Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур М.С.Жолудев научные руководители: д.ф.-м.н. В.Я.Алешкин д.ф.-м.н. В.И.Гавриленко Содержание • Введение • Описание однородных полупроводников – kp-метод – модель Кейна • Учет неоднородностей – плавное поле – гетероструктуры • Примеры расчетов 1. Введение Введение гамильтониан электрона в кристалле: 2 ˆ p ˆ V (r) pˆ σ H (pˆ ) V (r ) 2 2 2me 4me c V (r R ) V (r ) R – вектор прямой решетки Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: 2 ˆ p ˆ V (r) pˆ σ H (pˆ ) V (r ) 2 2 2me 4me c V (r R ) V (r ) R – вектор прямой решетки ikr ( r ) e un,k (r), k 1 собственная функция: n,k медленная огибающая быстро осциллирующая периодическая часть Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: 2 ˆ p ˆ V (r) pˆ σ H (pˆ ) V (r ) 2 2 2me 4me c V (r R ) V (r ) R – вектор прямой решетки ikr ( r ) e un,k (r), k 1 собственная функция: n,k уравнение для блоховских функций: Hˆ (pˆ k ) u Eu u (r R ) u (r ) Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: 2 ˆ p ˆ V (r) pˆ σ H (pˆ ) V (r ) 2 2 2me 4me c V (r R ) V (r ) R – вектор прямой решетки ikr ( r ) e un,k (r), k 1 собственная функция: n,k уравнение для блоховских функций: … и его решения: Hˆ (pˆ k ) u Eu u (r R ) u (r ) E1 (k ), , E n (k ), u1,k (r ), , u n,k (r ), Теорема Блоха гамильтониан электрона в кристалле: 2 ˆ p ˆ V (r) pˆ σ H (pˆ ) V (r ) 2 2 2me 4me c V (r R ) V (r ) R – вектор прямой решетки ikr ( r ) e un,k (r), k 1 собственная функция: n,k уравнение для блоховских функций: Hˆ (pˆ k ) u Eu u (r R ) u (r ) частично можем получить …изиэксперимента его решения: E1 (k ), , E n (k ), u1,k (r ), , u n,k (r ), Выводы • Нельзя вычислить зонную структуру непосредственно решая уравнение Шредингера, т.к. периодический потенциал неизвестен • Часть информации о зонной структуре можно получить из эксперимента, а остальное «достроить» с помощью приближенных методов 2. kp-метод kp-гамильтониан Hˆ (pˆ k ) u Eu u (r R ) u (r ) 2 2 2 ˆ ˆ p k p k ˆ H (pˆ k ) V (r ) 2me me 2me 2 V (r) pˆ σ 2 2 V (r) k σ 2 2 4me c 4me c kp-гамильтониан Hˆ (pˆ k ) u Eu u (r R ) u (r ) 2 2 ˆ k p k ˆ ˆ H (pˆ k ) H (pˆ ) me 2me Базис блоховских функций ˆ k pˆ 2k 2 H (pˆ ) un,k En (k ) un,k me 2me Базис блоховских функций ˆ k pˆ 2k 2 H (pˆ ) un,k En (k ) un,k me 2me c,k (r) eikruc,k (r) Базис блоховских функций ˆ k pˆ 2k 2 H (pˆ ) un,k En (k ) un,k me 2me c,k (r) eikruc,k (r) Базис для периодических функций: u n ,k (r ), n 1, 2, По нему можно разложить любую периодическую функцию Базис Кона-Латтинжера Hˆ (pˆ ) un,0 En (0) un,0 k 0 – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше c,k (r) eikruc,k (r) Базис для периодических функций: un , 0 (r ), n 1, 2, По нему можно разложить любую периодическую функцию Базис Кона-Латтинжера Hˆ (pˆ ) un,0 En (0) un,0 k 0 – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше c,k (r) eikruc,k (r) Базис для периодических функций: un , 0 (r ), n 1, 2, По нему можно разложить любую периодическую функцию: uc ,k (r ) Cnun ,0 (r ) n Базис Кона-Латтинжера Hˆ (pˆ ) un,0 En (0) un,0 k 0 – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше c,k (r) Cn eikr un,0 (r) n Базис для периодических функций: un , 0 (r ), n 1, 2, Базис Кона-Латтинжера: eikr un , 0 (r ), n 1, 2, k 1 Теория возмущений возмущение