3 - School11podolsk.ru

ГОУ Педагогическая академия
Проект
Обобщающее повторение темы « Квадратные уравнения»
в условиях новой формы ГИА – 9
Исполнитель: И.А. Гулякина
МОУ «СОШ 11», учитель.
Научный руководитель:
А.Н. Залунина,
старший преподаватель
кафедры математических
дисциплин.
Город Подольск,2010
2
Содержание
1. Введение.
2. Основная часть.
§1 Квадратные уравнения в первой части экзаменационной работы.
1.1 Теоретические сведения.
1.2 Неполные квадратные уравнения.
1.3 Квадратные уравнения, в которых ни один из коэффициентов не
равен 0.
1.4 Формула D = b2 – 4ac.
1.5 «Дополнительный вопрос».
1.6 Теорема Виета.
1.7 Уравнения с четным вторым коэффициентом.
1.8 Задания на соотнесение.
§2 Уравнения с параметром второй части экзаменационной работы.
3. Заключение.
4. Литература.
3
Введение.
Начиная с 2004 года, в России появилась новая форма организации и
проведения итоговой аттестации за курс основной школы.
Новая форма государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов
общеобразовательных
учреждений (школ, гимназий, лицеев), освоивших
программу основного общего образования, является
средством получения
независимой, объективной оценки знаний учащихся и может считаться
элементом общероссийской системы оценки качества образования.
Экзаменационная работа состоит из двух частей. Первая часть направлена
на проверку базовой подготовки
минимальной
компетентности
в
школьников, отражающей уровень
арифметических
и
алгебраических
вопросах. Она включает 18 заданий. При их выполнении запись решения не
требуется. Учащиеся должны предъявить только ответы:
-выбрать правильный из четырех предложенных;
-записать ответ;
-соотнести некоторые объекты.
Задания в первой части располагаются группами в соответствии с разделами
содержания. Содержание курса разбито на блоки:
-числа;
-буквенные выражения;
-преобразование выражений;
-уравнения и текстовые задачи;
-неравенства;
-последовательности и прогрессии;
-графики и функции;
-элементы статистики и теории вероятностей.
Каждое задание соотносится с одной из четырех категорий познавательной
области:
-знание/понимание;
4
-умение применять известный алгоритм;
-умение применять знания для решения математической задачи;
-применение знаний в практической ситуации.
При
выполнении
продемонстрировать
заданий
первой
определенную
части
системность
учащиеся
знаний,
должны
умение
пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные
задачи в разнообразных формулировках. По сравнению с традиционной
практикой в ней усилены понятийный и практические аспекты.
Вторая часть работы направлена
на
дифференцированную проверку
владения материалом на повышенном уровне. Эта часть содержит 5 заданий.
Задания расположены по нарастанию сложности. Первое задание – самое
простое.
По уровню сложности
оно немного превышает обязательный
уровень. Следующие два задания более высокого уровня. Последние два –
наиболее сложные. Эти задания выполняются с записью решения. Каждое из
них относится к одному из содержательных блоков:
-выражения и их преобразования;
-уравнения;
-системы уравнений;
-неравенства;
-функции;
-координаты и графики;
-арифметическая и геометрическая прогрессии;
-текстовые задачи.
5
Основная часть
§1 Квадратные уравнения в первой части экзаменационной работы.
В данном проекте рассматривается тема: «Квадратные уравнения» из блока
«Уравнения и текстовые задачи». Материал рекомендуется использовать
для обобщающего повторения при подготовке к государственной итоговой
аттестации (в новой форме) по алгебре. Он рассчитан на детей слабого
класса, но применим и для всех остальных. Количество часов по усмотрению
учителя ( 4 часа).
По данной теме ученики должны знать и понимать термины:
-уравнение с одной переменной;
-корень уравнения;
-квадратное уравнение;
-неполное квадратное уравнение;
-приведенное квадратное уравнение.
Уметь:
-выяснять - является ли число корнем уравнения;
-решать квадратное уравнение.
1.1 Теоретические сведения.
