Вопросы_МА_сем_4-1

Доп. главы высшей математики 1
(Все, что доказывалось на лекциях — доказывать)
1. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Уравнения с
разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним. Уравнение Бернулли.
2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные линейные уравнения и их
свойства. Фундаментальные системы функций и общее решение линейных однородных уравнений.
3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Неоднородные линейные уравнения и их
свойства.
4. Интегрирование линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристические уравнение.
5. Интегрирование неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод вариации
постоянных (метод Лагранжа). Метод Коши.
6. Линейные пространства Метрические и нормированные пространства.
7. Операторы в метрических пространствах. Сжимающие отображения.
8. Линейные операторы. Переход от одного базиса к другому. Собственные векторы и собственные
значения линейных операторов.
9. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Канонический вид линейного
оператора. Присоединенные векторы.
10. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальные системы ОДУ. Терема Коши.
11. Метод исключения для решения нормальной системы дифференциальных уравнений.
12. Системы линейных дифференциальных уравнений. Свойства производных и интегралов от матриц.
13. Свойства решений линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Матрицант.
14. Свойства систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
15. Системы линейных дифференциальных уравнений. Методы Лагранжа.
16. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Операторный (символический)
метод.
17. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Матричный метод.
18. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод неопределённых
коэффициентов. Метод Эйлера.
19. Системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Матрица монодромии.
20. Краевые задачи. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций
задачи Штурма-Лиувилля.
1. Алгебра событий. Элементарное, достоверное, невозможное, противоположное события. Пространство
событий, полная группа событий. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение
вероятности. Геометрические вероятности.
2. Случайная величина. Функция и закон распределения случайной величины. Дискретные и непрерывные
случайные величины. Числовые характеристики случайной величины и их свойства (математическое
ожидание, дисперсия, средне квадратичное отклонение, моменты и их производящая функция).
3. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Математическое ожидание, дисперсия и
средне квадратичное отклонение.
4. Дискретная случайная величина. Распределение Пуассона. Математическое ожидание, дисперсия и
средне квадратичное отклонение.
5. Непрерывная случайная величина. Равномерное и показательное распределения. Математическое
ожидание, дисперсия и средне квадратичное отклонение.
6. Непрерывная случайная величина. Нормальное
распределение (закон Гаусса). Математическое
ожидание, дисперсия и средне квадратичное отклонение.
7. Непрерывная случайная величина. Гамма распределение. Математическое ожидание, дисперсия и средне
квадратичное отклонение, производящая функция.
8. Непрерывная случайная величина. Бета распределение. Математическое ожидание, дисперсия и средне
квадратичное отклонение.
9. Непрерывная случайная величина. Логнормальное распределение. Математическое ожидание, дисперсия
и средне квадратичное отклонение.
10. Функция случайной величины. Композиция случайных величин.
11. Предельные теоремы. Закон больших чисел. Сущность и назначение предельных теорем. Сходимость
случайных последовательностей.
12. Неравенство Чебышева.
13. Теоремы Чебышева и Бернулли.
14. Центральная предельная теорема Ляпунова. Центрированная и нормированная случайная величина.
15. Задачи математической статистики. Статистическая функция распределения. Частота и относительная
частота. Полигон и гистограмма.
16. Числовые характеристики статистического распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные
оценки. Оценки математического ожидания и дисперсии в случае равноточных измерений случайных
величин
17. Точечные оценки. Метод моментов (метод Пирсона).
18. Точечные оценки. Метод максимального правдоподобия (Метод Фишера).
19. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Статистические гипотезы и критерии Проверка
гипотез.
.Литература
1. Арнольд В.И Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции
комплексного переменного. - М. Наука, 1985.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.:
Высшая школа, 1980.
4. Зальмеж В.Ф., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Шаповалов А.В. Высшая математика для технических
университетов. V. Дифференциальные уравнения. — Томск: Изд-во ТПУ, 2011.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.
6. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика, часть 4. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции
комплексного переменного. Операционный метод. Учебное пособие. — Томск, ТПУ, 2003.
7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1971.
8. Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. — М.: Наука, 1981.
9. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральныхуравнений с дополнительными главами анализа.
— М.: Наука, 1981.
10. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высш.
школа, 1962.
11. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.:
Росвузиздат, 1962.
12. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
13. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. —
М.: Высш. школа, 1989
14. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ, 1952.
15. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980.
16. Филипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1979.
17. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М. Физматгиз, 1962.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М. Радио и связь, 1983.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. Высшая школа, 1998.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М. Наука, 1969.
Колмогоров А.Н., и др. Введение в теорию вероятностей. - М. Наука, 1982.
Справочник по теории вероятностей и математической статистики /Королюс В.С. и др. — М. Наука,
1985.
7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения (в 2-х томах) - М. Мир, т. 1 1964, т. 2,
1966.
8. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. — М. Наука, 1982
9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики.
— М. Высшая школа, 1999.
10. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. 2 изд. — М.:
Высшая школа, 1980.
11. Дороговцев А.Я., Сильвестров Д.С., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей. Сборник задач.
— Киев: Вища школа, 1980.
1.
2.
3.
4.
5.
6.