МБОУ «Пристеньская основная общеобразовательная школа Ровеньского района Белгородской области» ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ Красота математики Выполнила: Лавлинская Ксенья Андреевна ученица 9 класса Руководитель: Шевелева Елена Геннадьевна учитель математики 2024 г. 1 Содержание: 1. Введение_________________________________________________3 1.1 Выбор и обоснование проекта_____________________________3 1.2 Цели и задачи проекта___________________________________4 2. Основная часть_____________________________________________5 2.1 Приемы быстрого счета__________________________________5 2.2 Симметрия и красота____________________________________8 2.3 Удивительные свойства чисел____________________________ 11 2.4 Математические софизмы________________________________16 2.5 Рисование по координатам_______________________________17 3. Заключение_______________________________________________19 3.1 Самоанализ и оценка проекта_____________________________19 3.2 Итоги работы__________________________________________19 Используемые источники______________________________________20 2 1.Введение О красоте математики создано немало материалов. В этом проекте мы хотим продемонстрировать гармонию чисел и форм, изящество математики и её универсальность. Дадим определение красоты. Красота́ — эстетическая (неутилитарная, непрактическая) категория, обозначающая совершенство, гармоничное сочетание аспектов объекта, при котором последний вызывает у наблюдателя эстетическое наслаждение. Красота является одной из важнейших категорий культуры. Восприятие красоты (не только в науке, но и в любой человеческой деятельности) требует от человека определённого труда на приближение к высокому знанию, которое заложил автор в своё творение: будь то математическая задача, картина или музыкальное произведение. Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Это не только стройная система законов, но и уникальное средство познания красоты. Красота может доставлять удовольствие не только слуху и взору, но и разуму! Красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно и в произведениях искусства , и в научных открытиях. Гармония означает «согласованность, соразмерность , единство частей и целого, обуславливающие внутреннюю и внешнюю формы предмета, события, явления, их совершенство». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии, пропорциональности. Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, а были времена , когда они противоборствовали. В наше время у современных подростков, практически нет желания учиться, не говоря уже о том, чтобы более глубоко изучать какую- либо науку. Нужно приложить максимум усилий, чтобы как-то заинтересовать ребят в изучении математики. Именно эта проблема и натолкнула меня на более глубокое изучение математики с точки зрения её интересности и красоты. Именно поэтому в своей работе мы выдвинули гипотезу: если знать математические понятия, свойства, которыми обладают эти понятия, преобразования, то можно повысить уровень заинтересованности в математике, научить видеть красоту математических выражений, понятий. Объектом исследования стали математические понятия, преобразования. Целью нашего проекта стала популяризация математики как красивой науки. 3 1.2 Задачи: 1. Повысить уровень математического развития обучающихся и расширить их кругозор. 2. Показать, что глубинные, фундаментальные закономерности, присущие математике, находят адекватное выражение на красоты. Методы исследования: аналитический, поисковый Итогом работы стало создание компьютерной презентации, демонстрирующей красоту математики. В своей работе мы хотим показать некоторые очень интересные факты в математике, которые заинтересовали бы не только учителей, но и заставили бы учеников по - другому смотреть на математику, как на интереснейшую науку. Для написания этой работы были изучены различные книги о математике, рассмотрены всевозможные интернет ресурсы. Перед тем, как непосредственно поговорить обо всех прелестях этой науки, мы хотели бы начать свою работу стихотворением М.