Примеры методов решения олимпиадных задач Терентьева Ольга Ивановна, учитель физики МАОУ Лицей №1. Задача №1 Тело движется прямолинейно вдоль оси 0𝑥. Начальная координата тела равна 0, а его скорость в зависимости от координаты изменяется по формуле 𝑣 = 𝛼 √𝑥. Через какое время тело окажется в точке 𝑥? Решение: 1 способ. 𝑑𝑥 𝑣= 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝛼√𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝛼 √𝑥 𝑡 𝑥 𝑑𝑥 ∫0 𝑑𝑡 = ∫0 𝑡= 𝛼 √𝑥 2√𝑥 . 𝛼 Ответ: 𝑡 = 2√𝑥 𝛼 2 способ. По условию задачи 𝑥(0) = 0 и 𝑣(0) = 0 Предположим, что движение равноускоренное, тогда 𝑣2 𝑥 = 2𝑎 , 𝑣 = √2𝑎𝑥. Обозначим √2𝑎 = 𝛼, тогда 𝑣 = 𝛼 √𝑥, значит, движение данного тела равноускоренное. 𝑣𝑡 Координату можно рассчитать по формуле 𝑥 = 2 , 𝑡 = Ответ: 𝑡 = Задача №2 2√𝑥 𝛼 2𝑥 𝑣 = 2√𝑥 . 𝛼 Провод, по которому протекает ток, согнут под прямым углом (рис.1). Точки 1 и 2 лежат на биссектрисе угла на расстоянии 𝑙 от вершины. Модуль вектора магнитной индукции магнитного поля, созданного током, в точке 1 равен B1, а в точке 2 – B2. На рис.2 изображен провод, по которому протекает такой же ток.AB = 𝑙, BC = 2 𝑙. Определите модуль вектора магнитной индукции в точке 3. Решение: 1 способ. По закону Био-Савара-Лапласа прямой проводник с током создаёт магнитное поле, µ 𝐼 0 модуль вектора магнитной индукции которого B=4𝜋𝑙 (cos 𝛼1 − cos 𝛼2 ), где 𝐼 − сила тока в проводнике, 𝑙 − расстояние от проводника до данной точки. Для точки 1 𝛼1 =0°,𝛼2 =45°,𝛼3 =135°,𝛼4 =180°, µ0 𝐼√2 B1= 4𝜋𝑙 (cos 𝛼1 − cos 𝛼2 + cos 𝛼3 − cos 𝛼4 ) = µ0 𝐼√2 4𝜋𝑙 (1 − √2 √2 − 2 2 + 1)= (1 + √2 √2 + 2 2 + 1)= µ0 𝐼√2 4𝜋𝑙 (2-√2) Для точки 2 𝛼1 =0°,𝛼2 =135°,𝛼3 =45°,𝛼4 =180°, µ0 𝐼√2 B2= 4𝜋𝑙 B1 + B2= (cos 𝛼1 − cos 𝛼2 + cos 𝛼3 − cos 𝛼4 ) = µ0 𝐼√2 4𝜋𝑙 µ0 𝐼√2 4𝜋𝑙 µ0 𝐼√2 4𝜋𝑙 (2+√2) µ 𝐼 0 4, B2 – B1= 4𝜋𝑙 4 По рисунку 2: BMA=0 µ 𝐼 0 (cos 90° − cos 135°) = BAB = 4𝜋𝑙 √2 (0+ 2 ), µ 𝐼 µ0 𝐼 √2 √2 ( + 4𝜋𝑙 2 2 µ 𝐼 µ0 𝐼 √2 ( +1 4𝜋𝑙 2 0 (cos 45° − cos 135°) = BBC = 4𝜋𝑙 0 (cos 45° − cos 180°) = BCN = 4𝜋𝑙 µ 𝐼 µ0 𝐼 4𝜋𝑙 0 B=4𝜋𝑙 (2√2 + 1) = B1 + B2 2 + B2 – B1 4 = ), ). B1 + 3B2 4 Очевидно, что задача переопределена, и решение требует знания закона Био-СавараЛапласа, что выходит за рамки программы в непрофильных классах. Ответ: B= 2 способ. B1 + 3B2 4 Обратимся к рисунку 1. Очевидно, что через точку 1 проходит только одна магнитная линия с центром в вершине угла. Обозначим магнитную индукцию в этой точке B*. Через точку 2 проходят три линии: одна с центром в вершине угла и две с центрами на сторонах угла (им соответствует индукция B**). Тогда B1 = B*, B2= B*+2 B** , или B* = B1, B**= B2 – B1 2 . Индукция магнитного поля по мере удаления от источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, поэтому всем магнитным линиям на рисунке 2 будут соответствовать индукции в 2 раза меньшие B* и B**. 1 1 B = 2(2 B*+3 B**) = 2(2 B1+3 Ответ: B = B2 – B1 B1 + 3B2 2 4 )= . B1 + 3B2 4 . Задача №3 Если равномерно заряженный шар разрезать пополам и отпустить половинки, то после разлета на бесконечно большое расстояние они будут иметь скорость v1. Если взять половину того же шара, разрезать пополам и отпустить половинки, то после разлета на бесконечно большое расстояние они будут иметь скорость v2. Берут первоначальный шар, вырезают из него четвертую часть и отпускают получившиеся части. Какую скорость будет иметь на бесконечно большом расстоянии меньшая часть? Считать, что при разлете части шара движутся поступательно (без вращения). Решение: Рис.1 Рис.2 Обозначим W энергию взаимодействия двух частей (рис.1) и W* - энергию взаимодействия двух частей (рис.2). Тогда W1= 2 W + 2 W*, W2 = W, W3 = 2 W + W*. Выразим W3 через W1 и W2 1 W* = W1- W2, 2 1 1 W3 = 2 W2 + 2W1-W2 = W2 + 2W1. По закону сохранения энергии 𝑚 𝑣1 2 W1 = 2 2 2 𝑚 𝑣2 2 W2 = 2 4 W3 = 2 𝑚 𝑣3 2 4 2 = = 𝑚𝑣1 2 2 𝑚𝑣2 2 4 , , 3𝑚 𝑣4 2 + 4 2 . По закону сохранения импульса 0= 𝑚𝑣3 4 W3 = - 3𝑚𝑣4 𝑚 𝑣3 2 4 2 4 + , 𝑣4 = 𝑣3 /3 и 3𝑚 𝑣3 2 = 4 18 𝑚𝑣3 2 6 1 Так как W3 = W2 + 2W1, 𝑚𝑣3 2 6 = 𝑚𝑣2 2 4 + 𝑚𝑣1 2 4 , 3 𝑣3 = √ (𝑣1 2 + 𝑣1 2 ). 2 3 Ответ: 𝑣3 = √2 (𝑣1 2 + 𝑣1 2 )