Вопросы к экзамену 2015 файл

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
по математическому анализу за 2 и 3 семестры
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Дифференциал функции одной переменной. Инвариантность формы
дифференциала.
2. Важнейшие теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма (докво), Роля (док-во), Лагранжа (док-во), Коши.
3. Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций:
признаки монотонности (док-во) и постоянства функции.
4. Экстремумы. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия
экстремума. Нахождение крайних значений непрерывной функции.
5. Выпуклые функции. Критерий выпуклости функции в терминах второй
производной (док-во). Точки перегиба.
6. Построение графиков функций средствами дифференциального исчисления.
Асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные). Схема полного
исследования функции.
7. Приложение производной к вычислению пределов: правило Лопиталя (док0
во в случае неопределенности   ).
0
8. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Структура
неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла
(док-во). Таблица простейших неопределенных интегралов (вывод).
9. Основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования
(по таблице) , подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям.
10. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших
дробей трех типов.
11. Приемы рационализации подынтегральных выражений.
rn
  ax  b  r1
 ax  b  

Интегрирование
выражений
вида
R x, 
, , 
 ,
  cx  d 
cx

d

 



Rsin x, cos x  , R ax 2  bx  c .
12. Разбиение ограниченного промежутка. Интегральные суммы. Определение
определенного интеграла как предела интегральных сумм.
13. Суммы Дарбу и их свойства.
14. Нижний и верхний интегралы Римана. Понятие интегрируемости и
определенного
интеграла.
Критерий
интегрируемости.
Пример
неинтегрируемой на отрезке функции.
15. Свойства интеграла Римана. Интегральные средние. Теорема о среднем.
16. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Существование
первообразной для непрерывной функции.
17. Интегрируемость непрерывной функции с конечным числом разрывов (докво). Интегрируемость монотонной на отрезке функции (док-во).
18. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница).
Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
19. Несобственный интеграл. Особые точки. Несобственный интеграл на
неограниченном промежутке. Несобственный интеграл от неограниченной
функции.
20. Свойства несобственных интегралов.
21. Утверждения о существовании и сходимости несобственных интегралов:
несобственный интеграл от неотрицательной функции; признак сравнения
несобственных интегралов; предельный признак сравнения несобственных
интегралов.
22. Приложения определенного интеграла. Определение кривой на плоскости.
Определения непрерывной, гладкой, простой, замкнутой кривой.
23. Полярные координаты точки на плоскости. Связь полярных координат с
декартовыми. Криволинейный сектор.
24. Определение длины дуги плоской кривой. Спрямляемая дуга. Спрямляемость
гладкой кривой (док-во).
25. Вычисление длины гладкой дуги кривой. Вычисление длины дуги, заданной
полярным уравнением.
26. Понятие криволинейной трапеции и ее площади. Вычисление площади
криволинейной трапеции. Вычисление площади межграфика функций.
27. Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной
параметрически заданной функцией. Вычисление площади криволинейного
сектора (док-во).
28. Объем тела вращения
2
РЯДЫ
29. Частичные
суммы
числовой
последовательности.
Сумма
последовательности и ее суммируемость. Понятие числового ряда и его
остатка. Сходящийся (расходящийся) ряд. Геометрический ряд.
30. Линейные операции над сходящимися рядами. Необходимое условие
сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
31. Критерий Коши сходимости числовой последовательности (числового ряда).
32. Неотрицательные числовые ряды. Критерий сходимости неотрицательного
ряда. Признаки сравнения неотрицательных рядов. Предельный признак
сравнения неотрицательных рядов. Интегральный признак Коши сходимости
числового ряда. (все с доказательствами)
33. Признаки сходимости рядов с членами произвольного знака. Абсолютно
сходящийся ряд, сходимость абсолютно сходящегося ряда. Признаки Коши
(док-во) и Даламбера сходимости числовых рядов.
34. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (док-во). Условно
сходящиеся ряды.
35. Функциональная последовательность: определение, область сходимости и
поточечный предел; сходимость поточечная и равномерная; критерий
равномерной сходимости.
36. Функциональный ряд: определение, область сходимости и поточечный
предел; сходимость поточечная и равномерная; критерий равномерной
сходимости.
37. Признак Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости
функционального ряда.
38. Свойства суммы равномерно сходящегося функционального ряда:
непрерывность
поточечной
суммы,
почленное
интегрирование
и
дифференцирование.
39. Понятие степенного ряда. Лемма Абеля (док-во). Основная теорема о
степенных рядах. Радиус и интервал и сходимости степенного ряда.
Практическое вычисление радиуса сходимости. Равномерная сходимость
степенного ряда, непрерывность его поточечной суммы, почленное
интегрирование и дифференцирование.
40. Понятие ряда Тейлора с заданным центром. О разложении функции в ряд
Тейлора: определение и критерий (связь с остаточным членом формулы
Тейлора). Теорема о связи рядов Тейлора со степенными рядами.
41. Разложение функций e , cos x, sin x, n1  x , 1  x  в степенные ряды.
42. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью
степенных рядов.