А. Давыдова. Ода математике. Кто назовёт мне науку такую, Чтобы сравниться с тобою могла, Чтобы бежали пре ней врассыпную Сонмы сомнений, кромешная мгла? Где вы найдете честней и правдивей, И неподкупней науку моей, Непогрешимей и трудолюбивей, Принципиальней, логичней, точней? А недвусмысленность, четкость и ясность Правил твоих, аксиом, теорем, Их убедительность, полную гласность И поэтичность всемирных поэм. Чистой поэзией веет повсюду: С каждой страницы, с любого листа. Я утверждать голословно не буду – Пересчитайте хотя бы до ста. Ладно, коль много до ста, то хотя бы До десяти не спеша сосчитай. Ритмы стиха натурального ряда Сразу почувствуешь, но отвыкай От монотонности, тусклости речи. Будешь считать – не забудь напевать, Ведь монотонность бездумно калечит Все, что приходится ей повстречать. Я бы привел вам примеров немало, Но ограничусь хотя бы одним. Помните ль вы число π, как решали Сотни задач вычислительных с ним? 4 Вот вам: «Три целых, четырнадцать сотых…» Ну-ка пропойте все эти слова. Разве не слышите звон позолоты? Музыкой чистой полна голова. Самой прилежной и аккуратной, Самой подтянутой ты создана, Строгой, веселой, серьезной, занятной Ты, математика, вечно была. Формул компактных твоих лаконичность И непреложность законов и норм. Всех поражает красой симметричность, Очаровательность линий и форм. Сколько красивых задач, парадоксов… Мудрость прекрасна своей простотой. Разве сравнить красоту роз и флоксов С высшей твоей неземной красотой? Всех восхищает твоя бесконечность, Царство чарующей здесь красоты. Мир математики дарит нам вечность, Чувство полета, простор высоты. Ты есть красавица из всех красавиц, Ты королева святой красоты. Как я хочу тебя гимном прославить, Но не достичь мне твоей высоты. Музыка, живопись, архитектура, Очаровательно дивный балет, Танец, поэзия, спорт и скульптура: Всем математика – корень и свет. Просто на трудный вопрос отвечая, Мне математика – истинный друг. Нет, не напрасно тебя величают В мире ученом царицей наук. 2.Основная часть 2.1 Приёмы быстрого счёта Удивительный мир красоты открывается при ознакомлении с оригинальными приемами быстрого счета. Красивые, виртуозные и малоизвестные приемы устных вычислений вызывают чувство восхищения, восторга и удивления, чувство эстетического наслаждения прекрасным. Каждый человек в какой-то степени умеет считать в уме: в магазинах, в общественном транспорте, в домашнем хозяйстве - везде и ежедневно приходится иметь дело со счетом. Для того, чтобы быстро и правильно считать в уме, не нужно иметь каких-то специальных знаний и выдающихся математических способностей. 5 Любой здравомыслящий человек вполне может овладеть приемами быстрого счета и пользоваться ими в повседневной жизни. Для этого, конечно же, нужно знать эти приемы и систематически тренироваться в их применении. Проведение устных упражнений на уроках вызывает интерес к математике и дисциплинирует школьников, позволяет экономить время, развивает внимание, наблюдательность, смекалку, повышает культуру математических вычислений. Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают память, речь и быстроту реакции. Они дают возможность изучить большой по объему материал за более короткое время. Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются гораздо чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их... Большое внимание устному счету (или как он сам его называл «умственному счету») уделял известный русский педагог Сергей Александрович Рачинский, который часто говорил своим ученикам: «С поля за бумагой и карандашом не побежишь. Задачи надо решать в уме». Нередко, особенно в последнее время, у многих возникает вопрос: «А зачем, для чего в наше время, в эпоху компьютеров и вычислительных машин осваивать многочисленные приемы устного счета? Ведь достаточно нажать на кнопку микрокалькулятора и любое математическое действие будет выполнено почти мгновенно». Разумеется, это действительно так и никто не собирается оспоривать данный факт. Но если мы хотим быть более умными, более развитыми и, без сомнения, более культурными, то тогда, конечно же,знание оригинальных и очень красивых приемов быстрого счета не только не помешает, но и максимально поможет в решении этой задачи. Основные приёмы быстрого счёта. Сложение: Необычная запись сложения многозначных чисел (сложение столбцами): Сначала складываем единицы, затем десятки, потом сотни и т. д. После этого складываем полученные суммы. Сумму цифр каждого столбца рекомендуется писать отдельно, не перенося десятки в следующий столбец. Сложение в уме двузначных и многозначных чисел: Сложение следует начинать с первого числа (33) и попеременно прибавлять в уме сначала единицы (4) следующего числа, а затем десятки (7). Это удобнее, чем прибавлять сразу единицы и десятки. Таким образом, имеем: 33 + 4 = 37; 37 + 70 = 107; 107 + 8 = 115 и т. д. В уме отмечаем только результаты действий: 33 - 37 - 107 - 1 15 - 165 - 173 - 193 - 197 - 277. 