Определение. Корнем уравнения с одним неизвестным называют значения
неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Определение. Решить уравнение с одним неизвестным - значит найти все
его корни.
6
Определение. Квадратным уравнением с одним неизвестным x называют
уравнение вида ax2+bx+c=0, где x-неизвестное, a, b и c-некоторые числа
(коэффициенты уравнения), причем a не равно 0.
a - называют первым коэффициентом,
b - вторым коэффициентом,
с - свободным членом.
Квадратное уравнение с
a=1 называют приведенным квадратным
уравнением.
Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме
a), то уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Выражение
D=b2-4ac
называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+bx+с=0.
По дискриминанту квадратного уравнения определяют, сколько оно имеет
корней:
Если D>0, то уравнение имеет два различных корня;
Если D=0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших корня);
Если D<0, то уравнение не имеет корней.
Формулы корней квадратного уравнения
Корни уравнения
ax2+bx+c=0
находят по формуле x 
b D
.
2a
Корни квадратного уравнения, в котором второй коэффициент – четное

число, можно вычислять по формуле x 
b
D

2
D
b
2
4
, где     ac .
4 2
a
7
Теорема Виета
Если приведенное квадратное уравнение x2+px +q=0 имеет корни, то сумма
корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену,
т.е. если
 x1  x2   p;
 x1  x2  q.
x1 и x2 - корни уравнения x2+px+q=0, то 
Обратная теорема Виета
Если сумма двух чисел равна второму коэффициенту приведенного
квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их
произведение рано свободному члену, то эти числа являются корнями
приведенного квадратного уравнения, т.е если выполняются условия
 x1  x2   p;

 x1  x2  q.
то x1 и x2 - корни уравнения x2+px+q=0.
1.2 Неполные квадратные уравнения.
Задание 1.
Решите уравнение 3x2 + x = 0.
Решение: 3x2+x=0.
Вынесем за скобки общий множитель
x(3x+1)=0
x = 0 или 3x + 1 = 0
3x = -1
x= 
Ответ: 0; 
1
.
3
1.1 Решите уравнение
1
3
8
3x – x2 = 0
Ответ:
1.2 Решите уравнение
5x2 + 20x = 0
Ответ:
1.3 Решите уравнение
x2 – 2x = 0
Ответ:
1.4 Решите уравнение
4x2 – 3x = 0
Ответ:
Задание 2. Решите уравнение 2x2 – 8 = 0.
Решите: 2x2 – 8 = 0
Выразим x2, т.е.
2x2 = 8
x2 = 4
x1 = 1 x2 = -2
Ответ: -2 ; 2
2.1 Решите уравнение 2x2 – 50 = 0.
Ответ:
2.2 Решите уравнение 3x2 – 27 = 0.
Ответ:
2.3 Решите уравнение
1 2
x – 12 = 0.
3
Ответ:
2.4 Решите уравнение
Ответ:
1 2
x – 16 = 0.
4
9
Этими
упражнениями
отрабатываем
решения
неполных
квадратных
уравнений. Решаем их без применения формулы корней квадратного
уравнения. Находим корни.
Понятия: неполные квадратные уравнения, корень.
1.3 Квадратные уравнения, в которых ни один из коэффициентов не
равен 0.
Задание 3. Решите уравнение 2x2 + 3x – 5 = 0.
Решение: 2x2 + 3x – 5 = 0
a = 2 b = 3 c = -5
D=b2-4ac
D=32– 4 * 2 *(-5) = 9 + 40 = 49
D>0, 2 корня
x1,2 =
b D
2a
x1 = 1
x2 = -2,5
Ответ:-2,5; 1.
Подсчитаем сумму коэффициентов этого уравнения: 2+3+(-5)=0. Число 1
является корнем этого уравнения.
Если мы решаем квадратное уравнение ax2+bx+c=0 и сумма
его
коэффициентов равна нулю a+b+c=0, то один из корней уравнения равен 1.
