Шибанова Татьяна Павловна Методы решения иррациональных уравнений. Цели: Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения. Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления. Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности. Задачи урока: 1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений; 2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения; 3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров; 4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения; 5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач. Тип урока: комбинированный Методы обучения: Информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; системные обобщения. Формы организации учебной деятельности: Фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения. Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний. Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут. 1 Шибанова Татьяна Павловна План урока: I. II. III. IV. V. VI. Организационный момент. Постановка цели, мотивация. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы. Изучение нового материала. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия. Задание на дом. Конспект урока. I Организационный момент. Постановка цели, мотивация. II Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания. Определение иррационального уравнения. Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным. Назовите иррациональные уравнения: 11х 1 2 х 2 2 2 х х2 3 х 3х 4 7 1 х3 х 5 0 Что значит решить иррациональное уравнение? Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует. Основные методы решения иррациональных уравнений. 1. Уединение радикала. Возведение в степень. a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути: 1) использование равносильных преобразований для уравнения вида f ( x) g ( x) : 2 Шибанова Татьяна Павловна f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 0 2 для уравнения вида f ( x) g ( x ) : f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) или g ( x) 0 f ( x) 0 2) после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может. Пример 1: 3x 3 x 1 3 3x x 1 x2 x 2 0 x 2; x2 1 3x 3 x 1 1 x 1 x 1 x 1 0 2 Ответ: x=1 Пример 2: 7 5x2 2 x 0 7 5x 2 2 x 5 x 2 2 x 7 0 x1 1, 4; x2 1 7 5x2 2 x x 0 2 x 0 x 0 Ответ: x=1 Пример 3: x 1 3 x x 1 3 x x 1 3 x 2 x 1 9 6 x x2 x 2 7 x 10 0 Проверка: x=2 D 49 40 9 2 1 3 2 1 1 верно x=5 5 1 3 5 2 2 ложно 73 2 2 73 x2 5 2 x1 x 5 - посторонний корень Ответ: x=2 3 Шибанова Татьяна Павловна Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно. 3 2x 5 x 5 Пример 4: 3 2x 5 x 5 3 2x 5 5 x 3 2x 5 2 5 x 2 3 2 x 25 10 5 x 5 x 10 5 x 2 27 x 2 x 2 154 x 229 0 x1 77 10 57 x2 77 10 57 Проверка показывает, что оба корня подходят. Ответ: x1 77 10 57 x2 77 10 57 2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены Пример 5: 2 x2 6 x x2 3x 6 2 0 2 x 2 3x x 2 3x 6 2 0 Сделаем замену x 2 3x 6 y причём y 0 тогда y 2 x 2 3x 6 x 2 3x y 2 6 2 y2 6 y 2 0 2 y 2 y 10 0 1 9 5 4 2 1 9 y2 2 4 y1 не удовлетворяет условию y 0 Возвращаемся к замене: 4 Шибанова Татьяна Павловна x 3x 6 2 2 x 3x 6 4 2 x 2 3x 2 0 Проверка показывает, что оба корня подходят. x1 1 x2 2 Ответ:1;2 Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных. Пример 6: 3 9 х 3 7 х 4. Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение 3 9 х a , 3 7 х b. 9 x a3 , Тогда, 7 x b3. Выполним почленное сложение обеих частей уравнения a b 4 Имеем систему уравнений 3 3 a b 16 16 a 3 b 3 . a b 4 2 2 (a b)(a ab b ) 16 a b 4 2 2 a ab b 4 Т.к. а + в = 4, то (a b) 2 16, a 2 b 2 16 2ab, a b 4 16 2ab ab 4 Значит: a b 4 16 3ab 4 3 9 x 2 3 7 x 2 a 2 b 2 a b 4 ab 4 9 – x = 8 , х = 1. Ответ : х = 1 3. Метод разложения на множители или расщепления. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Пример 7: 16 x 2 3 x 0 16 x 2 0 x1 4; x2 4 2 16 x 3 x 0 x 3 3 x 0 Ответ: -4;3 5 Шибанова Татьяна Павловна Изучение нового материала. III Нестандартные методы решения иррациональных уравнений. 4. Умножение на сопряжённое выражение. 5. Переход к модулю. 6. Использование свойств функции: Область определения функции (ОДЗ) Область значения функции Свойство ограниченности функции (метод оценок) Свойство монотонности Использование суперпозиций функций Умножение на сопряжённое выражение. Воспользуемся формулой a b a b a2 b2 5 x 1 x 2 Пример 8: Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение: 5 x 1 x 5 x 1 x 2 5 x 1 x 2 5 x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 2 2 5 x 4 5 x 2 5 x 4 x 1 Проверка показывает, что число является корнем. Ответ: x 1 Переход к модулю. Для этого метода воспользуемся тождеством: Пример 9: a2 a x2 2 x 1 x2 2 x 1 6 6 Шибанова Татьяна Павловна x 2x 1 x 2x 1 6 2 2 x 1 2 x 1 2 6 x 1 x 1 6 Рассмотрим случаи: Если x 1, то x 1 0 , тогда x 1 x 1, x 1 0, тогда x 1 x 1 x 1 x 1 6 2 x 6 x 3 Если 1 x 1 , тогда x 1 x 1 ,а x 1 x 1 x 1 x 1 6 2=6( ложно) Если x 1 , тогда x 1 x 1 , а x 1 x 1 x 1 x 1 6 2x 6 x3 Ответ: -3;3 Использование свойств функции: Область