6 Сложение многозначных чисел производится так же, как и двузначных. После прибавления к первому числу (827) единиц второго (4) прибавляем десятки (8), сотни (3). В данном примере промежуточные результаты таковы: 827 - 831 - 911 - 1211 - 1214- 1274 - 1774. Сложение способом округления слагаемых: а) 604+192+296+503+793+812 =600+200+300+500+800+800+(4-84+3-7+12)=3200 б) 83+28=81+30=111; 483+514=(483+14)+500=997. В данном случае округляем одно из слагаемых. 2. Вычитание: Вычитание при помощи дополнений: 82 - 27 = (82+3) - (27+3) = 55 Прибавляем по 3 единицы к уменьшаемому и вычитаемому и из 85 вычитаем 30. Аналогично: 148 - 62 = 146- 60 = 86 283 - 96 = 287 - 100 = 187 Последовательное вычитание Чтобы найти разность двух чисел, вычитаем последовательно сначала единицы, затем десятки, сотни и т.д. 2187 - 1273 = 914 В уме запоминаем только результаты, те. 2187- 2184- 2114 - 1914 - 914 3. Сложение и вычитание: Перестановка членов ряда сложений и вычитаний: 1случай: 5687 + 579-687= 5687 - 687 + 579 = 5579 Результат ряда сложении и вычитаний не меняется от перемены порядка членов ряда /при этом каждый член ряда остается в его прежней роли слагаемого или вычитаемого/. 2случай: 727 - 484 - 127 = 727 - 127 - 484 = 600 - 484 = 116 Прибавление разности к числу: 1случай: 642 + (358 - 269) = (642+358) - 269 = 731. В данном случае применимо правило: чтобы к числу прибавить разность, достаточно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое. 2случай:548 + (629 - 348) = (548 - 348) + 629 = 829. В этом случае: чтобы к числу прибавить разность, достаточно из данного числа вычесть вычитаемое и к полученному числу прибавить уменьшаемое. Вычитание из числа суммы: 847 - (147+278) = 847 - 147 - 278 = 700 - 278 = 422 7 Чтобы из числа вычесть сумму, достаточно вычесть из него одно за другим каждое слагаемое. 4. Умножение: Умножение на 11: Так как 11 = 10 + 1, то, чтобы умножить число на 11, надо умножить его на 10 и к полученному числу прибавить данное число. 238 ·11 =2380 + 238 = 2618 При умножении двузначных чисел на 11 более изящен другой способ. 3411 = 374 Надо раздвинуть цифры первого множителя и записать между ними их сумму (3 + 4 = 7). Если же сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляется к первой цифре множимого. 58 •11=5(13)8 = 638 86 •11 =946 78•11 = 858 Умножение на 109 и 111 Числа 109 и 111 можно представить соответственно так:109 = 110- 1; 111 =110+1 Поэтому, чтобы умножить число на 109, достаточно умножить его на 110 и из полученного числа вычесть данное число. А при умножении числа на 110 лучше сначала умножить его на 11 (выше рассмотренным способом) и приписать справа нуль, после чего уже из полученного результата и вычитать данное число. Чтобы умножить число на 111, надо умножить его на110 и к полученному числу прибавить данное число. При умножении на 111 можно так же, как и при умножении на 11 пользоваться методом последовательного сложения цифр множимого: 254 • 111 = 28194; пишем 4, затем 9 = 4 + 5, затем 1 от 4 + 5 + 2 = 11, далее 8 = 1 + 5 + 2 и, наконец, 2. Умножение на 91 и 89: Числа 91 и 89 можно представить соответственно так:91=90 + 1; 89 = 90-1 Чтобы умножить число на 91, надо умножить его на 90 и к полученному числу прибавить данное число. Чтобы умножить число на 89, надо умножить его на 90 и от полученного числа отнять данное число. 36 • 91 = 3240 + 36 = 3276 73 • 89 = 73 • 90 - 73 = 6570 - 73 = 6497 Умножение на 12: Чтобы умножить число на 12, умножим его сначала на 10 и к полученному прибавим удвоенное множимое. 47 • 12 = 47 • 10 + 47 • 2 = 470 + 94 = 564. 