3.1 решите уравнение 5x2 + 4x – 1 = 0
Ответ:
3.2 Решите уравнение 2x2 + 3x – 2 = 0
Ответ:
3.3 Решение уравнение 3x2 + 8x – 3 = 0
Ответ:
3.4 Решите уравнение 2x2 – x – 6 = 0
10
Ответ:
3.5 Решите уравнение x2 – 3x – 4 = 0
Ответ:
3.6 Решите уравнение x2 – 7x + 10 = 0
Ответ:
3.7 Решите уравнение x2 – 5x + 6 = 0
Ответ:
3.8 Решите уравнение x2 – 3x – 10 = 0
Ответ:
3.9 Решите уравнение x2 – x – 12 = 0
Ответ:
3.10 Решите уравнение x2- 7x + 12 = 0
Ответ:
Данные уравнения решаем с помощью формулы корней квадратного
уравнения. Отрабатываем формулы: дискриминант, корни квадратного
уравнения.
Понятия: квадратные уравнения, дискриминант, корень.
1.4 Формула D=b2-4ac
Задание 4.
Укажите уравнение, которое имеет два различных корня.
A. 3x2 + 7x + 5 = 0 B. 5x2– 6x + 1 = 0
Б. 9x2 + 5x + 1 = 0
Г. 2x2 - 5x + 5 = 0
Решение:
A. 3x2 + 7x + 5 = 0
D=49 – 4*3*5 = 49 – 60 = -11
D< 0, корней нет.
Б. 9x2 + 6x + 1 = 0
D = 36 – 4*9*1 = 36 -36 = 0
D = 0, один корень.
11
В. 5x2 – 6x + 1 + 0
D = 36 – 4*5*1 = 16
D = 16 > 0, 2 корня .
Г. 2x2– 5x+ 5 = 0
D=25- 4*2*5 = 25 – 40 = -15
D < 0, корней нет.
Ответ: В.
4.1 Укажите уравнение которое имеет два различных корня
А. 2x2 + 5x + 4 = 0
В. x2 – 4x + 4 = 0
Б. 9x2 + 4x + 1 = 0
Г. x2 – 7x + 5 = 0
4.2 Укажите уравнение, которое имеет два различных корня.
А. 3x2 + 5x + 2 = 0
В. 5x2 - 6x + 4 = 0
Б. 4x2 -4x+1=0
Г. 4x2 – 4x + 5 = 0
4.3 Укажите уравнение, которое имеет два различных корня.
А. 3x2 + 5x + 3 = 0
В. 3x2 – 4x + 2 = 0
Б. 3x2 + 6x + 1 = 0
Г. 4x2+ 4x + 1 = 0
4.4 Укажите уравнение, которое не имеет корней.
А. 2x2 + 5x +5 = 0
В. 5x2 + 2x – 1 = 0
Б. 9x2 + 6x + 1 = 0
Г. 4x2 -3х-1=0
4.5 Укажите уравнение, которое не имеет корней
А. 3x2 + x – 7 = 0
В. x2 + 6x + 9 = 0
Б. 5x2 + 4x – 1 = 0
Г. 3x2 – 7x + 5 = 0
В этих упражнениях вычисляем дискриминант и отвечаем на вопрос задания.
Понятия: дискриминант, корень.
12
1.5 «Дополнительный вопрос».
Задание 5.
Решите уравнение х2– х + 1 = - х + 10. Найдите произведение корней
уравнения.
Решение: х2– х + 1 = - х + 10
х2– х + 1 + х – 10 = 0
х2– 9= 0
х1 = 3
х2 = - 3
х1 х2 = 3*(-3) = - 9
Ответ: - 9
5.1 Решите уравнение 4х2 – 28 = 0.
Если корней несколько найдите их произведение:
1) 7
3) корней нет
2) -7
5.2 Решите уравнение х2+ 2х – 3 = х – 1 . В ответе запишите сумму его корней
Ответ:
5.3 Решите уравнение 7(х +1)– 2 = х2+5. В ответе укажите сумму корней.
1) 7
3) -5
2)-7
4) 3
5.4 Решите уравнение х( х – 1) = 3 – х . В ответе укажите больший корень.