x
3
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
43. Пространство R n . Векторные операции в R n . Скалярное произведение.
Евклидово расстояние. Расширенное пространство R n .
44. Вещественная функция n вещественных переменных. Векторная
(векторнозначная) функция n вещественных переменных. Координатные
функции заданной вектор - функции. Последовательность в R n . График
вещественной функции n вещественных переменных. Линии и поверхности
уровня.
45. Окрестности и точки прикосновения в R n . Внутренние и граничные
точки множества. Открытые и замкнутые множества в R n .
46. Предел (непрерывность) функции нескольких переменных. Свойства
предела (непрерывности).
47. Предел функции в заданной точке по заданному направлению. Повторные
пределы.
48. Частные производные функции нескольких переменных.
49. Дифференцируемость функции нескольких переменных и ее дифференциал.
Необходимое условие дифференцируемости (док-во). Непрерывность
дифференцируемой функции (док-во).
50. Достаточные условия дифференцируемости (док-во).
51. Производная по направлению. Связь дифференцируемости и существования
производных по направлениям (док-во).
52. Дифференцируемость сложной функции. Примеры.
53. Частные производные высших порядков. Смешанные производные.
Теорема о равенстве смешанных производных (док-во).
54. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала
первого порядка.
55. Формула Тейлора для функции двух вещественных переменных.
56. Понятие неявной функции. Теорема о существовании и единственности
неявной функции.
57. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Вывод уравнения
касательной плоскости.
58. Экстремумы функций нескольких переменных. Точки относительного
минимума и относительного максимума. Необходимое условие экстремума.
59. Сведения о квадратичных формах, критерий Сильвестра.
60. Достаточные условия экстремума для функции двух переменных. Нахождение
наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции нескольких
переменных, определенной на замкнутой ограниченной области.
4
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
61. n-мерный промежуток и его протяжение. Элементарные множества в R n и
теоретико-множественные операции над ними. Протяжение элементарного
множества и его основные свойства.
62. Мера Жордана и ее основные свойства. Измеримые в смысле Жордана
n
множества в R . Критерий измеримости. Примеры измеримых множеств:
цилиндрические множества.
63. Понятие разбиения измеримого множества, свойства разбиений, определение
многомерного интеграла Римана как предела интегральных сумм.
64.Суммы Дарбу ограниченной функции и их основные свойства. Понятия
интегрируемости и интеграла в смысле Римана через суммы Дарбу. Критерий
интегрируемости по Риману.
65. Свойства многомерного интеграла Римана. Интегрируемость по Риману
непрерывной функции.
66. Определение повторного интеграла и его вычисление. Вычисление
многомерного интеграла Римана повторным интегрированием (случай
прямоугольной области): теорема Фубини и важнейшие следствия из нее
(случай произвольной области (вывод)).
3
2
67. Сечения и проекции множеств в R и R . Расстановка пределов
интегрирования в двойном интеграле. Расстановка пределов интегрирования в
тройном интеграле.
68. Замена переменной в многомерном интеграле: отображение плоских областей,
криволинейные координаты точки, координатные линии. Примеры
криволинейных координат.
69. Площадь в криволинейных координатах (вывод). Формула замены переменной
в двойном интеграле.
70. Формула замены переменной в двойном интеграле. Частные случаи формулы
замены переменной: переход к полярным координатам в двойном интеграле,
переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном
интеграле.
71. Некоторые приложения многомерного интеграла Римана (вычисление мер
измеримых по Жордану множеств), вычисление площадей плоских фигур,
объемов произвольных измеримых тел, объемов тел вращения, площадей
гладких поверхностей (вывод).
72. Криволинейный интеграл первого рода: определение, вычисление,
свойства.
73. Криволинейный интеграл второго рода: определение, вычисление,
свойства.
74.Формула Грина и некоторые ее приложения.
75.Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути
интегрирования: постановка задачи и критерий независимости.
5
6