Приложение Г. Памятки для студентов

СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
Приложение Г. Памятки для студентов
Памятка для студентов направления:
231000 – Программная инженерия
по изучению дисциплины «Математический анализ» (2 семестр)
1 Содержание дисциплины
Тема 1. Пределы и непрерывность функции.
(лекции – 8 часов, практические занятия – 14 часов)
Точные верхние и нижние грани. Принцип вложенных отрезков. Предел
числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов. Понятие неопределенности. Лемма о сжатой
переменной. Предел монотонной последовательности. Различные определения
предела функции. Свойства пределов функции. Непрерывные функции, их свойства. Классификация разрывов. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность.
Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
(лекции – 10 часов, практические занятия – 16 часов)
Определение производной. Правила дифференцирования. Производная
сложной, обратной функций. Другие случаи вычисления производной. Дифференциал, его свойства. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о
средних значениях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Критерии монотонности. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и вогнутость,
точки перегиба. Асимптоты.
Тема 3. Интегральное исчисление функции одной переменной.
(лекции – 14 часов, практические занятия – 18 часов)
Координатный метод. Уравнения линий на плоскости. Параметрические
уравнения линии. Полярная система координат. Прямая на плоскости: различные
формы уравнения прямой, взаимное расположение прямых, расстояние от точки
до прямой. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Преобразование системы координат на плоскости (параллельный перенос, поворот). Понятие
об уравнениях поверхности и линии в пространстве. Плоскость и прямая в пространстве. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка. Построения поверхностей методом сечений.
2 Литература
а) Основная литература
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.–Спб.: Спецлит,
2005.–383 с. (25 экз.).
30
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
б) Дополнительная литература
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты:
учебное пособие/ Л.А. Кузнецов. – Изд. 6-е, стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань,
2005. – 240 с. (28 экз.).
в) Программное обеспечение и интернет – ресурсы
3. Киркинский А.С. Математический анализ. [Электронный ресурс]: Учебное пособие.— Электрон. дан.— Барнаул: АлтГТУ, 2006.— Режим доступа:
http://elib.altstu.ru/elib/eum/vm/Kirkinskii_MatAn.pdf.
г) Учебно–методические материалы и пособия для студентов, используемые при изучении дисциплины
4. Вингисаар Э.И., Кантор Е.И. Введение в математический анализ. [Электронный
ресурс]: Методические указания.— Электрон. дан.— Барнаул: АлтГТУ, 2009.—
Режим доступа: http://elib.altstu.ru/elib/eum/vm/Kantor_matan.pdf.
3. График контроля
Контрольное испытание
Время проведения
Вес в итоговом рейтинге
Контрольная работа по теме 1
5 неделя
0,1
Коллоквиум по теме 1
6 неделя
0,2
8 неделя
0,1
11 неделя
–
14 неделя
0,1
16 неделя
–
сессия
0,5
Контрольная работа по теме 2 «Техника
дифференцирования»
Расчетное задание (часть 1)
Контрольная работа по теме 2 «Техника
интегрирования»
Расчетное задание (часть 2)
Экзамен по темам 2-3
4. Список теоретических вопросов
Коллоквиум по теме «Пределы и непрерывность функций»
1. Свойство непрерывности числовой прямой. Точные верхние и нижние грани.
2. Определение и простейшие свойства предела последовательности.
3. Свойства бесконечно малых последовательностей.
4. Арифметические свойства предела последовательности.
5. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число e .
6. Теорема Больцано–Вейерштрасса.
7. Критерий Коши для числовых последовательностей.
8. Различные определения предела функции, их эквивалентность.
9. Свойства предела функции.
10.Первый замечательный предел.
11.Второй замечательный предел.
12.Определение и свойства непрерывных функций. Классификация разрывов.
31
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
13.Теорема о промежуточных значениях.
14.Теорема о непрерывности обратной функции.
15.Теорема о достижении точных граней.
16.Ограниченность функции, непрерывной на отрезке.