1) 3
3) 3
2)  3
4) -3
5.5 Решите уравнение ( х + 1)2 = 1. В ответе укажите только натуральные
корни.
1) 0
2) – 2; 0
3) 2
4) таких корней нет
5.6 Решите уравнение (4х – 1) (х + 3) = х2– 4х – 3
Если корней несколько, найдите их среднее арифметическое.
1) 2,5
2) нет корней
3) 0
4) – 5
13
5.7 Решите уравнение х2– 7х + 10 = 0. Если корней несколько, найдите их
среднее арифметическое
1) – 3,5
2) 2
3) 3,5
4) нет корней.
Этими заданиями обращаем внимание детей на то, чтобы они внимательно
читали задания.
На дополнительный вопрос в задании: найти сумму или произведение
корней можно ответить даже не находя корни уравнения. Надо вспомнить
теорему Виета.
1.6 Применение теоремы Виета.
Задание 6.
Не решая уравнения 2x2+2x-3=0, найдите:
a)x1+x2; b)x1 x2; с)x 11 +x 22
Решение.
Известно, что x1 и x2 – корни квадратного уравнения. Применим теорему
Виета. Сначала необходимо сделать исходное уравнение приведенным, т.е.
разделить на 2. Получаем: x2+x-1,5=0.
 x1  x 2  1;
 x1  x2  1,5.
По теореме Виета: 
Поэтому a) x1+x2=-1
b) x1 x2=-1,5
с) x 22 +x 12 =(x1+x2)2-2x1 x2=1+2*1,5=4
Ответ: a) -1; b) -1,5; c) 4.
Задание 6.1 Найдите сумму корней квадратного уравнения x2 – 6x + 2 = 0.
1) корней нет
2) 2
3) 6
4) 6
6.2 Найдите сумму корней квадратного уравнения x2+7x+4=0.
1) 7
2) нет корней
14
3) -7
4) 4
6.3 Найдите произведение корней квадратного уравнения x2-7x-6=0.
1) 7
2) нет корней
3) 6
4) -6
6.4 Найдите произведение корней квадратного уравнения х2+ 5х + 2 = 0
1) – 2,5
2) 2
3) – 2
4) нет корней
6.5 Найдите произведение корней квадратного уравнения 1,7x2 – 0,7x– 3,4 = 0
1) – 3,4
2) – 2
3) 2
4) нет корней
6.6 Найдите произведение корней квадратного уравнения 0,8х2 - 5х + 3,2 = 0
1) 3,2
2)
200
13
3) нет корней 4) 4
6.7 Найдите сумму квадратов корней уравнения 2х2 + 3х – 4 = 0
Ответ:
6.8 Найдите сумму квадратов корней уравнения х2+ 5х+ 1 + 0
Ответ:
В этих заданиях отрабатываем теорему Виета.
Понятия: коэффициент, приведенное квадратное уравнение, корень, сумма и
произведение корней.
1.7 Уравнения с четным вторым коэффициентом.
Задание 7.
Решите уравнение x2-32x+31=0.
Решение.
В уравнении a=1, b=-32,c=31.
Применим формулу для уравнений с четным вторым коэффициентом
D
=(-16) 2-1*31=256-31=225
4
15
x
16  225
1
x = 31 или x = 1
Ответ: 31; 1.
Класс слабый, но напомнить и показать решение уравнений с четным вторым
коэффициентом надо.
1.8 Задания на соотнесение.
Задание 8.
Каждое уравнение соотнести с множеством его корней.
1) 0,5х2 – 2х = 0
2) 0,5x2-2= 0
3) 0,5х2 = 0
а) 0
б) -2 и 2
в) 0 и 4
Решение.
Решим сначала первое уравнение. Вынесем за скобки общий множитель.
х(0,5x– 2) = 0
х = 0 или 0,5x– 2 = 0
х = 0 или х = 2 : 0,5
х = 0 или х = 4
Итак, корнями первого уравнения являются числа 0 и 4.