2.2 Симметрия и красота. С симметрией мы встречаемся везде - в природе, технике, науке, искусстве, быту. В качестве примера можно отметить симметрию, 8 свойственную многим насекомым (бабочки, стрекозы, пауки и др.), растениям и цветам, различным животным и птицам, обитателям морских глубин (морские звезды, ежи, дискомедузы и т.д.). Нельзя не заметить симметрию форм автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров. Симметричны и очень многие предметы быта, повседневно нас окружающие: шкафы, стулья, ковры, вазы, зеркала, люстры, светильники, музыкальные инструменты. Нас восхищают своей идеальной симметричностью и удивительной красотой различные архитектурные сооружения: храмы и соборы, замки и дворцы, триумфальные арки и т.д. (Приложение 1) Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества; его широко используют все без исключения направления современной науки и искусства. Симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон. И не только объекты. Симметрия присутствует также в регулярности смены дня и ночи, времен года. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия, понимаемая в самом широком смысле, противостоит хаосу, беспорядку, неразберихе. Получается, что симметрия - это упорядоченность, уравновешенность, красота, совершенство, наконец, целесообразность. В моей работе я хочу продемонстрировать красоту симметричных фигур и предметов на множестве самых разнообразных примеров и иллюстраций. Есть изумительная книга Эрнста Геккеля «Красота форм в природе», в которой помещены изображения многих сотен удивительнейших форм самых разнообразных живых организмов. Многие из них идеально симметричны. Просто дух захватывает от созерцания невообразимой красоты. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям, выполняемым над ним. Рассмотрим, к примеру, симметрию формы букв П, Ф, И. Начнем с буквы П. Если одну половину этой буквы (скажем, левую) отразить в плоском зеркале, то изображение точно совпадет с другой половиной буквы (правой). Это пример так называемой зеркальной симметрии. Буква Ф симметрична в еще большей степени, нежели буква П. Ее можно отражать в двух плоских зеркалах (вертикально поставленном и горизонтально). Что же касается буквы И, то у нее нет зеркальной симметрии, но зато есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву И на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква И симметрична относительно центра поворота на 180°. Поворотной симметрией обладает также и буква Ф, но ее нет у буквы П. 9 Итак. Симметрия встречается часто и повсеместно - как в природе, так и в человеческом творчестве. Поэтому даже неискушенный человек усматривает симметрию в относительно простых ее проявлениях. Весь наш мир, все существующие в нем объекты и происходящие явления должны рассматриваться как проявление единства симметрии и асимметрии. В этом смысле симметрия не просто широко распространена, более того, она вездесуща - в самом глубоком понимании слова. Симметрия многообразна. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - поворотам, отражениям, переносам и т.д. Симметрия многолика. Она связана с упорядоченностью и уравновешенностью, пропорциональностью и соразмерностью частей, красотой и гармонией, с целесообразностью и полезностью. Симметрия в неживой природе. Кристаллы. Еще более чем в картине мироздания, симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и неживой природы.(Приложение 2) Кто из нас не любовался в зимний солнечный день искристыми снежинками? Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной и зеркальной. Все твердые тела состоят из кристаллов. В большинстве случаев кристаллы очень малы; однако в некоторых случаях кристаллы вырастают до внушительных размеров, и тогда они предстают во всей своей геометрически правильной красоте. Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов и молекул. Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием, так называемой кристаллической решетки. Возьмем, к примеру, кристаллы алмаза. У каждого вид правильного восьмигранника - октаэдра. Даже выпускнику средней школы под силу написать уравнение его поверхности: х + у + z = I. Математическая простота этого выражения не случайна. В процессе свободного медленного роста кристалл всегда принимает строгую форму многогранника. Собственно говоря, математика и красота неразрывно связаны меж собой. Симметрия в мире растений. Характерной для растений симметрией является симметрия конуса, которая хорошо видна на примере фактически любого дерева. Конечно, нередко встречаются деревья, стволы которых не только не вертикальны, но и вообще изогнуты, а крона развита однобоко. Казалось бы, какой уж тут может быть разговор о симметрии конуса? И, тем не менее, идея конуса во всех случаях правильно отражает специфику дерева, ее сущность. Ведь для любого дерева можно указать основание и вершину, и в 10 то же время для него неприемлемы понятия левой или правой, передней или задней сторон. Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды. Листья дуба, клена и многих других имеют зеркальную симметрию. Для цветов характерна поворотная симметрия. Например, цветок зверобоя имеет поворотную ось (5-го порядка) и не обладает зеркальной симметрией. Часто поворотная симметрия цветов сочетается с зеркальной симметрией. Веточка акации имеет зеркальную и переносную симметрию. Ветка боярышника обладает скользящей симметрией. Цветок лапчатки гусиной имеет поворотную ось (5-го порядка) и пять плоскостей симметрии; веточки сочетают зеркальную симметрию с переносной. Высокая упорядоченность в расположении на ветках отдельных листьев придает рисунку некоторое сходство с бордюрами. Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных. Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире. Однако в отличие от растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается очень редко. Фактически мы встречаемся с ней при изучении лишь некоторых обитателей моря. Для насекомых, рыб, птиц, животных характерно несовместимое с поворотной симметрией различие между направлениями вперед и назад. Зеркальная симметрия - характерная симметрия всех представителей животного мира. Эта симметрия, хорошо видна у бабочки; симметрия левого и правого проявляется здесь с почти математической точностью. Зеркальную симметрию можно наблюдать у стрекоз, пауков, рукокрылых (летучие мыши), мотыльков, кузнечиков, у птиц и многих других животных. 2.3 Удивительные свойства чисел. Своеобразная и удивительная красота открывается взору наблюдательного и пытливого человека в мире цифр и чисел. Цифры, соединяясь в числа и участвуя по нашей воле в математических действиях, образуют иной раз весьма причудливые и по-своему красивые числовые комбинации, напоминающие кристаллические узоры-снежинки на стекле окна в морозный и солнечный день. В этой главе я хочу предложить вниманию огромнейшее количество числовых диковинок, числовых изюминок, здесь можно найти всевозможные интересные, гармоничные, красивые соотношения между числами, встретите настоящие числовые созвездия, плеяды поистине волшебных магических чисел, красивые числовые формулы. Будьте внимательны и любознательны, развивайте свою наблюдательность, ищите и находите изящные сочетания цифр и удивительные свойства различных чисел. Мир чисел бесконечен, а потому бесконечно в нем и количество красивейших, удивительных и неожиданных свойств и сочетаний различных цифр и чисел. 11 Вот они, россыпи числовых диковинок. Некоторые из них знакомы вам, но ранее, может быть, вы не обращали на них своего пристального внимания, проходили мимо, не замечая их. Многие же вам встретятся впервые, но не отводите от них своего взора, повнимательней посмотрите на них, постарайтесь увидеть в них нечто необычное, попробуйте поработать мозгами и чувствами своими, и постепенно они начнут волновать, восхищать и удивлять вас. Способность же человека удивляться увиденному говорит о том, что перед ним открылось диво, чудо, нечто необыкновенное и прекрасное. Перед ним открылся мир красоты. И он понимает, осознает это. А понимая и осознавая увиденную красоту, он с еще большим восторгом и удивлением продолжает познавать открывшийся перед ним восхитительный мир красоты. Числовые «Созвездия». Числа, подобно звездам, мы группируем в разнообразные числовые «созвездия». «Созвездие» из шести чисел 2, 3, 7, 1, 5, 6 занятно тем, что сумма первых трех чисел равна сумме последних трех, но равны даже и суммы их квадратов. 