Lekciya3

Лекция 3
Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные
функции, разложения, координатное и импульсное представления волновой функции
Найдем оператор координаты q в q -представлении, то есть найдем, как действует этот
оператор на произвольное состояние  ( q ) : qˆ  (q)  ?
С одной стороны, согласно квантовомеханической формуле для средних
q =  * (q )qˆ  (q )dq
(1)
где q̂ - неизвестный пока оператор координаты. С другой стороны, поскольку  (q) dq есть
2
вероятность того, что частица имеет координату в интервале dq
q = q (q) dq = * (q)q(q)dq
2
(2)
А поскольку волновая функция  ( q ) - произвольна, сравнение (1) и (2) дает qˆ  (q) = q (q) это действие оператора q̂ . Найдем собственные функции этого оператора.
Пусть  q (q ) - собственная функция оператора q̂ в q -представлении, q0 - собственное
0
значение (фиксированное), q - аргумент функции - переменная. Функция  q (q ) удовлетворяет
0
уравнению
qˆ  q (q) = q0   q (q)
(3)
q q (q) = q0  q (q)
(4)
(q  q0 ) q (q) = 0
(5)
0
0
Или, так как qˆ  (q) = q (q) , то
0
0
или
0
Получили:

 q0 (q) = 0 ,

 (q)  0,

 q0
при
q  q0
при
q = q0
(6)
Таким образом, функция  q (q) =  (q  q0 ) - удовлетворяет нашему соотношению, и для нее
0
выполняется условие нормировки:  *q (q)  q (q) dq =  (q0  q0 )
0
 ( q  q0
0
)
 ( q  q0
1
)
Аналогично доказывается, что оператор любой физической величины, которая является
функцией координаты, например, потенциальной энергии U (q) есть умножение на эту функцию, то есть Uˆ (q) (q) = U (q) (q) .
Здесь мы нигде не использовали, что q - координата  поэтому для любой физической
величины f в f -представлении имеем fˆ ( f ) = f  ( f ) .
Исследуем теперь преобразование волновой функции при параллельном переносе системы
координат и установим оператор импульса.
r' = r   r
 ( r ) - однозначная функция точки пространства.
(r') - волновая функция в другой системе отсчета.
 ( r ) - полностью описывает состояние системы. Тогда:  (r')   (r ) , если r' = r   r .
(r1 , r2 ,...)
Если имеется несколько частиц, и
описывает их состояние, тогда
 (r1 , r2 ,...) =  (r1 , r2 ,...)
Подставим связь между координатами: (r1   r1 , r2   r2 ,...) = (r1 , r2 ,...)
Производим замену переменных: (r1 , r2 ,...) = (r1   r1 , r2   r2 ,...)
Любой параллельный перенос системы координат можно разбить на много бесконечно малых перенос. Рассмотрим бесконечно малый параллельный перенос:
(r1 , r2 ,...) =  (r1   r1 , r2   r2 ,...) =
  (r1 , r2 ,...)   r  a  (r1 , r2 ,...) = (1   r  a )  ( r1 , r2 ,...)
a
(7)
a
Введем Tˆ ( r ) - оператор бесконечно малой трансляции, так, что   = Tˆ ( r ) . Из формулы (7) следует, что Tˆ ( r ) = 1   r  a . Согласно основным физическим принципам оператор,
a
связанный с трансляциями есть оператор импульса. Поэтому следует считать, что
P=
оператор импульса системы, а
записи: pˆ a =
i
i

a
(8)
a
 a = pˆ a - оператор импульса a -той частицы. В другой форме

.
i ra
Рассмотрим свойства оператора импульса.
2
1) p̂ - эрмитов оператор, что следует из цепочки формул:





 *
*
 pˆ x dx = i  ( x) x  ( x)dx = i  ( x) ( x)    ( x) ( i x ) ( x)dx
*
*
(9)
pˆ x*
Первое слагаемое равно нулю, в противном случае нормировочный интеграл для функций  и
 не сходился бы. Поэтому pˆ x  = pˆ x . Поэтому эрмитов и оператор p̂ (т.к. переменные x, y, z
не отличаются друг от друга). Заметим, что если бы в определении p̂ не было i , то оператор
был бы антиэрмитовым.
2) Операторы pˆ x pˆ y pˆ x - коммутируют друг с другом (очевидно)  они измеримы одновременно и имеют полную общую систему собственных функций.
 pˆ i , pˆ k  = 0
(10)
Найдем собственные функции и собственные значения оператора импульса. Пусть
 ( x, y, z ) - общая собственная функция операторов pˆ x pˆ y pˆ x , а числа px , p y , pz - их собствен-
ные значения (соответственно). Тогда
 pˆ x = px

 pˆ y = p y
 pˆ  = p 
z
 z
(11)
Очевидно, этим уравнениям удовлетворяет функция  p = A  e
i
pr
, где px , p y , pz могут быть
любыми действительными (в силу эрмитовости оператора p̂ ) числами. Если бы они были комплексными,  была бы неограничена при x, y, z   (а мы ищем только ограниченные волновые функции). Таким образом, спектр оператора p̂ непрерывен:  < px , p y , pz <  .
Функции  p ненормируемые (так как спектр непрерывен), их можно нормировать на  функцию. Выберем собственные функции так:  p ( p ) = e
i
pr
(нормировочный коэффициент
равен 1). Тогда:
*
3
 p' p d r = e
( p  p') r
d 3r = (2 )3  ( p  p')
(12)
Собственные функции оператора импульса, как и любого эрмитова оператора, образуют
полную систему функций или базис в пространстве «хороших» функций координат. Волновую
функцию любого состояния  ( r ) можно разложить по этому базису, причем это разложение в
3
интеграл, поскольку собственные функции оператора импульса образуют непрерывный базис.
Это разложение имеет вид
 (r ) = 
pr
i
d3 p
d3 p
a
(
p
)