17.Непрерывность элементарных функций.
18.Следствия из замечательных пределов.
19.Сравнение бесконечно малых функций. Порядок малости. Использование бесконечно малых при вычислении пределов.
20.Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
Экзамен по темам 2–3
Определение производной, её геометрический и физический смысл.
Вычисление производных основных элементарных функций.
Арифметические свойства производной.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрическим способом. Логарифмическое дифференцирование.
7. Дифференциал функции.
8. Теоремы о среднем значении.
9. Правило Лопиталя.
10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
11. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена.
12. Исследование функций с помощью первой производной. Возрастание, убывание, экстремумы.
13. Исследование функций с помощью второй производной. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
14. Асимптоты графика функции.
15. Первообразная и неопределённый интеграл. Простейшие свойства. Таблица
основных интегралов.
16. Интегрирование по частям и с помощью замены переменной.
17. Интегрирование простейших рациональных дробей.
18. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей.
19. Интегрирование иррациональных выражений.
20. Интегрирование тригонометрических выражений.
21. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение интеграла Римана.
22. Определение и свойства сумм Дарбу.
23. Интегрируемость непрерывных функций.
24. Свойства определённого интеграла (ограниченность интегрируемой функции,
линейность, аддитивность).
25. Свойства определённого интеграла (интегрирование неравенств, теорема о
среднем).
26. Теорема Барроу и формула Ньютона–Лейбница.
27. Приёмы вычисления определённых интегралов (интегрирование по частям,
замена переменной, интегрирование чётных и нечётных функций).
28. Вычисление площадей и объёмов с помощью определённого интеграла.
29. Определение и вычисление длины кривой.
30. Примеры применения интеграла для решения физических задач.
31. Определение и примеры вычисления несобственных интегралов двух видов.
32. Свойства несобственных интегралов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
32
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
Памятка для студентов направления:
231000 – Программная инженерия
по изучению дисциплины «Математический анализ» (3 семестр)
1 Содержание дисциплины
Тема 4. Функции нескольких переменных.
(лекции – 10 часов, практические занятия – 16 часов)
Евклидово n-мерное пространство. Предел последовательности точек пространства. Функции нескольких переменных (ФНП). Предел ФНП. Непрерывность
ФНП. Свойства непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на компактном множестве. Частные производные и дифференцируемость функции.
Дифференциал 1 порядка, его свойства. Частные производные и дифференциалы
высших порядков. Формула Тейлора. Необходимые и достаточные условия экстремума. Неявные функции, их существование и дифференцирование. Условные
экстремумы, метод множителей Лагранжа. Геометрические вопросы теории функций нескольких переменных: понятие скалярного поля, поверхности и линии уровня, производная поля по направлению, градиент, касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Тема 5. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
(лекции – 10 часов, практические занятия – 10 часов)
Мера Жордана. Свойства измеримых множеств. Критерий измеримости.
Определение и свойства кратных интегралов. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовой системе координат. Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан. Вычисление интегралов в полярной, цилиндрической и сферической системах координат. Криволинейные интегралы 1 рода: определение,
свойства, вычисление. Понятие площади поверхности. Поверхностные интегралы
1 рода. Приложения интегралов в геометрии и механике.
Тема 6. Элементы теории поля.
(лекции – 8 часов, практические занятия – 6 часов)
Векторное поле. Задача о работе. Криволинейные интегралы 2 рода. Формула Грина. Условия независимости от пути интегрирования. Ориентация поверхности. Поверхностные интегралы 2 рода. Формула Остроградского – Гаусса. Теорема Стокса. Основные характеристики векторного поля. Потенциальные поля,
условия потенциальности. Поток, дивергенция, циркуляция, ротор векторного
поля. Соленоидальные и гармонические векторные поля. Операторы Гамильтона и Лапласа.
Тема 7. Числовые ряды.
