Вебинар 4 16 08 24 Матан Супремум Инфимум Леммы связанные с вещественными числами Введение в последовательности и их пределы 4hmiw

1 семестр 24/25 г. Веб 4 (16.08.24) Матан. Супремум.
Инфимум. Леммы, связанные с вещественными числами.
Введение в последовательности и их пределы.
1
Супремум. Инфимум.
Опр. Говорят, что множество A ⊂ R - ограничено сверху , если
∃c ∈ R такое, что ∀a ∈ A выполнено a ⩽ c
Опр. Говорят, что множество A ⊂ R - ограничено снизу , если
∃c ∈ R такое, что ∀a ∈ A выполнено c ⩽ a
Опр. Говорят, что множество A ⊂ R - ограничено, если оно ограничено и сверху и снизу.
Опр. Пусть A ⊂ R - любое подмножество вещественной прямой. Тогда его точной верхней гранью , или супремумом (обозн.: sup A) называется такое число s ∈ R, что:
1. ∀a ∈ A выполнено a ⩽ s;
2. ∀ε > 0 ∃a ∈ A такое, что a > s − ε.
%b0515d289cc08b9365d18a5cd3b6c0d4%
Иными словами, требование 1 определения супремума говорит, что супремум s является верхней границей множества A (то есть больше всех элементов из A).
Требование 2, в свою очередь, говорит, что эту оценку нельзя улучшить, то есть супремум - это наиточнейшая верхняя граница - если подвинуть супремум на любой ε влево, то уже найдётся элемент
a ∈ A такой, что он станет больше супремума.
Двойственным образом вводится и определение инфимума:
Опр. Пусть A ⊂ R - любое подмножество вещественной прямой. Тогда его точной нижней гранью , или инфимумом (обозн.: inf A) называется такое число l ∈ R, что:
1. ∀a ∈ A выполнено a ⩾ l;
2. ∀ε > 0 ∃a ∈ A такое, что a < l + ε.
Давайте для лучшего понимания приведём несколько примеров:
Пример 1. Пусть A = [0, 1] - отрезок от 0 до 1.
Тогда очевидно, что inf A = 0, sup A = 1. Понятно, что и то и другое это соответственно нижняя и
верхняя границы, причем они неулучшаемы, потому что если мы попытаемся сдвинуть нижнюю или
верхнюю границу хотя бы на ε вверх или вниз соответственно, то уже сама левая или правая граница
отрезка будет выпадать за инфимум или супремум.
Пример 2. Пусть A = (0, 1) - интервал от 0 до 1. Посчитаем sup A.
Утверждается, что sup A = 1. Действительно, это заведомо верхняя граница, так что требование 1 из
определения супремума очевидно выполнено. Более того, ∀ε > 0 найдется точка x ∈ (0, 1) такая, что
x > 1 − ε. Значит, и требование 2 из определения супремума выполнено. Следовательно, мы доказали,
что 1 = sup (0, 1).
Замечание: Предыдущий пример очень важен тем, что показывает, что супремум множества далеко не всегда обязан лежать в этом множестве. Более того, в нетривиальных задачах он как правило
в нём и не лежит.
Пример 3. Пусть A = {a ∈ R | a2 < 2}. Найти sup A.
1
√
Решение. Утверждается,
что
sup
A
=
2 (Заметим, опять sup A ∈ A).
√
Действительно, 2 -√это заведомо верхняя граница
√ A. Но она неулучшаема, потому что как только мы
сдвинемся влево
√от 2, то есть возьмём число 2 − ε для какого-то ε > 0, то тут же мы найдём a ∈ A
такой, что a > 2 − ε.
√
√
ε
. Ясно, что a > 2−ε. И очевидно, что a ∈ A.
А именно, нужно будет взять просто например a = 2− 100
√
Следовательно,
верхнюю оценку 2 для A нельзя улучшить. Значит, по определению мы доказали,
√
что это 2 = sup A.
Пример 4. Пусть A = { n1 | n ∈ N}. Найти inf A.
Решение. Утверждается, что inf A = 0 (Заметим, что inf A ∈ A).
Ясно, что 0 ограничивает наше множество A снизу. Более того эту оценку нельзя улучшить, потому что ∀ε > 0 ∃n ∈ N такое, что n1 < ε.
Замечание. Из аксиомы полноты можно вывести тот факт, что если множество
X ⊂ R - ограничено сверху, то у него обязательно существует супремум, и притом
единственный. Аналогичное верно и для инфимума - если множество Y ⊂ R ограничено снизу, то у него обязательно существует инфимум, да притом единственный.
Доказательство мы оставляем в качестве упражнения.
2
Основные леммы, связанные со структурой R.
Лемма (Принцип Коши-Кантора) Для любой бесконечной последовательности вложенных
отрезков
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
существует точка c ∈ R, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть c ∈ [an , bn ] для любого n.
