Параллелограмм и его свойства Интерактивный плакат В С Стороны: АB; BC; СD; AD Вершины: А; B; C; D Противоположные стороны: АB и CD; AD и BС Определение: А AB ║ CD, D BC║ AD ABCD- параллелограмм Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Свойство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Доказательство Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Доказательство Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180º. Доказательство В физике применяют параллелограмм при нахождении равнодействующей силы. В жизни: это рамы велосипедов, мотоциклов, где для жесткости проведена диагональ; это современные здания; это стулья, столы. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу был введен Евклидом. Понятие параллелограмм от греч. Parallelos – параллельный и gramme – линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии». Свойство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны. В С Дано: ABCD - параллелограмм 3 Доказать: 1) АВ = СD, BC = AD; 2 1 4 А 2) ∠ A =∠ C, B =∠ D Доказательство: Рассмотрим ∆ ABC и ∆ADC, AC - общая, ∠ 1 = ∠ 2 и ∠ 3 = ∠ 4 (как D накрест лежащие углы) ∆ АВС = ∆ ADC (по 2-му признаку равенства треугольников) Следовательно: АВ = СD, BC = AD; ∠ 1 + ∠ 4= ∠2 + ∠3 , т.е. ∠ A = ∠С, ∠B = ∠D. Повторите доказательство теоремы самостоятельно! Повторите доказательство теоремы самостоятельно! В С 3 2 1 4 А D Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Дано: АВСD - параллелограмм В А 3 Доказать: ВО = ОD, АО =ОС Доказательство: Рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD, 2 O АВ = СD (противоположные стороны параллелограмма, 1 D 4 С АВ ∥ СD, ВD, AC – секущие ∠ 1= ∠ 2 и ∠ 3= ∠ 4 (как накрест лежащие углы) Значит, ∆ АОВ = ∆СОD (по 2-му признаку равенства треугольников) Следовательно: АО = ОС, ВО = ОD Повторите доказательство теоремы самостоятельно! Повторите доказательство теоремы самостоятельно! В А 3 2 O 1 D 4 С Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1800. В С Дано: АВСD – параллелограмм 2 Доказать: ∠ 1+ ∠ 2=1800 1 А D Доказательство: ВС ∥ АD, AВ – секущая ∠ 1+ ∠ 2 =1800 (как внутренние односторонние углы) Повторите доказательство теоремы самостоятельно! Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1800. В С 2 1 А D Многоугольник Сумма углов Многоугольником называется выпуклым, Диагональю Многоугольник называется Какие вершины Сумму длин всех сторон Вершины, являющиеся Какой многоугольник называется простая Как найти сумму Что называют если он лежит в одной многоугольника называется выпуклого невыпуклым, если он лежит Что такое периметр Что называют многоугольника называют многоугольника концами одной стороны замкнутая ломаная вместе называется полуплоскости отрезок, который соединяет внутренних углов по разные стороны от диагональю периметром называют соседними n-угольника называются с несоседние частью плоскости, многоугольника? многоугольником? относительно прямой, выпуклым? невыпуклым? две вершины прямой проходящей через многоугольника? многоугольника. вершинами. которую она ограничивает. соседними? содержащей любую многоугольника равна 180°(n - его 2). две его соседние вершины сторону 1 2 3 4 5 6 7 На каждую кнопку нажимаем дважды – последовательно. 1 нажатие – вопрос; 2 нажатие – ответ Свойства параллелограмма 1 В С 2 А D В 3 А С В О D А С D Диагонали По рисунку определите Противоположные стороны параллелограмма Противоположныеточкой углы и сформулируйте свойство параллелограмма равны. пересечения делятся параллелограмма равны. параллелограмма пополам. На рисунке изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно. В С 40º О 1 В 9 D В А С 3 48º А 5 2 41º А С 132º D О 8 5 D На рисунке изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно. В С 20º 60º О 4 10 В 5 С 9 40º А D В 50º А С 6 40º А 18 120º 17 D 65º D Является ли четырёхугольник параллелограммом? Ответ обосновать. а) 2 3 А С В 4 В б) С 2 1 1 в) D В 75º А С НЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ 70º А 110º D 3 D Является ли четырёхугольник параллелограммом? Ответ обосновать. г) С В 54º В 1 д) С 2 116º А 3 D А В е) С 35º О 5 НЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ 4 А 35º D D 1) Если известно, что некоторый четырехугольник является параллелограммом, то можно сказать о том, что его противоположные стороны попарно параллельны. Да Нет Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ 2) Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Да Нет Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ 3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения не делятся пополам. Да Нет Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ 4) Периметр параллелограмма– это сумма длин его сторон. Да Нет Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ 5) У параллелограмма все стороны и углы равны. Да Нет Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ 6) У параллелограмма сумма углов 3600. Да Нет Перейдите к следующему вопросу, нажав клавишу ПРОБЕЛ 7) У параллелограмма AB+AD=DC+BC АВСD: Да Нет Перейдите к решению следующей задачи, нажав кнопку ЗАКРЫТЬ ОКНО 1. Найдите углы B и С параллелограмма АВСD ∠В = Ответ 1200 ∠С = 600 Ответ 2. Найдите угол АВС параллелограмма АВСD Ответ 1050 3. Найдите периметр параллелограмма CАВСD Р= Ответ 24 см 4. Найдите углы параллелограмма ∠𝑨 = Ответ 750 ∠С = Ответ 750 ∠𝑩 = Ответ 1050 ∠𝑫 = Ответ 1050 5. Найдите периметр параллелограмма АВСD Р= Ответ 20 см 6. Найдите периметр параллелограмма АВСD Р= Ответ 30 см 7. Найдите углы параллелограмма ∠𝑨 = Ответ 800 ∠С = Ответ 8000 ∠𝑩 = 1000 Ответ ∠𝑫 = 1000 Ответ 8. Найдите углы C и D параллелограмма АВСD ∠𝐂 = Ответ 640 ∠𝐃 = 1160 Ответ 9. Найдите периметр параллелограмма АВСD Р= Ответ 40 см 1. Что такое параллелограмм? Четырехугольник, у которого все стороны равны. Четырехугольник, у которого все углы прямые. Четырехугольник, у которого все углы смежные. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны Все утверждения не верны. 37 2. В параллелограмме ABCD отрезки AC и BD являются ... смежными сторонами соседними сторонами противоположными сторонами диагоналями 38 3. Какова сумма всех внутренних углов в параллелограмме? 360° бывает разной 270° 180° 4. Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником? всегда не является иногда является всегда является иногда не является 40 5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне, равна 180°. Один из углов параллелограмма равен 58°. Найти остальные три угла. 58°, 58°, 122°; 58°, 122°, 122°; 42°, 122°, 138°; 41 6. Один из углов параллелограмма на 30° больше другого. Найти градусные меры всех углов параллелограмма. 70°, 70°, 100°, 100°; 65°, 65°, 95°, 95°; 75°, 75°, 105°, 105°; 75°, 75°, 115°, 115°; 60°, 60°, 90°, 90° 42 7. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке М. Найдите угол АМС, если ∠В = 1400 . 200 4060 1400 1600 43 8. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке К, ВК:СК=2:1. Найдите наименьшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 90 см. 16,875 см 11,25 см 27 см 18 см 44 9 В параллелограмме MNPK проведена высота NE. Найдите угол МКР, если угол NME в 5 раз больше угла МNЕ. 1050 750 800 1000 45