(лекции – 6 часов, практические занятия – 8 часов)
Понятие числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши. Признаки сходимости рядов с положительными слагаемыми (признаки сравнения,
Даламбера, Коши). Интегральный признак сходимости. Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница.
33
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
Тема 8. Функциональные последовательности и ряды.
(лекции – 14 часов, практические занятия – 8 часов)
Поточечная и равномерная сходимость. Область сходимости. Сумма ряда.
Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора.
Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Приложения
степенных рядов. Гармонические колебания. Ортогональность тригонометрической системы функций. Понятие ряда Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.
Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на произвольном
промежутке, четных, нечетных и непериодических. Свойство минимальности коэффициентов Фурье. Абстрактные ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
2 Литература
а) Основная литература
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.–Спб.: Спецлит,
2005.–383 с. (25 экз.).
б) Дополнительная литература
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты:
учебное пособие/ Л.А. Кузнецов. – Изд. 6-е, стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань,
2005. – 240 с. (28 экз.).
в) Программное обеспечение и интернет – ресурсы
3. Киркинский А.С. Математический анализ. [Электронный ресурс]: Учебное пособие.— Электрон. дан.— Барнаул: АлтГТУ, 2006.— Режим доступа:
http://elib.altstu.ru/elib/eum/vm/Kirkinskii_MatAn.pdf.
3. График контроля
Контрольное испытание
Время проведения
Вес в итоговом рейтинге
Контрольная работа по теме 4
6 неделя
0,1
Коллоквиум по теме 1
7 неделя
0,2
Расчетное задание (часть 1)
10 неделя
–
Расчетное задание (часть 2)
12 неделя
–
Контрольная работа по теме 7
14 неделя
16 неделя
0,1
сессия
0,5
Контрольная работа по теме 8
Экзамен по темам 5-8
0,1
34
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
4. Список теоретических вопросов
Коллоквиум по теме «Функции нескольких переменных»
1. Пространство Rn. Открытые и замкнутые множества в Rn.
2. Предел последовательности точек Rn. Теорема о покоординатной сходимости.
Предельные точки.
3. Компактные и связные множества в Rn. Критерий компактности.
4. Теорема об ограниченности функции, непрерывной на компактном множестве.
5. Теорема о промежуточных значениях.
6. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
7. Дифференцирование сложных функций.
8. Дифференциал, его свойства и применение в приближённых вычислениях.
9. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
10. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
11. Понятие экстремума. Необходимые условия экстремума.
12. Достаточные условия экстремума.
13. Теоремы о существовании и дифференцировании неявных функций.
14. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
15. Скалярное поле. Производная скалярного поля по заданному направлению.
16. Градиент скалярного поля.
17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экзамен по темам 5–8
1. Определение и свойства меры Жордана. Мера гладкой кривой. Критерий измеримости.
2. Определение и свойства кратных интегралов.
3. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовой системе координат.
4. Замена переменных в двойном интеграле. Полярная система координат.
5. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической и сферической системах
координат.
6. Криволинейные интегралы 1 рода. Определение, свойства, вычисление, применения.
7. Определение площади поверхности, её вычисление с помощью двойного интеграла.
8. Поверхностные интегралы 1 рода. Определение, свойства, вычисление, применения.
9. Геометрические и физические приложения интегралов.
10. Криволинейные интегралы 2 рода. Определение, свойства, вычисление. Задача о работе.
11. Формула Грина.
12. Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
13. Признак полного дифференциала. Отыскание первообразной для полного
дифференциала.
14. Определение и способы вычисления поверхностного интеграла 2 рода. Задача
о потоке жидкости.
15. Формула Гаусса–Остроградского. Формула Стокса.
16. Условия потенциальности векторных полей в R2 и R3. Ротор векторного поля.
35
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
17. Дивергенция векторного поля. Различные подходы к её определению. Соленоидальные векторные поля.
18. Гармонические функции и гармонические векторные поля. Операторы Гамильтона и Лапласа.
19. Определение и свойства сходящихся числовых рядов. Пример гармонического
ряда.