2+3+7=1+5+6 12=12 2 2 + 3 2 + 7 2 = 1 2 + 5 2 + 62 62=62 Еще ярче «созвездия» из восьми чисел 0, 5, 5, 10, 1, 2, 8, 9 и из десяти чисел 1, 4, 12, 13, 20 2, 3, 10, 16, 19. В каждом из них сумма чисел первой половины равна сумме чисел второй половины. Как и предыдущем случае равны суммы квадратов тех же чисел, более того, равны даже суммы кубов тех же чисел: 0 + 5 + 5+ 10 =1+2 + 8 + 9 02 + 52 + 9 + 102 = I2 + 22 + 82 + 92 03 + 53 + 53 + 103 = I3 + 23 + 83 + 93 1 + 4 + 12 + 13 + 20 = 2 + 3 + 10 + 16 + 19 12 + 42 + 122 + 132 + 202 = 22 + З2 + 102 + 162 + 192 13 + 43 + 123 + 133 + 203 = 23 + З3 + 103 + 163 + 193 Вот еще одно пышное «созвездие» - суммы всех степеней, от первой до пятой, шести чисел: 1, 6, 7, 17, 18, 23 равны сумме тех же степеней других шести чисел: 2, 3, 11, 13, 21, 22 1+6 + 7 + 17+18+ 23 = 2 + 3+11 + 13 + 21 + 22 12 + 62 + 72 + 172 + 182 + 232 = 22 + 32 + 112 + 132 + 212 + 222 13 + 63 + 73 + 173 + 183 + 233 = 23 + 33 + 113 + 133 + 213 + 223 14 + 64 + 74 + 174 + 184 + 234 = 24 + 34 + 114 + 134 + 214 + 224 15 + 65 + 75 + 175 + 185 + 235 = 25 + 35 + 115 + 135 + 215 + 225 12 И самое удивительное состоит в том, что таких «волшебных» чисел существует бесчисленное множество. Вот он «золотой ключик», при помощи которого можно найти сколько угодно таких дюжин чисел: ап+(а+4в+с)п+(а+в+2с)п+(а+9в+4с)п+(а+6в+5с)п+ (а+10в+6с)п=(а+в)п+(а+с)п+(а + 6в+2с)"+(а+4в+4с)"+(а+10в+5с)п+(а+9в+6с)п, где п = 1, 2, 3, 4, 5;а, в, с - любые натуральные числа. Замените буквы а, в, с любыми числами, а букве п придайте значения сначала 1, затем 2, 3, 4, 5 и вы получите столько раз по 5 равных сумм, сколько захотите. Числа 32043 и 99066. В запись квадрата каждого из них входят все 10 цифр, по одному разу каждая: 32043² = 1026753849 99066² = 9814072356 Галерея числовых диковинок. В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, но и числа скромных размеров, зато выделяющиеся из ряда других каких-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве. Число 12. Чем оно замечательно? Это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Но что в сущности особенного в дюжине? Немногим известно, что 12 - старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления. Культурнейший народ Древнего Востока - вавилоняне и их предшественники, еще более древние жители Двуречья - шумеры, вели счет в двенадцатиричной системе счисления. Дюжины и гроссы (гросс - 12 дюжин, 144 штуки), деление суток на 2 дюжины часов, деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на столько же секунд, деление круга на 30 дюжин градусов, наконец, деление фута на 12 дюймов - разве не свидетельствует все это (и многое другое) о том, как велико в наши дни влияние древней системы? Число 365. Оно замечательно, прежде всего, тем, что определяет число дней в году. Далее при делении на 7 оно дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря. Другая особенность числа 365 не связана с календарем: 365 = 10 • 10 + 11 • 11 + 12 • 12, 13 т.е. 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10: 102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365. Но и это еще не все - тому, же равна сумма квадратов двух следующих чисел, 13 и 14: 132 +14² = 169+ 196 = 365. Таких чисел не много наберется в нашей галерее арифметических диковинок. Число Шехерезады (1001). С виду число 1001 кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых простых чисел. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1001 = 7 • 11 • 13 - здесь нет еще ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды. Например: 873 • 1001 = 873873; 207 • 1001 =207207 и т.д. Хотя этого и следовало ожидать, т.к. 873 • 1001 = 873 • 1000 + 873 = 873000 + 873, все же, пользуясь указанным свойством числа Шехерезады, можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, по крайней мере, человеку неподготовленному. Шесть единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001 мы сразу соображаем, что 111111 = 111•1001 Но 111 = 3 • 37, а 1001 = 7 • 11 • 13 Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111: Числовые пирамиды. В следующих примерах нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода - некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Пирамида 1. 1 • 9 + 2 = 11 12 • 9 + 3 = 111 123 • 9 + 4 =1111 14 1234 • 9 + 5 = 11111 12345 • 9 + 6 = 111111 123456 • 9 + 7 = 1111111 1234567 • 9 + 8 = 11111111 12345678 • 9 + 9 = 111111111 Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей пирамиды: 123456 • 9 + 7 Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 - 1), т. е.