определения функции (ОДЗ) Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение. Пример 10: x2 x 2 x x2 x 1 x2 x 0 x 1, x 0 2 ОДЗ: 2 x x 0 2 x 1 x 0 x 0 Проверка показывает, что только ОДЗ: x=0 и x=1 x=1 является корнем. Ответ: x 1 7 Шибанова Татьяна Павловна x x 7 3x 2 Пример 11: x 0 , тогда Тогда 7 3x 0 x x 7 3 x x x 7 3 x x x 7 3x 2 невозможно. Ответ: корней нет. Область значений функции Пример 12: x 3 1 Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция y x 3 может принимать только неотрицательные значения. Ответ: корней нет Пример 13: x3 3x 2 16 x 2 1 1 2 x 2 Учитывая то, что левая часть уравнения – функция y x3 3x 2 16 x 2 1 может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: 1 2 x 2 0 1 2 x 2 0 2 x 2 1 0 2 x 2 1 неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже. Ответ: корней нет Свойство ограниченности функции (метод оценок) f x A Если f ( x) A и g ( x) A , то f ( x) g ( x) g x A Пример 14: x2 4 x 2 1 3 5x 2 Заметим, что x2 4 x2 1 4 1 , т.е. x2 4 x2 1 3 , а 3 5 x 2 3 2 3 5 x 3 x 4 x 1 3 5x 2 2 x 4 x 1 3 2 2 2 3 5x2 3 5 x 2 0 Проверка показывает, что это значение является и корнем x0 второго уравнения. Ответ: x 0 8 Шибанова Татьяна Павловна Свойство монотонности Пусть y f x - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение f x a имеет на промежутке I не более одного корня. Пусть y f x - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция y g x - убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение f x g x имеет на промежутке I. не более одного корня . 3 x 3 x Пример 15: Рассмотрим функции f ( x) 3 x и g x 3 x . f ( x) 3 x монотонно возрастает, а g x 3 x - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Значение корня легко найти подбором: x 1 Ответ: x 1 Пример 16: 3 2x 1 3 x 1 1 Функция f x 3 2 x 1 3 x 1 возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение f x 1 имеет не более одного корня. Так как f 1 1, то x 1 - единственный корень . Ответ: x 1 Использование суперпозиций функций Если f x - монотонно возрастающая функция, то уравнения f x x f f x x равносильны. Пример 17: и 1 x x 1 Запишем уравнение в виде 1 1 x x Рассмотрим функцию f x 1 x - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид Сделаем замену f f x x . Оно равносильно уравнению 1 x x x t, t 0 9 Шибанова Татьяна Павловна t t 1 0 2 D 1 4 5 1 5 2 1 5 t2 2 t1 не удовлетворяет условию t 0 1 5 2 62 5 x 4 3 5 x 2 x Ответ: x IV. 3 5 2 Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым. Решение уравнений в группах по 6 человек. Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его. После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу: 1 6 5 2 3 4 Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки. Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы. Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы. V. VI. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия. Задание на дом: Решить уравнения: 1) x 1 x 1 10 2) x 1 16 x 17 x 18x 23 3) 5 x x 1 2 4) 5 Шибанова Татьяна Павловна 16 x 5 x 1 2,5 x 1 16 x 5) 1 2 x x 2 x 1 0 2 6) 10 x x 10 2 7) x2 2x x x2 x 0 8) * x2 ax 2a x 1 Используемая литература. 1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2 3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989 4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004. 5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006. 11 Шибанова Татьяна Павловна Задания для работы в группах: Вариант 1(1,3,5 группы). Вариант 2( 2,4,6 группы) Решите уравнения, Решите уравнения, используя подсказку: используя подсказку: 1. Возведи обе части в квадрат: 1. Возведи обе части в квадрат: х2 2 x 10 2 x 1 2. Выполни замену: 24 x x 3 3. Найди ОДЗ: x 1 x 2 x 1 4. Умножай на сопряжённое выражение: 15 x 3 x 6 5. Переходи к модулю: x2 10x 25 x2 10x 25 2x 6. Используй свойства функций: x 3 x 1 2 7. Реши любым способом: 3x2 2 x 15 3x2 2 x 8 7 9 х2 3x 6 6 x 24 2. Выполни замену: x2 3x x2 3x 2 3. Найди ОДЗ: 3x 15 2 x 2 3 5 x 4. Умножай на сопряжённое выражение: 4 x x 5 3 5. Переходи к модулю: 4 x2 4 x 1 4 x2 12 x 9 4 x 2 6. Используй свойства функций: x 1 2 x 1 7. Реши любым способом: 5 x2 5 x2 4 12 Проверочная работа по теме: «Методы Шибанова Татьяна Павловна решения иррациональных уравнений» Вариант 1 Вариант 2 Решите уравнения, Решите уравнения, используя подсказку: используя подсказку: 1. Возведи обе части в квадрат: 1. Возведи обе части в квадрат: x 8 7 x 9 1 2. Выполни замену: x2 x 2 x2 x2 3. Найди ОДЗ: x 1 3х 2 2 x 7 2. Выполни замену: x2 2 x 5x 2 x 2x 5 3. Найди ОДЗ: 3x 3 x 1 4. Разложи на множители: x 2 x2 x 20 6 x 12 5. Умножай на сопряжённое выражение: 5 x 7 x 2 x 15 2 4. Разложи на множители: x 3 5. Умножай на сопряжённое выражение: x 2 x 1 1 6. Переходи к модулю: 5 x x 4 3 6. Переходи к модулю: x2 12x 36 x2 14x 49 2x 1 7. Используй свойства функций: 49 14 x x2 32 x 4 x2 15 x 7 7. Используй свойства функций: 3x 1 x 4 1 8. Реши любым способом: 2 x2 3x 2 x2 3x 9 33 x 2 5x 4 2 x 6 x 1 x 1 2 8. Реши любым способом: 3 x 2 x 1 3 13