20. Признаки сравнения рядов с положительными слагаемыми.
21. Признаки Даламбера и Коши.
22. Интегральный признак сходимости.
23. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.
24. Теорема Лейбница.
25. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей
и рядов.
26. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
27. Свойства равномерно сходящихся рядов.
28. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
29. Равномерная сходимость степенных рядов и следствия из неё.
30. Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в степенной ряд.
31. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
32. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций.
33. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций; функций, определённых
на произвольном отрезке [a, b].
34. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.
35. Абстрактные ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
36
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
Памятка для студентов направления:
231000 – Программная инженерия
по изучению дисциплины «Математический анализ» (4 семестр)
1 Содержание дисциплины
Тема 10. Дифференциальные уравнения
(лекции – 16 часов, практические занятия – 16 часов)
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общие понятия. Теорема о
существовании и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные
уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Линейные
дифференциальные уравнения 1-го порядка, уравнения Бернулли, уравнения в
полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Общие
понятия. Понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения. Свойства решений. Теоремы о структуре общих решений. Метод вариации постоянных.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия. Теория систем линейных
уравнений. Системы уравнений с постоянными коэффициентами. Теория устойчивости.
Устойчивость
по Ляпунову и асимптотическая устойчивость.
Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными
коэффициентами. Устойчивость по первому приближению.
2 Литература
а) Основная литература
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.–Спб.: Спецлит,
2005.–383 с. (25 экз.).
2. Киркинский А.С. Дифференциальные уравнения. Функции комплексной переменной: Учебное пособие. – Алт. гос.т ехн. ун-т им И.И.Ползунова. – Барнаул,
2010. – 240 с. (150 экз).
б) Дополнительная литература
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – Ростов н/Д.: Наука,1997 г. 464 с. (3 экз.).
4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты:
учебное пособие/ Л.А. Кузнецов. – Изд. 6-е, стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань,
2005. – 240 с. (28 экз.).
5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -М.:
Наука, 1985 г. - 128 с. (6 экз.).
37
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
3. График контроля
Контрольное испытание
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения 1-го порядка»
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков»
Расчетное задание
Экзамен по теме 10
Время проведения
Вес в итоговом рейтинге
7 неделя
0,2
13 неделя
0,3
15 неделя
–
сессия
0,5
4. Список теоретических вопросов для экзамена
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения первого порядка.
3. Линейные уравнения первого порядка, два метода их решения. Уравнения
Бернулли.
4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
5. Особые решения, их связь с понятием огибающей семейства кривых.
6. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Общие понятия. Случаи понижения порядка.
7. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений
(ЛОДУ) n–го порядка.
8. Теоремы о структуре общих решений ЛОДУ и ЛНДУ.
9. Метод вариации произвольных постоянных для ЛНДУ.
10. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
11. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
12. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
13. Системы дифференциальных уравнений. Переход от системы к одному уравнению и от одного уравнения к системе.
14. Свойства решений линейной однородной системы.
15. Структура общих решений однородной и неоднородной линейных систем.
16. Метод вариации постоянных для решения систем дифференциальных уравнений.
17. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
18. Определение и примеры устойчивости и асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений.
19. Устойчивость решений линейных систем с постоянными коэффициентами.
20. Устойчивость по первому приближению.
21. Анализ траекторий линейной однородной системы 2–го порядка с постоянными действительными коэффициентами (невырожденный случай, характеристические корни действительны и различны).
22. Анализ траекторий линейной однородной системы 2–го порядка с постоянными действительными коэффициентами (характеристические корни комплексные).
38
СТО АлтГТУ 15.62.1.0138- 2011
Разработчик(и): доцент
_______________
И.Э.Головичева
Заведующий кафедрой ВМ _______________ В.П.Зайцев
Декан факультета (института) ЕНФ ___________ В.Б. Маркин
Начальник ОМКО АлтГТУ
_______________ С.А. Федоровых
39