнение касательной к кривой y  x 2  4 x в точке с абсциссой x  1.
Ответ: 2 x  y  1 .
2
2
4. Найти производную функции y (x) , заданной неявно x  y  cos y  0 .
5. Найти дифференциалы следующих функций:
1
x
а) y  x 3  2 x  5 ; б) y  x 3  2 x 2  7 x  1 ; в) y  arctg ; г) y  ln( x  x  1) .
Ответ: а) (3x 2  2)dx ; б) (3x 2  4 x  7)dx ; в) 
г)
dx
;
1 x2
dx
2 x ( x  1)
.
6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
x 3  27
8 x 3  3x 2  2 x
sin 2 ( x / 3)
lim
;
б)
;
в)
lim
x 3 x  3
x  4 x 3  2 x  1
x0
x2
а) lim
Ответ: а) 2; б) 27; в) 1/9
7. Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций:а) y  ln x ; б)
y
1
1
; в) y 
.
2
x
( x  1) 2
Ответ: а) 0,    – возрастает; б)  , 0 – возрастает, 0,    – убывает; в)  ,1 –
возрастает, 1,    – убывает
8. Исследовать функции на экстремум:
а) y  (1  x 2 ) 3 ; б) y  2 x 3  6 x 2  18 x  7 г) y 
x2
.
x 1
Ответ: а) y|x0  1 – максимум ; б) y| x 1  17 – максимум, y| x 3  47 – минимум; г) y|x 0  0 –
минимум,
y| x 2  4 – максимум.
9. Определить интервалы выпуклости и найти точки перегиба следующих функций:
а) y 
1
1
; б) y 
.
x3
1 x2
Ответ: а)  , 3 – интервал выпуклости вверх, 3,    – интервал выпуклости вниз; б)
 1 1 
 
 – интервал выпуклости вверх,
;
3 3



1  1
  ;
, 
;  – интервалы выпуклости вниз,
3  3


1
1
– точки перегиба.
x1  
, x2 
3
3
10. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:

1
1

а) f ( x)  x 3  3x 2 на отрезке  4,  ; б) f ( x)  ( x 2  1) 2 на отрезке  , 2 .
2

