010102DU07 - Санкт-Петербургский государственный

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ – ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
УТВЕРЖДАЮ
Принята на заседании
кафедры дифференциальных уравнений
Декан факультета,
профессор
Зав. кафедрой,
профессор
В.А.Плисс
Г.А. Леонов
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"Теория интегральных многообразий и структурно устойчивые системы"
Специальность – 01.01.02 «Дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление»
Санкт – Петербург
2013
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Основная задача курса — дать аспиранту общее представление о задачах и
методах теории нелинейных колебаний и качественной теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Целью курса является формирование понимания основ современной теории
дифференциальных уравнений, динамических систем и оптимального управления и
развитие
навыков
самостоятельного
научного
исследования
в
области
теории
интегральных многообразий и структурно устойчивых систем дифференциальных
уравнений.
Слушатели курса должны овладеть теоретическими основами современных
методов исследования математических моделей, описывающих проблемы естествознания
и техники в виде дифференциальных уравнений и динамических систем.
Построение курса подразумевает постоянное акцентирование внимания аспирантов
на
общекультурном,
историческом
и
социальном
контексте
формирования
и
использования изучаемых математических понятий и методов. Курс теории интегральных
многообразий и структурно устойчивых систем дает аспиранту комплекс аналитических,
алгебраических и геометрических методов, позволяющих создавать и исследовать
широкий спектр математических моделей в естествознании.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения
Общая трудоемкость
Всего аудиторных занятий
из них: лекции
практические занятия
лабораторные занятия
2 семестра (1-2 семестры)
40 часа
30 часа
20 часов
6 часов
4 часа
Изучение дисциплины, формы контроля:
1 семестр:
лекции – 10 ч., экзамен;
2 семестр:
лекции – 10 ч., практические занятия – 6 ч.,
лабораторные занятия – 4 часа,
1 контрольная работа, зачет.
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
РАЗДЕЛ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений.
Решения с несоизмеримыми периодами. Теорема Курцвейля-Еругина.
Метод Пуанкаре в теории периодических решений.
Нерезонансный случай.
Резонансный случай.
Метод осредненияв теории периодических колебаний.
Случай автономных систем. Зависимость периода от параметров и положения.
РАЗДЕЛ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Квазилинейные системы.
Устойчивые ограниченные решения.
Седловые ограниченные решения.
Необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений у
систем с произвольной матрицей первого приближения.
РАЗДЕЛ 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Понятие интегрального множества и интегрального многообразия.
Теорема Ляпунова-Перрона.
Интегральные многообразия автономных и периодических систем.
Теорема Крылова-Боголюбова и ее обобщения.
Дифференциальные свойства интегральных многообразий.
Устойчивость интегральных многообразий.
Периодическое возмущение цикла автономной системы.
Теорема Левинсона.
Принцип сведения в теории устойчивости.
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу
1. Периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений.
2. Решения с несоизмеримыми периодами.
3. Теорема Курцвейля-Еругина.
4. Метод Пуанкаре в теории периодических решений.
5. Нерезонансный случай.
6. Резонансный случай.
7. Метод осреднения в теории периодических колебаний.
8. Автономные системы. Зависимость периода от параметров и положения.
9. Ограниченные решения квазилинейных систем.
10. Устойчивые ограниченные решения.
11. Седловые ограниченные решения.
12. Необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений у
систем с произвольной матрицей первого приближения.
13. Интегральное множество и интегральное многообразие.
14. Теорема Ляпунова-Перрона.
15. Интегральные многообразия автономных и периодических систем.
16. Теорема Крылова-Боголюбова и ее обобщения.
17. Дифференциальные свойства интегральных многообразий.
18. Устойчивость интегральных многообразий.
19. Периодическое возмущение цикла автономной системы.
20. Теорема Левинсона.
21. Принцип сведения в теории устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: «Лань»,
2011.
2. Ильин Ю.А., Плисс В.А. Теория нелинейных колебаний. I. Основные свойства
периодических систем. СПб.: Издательский дом Санкт-Петербургского
государственного университета. 2012.
3. Ильин Ю.А., Плисс В.А. Теория нелинейных колебаний. II. Периодические решения
автономных
систем.
СПб.:
Издательский
дом
Санкт-Петербургского
государственного университета. 2012.
4. . Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. М., 1958.
5. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1961.
6. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л. 1950.
7. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М. 1956.
8. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. 1966.
9. В.В.Немыцкий, В.В.Степанов. Качественная теория дифференциальных
уравнений. М., 1949.
10. З.Нитецки. Введение в дифференциальную динамику. М. 1975.
11. Ж.Палис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем. М. 1986.
12. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Л.
1988.
13. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости в целом. Издательство
Ленинградского университета. Л., 1958.
14. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л. Наука, 1964.
15. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных
уравнений. М., 1977.
16. А.Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.,
1947.
17. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига,
1971.
18. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев, 1970.
19. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических
наук, 1970. Т.25, N 1.
20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.
Дополнительная
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1984.
2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. 1967.
3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.
1979.
4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1978.
5. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир. 1970.
6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Интегралпресс. 1998.
СОСТАВИТЕЛЬ:
В. А. Плисс, член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий
кафедрой дифференциальных уравнений.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Г.А.Леонов, член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий
кафедрой прикладной кибернетики;
А.Х.Гелиг, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической
кибернетики.