c,k (r) eikr uc ,0 (r) Cn(1) eikr un,0 (r) nc возмущение Теория возмущений ˆ k pˆ 2k 2 H (pˆ ) un,k En (k ) un,k me 2me c(,0k) (r) eikruc,0 (r) 2-й порядок E (k ) (1) c Ec( 0 ) (k ) Ec (0) nc 1-й порядок uc , 0 k pˆ un , 0 2 2k 2 Ec (0) En (0) 2me Теория возмущений ˆ k pˆ 2k 2 H (pˆ ) un,k En (k ) un,k me 2me c(,0k) (r) eikruc,0 (r) 1-й порядок 2-й порядок E (k ) (1) c Ec( 0 ) (k ) Ec (0) nc uc , 0 k pˆ un , 0 2 2k 2 Ec (0) En (0) 2me или 2 T Ec (k ) Ec (0) k m 1 k 2 зона проводимости всегда получается параболической kp-метод • Зависимость энергии от k рассматривается как возмущение, вызванное влиянием других зон • Эта зависимость аппроксимируется некоторой функцией, параметры которой извлекают из экспериментальных результатов. • Невырожденная зона всегда получается параболической 3. Модель Кейна Evan O. Kane, “Band structure of indium antimonide”, J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957) Модель Кейна возмущение c,k (r) eikr uc ,0 (r) Cn(1) eikr un,0 (r) nc возмущение Модель Кейна возмущение c ,k (r) eikr Ci( 0) ui ,0 (r) eikr Cn(1) un,0 (r) i возмущение n i Модель Кейна возмущение i c, c c ,k (r) eikr Ci( 0) ui ,0 (r) eikr Cn(1) un,0 (r) i i hh, hh i lh, lh i sh, sh возмущение n i Гамильтониан Кейна – матрица Векторная запись волновой функции: где u1 (r ) u u (r ) 8 e u ψ ikr T C1 ψ C 8 Уравнение Шредингера: Hˆ E T T ˆ ˆ H (p k ) u ψ Eu ψ u Hˆ (pˆ k ) uT ψ Eψ H(k )ψ Eψ Гамильтониан Кейна k pˆ возмущение me 2 2 ˆ k p k ˆ H (pˆ ) me 2me k pˆ возмущение me Гамильтониан Кейна (фрагмент) H энергия в Г-точке c c c hh lh c hh lh Ec Ec Ev Ev Гамильтониан Кейна (фрагмент) H энергия в Г-точке c c lh c 2k 2 Ec 2me hh 1 Pk 2 2k 2 Ec 2me c hh + взаимодействие базисных функций 2 Pkz 3 1 Pk 6 2k 2 Ev 2me 1 Pk 2 2 Pkz 3 lh 1 Pk 6 2k 2 Ev 2me Гамильтониан Кейна (фрагмент) H энергия в Г-точке c c lh c 2k 2 Ec 2me + возмущение hh lh 1 Pk 2 2k 2 Ec 2me c hh + взаимодействие базисных функций 1 Pk 2 2 Pkz 3 1 Pk 6 2 Pkz 3 1 Pk 6 2k 2 Ev 2me 2k 2 Ev 2me Гамильтониан Кейна c c c T c hh hh 1 Pk 2 T lh 1 Pk 2 2 Pkz 3 1 Pk 6 1 Pk 6 sh 1 Pk z 3 2 Pkz 3 1 Pk 2 1 Pk 3 sh 1 Pk 3 1 Pk z 3 lh hh lh 2 Pkz 3 1 Pk 6 1 Pk 6 2 Pkz 3 U V S* S U V R* R 1 S 2 2R 2 S 3 hh 1 Pk 2 sh 1 1 Pk z Pk 3 3 1 Pk 3 1 * S 2 R U V S* S U V 2 * S 3 2V 2R* 1 * S 2 sh R * 2V * lh 1 Pk z 3 2R 2 * S 3 2V 2 S 3 2V 2R 1 S 2 U U Гамильтониан Кейна c c c T c hh T lh 1 Pk 2 2 Pkz 3 1 Pk 6 1 Pk 6 sh 1 Pk z 3 2 Pkz 3 1 Pk 2 1 Pk 3 sh 1 Pk 3 1 Pk z 3 lh hh hh 1 Pk 2 lh lh hh 1 Pk 6 2 Pkz 3 sh sh 1 1 Pk z Pk 3 3 1 1 1 2 1 Pk Pk Pk z Pkz Pk Гамильтониан Кона-Латтинжера 2 3 3 3 6 1 * * S 2R U V S R 2 S U V R* R 1 S 2 2R U V S* S U V * 2V * R 2 S 3 2 * S 3 2V 2R* 1 * S 2 2 * S 3 2V 2 S 3 2V 2R 1 S 2 U U Гамильтониан Кейна c c c T c hh hh 1 Pk 2 T lh 1 Pk 2 2 Pkz 3 1 Pk 6 1 Pk 6 sh 1 Pk z 3 2 Pkz 3 1 Pk 2 1 Pk 3 sh 1 Pk 3 1 Pk z 3 lh hh lh lh 2 Pkz 3 1 Pk 6 1 Pk 6 2 Pkz 3 hh 1 Pk 2 sh 1 1 Pk z Pk 3 3 1 Pk 3 1 * S 2 Точный учет U V S * взаимодействия R зоны проводимости и валентной зоны R S U V R* R 1 S 2 2R S* S U V * 2V * U V 2 S 3 2 * S 3 2V 2R* 1 * S 2 sh 1 Pk z 3 2R 2 * S 3 2V 2 S 3 2V 2R 1 S 2 U U Модель Кейна • Явно учитывает несколько зон, которые имеют разную энергию даже в нулевом приближении • Взаимодействие между этими зонами входит в гамильтониан