ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА Областной конкурс «Юные дарования» Ответы и решения к заданиям заочного тура конкурса «Юный знаток математики» 8 класс 2010 – 2011 учебный год №1. (3 балла) Можно ли найти три последовательных натуральных числа, произведение которых в 25 раз больше их суммы? Ответ: Нельзя. Решение: Рассмотрим три последовательных натуральных числа , , . По условию их произведение должно быть в 25 раз больше суммы, то есть: Последнее уравнение не имеет натуральных решений, а значит, невозможно найти три последовательных натуральных числа, произведение которых в 25 раз больше их суммы. №2.(4 балла) Найдите последнюю цифру числа Ответ: 4. Решение: . В последовательности степеней натурального числа последняя цифра периодически повторяется, причем, если натуральное число заканчивается на 2, то с циклом, равным четырем, его степени заканчиваются на 2, 4, 8, 6. Если показатель степени при делении на 4 дает остатки 1, 2, 3, 0, то данная степень оканчивается цифрой 2, 4, 8, 6 соответственно. При делении на 4 число 6030 дает остаток 2, значит, число заканчивается на 4. №3. (4 балла) Отрезки и пересекаются и . Докажите, что отрезки и перпендикулярны. Вычислите площадь фигуры , если . Решение: Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Они равны по трем сторонам, следовательно, у них равны соответствующие элементы. Значит, угол ABD равен углу CBD. Так как , то треугольник ABC – равнобедренный. Так как BO – биссектриса, проведенная к основанию, то BO также является высотой, значит, отрезки и перпендикулярны. В силу перпендикулярности диагоналей и равенства сторон фигура ABCD является ромбом. (квадратных единиц). №4. (5 баллов) Дом имеет форму квадрата, разделённого на 9 одинаковых квадратных комнат. В каждой комнате живёт либо рыцарь, который всегда говорит только правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый житель дома заявил: «Среди моих соседей рыцарей больше, чем лжецов». Известно, что среди жителей дома есть и рыцари, и лжецы. Сколько среди них рыцарей? (Соседними считаются комнаты, имеющие общую стену.) Ответ: 6 рыцарей. Решение: Предположим, что в центральной комнате дома живёт лжец. Тогда возможны две ситуации. 1) Среди соседей лжеца, живущего в центральной комнате, есть рыцарь. Тогда, поскольку о своих соседях этот рыцарь сказал правду, два его соседа, живущие в угловых комнатах, должны быть рыцарями. Соседи рыцарей, живущих в угловых комнатах, могут быть только рыцарями. Получается, что среди соседей лжеца, живущего в центральной комнате, есть по крайней мере три рыцаря. Это значит, что слова лжеца правдивы, а это невозможно. 2) Все соседи лжеца, живущего в центральной комнате, тоже лжецы. Тогда у жильцов угловых комнат все соседи — лжецы, а значит, они сказали неправду. Получается, что все жильцы дома — лжецы, что противоречит условию задачи. Значит, наше первоначальное предположение неверно, и в центральной комнате живёт рыцарь. Тогда среди всех его соседей есть по крайней мере три рыцаря. Если у жильца угловой комнаты оба соседа — рыцари, он тоже должен быть рыцарем. Значит, в двух угловых комнатах живут рыцари. Получается, что в доме живут по крайней мере шесть рыцарей. Рассмотрим последние три комнаты. Здесь снова возможны две ситуации. 1) В средней из этих трёх комнат живёт рыцарь. Тогда оба соседа жильцов угловых комнат — рыцари, значит, в обеих угловых комнатах живут рыцари, а это значит, что все жители дома — рыцари, что противоречит условию. 2) В средней комнате живёт лжец. Тогда жители обеих угловых комнат солгали, значит, они тоже лжецы. Значит, в доме живут шесть рыцарей и три лжеца. №5. (5 баллов) В симфонический оркестр США приняли на работу трех музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: 1) Смит – самый высокий; 2) играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 3) играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 4) когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; 5) Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый музыкант, если каждый владеет двумя инструментами? Решение: В силу условий 1, 2 и 4 делаем вывод, что Смит не играет ни на скрипке, ни на трубе, ни на альте. Значит, Смит умеет играть на флейте и гобое. В силу условий 3 и 5 Браун не играет ни на скрипке, ни на флейте, ни на трубе, ни гобое. Следовательно, Браун играет на альте и на кларнете. Таким образом, на скрипке и трубе умеет играть Вессон. №6. (5 баллов) Малыш и Карлсон по очереди достают из коробки конфеты, при этом каждый берет на одну конфету больше или меньше, чем перед этим взял другой, не брать конфеты из коробки в свою очередь нельзя. Вначале в коробке было 24 конфеты, и Малыш и Карлсон договорились, что если в какой-то момент в коробке останется ровно 4 или 14 конфет, то тому, чья очередь брать конфеты, достанется торт. Сможет ли Карлсон, который первым берет конфеты, выиграть торт, если вначале он имеет право взять 1 или 2 конфеты? Решение: При правильной игре Карлсон сможет выиграть торт. Его выигрышная стратегия такова: первым ходом Карлсон берет одну конфету. Малыш берет 2 конфеты, Карлсон берет 3. Малыш берет 2 конфеты (если он возьмет 4, то их останется 14), Карлсон берет одну. Малыш берет 2, Карлсон – 1. Малыш берет 2, Карлсон – 1. Малыш берет 2, Карлсон – 1. Малыш берет еще 2 конфеты, и Карлсон получает торт, так как осталось 4 конфеты.