Теория функций комплексного переменного
Множества на комплексной плоскости.
Функции комплексного переменного
Рыбаков К.А.
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)
rkoffice@mail.ru
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
1 / 17
Примеры
Пример 1. Указать, какие из уравнений описывают все точки
действительной оси 0x, мнимой оси 0y:
1) z = 0,
2) z + z̄ = 0,
3) z = z̄,
4) arg z = 0,
5) Im z = 0,
6) |z − i| = |z + i|,
7) arg z = π/2,
8) Re z = 0,
9) |z − 1| = |z + 1|.
1) z = 0 — точка на плоскости
(начало координат);
2) z + z̄ = 0
⇐⇒
x + iy + x − iy = 2x = 0,
x = 0 — ось 0y;
3) z = z̄
⇐⇒
x + iy = x − iy,
2iy = 0,
y = 0 — ось 0x;
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
2 / 17
Примеры
4) arg z = 0 — луч {x > 0, y = 0};
5) Im z = 0
⇐⇒
y = 0 — ось 0x;
6) |z − i| = |z + i|
⇐⇒
2
|x + iy − i| = |x + iy + i|2 ,
x2 + (y − 1)2 = x2 + (y + 1)2 ,
y 2 − 2y + 1 = y 2 + 2y + 1,
y = 0 — ось 0x;
7) arg z = π/2 — луч {x = 0, y > 0};
8) Re z = 0
⇐⇒
9) |z − 1| = |z + 1|
x = 0 — ось 0y;
⇐⇒
|x + iy − 1|2 = |x + iy + 1|2 ,
(x − 1)2 + y 2 = (x + 1)2 + y 2 ,
x2 − 2x + 1 = x2 + 2x + 1,
x = 0 — ось 0y.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
3 / 17
Примеры
Пример 2. Построить на комплексной плоскости линии,
которые заданы уравнениями:
а) |z − 2| = |z + 2i|,
б) |z − 3i| = 2,
в) |z − 3 + i| = 3,
г) Re z − Im z = 0.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
4 / 17
Примеры
Пример 3. Определить вид множеств, заданных соотношениями:
б) | Re z| < 1,
| Re z| < 3,
г)
| Im z| < 2.
а) Re z + Im z > 0,
в) Re |z| < 1,
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
5 / 17
Примеры
Пример 4. Определить вид множеств, заданных соотношениями:
1 < |z| < 3,
|z − i| < 1,
а)
б)
Im z < 0;
Re z > 0;
Re z + Im z < 0,
Im 1/z < −1/2,
в)
г)
|z| > 1;
| arg z| < π/2.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
6 / 17
Примеры
г) Преобразуем неравенство Im 1/z < −1/2:
1 x − iy
x − iy
1
y
= Im 2
Im = Im
=− 2
,
2
z
x + iy x − iy
x +y
x + y2
т.е.
y
1
− 2
<− ,
x + y2
2
2y > x2 + y 2 ,
x2 + (y − 1)2 < 1.
Это неравенство описывает круг единичного радиуса
с центром в точке (0, 1):
1
y
− 2
<−
2
x +y
2
⇐⇒
|z − i| < 1.
Кроме того, условие | arg z| < π/2 описывает правую полуплоскость:
| arg z| < π/2
⇐⇒
Re z > 0.
Множества, заданные условиями «б» и «г» совпадают.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
7 / 17
Примеры
Пример 5. Определить вид множеств, заданных соотношениями:
√
√
а) |z + i| < 1, б) 1 < |z + i| < 2, в) |z + i| > 2.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
8 / 17
Примеры
Пример 6. Определить вид множеств, заданных соотношениями:
а) 0 < Re
http://dep805.ru/rk
iz
< 1,
3
б) |z|2 = 1 − Im z 2 ,
Семинар 2
в)
z
⩽ 1.
z − 2i
rkoffice@mail.ru
9 / 17
Примеры
Пример 7. Определить, какую линию на комплексной плоскости
задает уравнение
1
1
1
Re + Im = .
z̄
z̄
2
Подставляя z = x + iy и учитывая, что
1 x + iy
x + iy
1
=
= 2
,
z̄
x − iy x + iy
x + y2
получаем уравнение в действительной форме:
y
1
x
+ 2
= ,
x2 + y 2
x + y2
2
или
2x + 2y = x2 + y 2 ,
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 2.
√
Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке (1, 1).
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
10 / 17
Примеры
Определить вид множества по условию
1
1
1
Re + Im < .
z̄
z̄
2
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
11 / 17
Примеры
Пример 8. Определить, какую линию на комплексной плоскости
задает уравнение
Im(z + i)2 = 2.
Запишем уравнение в действительной форме, подставляя z = x + iy:
Im(x + iy + i)2 = 2, Im x2 − (y + 1)2 + i 2x(y + 1) = 2,
т.е.
1
− 1.
x
Это уравнение гиперболы с асимптотами x = 0 и y = −1.
2x(y + 1) = 2,
http://dep805.ru/rk
y=
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
12 / 17
Примеры
Определить вид множества по условию
Im(z + i)2 > 2.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
13 / 17
Примеры
Пример 9. Определить, какую линию на комплексной плоскости
задает уравнение
|z| − Re z = 2.
Запишем уравнение в действительной форме, подставляя z = x + iy:
p
|x + iy| − Re(x + iy) = 2,
x2 + y 2 − x = 2, x2 + y 2 = (2 + x)2 .
Далее,
x2 + y 2 = 4 + 4x + x2 ,
y 2 = 4(1 + x).
Это уравнение параболы с вершиной в точке (−1, 0)
и ветвями, направленными вправо.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
14 / 17
Примеры
Определить вид множества по условию
|z| − Re z ⩽ 2.
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
15 / 17
Примеры
Пример 10. Записать в виде
неравенств множества точек:
а) угла A0B,
б) сектора A0B,
в) треугольника A0B,
√
√
где A = ( 3, 1) и B = (1, 3).
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
16 / 17
Оглавление / ТФКП
1
Комплексные числа. Числовые последовательности и ряды.
2
Множества на комплексной плоскости.
Функции комплексного переменного.
−→ Лекция
3
Элементарные функции комплексного переменного.
4
Дифференцирование функций комплексного переменного.
5
Интегрирование функций комплексного переменного.
6
Функциональные последовательности и ряды.
Ряды Тейлора. Ряды Лорана.
7
Нули аналитических функций. Особые точки и вычеты.
8
Применение вычетов к вычислению интегралов
и сумм числовых рядов.
−→ Операционное исчисление
http://dep805.ru/rk
Семинар 2
rkoffice@mail.ru
17 / 17
