Реферат На тему «Движение в центральном симметричном поле» Студента I –го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Немного теории. Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля. Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой dL точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению K отсюда следует, dt что L = const. dL (где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение K dt получается из уравнения L = [rp]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем dL d dr dp [ rp] [ p] [ r ]. dt dt dt dt dr - есть скорость V частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен dt нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во dp втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким dt Так как образом, dL [ rF ] .) dt Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля. Данное уравнение можно записать в виде: ds [ rds] ]m , dt dt L m[ rv ] m[ r L 0 A’ r ds A где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA’ , описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через dS, можно записать величину момента в виде L 2m dS . dt Величина dS называется секториальной скоростью. dt Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел. Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю: m1v1+m2v2=0, где v1,v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц v = v1-v2. Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы v1 m2 m1 v , v2 v, m1 m 2 m1 m 2 выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость. Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим m1v 12 m 2v 22 E U (r ), 2 2 где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим mv2 E U (r ) , 2 где m обозначает величину m m1 m 2 , m1 m 2 называемую приведенной массой частиц. Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы dr в центральном внешнем поле с dt потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле. одна частица с массой m двигалась со скоростью v Постановка задачи. Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил. mv 2 E U (r ) , представим 2 v (скорость) в полярных координатах Рассмотрим треугольник ABD: ds~AB, следовательно ds 2 dr r 2 2 d 2 2 v ds r r dt 2 2 2 2 2 , откуда получаем m r m r E U (r ) 2 2 2 2 Выразим r dr dt 2 E U (r ) r 2 2 [ L mr 2 ] m dt 2 2 2 E U (r ) L2 2 m mr dr 2 L2 E U ( r ) 2 2 m mr Осталось выразить характер траектории L mr 2 d L dt mr 2 Ldt d mr 2 Подставим выражение (*) в (**) (**) (*) Ldr d mr 2 2 L2 E U ( r ) 2 2 m mr Проинтегрируем Ldr c 2 L2 E U ( r ) 2 2 mr m mr Ldr c L2 2 r 2 m E U ( r ) 2 r Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле. 2 Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля. qq U ( r ) , где 1 2 r 40 d L r L2 2m E 2 r r c Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену a da 2ma 2 2mE a L a 2 2m E a L da 2ma m 2 2 m2 2 2 2mE (a 2 ) 2 L L L Сделаем замену тогда da m b , L da db a L r da (2mE m2 2 m 2 ) (a ) 2 L L db (2mE m2 2 ) b2 2 L Далее применим формулу arcsin dx a x 2 2 arcsin x a L2 L m 1 b rm r L arccos arccos m2 2 m 2 2 2mEL2 2 EL2 (2mE 2 ) ( 1 ) 1 L L2 m2 2 m 2 В итоге получаем P 1 arccos r e где e , 2 EL2 L2 1 ; P m 2 m P 1 e cos r p r (1 e cos ) P r 1 e cos Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля. При e >1 – гипербола; e =1 – парабола; 0< e <1 – эллипс; e =0 – окружность; Литература: 1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г. 2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.