2 
Ответ: а) f (2)  4 – наибольшее значение, f (4)  64 – наименьшее значение; б) f (2)  9
– наибольшее значение, f (1)  0 – наименьшее значение.
РАЗДЕЛ IV ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
8
Вопросы для подготовки к тестированию:
1. Что называется n-мерным евклидовым пространством E n и каковы его типы?
2. Что называется функцией нескольких переменных?
3. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?
4. Что называется пределом функции двух переменных в точке?
5. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных
производных функции нескольких переменных.
6. Когда функция z  f ( x, y) называется дифференцируемой в данной точке? Что называется
полным дифференциалом этой функции в данной точке?
7. Напишите
формулы
для
нахождения
z z
,
x y
сложной
функции
z  F (u, v) ,
где
u   ( x, y), v   ( x, y) .
8. Запишите формулы дифференцирования неявной функции F ( x, y)  0 и F ( x, y, z )  0 .
9. Сформулируйте определение частных производных высших порядков.
10.
Что называется градиентом функции z  f ( x, y) ?
11.
Что называется касательной плоскость к поверхности в данной точке М?
12.
Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) для
поверхности S, задаваемой равенством z  f ( x, y) .
13.
Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) для
поверхности S, задаваемой уравнением F ( x, y, z )  0 .
14.
Что называется нормалью к поверхности?
Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности z  f ( x, y ) в точке
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
16.
Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности F ( x, y, z )  0 в точке
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
17.
Запишите формулы дл вычисления производной по направлению, определяемому
вектором e .
18.
Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума функции двух
переменных.
19.
Что называется условным экстремумом функции z  f ( x, y) ? Сформулируйте
необходимое и достаточное условия условного экстремума функции двух переменных.
20.
Опишите процедуру исследования функции на условный экстремум.
21.
Опишите процедуру нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в
замкнутой области.
22.
В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании
экспериментальных данных?
15.
Задачи для подготовки к тестированию:
1. Найти частные производные функций:
а) z  x 3 y  y 3 x ; б) z  x 3  3x 2 y  y 3 ; в) z  x  3 y ; г) z  xy ln( x  y) .
Ответ: а) z x  3x 2 y  y 3 , z y  x 3  3 y 2 x ; б) z x  3x 2  6 xy, z y  3x 2  3 y 2 ;
в) z x 
1
2 x  3y
, z y 
3
2 x  3y
.
2. Найти полный дифференциал функций:
а) z  xy3  3x 2 y 2  2 y 4 ; б) z  3x 2 y 5 ; в) z  x 2  y 2 .
Ответ: а) dz  ( y 3  6 xy2 )dx  (3xy2  6 x 2 y  8 y 3 )dy ; б) dz  6 xy 5 dx  15 x 2 y 4 dy .
9
3. Найти частные производные второго порядка следующих функций:
а) z  x 3  4 x 2 y  5 y 2 ; б) z  x 3  2 x 2 y  3 y 2 .
Ответ: а) z x2  6 x  8 y, z y2  10, z xy  8x ; б) z x2  6 x  4 y, zy 2  6, zxy  4 x .
4. Найти частные производные неявных функций:
а) F ( x, y)  x 2  y 2  1  0 ; б) F ( x, y)  x 3 y  ln y  x  0 ; в) F ( x, y, z )  e  xy  2 z  e z  0 .
x
y
Ответ: а) y    ; б) y   
3x 2 y  1
;
1
3
x 
y
5. Найти градиент функции:
а) z 
cos y 2
; б) z  ln( x  ln y) .
x
 cos y 2 2 y

 1

1
 .
,
sin y 2  ; gradz  
,
2
x
x
 x  ln y y( x  ln y) 


Ответ: а) gradz   
6. Вычислить градиент функции в точке М:
а) z  xe xy , M (0,  2)
Ответ: (1, 0).
7. Найти точки экстремума функции: z  2 x  xy  5x  y
3
2
2
2
 5 
 3 
Ответ: а) (0, 0) – точка минимума,   ,0  - точка максимума.
РАЗДЕЛ V ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вопросы для подготовки к тестированию:
1. Какая функция называется первообразной для функции f (x) ?
2. Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Что называется
неопределенным интегралом?
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Напишите таблицу основных интегралов.
5. Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
6. Напишите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
7. Сформулируйте понятия правильной и неправильной рацинальной функции.
8. Изложите методы нахождения интегралов вида 
Ax  B
dx
,  2
dx .
ax  bx  c
ax  bx  c
2
9. Изложите правило разложения правильной рациональной функции на простейшие дроби.
10.
Изложите суть метода неопределенных коэффициентов.
11.
Изложите методы нахождения интегралов вида 
dx
, 
Ax  B
dx
ax2  bx  c
ax  bx  c
Изложите методы нахождения интегралов вида, I n,m   sin n x cos m xdx , где n и
2
12.
натуральные числа.
13.
Изложите методы нахождения интегралов вида  R(sin x, cos x)dx .
14.
Изложите методы нахождения интегралов вида  tg n xdx ,  ctg n xdx n  N , n  1 .
m –
15.
Изложите методы нахождения интегралов вида  R ( x, k x, m x ,...)dx , где подынтегральная
функция рациональна относительно переменной интегрирования x и различных радикалов из
x.
10
16.
m1
m2


  ax  b  n1  ax  b  n2 
Изложите методы нахождения интегралов вида  R x, 
 ,
 ,... dx
  cx  d   cx  d 



17.
Запишите решение интеграла  x 2  b dx .
18.
Запишите решение интеграла  a 2  x 2 dx .
19.
Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический, физический
и экономический смысл.
20.
Перечислите основные свойства определенного интеграла.
21.
Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
22.
Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
23.
Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью
определенного интеграла.
24.
По каким формулам находится объем тела вращения ?
25.
Дайте понятие несобственных интегралов.
26.
Какие интегралы называют несобственными интегралами первого и второго рода.?
Какой интеграл называется сходящимся, расходящимся ?
Задачи для подготовки к тестированию:
1. Найти интегралы:
3
2
1
5

а)   x 2  6 x  dx ; б)  e x 1 

ex
x

dx .