(
r
)
=
a
(
p
)
e
p
 (2 )3
(2 )3
(13)
где a ( p ) - «коэффициенты» разложения, представляющие собой функцию непрерывной переменной p . Нетрудно видеть, что разложение (13) – это разложение в интеграл Фурье по гармоникам eikx x , e
ik y y
, eik z z . «Коэффициенты» разложения – функция a ( p ) - может быть найдена сле-
дующим образом
a( p) = d 3r (r ) *p (r ) = d 3r (r )e
i
pr
(14)
Согласно постулатам квантовой механики квадрат функции a ( p ) представляет собой плотность
вероятности обнаружения различных значений импульса
dw( p) | a( p) |2 dp
(15)
Сравнивая формулу (15) с определением волновой функции в координатном представлении заключаем, что функция a ( p ) также имеет смысл волновой функции, но определяющей вероятности различных значений импульса. Она называется волновой функцией в импульсном представлении. С математической точки зрения формула (14) - это обращение преобразования Фурье (а
функция a ( p ) – Фурье-образ функции  (r )).
Мы
знаем,
вид: rˆ = r , pˆ =
что
в
координатном
представлении
операторы
имеют
следующий

. В импульсном представлении: pˆ = p . Найдем теперь оператор координаты
i r
в импульсном представлении.
Основная идея этого нахождения заключается в сравнении «прямого» (13) и «обратного»
(14) разложения волновой функции. Поскольку обе этих формулы должны представлять собой
разложение волновой функции в координатном представлении по собственным функциям оператора импульса, и волновой функции в импульсном представлении по собственным функциям
оператора координаты, заключаем, что функция e
i
pr
как функция p есть собственная функция
оператора координаты в импульсном представлении, поэтому:
ˆ i
re
pr
= re
i
pr
причем оператор r̂ здесь действует на импульс. Отсюда получаем
4
(16)
rˆ = 

i p
Операторы координаты и импульса не коммутируют. Это видно из следующей цепочки
формул
xpˆ x  ( x)  x(i )
pˆ x x ( x)  (i )
d
 ( x)  i x ( x)
dx
d
x ( x)  i  ( x)  i x ( x)
dx
Поэтому xpˆ x ( x)  pˆ x x( x) , и, следовательно, операторы не коммутируют. По этой причине
операторы координаты и импульса не имеют общих собственных функций (это, впрочем, видно
и из явных выражений для собственных функций этих операторов).
Подведем итоги. Любое состояние частицы однозначно характеризуется как волновой
функцией  ( x) , так и «коэффициентами» разложения a ( p ) функции  ( x) по собственным
функциям оператора импульса  p ( x ) , причем согласно постулатам квантовой механики функция a ( p ) определяет вероятности различных значений импульса и называется волновой функцией в импульсном представлении. Свойства функций  ( x) и a ( p ) похожи. Благодаря линейной связи, для функций a ( p ) справедлив принцип суперпозиции: если возможны состояния, которые описываются (в указанном выше смысле вероятностей импульсов) функциями a1 ( p) или
a2 ( p) , то возможно и состояние, в котором вероятности различных значений импульса определяются линейной комбинацией C1a1 ( p)  C2a2 ( p) . Можно определить операторы физических
величин, действующие в пространстве функций, зависящих от импульса (операторы в импульсном представлении), причем операторы одной и той же величины в разных представлениях
имеют одни и те же собственные значения, а собственные функции любых операторов в разных
представлениях связаны, как и любые другие функции.
Проведенное рассмотрение показывает, что для анализа любой квантовомеханической задачи можно использовать не только координатное, но и импульсное представление, причем последнее обладает теми же свойствами, что и первое. При этом и многие формулы координатного
и импульсного представления (например, операторы координаты в импульсном представлении
и импульса в координатном) очень «симметричны». Последнее аналогично известному из классической механики подобию координаты и импульса, причем, как и в случае классических
уравнений Гамильтона, отличие импульсов от координат сводится к разным знакам.
В заключение отметим, что можно построить и волновые функции состояний физических
5
систем и операторы физических величин в представлении любой физической величины. Аргументами таких функций являются все возможные значения рассматриваемой величины (то есть
все собственные значения ее оператора), а значения волновых функций при каждом значении
аргумента определяют вероятность этого значения аргумента. При этом волновые функции в
представлении величин, обладающих дискретным спектром собственных значений, должны
быть отличны от нуля только при таких значениях аргумента, которые совпадают с одним из
собственных значений оператора этой величины (так как вероятности обнаружить другие значения этой величины равны нулю). Поэтому такие функции зависят от дискретной переменной
и, фактически, представляют собой счетное множество чисел (конечное или бесконечное в зависимости от числа собственных функций оператора), представляющих собой коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора этой физической величины.
6