Вопросы к экзамену для 1-го курса по математике в весеннем семестре. Для студентов всех специальностей АФ и ФПМиТФ. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1. Функция двух переменных. Ее геометрическое изображение. Линии уровня. 2. Функция трех переменных. Поверхности уровня. 3. Поверхности второго порядка. 4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области. 5. Частные производные I-го порядка и их геометрический смысл. 6. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования смешанных производных (без доказательства). 7. Полный дифференциал функции и его приложение к приближенным вычислениям. Дифференциалы более высоких порядков. 8. Дифференцирование сложной функции. Полная производная. Инвариантность формы полного дифференциала. 9. Дифференцирование неявной функции. 10. Скалярное поле. Производная по направлению. 11. Градиент скалярного поля и его связь с производной по направлению. 12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 13. Формула Тейлора для функции двух переменных. 14. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. 15. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. 16. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Неопределенный и определенный интегралы 1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. 2. Основные методы интегрирования: методы разложения, подведения под знак дифференциала, замены переменной, интегрирования по частям. 3. Интегрирование рациональных дробей. Выделение целой части в неправильной дроби, разложение правильной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов, интегрирование простейших рациональных дробей. 4. Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы от функций вида sinmx.sinnx, sinmx*cosnx, cosmx*cosnx. Универсальная тригонометрическая подстановка. 5. Интегрирование иррациональных функций вида R( x, ax b ), R( x, (ax b) /(cx d ) ). Использование тригонометрических подстановок при интегрировании выражений R( x, a 2 x 2 dx , R( x, a 2 x 2 )dx, R( x, x 2 a 2 )dx, R( x, ax 2 bx c )dx. 6. Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Теорема существования (без доказательства). Свойства определенного интеграла, теорема о среднем. 7. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегралы от четных и нечетных функций. 8. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых и полярных координатах. Объем тела с заданным поперечным сечением. Длина дуги кривой. Площадь поверхности вращения. 9. Несобственные интегралы (от разрывных функций и с бесконечными границами). Признаки сходимости несобственных интегралов. Интегральный признак сходимости числовых знакопостоянных рядов. 10. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Методы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона). Вычисление интегралов с помощью рядов. Кратные и криволинейные интегралы 1. Двойной интеграл как предел интегральной суммы. Теорема существования. Геометрический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Среднее значение функции в области. 2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложения двойного интеграла к решению геометрических и физических задач. Нахождение объемов тел и площади поверхности. Вычисление статических моментов, моментов инерции и центра тяжести плоской фигуры. 4. Тройной интеграл и его свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. 5. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Приложения тройного интеграла: моменты инерции тела, центр тяжести и статические моменты. 6. Векторное поле. Задача о работе. Криволинейный интеграл 2-го рода. Теорема существования, свойства и вычисление. Применение криволинейных интегралов 2-го рода. 7. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования (на плоскости). Отыскание первообразной по полному дифференциалу. Криволинейный интеграл по длине дуги (1-го рода). Элементы теории векторного поля 1. Векторное поле. Векторные линии и трубки. Поток вектора через поверхность. Дивергенция вектора. Формула Остроградского-Гаусса. 2. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса. Потенциальное поле. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Определение потенциала по заданному векторному полю.