точно • Поправки к энергии, связанные с влиянием далеких зон рассматриваются как возмущение • Модель учитывает непараболичность зоны проводимости kp-метод для зоны проводимости модель Кейна базис – одна функция базис – 8 функций периодическая часть ψ не зависит от k периодическя часть ψ зависит от k непосредственного взаимодействия между базисными функциями нет непосредственное взаимодействие между базисными функциями учитывается точно влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение зона проводимости параболическая зона проводимости непараболическая валентная зона не рассматривается валентная зона учитывается 3 зоны kp-метод для валентной зоны модель Кейна базис – 4 или 6 функций базис – 8 функций периодическая часть ψ зависит от k периодическя часть ψ зависит от k непосредственного взаимодействия между базисными функциями нет непосредственное взаимодействие между базисными функциями учитывается точно влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение зона проводимости не рассматривается зона проводимости непараболическая валентная зона учитывается 2 или 3 зоны валентная зона учитывается 3 зоны 4. Неоднородные системы Плавный потенциал 2 ˆ p V (r ) U (r ) Hˆ (pˆ ) 2me V (r R ) V (r ) Плавный потенциал можно разложить по плоским волнам из 1-й зоны Бриллюэна: ~ U (r ) e U (k ) ikr k1 Кулоновский потенциал мелкой примеси является плавным вдали от центра Плавный потенциал 1 (r ) ψ (r ) (r ) 8 C1 ikr ikr e ψe C 8 огибающие – плавные функции: i (r ) ikr e Ci (k ) k1 H(k )ψ Eψ H(i) IU (r)ψ(r) Eψ(r) J. M. Luttinger and W. Kohn, “Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields”, Phys. Rev. 97, 869 (1955) Гетероструктура • Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются • Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным Кусочно-гладкое решение Материал A Материал B 1. Находим огибающие для каждой однородной области H (k )ψ Eψ A A A H (k )ψ Eψ A B B B B 2. Сшиваем решения на границах правильно – сшивать полные волновые функции: T exp( ik r0 ) u (r0 ) ψ A A A T exp( ik r0 ) u (r0 ) ψ B B B граничные условия: непрерывность полной волновой функции и ее производной Кусочно-гладкое решение Материал A Материал B 1. Находим огибающие для каждой однородной области H (k )ψ Eψ A A A H (k )ψ Eψ A B B B 2. Сшиваем решения на границах приходится сшивать огибающие exp( ik r0 )ψ A A exp( ik r0 )ψ B B граничные условия – основная проблема B Опорный кристалл V B (r ) V A (r ) Опорный кристалл V B (r ) V 0 (r) V A (r ) 2 ˆ p 0 0 0 ˆ H (pˆ ) V (r ) V (r ) pˆ σ 2 2 2me 4me c V (r R) V (r) 0 0 Опорный потенциал V0 является периодическим для всей структуры. Его блоховские функции – базис, по которому раскаладывается волновая функция электрона. Опорный кристалл V (r ) V (r ) V B (r ) V 0 (r) V A (r ) 2 ˆ p 0 0 ˆ H (pˆ ) V (r ) V (r ) pˆ σ 2 2 2me 4me c V (r) pˆ σ возмущение V (r ) 2 2 4me c V 0 (r R ) V 0 (r ) Разложение волновой функции u10 (r ) Блоховские функции опорного потенциала u одинаковы для всей структуры u 0 (r ) 8 M. G. Burt, “The justification for applying the effective-mass approximation to microstructures”, J. Phys.: Condens. Matter 4, 6651 (1992) Разложение волновой функции u10 (r ) Блоховские функции опорного потенциала u одинаковы для всей структуры u 0 (r ) 8 Волновая