%b0515d289cc08b9365d18a5cd3b6c0d4%
Если, кроме того, длины отрезков [an , bn ] стремятся к нулю, то есть для любого ε > 0 существует
отрезок [an , bn ], длина которого < ε, то такая общая точка c - единственна.
Доказательство. Рассмотрим два множества
A = { все левые концы отрезков нашей последовательности }
B = { все правые концы отрезков нашей последовательности }
.
Иначе говоря, A = {an }, B = {bn }. Ясно, что
∀a ∈ A, ∀b ∈ B выполнено, что a ⩽ b
Но тогда по аксиоме полноты найдется такая точка c, что
∀a ∈ A, ∀b ∈ B выполнено, что a ⩽ c ⩽ b
По определению множеств A и B это и означает, что точка c - общая для всех отрезков нашей последовательности.
Допустим теперь, что длины отрезков [an , bn ] стремятся к нулю, а общих точек нашлось хотя бы две:
c1 , c2 - обе принадлежат всем отрезкам нашей последовательности. Но тогда все отрезки нашей последовательности содержат и отрезок [c1 , c2 ]. Чего не может быть, ведь отрезок [c1 , c2 ] имеет какую-то
положительную длину, а длины наших отрезков стремятся к нулю, значит, рано или поздно, они должны стать меньше длины отрезка [c1 , c2 ].
Опр. Пусть A ⊂ R. Говорят, что набор множеств Xk , Xk ⊂ R покрывает множество A (или
является покрытием множества A), если любой элемент a ∈ A также ∈ Xi для какого-то i.
2
Лемма (Бореля-Лебега, о конечном подпокрытии). Из любого набора интервалов Ek = (αk , βk ) ,
покрывающего любой отрезок [a, b] можно выделить конечный поднабор E1 , ..., EN интервалов, всё
ещё покрывающий этот отрезок.
Доказательство. От противного.
Пусть есть какой-то отрезок [a, b] и какой-то набор интервалов Ek , покрывающий этот отрезок но
так, что из этого набора нельзя выделить конечного поднабора, всё еще покрывающего [a, b].
Поделим отрезок [a, b] пополам. Получили два отрезка
a+b a+b
], [
, b]
2
2
Ясно,чтохотя бы один из этих отрезков тоже не покрывается никаким конечным поднабором из на[a, b] = [a,
бора
Ek
(ибо в противном случае, то есть если бы оба они покрывались конечным поднабором, то
и весь отрезок [a, b] - тоже. Потому что мы бы взяли просто объединение двух конечных поднаборов,
покрывающих каждую из двух половинок, а объединение двух конечных поднаборов - тоже конечный
поднабор).
За I1 обозначим
ту из двух половинок [a, b], которая не допускает покрытия конечным поднабором
из
Ek .
С I1 сделаем то же самое - разобьем егона две половинки. Тогда одна из его половинок не допусEk . Эту половину обозначим за I2 .
%b0515d289cc08b9365d18a5cd3b6c0d4%
кает покрытия конечным поднабором из
Теперь I2 тоже разобьем на две половинки, одна из которых очевидно не будет допускать покрытия конечным поднабором...
и так далее.
Получаем бесконечную последовательность вложенных отрезков
I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ ...
каждый из которых не допускает покрытия конечным поднабором интервалов из Ek .
По принципу Коши-Кантора у всех этих отрезков есть общая точка.
То есть существует c такая, что c ∈ In для любого n.
Далее, мы знали, что исходная система Ek = (αk , βk ) покрывала весь отрезок [a, b].
Значит, какой-то из этих интервалов покрывал и точку c.
Пусть это был интервал Ei = (αi , βi ), то есть
c ∈ (αi , βi )
Обозначим через
δ = min{c − αi , βi − c}
то есть δ - это расстояние от c до ближайшего из концов содержащего её интервала Ei .
Однако заметим, что длины наших отрезков Ik , не допускающих покрытия конечной подсистемой,
3
стремятся к нулю. Таким образом, в этой системе обязательно найдется такой отрезок Is , длина которого меньше, чем δ.
Но точка c лежала во всех отрезках, в частности, она лежит в Is .
И, поскольку длина Is < δ, то Is покрывается одним лишь интервалом (αi , βi ) ⊃ Is . Противоречие.
3
Расположение точек относительно множества.
Мы потихоньку, всё ближе и ближе, подбираемся к понятию предела последовательности. Следующий набор определений фактически подведёт нас к этому понятию, хотя и поймем это мы только
спустя какое-то время. Но даже из названий уже становится ясно, что мы стоим уже на пороге теории
предела.
Опр. Пусть x ∈ R - какое-то вещественное число. Тогда окрестностью точки x называется любой интервал (α, β), содержащий точку x, то есть x ∈ (α, β).
