УДК 539.37 АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО ПРОДОЛЬНЫЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЕ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНОЙ ИНЕРЦИИ Ерзунова О.А., Кулаев К.А., научный руководитель, д-р физ.-мат. наук, профессор Садовский В.М. Сибирский федеральный университет На основе вариационного принципа Гамильтона – Остроградского получено уточненное уравнение для описания продольных волн в стержне, учитывающее инерцию движения частиц в направлении свободной от напряжений боковой поверхности. Показано, что в отличие от классического волнового уравнения, которое поперечную инерцию не учитывает, по уточненному уравнению монохроматические волны обладают дисперсией, причем фазовая скорость волн уменьшается с увеличением частоты. Система резонансных частот, неограниченная в классической модели, также оказывается ограниченной. Построена устойчивая разностная схема для численного исследования краевых задач для этого уравнения. С помощью компьютерной программы, разработанной в системе Matlab, выполнены расчеты распространения волн, вызванных импульсными воздействиями. Показано, что фронты ударных волн размазываются, а за фронтами волн на эпюрах распределения перемещений возникают характерные колебания, вызванные боковым разрежением. Пусть u и w – смещения в продольном и поперечном направлениях x и z , вызванные действием внешней нагрузки. В соответствии с законом Гука для продольной и поперечной деформаций справедливо уравнение wz u x ( – коэффициент Пуассона, нижние индексы служат для обозначения частных производных), интегрирование которого дает w z ux . Таким образом, кинетическая энергия стержня длины с учетом энергии поперечного движения и потенциальная энергия вычисляются по формулам: T h u 2 l 2 h 2 2 h l w dxdz 2 2 0 u 2 (ru x ) dx , 2 0 h a 2 2 2 a 2 2 u dxdz h u x dx , x 2 h 0 2 0 l l 2 где r h /( 2 3 ) – радиус инерции поперечного сечения, h – толщина стержня, a – скорость упругих волн, точка над символом означает частную производную по времени. В соответствии с принципом Гамильтона – Остроградского вариация функционала действия при фиксированных начальном и конечном состояниях механической системы равна нулю: t1 T Adt 0 . t0 Здесь A – виртуальная работа внешних сил, равная сумме работ внешних давлений p0 и p1 , приложенных к концам стержня: h A 2 p u | 0 h x 0 p1u |x l dz h p0u |x 0 p1u |x l . 2 Непосредственное вычисление вариаций приводит к уравнению u a 2u xx (r ) 2 uxx 0 , и динамическим граничным условиям (1) (2) a2ux 2r 2ux |x 0,l p0,1 Кинематические граничные условия для уравнения (1) ставятся обычным способом – задаются смещения в концах интервала u |x 0,l u0,1 (t ) . Начальные данные формулируются так же, как и для классического волнового уравнения: u |t 0 ( x), u |t 0 ( x). Уравнение (1) было впервые получено Релеем [1] при моделировании волновых движений в упругих стержнях. Из него для монохроматической волны u uˆ ei (t kx ) может быть получено дисперсионное уравнение ( – частота, k – волновое число): (3) 2 (rk )2 (ak )2 , Фазовая скорость волны равна: с k a 2 (r ) 2 . Отсюда видно, что, в отличие от классического варианта модели, соответствующего случаю 0 , в уточненном варианте волны обладают дисперсией, причем допустимый диапазон частот ограничен: a ( r ) . Рассматривая процесс периодического по времени воздействия на стержень, определим систему резонансных частот. Подстановка u ( x, t ) uˆ ( x) eit в (1) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению (a 2 (r )2 )uˆ ' ' 2uˆ , решение которого, удовлетворяющее граничным условиям uˆ (0) 0 , uˆ (l ) uˆ0 , имеет вид uˆ . uˆ ( x) 0 sin kx , k 2 2 sin kl a (r ) Резонансные частоты, которые являются решениями уравнения sin kl 0 , равны aj a j 2 (при j ). r l (rj ) 2 Для классической модели такие частоты определены, например, в [2]. Отличие состоит в том, что при 0 диапазон резонансных частот также ограничен, причем тем же самым значением частоты a ( r ) . Для численного решения уравнения использовалась неявная трехслойная разностная схема второго порядка аппроксимации. С помощью спектрального анализа установлено, что эта схема устойчива при выполнении условия Куранта–Фридрихса– Леви. Вычислительный алгоритм и программная реализация разностной схемы основаны на методе трехдиагональной прогонки [3]. В системе Matlab выполнены расчеты задачи о распространении – образного импульса скорости по стержню. Для сравнения получено решение аналогичной задачи на основе классического волнового уравнения. Результаты расчетов показали принципиальное отличие решений по разным моделям, которое сводится к сглаживанию волновых фронтов при использовании уточненного уравнения и появлению характерных осцилляций за передними фронтами волн. Литература: 1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с. 2. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. 560 с. 3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.