функция имеет тот же вид, что и в случае плавного потенциала: 1 (r ) ψ (r ) (r ) 8 i (r ) ikr e Ci (k ) k1 Разложение волновой функции u10 (r ) Блоховские функции опорного потенциала u одинаковы для всей структуры u 0 (r ) 8 Волновая функция имеет тот же вид, что и в случае плавного потенциала: 1 (r ) ψ (r ) (r ) 8 i (r ) ikr e Ci (k ) k1 Уравнение Шредингера записывается для всей структуры H(i)ψ (r ) Eψ (r ) Полный гамильтониан H(i)ψ (r ) Eψ (r ) Вместо волнового вектора используется дифференциальный оператор. Он не коммутирует с эффективной массой, которая зависит от координат. Граничные условия для огибающей содержатся в гамильтониане. Полный гамильтониан H(i)ψ (r ) Eψ (r ) Явный вид гамильтониана неизвестен, поэтому используются простые модели: 2 1 i * i 2 m ( z) 2 2 k * z 2m 2 m ( z ) i m ( z ) i m ( z ), 2 2 1 Расчет для неоднородной системы • В случае плавного потенциала достаточно перейти от алгебраический уравнений к дифференциальным заменой k на i • В гетероструктуре нет общего базиса блоховских функций Кусочно-гладкое решение • Можно решать уравнение отдельно для каждого материала • Граничные условия неизвестны как и блоховские функции • Граничные условия нужно выбирать исходя из каких-нибудь дополнительных соображений Опорный кристалл • Можно выбрать опорный кристалл и использовать его блоховские функции, рассматривая различия материалов как возмущение • Гамильтониан описывает всю структуру и не нужно сшивать решения на границах • Правильный гамильтониан неизвестен, и потому используются различные модели (эквивалентно выбору граничных условий) Гетероструктура • Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются • Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным • Это существенно для узких ям высокого качества (например GaAs/AlAs) 5. Примеры расчетов Уровни энергии в квантовой яме HgTe/CdTe 1-я подзона зоны проводимости 1-я валентная подзона 2-я валентная подзона 3-я валентная подзона Энергия при k=0, мэВ 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 40 50 60 70 80 90 100 110 Ширина квантовой ямы, Å 120 Зонная структура КЯ Hg0.86Cd0.14Te/Cd0.7Hg0.3Te 40 20 Energy, meV 0 -20 E(-3) E(-2) E(-1) E(0) E(1) -40 -60 -80 -100 0,000 0,005 0,010 0,015 -1 k, Angstrom 0,020 Методы расчета зонной структуры квантовых ям трансфер-матрица Кусочно-гладкое решение матрица рассеяния Полный гамильтониан разложение по полному ортонормированному базису трансфер-матрица матрица рассеяния связывает амплитуды огибающих связывает амплитуды огибающих для решений, на правой и левой границе распространяющихся внутрь структуры структуры и наружу используется умножение матриц используется умножение и обращение матриц метод неустойчив метод устойчив Применение различных методов дискретный спектр непрерывный спектр метод матрицы рассеяния требует поиска нулей функции позволяет найти решение с любой наперед заданной энергией разложение по полному базису дает сразу все уровни всегда получается дискретный спектр Другие пути • Разложение по большому числу зон без kp-возмущения (гамильтониан 14x14, 20x20, … иногда 8x8) • Разложение по блоховским функциям нескольких точек Γ, X, L, … • Учет поправок, связанных с резким потенциалом • Расчеты из первых принципов – попытка подобрать вид периодического потенциала