приписать 0 и вычесть множимое: 123456 • 9 + 7 = 1234560 + 7 - 123456 =1234567 - 123456 1111111 Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц. Пирамида 2. Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр и прибавления последовательно возрастающих цифр. 1·8+1 = 9 12 • 8 + 2 = 98 123 • 8 + 3 = 987 1234 • 8 + 4 = 9876 12345 • 8 + 5 = 98765 123456 • 8 + 6 = 987654 1234567 • 8 + 7 = 9876543 12345678 • 8 + 8 = 98765432 123456789 • 8 + 9 = 987654321 Пирамида 3. 9 • 9 + 7 = 88 98 • 9 + 6 = 888 987 • 9 + 5 = 8888 9876 • 9 + 4 = 88888 98765 • 9 + 3 = 888888 987654 • 9 + 2 = 8888888 9876543 • 9 + 1 = 88888888 98765432 • 9 + 0 = 888888888 Эта пирамида является прямым следствием первых двух. Связь устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например: 12345 • 9 + 6 = 111111 Умножив обе части на 8 имеем: (12345 • 8 • 9) + 6 • 8 = 888888. Но из второй пирамиды известно, что 12345 • 8 + 5 = 98765 или 12345 • 8 = 98760. Значит: 888888 = (12345 • 8 • 9) + 6 • 8 = 98760 • 9 + 48 = 98760 • 9 + (5•9) + 3 = =98765*9+3 Глава IV 15 2.4 Математические софизмы. Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое кажется правильным. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. И.П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка - это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать? Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление. Обнаружить ошибку в софизме это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает повторение ее в дальнейшем в других математических рассуждениях. Когда притронешься к горячему предмету, то впоследствии постараешься этого не делать. Ты будешь много осторожнее. Так и изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку. Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Когда изучающий математику разбирает софизм, он знает, что может попасть в западню, а поэтому старается обойти ее. Чтобы не попасть в ловушку, приходится очень внимательно продвигаться вперед и каждый шаг делать с большой осторожностью. Вопрос стоит так: кто кого подчинит себе, софизм ли разбирающего его, или наоборот. Значит, математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого, очень инертного человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение, большую радость доставляет разбор его. При разборе 16 софизмов надо постараться самостоятельно найти содержащиеся в них ошибки и отчетливо понять их. Примеры софизмов: 1. Дважды два равно пяти Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое тождество: 4:4 = 5:5. Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4 • (1 : 1) = 5 • (1 : 1) Так как числа в скобках равны, то 4 = 5 или 2 • 2 = 5. 2. Все числа равны между собой Попытаемся доказать, что все числа равны между собой. Пусть а≠в. а2 - 2ав + в2 = в2 - 2ав + а2; т. к. сумма чисел не меняется от перемены мест слагаемых. Но а2 - 2ав + в2 = (а - в)2, а в2 - 2ав + в2 = (в - а)2. Отсюда а - в = в - а, или 2а = 2в, а значит а = в. В чем ошибка? 3. Сумма двух положительных чисел равна нулю Так как (+а)2 = а2 и (-а)2 = а2, то (+а)~ = (-а)2. Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получим а = - а, откуда а + а = О 4. Любое число равно половине его Возьмем два равных числа а и в, а=в. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из них по в2. Получим а2 - в2 = ав - в2 или (а + в) (а - в) = в (а - в). Отсюда а + в = в, или а + а = а, так как в = а. Значит, 2а=а или а=а:2 5. 4 > 12 Очевидно, что 7 > 5. Не менее очевидно, что -8 = -8, а потому 7 - 8 > 5 - 8, или -1 > - 3. Умножая обе части последнего неравенства на -4, получим (-1) • (-4) > (-3) • (-4) или 4 > 12. 2.5 Рисование по координатам. Интересным и увлекательным занятием для является рисование по координатам. Здесь проявляется творческая фантазия, сообразительность, развивается самостоятельность, выдумка, инициатива. Выполняя подобные упражнения, воочию видят красоту придуманных изображений. Объектами для рисования по координатам могут быть самые различные предметы быта, животные, птицы, насекомые, растения, цветы и т.