Ответ: а)
x3
x
 3 x 2   C ; б) e x  ln x  C .
2
5
2. Найти интегралы:
а) 
x 2 dx
cos xdx
x 9
dx
; б) 
; в) 
; г)  3
.
3
2
(2 x  1)
3  sin x
x 3
3x  2
1
Ответ: а)
6(1  2 x )
3
 C ; б) 2 3  sin x  C ; в)
2
x x  3x  C ;
3
г)
3
3x  2
C .
2
3. Найти интегралы:
а)  xarctgxdx; б)  e x sin xdx ; в)  ( x  1)e 2 x dx .
Ответ: а)
x2
1
 arctgx  x  arctgx  C ;
2
2
1 x
1
1
e (sin x  cos x)  C ; в) ( x  1)e 2 x  x 2  C .
2
2
4
3x  1
x3  8
dx .
4. Найти интегралы: а)  2
dx ; б)  2
x  4x  8
x  2x  4
б)
Ответ: а)
1 2
3
5
x2
x  2 x  C ; б) ln | x 2  4 x  8 |  arctg
C .
2
2
2
2
5. Найти интегралы а)  sin 2 xdx ; б)  cos 5 xdx .
Ответ: а)
6. Вычислить интегралы:
1
1
2
1
x  sin 2 x  C ; б) sin x  sin 3  sin 5 x  C .
2
4
3
5
11
6
а) 
1
x
x3
2
6 x 2 dx
; в)  (3  2 x)e 3 x dx .
3
0
0 1  2x
1
dx ; б) 
Ответ: а) 20/3; б) ln 3 ; в) 8.
7. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:а) y  x  1 осью Ох и прямыми x  1, x  4 ;
2
1
3
1
9
б) y  x  2, y  x 2 .
Ответ: а) 24 ед 2 ; б) 13, 5 ед 2 .

8. Вычислить несобственные интегралы: а) 
1

dx
5 x
;
б)
 e dx .
x4
0
Ответ: а)
1
1
; б) .
5
3
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Основная литература
1. Гусак А.А. «Пособие к решению задач по высшей математике». Мн., Издательство БГУ
им. Ленина. 1973.
2. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей
математике. Мн., Вышэйшая школа. 1996.
3. Минюк С.А. и др. Высшая математика для инженеров. В 2 т. Т.1:Учеб.пособие для
вузов/ С.А. Минюк и др.. – Минск: ООО “Элайда”, 2004 – 464 с.
4. Русак. В. и др. Курс высшей математики: Алгебра и начала анализа. Анализ функции
одной переменной. М., Высшая школа. 1994.
5. Унсович А.Н. Высшая математика: Учебно-методический комплекс для студентов
экономических и инженерно-экономических специальностей.
/ Барановичский гос.
университет. – Барановичи: БарГУ. – 2006. – Ч 1. – 368 с.
6. Унсович А.Н. Высшая математика: Учебно-методический комплекс для студентов
экономических и инженерно-экономических специальностей.
/ Барановичский гос.
университет. – Барановичи: БарГУ. – 2006. – Ч 2. – 192 с.
7. Шипачев В.С. «Высшая математика». М., Высшая школа. 1990.
Дополнительная литература
1. Баврин И.И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М., Просвещение. 1995.
2. Русак. В. и др. «Курс высшей математики: Алгебра и начала анализа. Анализ функции
одной переменной». М., Высшая школа. 1994.
3. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. – Минск:
ТетраСистемс, 2006. – 640 с.
12