Обычно мы будем говорить ε−окрестность точки x, и это будет означать такой симметричный
относительно точки x интервал радиуса ε:
(x − ε, x + ε)
%b0515d289cc08b9365d18a5cd3b6c0d4%
То есть, если говорят про δ/ϵ/γ/µ( и т.д. )-окрестность точки x, имеется в виду интервал специального вида:
(x − δ, x + δ), (x − ε, x + ε), (x − γ, x + γ), (x − µ, x + µ), и т.д.
Если же говорят просто про окрестность точки x, то имеется в виду вообще любой интервал, её
содержащий.
Опр. Проколотой окрестностью точки x ∈ R называется её окрестность, из которой выкинули саму точку x. То есть это любой интервал вокруг точки x, но без самой этой точки.
То есть если (α, β) - любая окрестность точки x, то (α, β) \ {x} - это проколотая окрестность точки x
Опр. Пусть A ⊂ R. Точка x называется предельной точкой для множества A, если в любой проколотой окрестности точки x есть хотя бы одна точка множества A.
Пример 1. Пусть X = { n1 |n ∈ N}. Тогда ясно, что точка 0 является предельной точкой множества X.
А всё потому, что любой интервал, содержащий точку 0, их которого мы исключим сам 0, будет содержать хотя бы одну точку множества X. Кроме точки 0 больше предельных точек у множества X нет.
Пример 2. Пусть X = (a, b). Тогда ясно, что любая точка x0 ∈ (a, b) является предельной для множества X. Более того, и концевые точки a, b - тоже являются предельными, поскольку любые их
проколотые окрестности тоже непусто пересекаются с интервалом (a, b). Кроме точек внутри (a, b) и
концов интервала a, b больше предельных точек у множества X нет.
4
Последовательности.
Опр. Числовой последовательностью {xn } (или просто последовательностью) называется функция x : N → R.
Примеры:
a) xn = 2n;
4
1
b) xn = 3n+5
;
n
c) xn = ln(3 + 10 + 5n);
d) xn = sin n;
2 +16n−5
e) xn = nn3 −19n+198
;
Хорошо бы ещё конечно привести пример чего-то, что не являлось бы последовательностью. Например,
если я задам так:
xn = количество очков при n-ом броске кубика
Конечно, тогда xn - это никакая не последовательность, поскольку я не знаю заранее однозначно, что
выпадет на моём кубике
Или, допустим
x1 = 1, x2 = 100, x3 = −3
Это тоже никакая не последовательность, я перечислил только первые три члена и никак не продолжил, а последовательность должна иметь бесконечно много членов.
Опр. Последовательность xn называется ограниченной сверху, если ∃C ∈ R такая, что ∀n ∈ N
выполнено xn < C.
Опр. Последовательность xn называется ограниченной снизу, если ∃c ∈ R такая, что ∀n ∈ N выполнено xn > c.
Опр. Последовательность xn называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
%b0515d289cc08b9365d18a5cd3b6c0d4%
Пример 1. Последовательность xn = 2n - не ограничена сверху, т.к. не существует самого большого
чётного числа.
Пример 2. Константная последовательность xn ≡ 5 - ограничена и сверху и снизу, т.е. просто ограничена - очевидно.
Пример 3. Последовательность xn = sin n - ограничена и сверху и снизу, поскольку ограниченной
является функция sin x, как известно из школы (∀x ∈ R : −1 ⩽ sin x ⩽ 1).
Пример 4. Последовательность xn = 4n − 5n2 − 6 не ограничена снизу, поскольку это по сути парабола ветвями вниз (при n2 у нас стоит отрицательный коэффициент −5), взятая только в натуральных
точках.
Однако, она обязана быть ограниченной сверху, ровно по тем же причинам: парабола ветвями вниз
всегда лежит ниже какой-то прямой.
Опр. Последовательность xn называется неограниченной, если она не является ограниченной.
Вот и всё, хитрить тут особо нечего. Давайте аккуратно запишем отрицание того факта, что последовательность xn - ограничена:
∀C ∈ R ∃n ∈ N такое, что |xn | > C
То есть, просто-напросто, наша последовательность не ограничивается никакими двумя горизонтальными прямыми - всегда найдётся хоть один член последовательности, который выбивается из любой
полосы.
Заметим, что неограниченность подразумевает, что последовательность не ограничена хотя бы с одной из сторон - она может быть неограничена снизу, но при этом
ограничена сверху, или наоборот - и это уже делает её неограниченной.
Опр. Последовательность xn называется бесконечно большой, если ∀C ∈ R ∃N ∈ N такое, что
5
∀n > N выполнено |xn | > C.
%b0515d289cc08b9365d18a5cd3b6c0d4%
То есть, бесконечно большая последовательность - это такая, что начиная с некоторого момента она больше любого наперед заданного числа по модулю (при этом она
может быть бесконечно большой и в отрицательную, и в положительную сторону).
6