д. В процессе выполнения таких упражнений тренируются в нахождении координат конкретных точек и наоборот, по заданным координатам - в построении точек на координатной плоскости. 17 Туловище (0; 5), (0,5; 4,8), (0,5; 4), (0,75; 3,25), (0,5; 2,5), (0,75; 1,25), (0 5; 0,5), (0,5; 0,5), (-0,75; 1,25), (-0,5; 2,5), (-0,75; 3,25), (-0,5; 4), (-0,5; 4,8), (0; 5), Глазки (0,5; 4,75), (0,5; 4,75), Крылья (-0,5; 4), -7; 8), (-4; 2), (-4; 0), (2; -1), (-0,2; 0), (0,2; 0), (2; 1), (4; 0), (4; 2), (7; 6 ), (0,5; 4_ , Усы (-0,5; 5), (-1,5; 8), (-2; 7,5). (0,5; 5), (1,5; 8), (2; 7,5). 2. «Саранча» (- 7; 1), (- 5; 1), (- 4; 2), (- 1; 0), (- 1; 3), (1; 1), (5; 2), (6; 1), (5; 0), (4; 0,5), (4; 0), (5; - 1), (3; 0), (2; - 1), (1; 0), (0; - 1), (- 6; - 1), (- 8; 0), (-7; 1). Усы: (5; 4), (6; 3), (6; 1), (7; 3), (6; 4). Ноги: 1) (- 6; - 1), (5; - 3), (6; - 4), (7; - 4); 2) (- 1; - 1), (3; - 3), (2; - 4); 3) (3; 0), (- 1; - 2), (0; - 3), (- 1; - 4); 4) (5; - 1); (- 7; 3), (- 8; - 3); Глаз: (5; 1). 3. «Снеговик» (-1; 15), (-3; 10), (3; 10), (1; 15), (-3; 10), (-4; 9), (-5; 7), (-4; 5), (-3; 4), (-1;3), (1;3), (3;4), (4; 5), (5; 7), (4; 9), (3; 10), (-1;3), (-3; 2), (-5; 0), (-6; -2), (-5; 4), (-4; -5), (-2; -6), (2; -6), (4; -5), (5; -4), (6; -2), (5;0), (3;2), (0;3),(- 2; - 6) (-4; - 7) (- 6; - 9) (- 7; - 11) (- 6; 13) (- 3; - 15) (3; - 15) (6; - 13) (7; - 11) (6; - 9) (4; - 7) (2; - 6) (- 6; - 13) (- 3; - 15) (- 7; - 15) (- 8; - 14) (- 7; 13) (- 6; - 13) (6; - 13) (3; - 15) (7; - 15) (8; - 14) (7; 13) (6; - 13) (- 3; 2) (- 4; 3) (- 6; 2) (- 8; 0) (- 8; - 2) (6; - 2) (3;2) (4;3) (б; 2) (8; 0) (8; - 2) (6; - 2) (0;7) (- 2; 6) (0;6) (- 2; 5) (- 1; 4) (1;4) (2; 5) (- 2; 8) (2; 8) (0; 1) (0; - 1) (0; - 3) (0; - 5) (7; 1) (11; 9) (8; 3) (6; 6) (7; 5) (7; 7) (8; 3) (10; 4) (11; 2) (9; 5) (8; 8) (9; 10) (10; 7) (12; 9) (10; 7) (12; 7) (11; 9) (10; 10) (11; 9) (12; 11) (11; 9) (13; 10) 18 3.ЗАКЛЮЧЕНИЕ Вот и подходит к завершению наше повествование о красоте математики. Вы имели возможность убедиться в истинности того, что математика действительно прекрасна. Об этом шла речь с первых страниц нашей работы и до самой ее последней страницы. Математика восторгает меня не только своим внешним блеском, а и восхитительной внутренней красотой, совершенством и лаконичностью математического языка, стройностью построения, убедительностью и логичностью рассуждений и доказательств, необычностью и изяществом решений красивых задач. Короче говоря, - красотой математической мысли, красотою своеобразной души этой замечательной науки. А удивительный мир математических развлечений! Разве может он оставить равнодушным кого бы то ни было? Мир прекрасного в математике обширен и многообразен. В одних случаях красота математики видна невооруженным глазом и увидеть ее сможет любой, даже неподготовленный в математическом отношении, человек. Вряд ли кто засомневается в красоте и изяществе симметричной и пропорционально сложенной фигуры. Вот почему симметрия и пропорции широко используются в архитектуре, скульптуре, живописи, декоративноприкладном искусстве. Во многих же случаях красота математики не только не видна с первого взгляда, но и не всегда и далеко не каждому она откроется во всем блеске своей очаровательной прелести. Мы считаем, что с помощью нашей работы можно неплохо заинтересовать ребят для более углубленного изучения математики. Мы старались раскрыть всю красоту математики, как науки. Так же мы пытались показать, что математика - это не просто сложная, а для кого – то скучная наука, а она очень интересна и занимательна. Многие задачки из нашей работы могут быть использованы на уроках математики, чтобы заинтересовать современных подростков в изучении математических наук. Данная тема, так интересна и глубока, что над ней можно работать еще очень много времени и никогда не устанешь познавать интереснейшие факты из математики. 19 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ Г.И. Берман. Приемы счета. М.-Л., ГИТЛ, 1952. Г. Вейль. Симметрия. М., «Наука», 1968 И. Виола. Математические софизмы. М., 1883 Э. Геккель. Красота форм в природе. М. Давыдов. Красота математики. Н.Н., 2007 А.А, Лямин. Математические парадоксы и интересные задачи В.И. Обреимов. Математические софизмы. С.А. Рачинский. 1001 задача для умственного счета. Спб., 1899. 20 Приложение 1 21
