Голоморфные векторные расслоения и дифференциальные

ГОЛОМОРФНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
акад. А.А. Болибрух
1/2 года, 3-5 курс и аспиранты
1. Понятие главного расслоения. Векторные расслоения. Примеры.
2. Связность в векторном расслоении. Локальная система. Система линейных дифференциальных уравнений как связность в тривиальном расслоении.
3. Классификация особых точек системы дифференциальных уравнений. Монодромия.
Регулярность. Фуксовость.
4. Структура пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений
в окрестности регулярной особой точки. Левелевские нормирования, фильтрации.
5. Структура пространства решений системы линейных дифференциальных уравнений
в окрестности фуксовой особой точки. Необходимые и достаточные условия фуксовости
скалярного линейного дифференциального уравнения.
6. Системы с регулярными особыми точками на сфере Римана. Глобальное условие
фуксовости. Соотношение Фукса.
7. Восстановление системы уравнений по монодромии. Проблема Римана-Гильберта
(XXI проблема Гильберта для линейных фуксовых систем). Переформулировка на языке
расслоений. Метод решения.
8. Векторные расслоения на сфере Римана. Теорема Биркгофа-Гротендика о разложении голоморфного векторного расслоения в прямую сумму одномерных.
9. Стабильные и полустабильные расслоения со связностями. Теоремы конечности для
типов расщеплений таких расслоений.
10. Применение к проблеме Римана-Гильберта. Случаи положительного решения.
Контрпример к проблеме Римана-Гильберта.
11. Биркгофова стандартная форма системы линейных дифференциальных уравнений в
окрестности иррегулярной особой точки.
Литература
1. Anosov D.V., Bolibruch A.A. The Riemann-Hilbert Problem. Aspects of Mathematics, Vieweg,
Braunschweig/Wiesbaden, 1994.
2. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы I. Под ред. Д.В. Аносова, В.И. Арнольда. М., ВИНИТИ, 1985. Т. 1. С. 7—
149 (Современные проблемы математики. Фундаментальные направления).
3. Болибрух А.А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. М.,
МЦНМО, 2000.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1988.
5. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л.:
Гостехтеоретиздат, 1950.
6. Deligne P. Equations différentielles à points singuliers réguliers. Lecture Notes in Mathem.,
163, Springer, 1970.
7. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М., Мир, 1983.
8. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.