Глоссарий Матрица. Матрицей (числовой) размера m X n называется прямоугольная таблица m X n чисел, состоящая из m и n столбцов. Элементы матриц. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Квадратная матрица. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n, называется квадратной матрицей порядка k, k = m = n. При этом числа а11, а22,…, аnn - элементы главной диагонали. Нулевая матрица. Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой матрицей. Единичная матрица. Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей. Треугольная матрица. Квадратная матрица Аn называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны 0. Трапециевидная матрица. Матрица произвольной размерности называется трапециевидной или ступенчатой ‚ если она имеет вид: 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑟 0 𝑎21 ⋯ 𝑎2𝑟 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ A= 0 0 ⋯ 𝑎𝑟𝑟 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ( 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋯ , где a , a ,… a не равны 0. 11 12 rn 𝑎𝑟𝑛 ⋯ 0 ) Сложение матриц. Суммой двух матриц одинакового размера A nxm= (аij) и Bnxm = (bij) называется матрица Cnxm = (cij) такая, что cij = аij + bij, где i = 1,..., m, j = 1,...,n. Свойства сложения матриц: o AnXm + BnXm = BnXm + AnXm – свойство коммутативности или перестановочности сложения матриц. o (AnXm + BnXm) + CnXm = AnXm + (BnXm + CnXm) – свойство ассоциативности сложения матриц. o AnXm + ОnXm = AnXm – свойство сложения с нейтральным элементом, а именно с нулевой матрицей того же порядка. o AnXm + ( - AnXm) = ОnXm – свойство сложения с противоположным элементом. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A nxm = (аij) на число α называется матрица Bnxm = (bij) такая, что bij = α • аij, где i= 1,...,m, j = 1,...,n. Свойства умножения матрицы на число: o 1 • AnXm = AnXm – свойство умножения матрицы на число 1. o α • (β * AnXm) = (α • β) • AnXm – свойство ассоциативности относительно умножения чисел. o α • (AnXm + BnXm) = α • AnXm + α • BnXm – свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел. o (α + β) • AnXm = α • AnXm + β • AnXm – свойство дистрибутивности умножения на матрицу относительно сложения чисел. Противоположная матрица. Матрица -1•А называется противоположной матрице А. Произведение матриц. Произведением матрицы A nxm = (аij) где i = 1,...,m, j = 1,...,n на матрицу Bnxk = (bij) где i = 1,...n, j = 1,...k называется матрица C mxk = (cij), такая что ci,j = ∑𝑛𝑠=1 𝑎𝑖,𝑠 • 𝑏𝑠,𝑗 , i = 1,…,m, j = 1,…,k. Свойства произведения матриц: o (А • В) • С = А • (В • С) – свойство ассоциативности умножения матриц. o α • (А • В) = (α • А) • В = А • (α • В) – свойство выноса числового множителя за знак произведения матриц. o (А+ В) • С = А • С + В • С – свойство дистрибутивности умножения справа относительно сложения матриц. o С • (А+ В) = С • А+ С • В – свойство дистрибутивности умножения слева относительно умножения матриц. Возведение матрицы в степень. Целой положительной степенью А m, где m > 1 квадратной матрицы А, называется произведение m матриц, равных А, т.е.: Am = ⏟ 𝐴 •𝐴…• 𝐴 𝑚 Транспонирование матриц. Переход от матрицы А к матрице АT, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы А. Например, если 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎11 𝑎21 ⋯ 𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎 𝑎21 𝑎22 𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑚2 2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑇 Am x n = 𝑎⋯ 𝑎𝑗1 ⋯ ⋯ 𝑎𝑖𝑛 , то 𝐴𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑎1𝑗 𝑎2𝑗 ⋯ 𝑎𝑚𝑗 𝑖1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ( 𝑚1 ( 1𝑛 𝑚𝑛 ) 𝑚2 2𝑛 Свойства операции транспонирования: o (АT )Т = А – матрица, дважды транспонированная, равна исходной матрице. o (αА)T = α • ( АT) – числовой множитель можно выносить за знак транспонирования. o (А+ В)T = АT + ВT - транспонирование суммы матриц есть сумма транспонированных матриц. o (А • В)T = ВT • АT - транспонирование произведения матриц есть произведение транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