Решим второе уравнение. Выразим х2, т. е
х2 = 2 : 0,5
х2 = 4
Корнями второго уравнения являются числа 2 и -2 .
Осталось решить третье уравнение. При решении его тоже выразим х2.
х2 = 0.
х=0.
Ответ: 1)-в; 2)-б; 3)-а.
8.1. Каждое уравнение, имеющее корни, соотнести с множеством его корней.
16
1) x2=0,01
А. 0 и 0,1
2) x2-0,01x=0
Б. нет корней
3) x2=-0,01
В. 0 и -0,1
4) x2+ 0,1x=0
Г. -0,1 и 0,1
8.2. Каждое уравнение, имеющее корни, соотнесите с множеством его
корней.
1) x2-4=0
А. 2 и -2
2) x2+4=0
Б. 0 и -1
3) x=-x2
В. нет корней
8.3. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней.
1) x2=x
А. 1 и -1
2) x2=-x
Б. 0 и 1
3)x2=-1
В. 0 и -1
4) x2=1.
Г. корней нет.
8.4. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней.
1) x2-1=0
А. 0 и -1
2) x2+1=0
Б. 0 и 1
3)x=x2
В. 1 и -1
4) x2=-x
Г. корней нет
Отрабатываем понятия квадратные уравнения, корни.
17
§ 2 Уравнения с параметром.
Эта часть рассчитана на детей, которые интересуются математикой, но таких
детей в классе мало.
Задание. При каких значениях параметра a уравнение х2 + 2х + а = 0 имеет: 1)
два различных корня; 2) имеет корень, равный 2?
Решение.
1) Так как уравнение х2 + 2х + а = 0 имеет два различных корня, то D > 0.
D = 4 – 4a > 0, a < 1
Ответ: при а < 1 уравнение имеет два различных корня.
2) Так как 2 является корнем уравнения х2 + 2х + а = 0, то 22 + 2*2 + а = 0,
а = -8
Ответ: при а = - 8 уравнение имеет корень, равный 2.
1) При каких значениях k уравнение
х2 + kх + 2 = 0
имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором
выполняется это условие.
2) При каких значениях k уравнение
3х2 + kх + 1 = 0
не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения k, при
котором выполняется это условие.
3) Найдите все целые значения k, при которых уравнение kх2 – 6х + k = 0
имеет два корня.
4) Найдите
mх2 – 5х +
все
целые
значения
m,
при
которых
1
m=0
4
имеет два корня.
5) При каких значениях c уравнение
х2 - 18х + 100 = c
имеет корни?
6) При каких значениях с уравнение
имеет корни?
- х2 + 12х – 21 = с
уравнение
18
Заключение.
Данный материал подобран в соответствие с требованиями спецификации
экзаменационной работы
для проведения
государственной (итоговой)
аттестации (в новой форме) по математике обучающихся, освоивших
основные общеобразовательные программы основного общего образования.
В работе учтены
требования кодификатора элементов
содержания
экзаменационной работы. Данный набор упражнений дает возможность
поэтапно отрабатывать тему, выявлять пробелы и устранять их, обобщать и
систематизировать изученное. Таким образом разработанная система задач
будет лучше, чем традиционная и даст наилучшие результаты.
19
Литература.
1. Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой
аттестации в 9 классе./Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и
др./ 5 - изд.-М.: Просвещение, 2010.
2. ГИА 2008. Математика: Сборник заданий: 9 класс/ М.Н. Кочагина, В.В.
Кочагин./ - М.: Эксмо, 2008.
3. Государственная
Тематические
итоговая
тестовые
аттестация.
задания./Л.Д.
9
класс.
Лаппо,
Математика.
М.А.
Попов/-М.:
Издательство « Экзамен », 2011.
4. ГИА 2011.Алгебра: тренировочные задания: 9 класс/ Т.А Корешкова,
В.В Мирошин, Н.В Шевелева/ – М.: Эксмо, 2010
5. ГИА. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация
( в новой форме ). Тематические тренировочные задания. Базовый
уровень / Е.А Семенко./ – М.: Издательство «Экзамен». 2011