Д ДИ ДИДАКТИЧЕСКАЯ Д КТ ДА КТИЧЕСКАЯ КТИЧ ИЧЕС ИЧ ЕСКА ЕС КАЯ КА Я БИ БИБЛИОТЕКА БИБЛ БЛИО БЛ ИОТЕ ИО ТЕКА ТЕ КА Материалы к началу нового учебного года: повторение курса алгебры основной школы Л. В. Горина, г. Михайловск, Свердловская обл. В процессе обучения математике важное место занимает организация повторения в начале учебного года материала, изученного в предыдущих классах. Приобретенные ранее навыки должны стать прочным фундаментом для успешного познания нового. Повторение пройденного помогает его систематизировать, обобщить, установить логические связи между отдельными темами, дает возможность углубить и расширить знания. Предлагаемые материалы предназначены для организации повторения учащимися десятых классов курса алгебры основной школы по следующим темам: 1. Рациональные уравнения. 2. Системы рациональных уравнений. 3. Рациональные неравенства. 4. Системы рациональных неравенств. 5. Степени и корни. 6. Функции и графики. ТЕМА 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задания для устной работы 1. Решите уравнения: 2 1) 12x − 7 = 5x; 2) x + 3 = 0; 5 3) 8 − 2x = 3 − 5 ( x + 2); 4) 3 ( x + 1) = 5 + 3x; 5) x + 4 = 3x − 2 ( x − 2); 6) 9x2 = 0; 7) 6x = 12; 8) 5x − 9x = 0. 2 2 x2 − 16 = 0; x−4 5) x4 − 10x2 + 9 = 0; 6) x6 + 5x3 − 24 = 0. 3) (2x − 7 ) (x − 9)x = 0; 4) 6. Один из корней уравнения x2 + bx + 11 = 0 равен –1. Найдите второй корень и число b. 7. Один из корней уравнения t2 − 12t + c = 0 равен 13. Найдите второй корень и число c. Задания для письменной работы 1. Какие из уравнений равносильны уравнению −2x = 9 ? а) x = 4,5; б) 10, 8 = 2, 4x; в) 1,5x + 6,25 = 0. 2. Решите уравнения: x 3x − 4 1) 1 + = 2x − ; 2 3 5⎞ 1 ⎛ 2) 3 ⎜ 0,75x + ⎟ − 2x = x + 2,5; ⎝ 6⎠ 4 3) ⎛ 2 ⎞ 4) 7x (2,5 − x ) ⎜ 1 x + 3⎟ = 0; ⎝ 3 ⎠ 5) (7x + 1) (2 − x ) = 8; ( ) 7) (3x − 1) − 27 ( x + 1) ( x − x + 1) + 6) ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2) − x2 + 7x ( x − 4) − 2 = 2x; 3 2 2. Докажите, что уравнение x + 25 = 0 не имеет корней. 3. Имеют ли корни уравнения? 1) 36 − x2 = 0; 2) x3 − 4 = 0; 3) x4 + 16 = 0; 4) x4 − 5 = 0; 5) x2 + 5x − 6 = 0; 6) x6 + 1 = 0. 4. Равносильны ли уравнения x + 1,5 = 0 и x + 1,5 = 0 ? 5. Решите уравнения: 1) x2 + 6x + 9 = 0; 2) (3 − x ) (0, 4x − 8) = 0; № 8 (8) август 2011 2 + 3 (3x − 4) + 13x = 0; 2 10 1⎛1 1⎞ ⎜⎝ x − ⎟⎠ (0,75x + 3) = 0; 4 2 4 х2 − 4 x2 − 5x + 4 = 4; 9) = x + 1; х −2 x −1 8 1 − 3x 4 + = . 10) 2 x − 6x + 8 2 − x x − 4 3. При каких значениях a уравнение 8) (5 − a) x = a − 5 имеет множество корней? 4. Одно число на 15 % больше другого. Если к меньшему числу прибавить 16, а из боль- МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА шего вычесть 32, то числа станут равными. Найдите эти числа. 5. Найдите корни уравнений: 5 1 4 = + 3 ; 1) 2 x − 2x + 4 x + 2 x + 8 2 2 ⎛ x + 6⎞ ⎛ 5x ⎞ 2) ⎜ 2 =⎜ . ⎝ 4 − x2 ⎟⎠ ⎝ x − 4 ⎟⎠ 6. Решите уравнения: 1) x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0; 2 ) x −1 1 x+2 ; + 4 = 3 2 x + 3x + x + 3 x − 1 x + 3x2 − x − 3 25 8x + 29 18x + 5 − = . 7) 4x2 + 1 16x4 − 1 8x3 + 4x2 + 2x + 1 7. Найдите корни уравнений: 3 ( ) ( ) 2) (2x + 3x − 1) − 10x − 15x + 9 = 0; 3) ( x + 2x ) + ( x + 1) = 57; 4) ( x − 5x + 7 ) − (x − 3) (x − 2) = 1; 2 1) x2 − 3x − 2 x2 − 3x = 8; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8) x + 4x − 5 = 0; 9) x4 − 5x3 + 10x2 − 10x + 4 = 0; 3 2 в) x3 + 2x2 − 16x − 32 = 0; г) x4 − 11x2 + 18 = 0. 2. Найдите произведение корней уравнения 5) ( x + 1) x2 + 2 + ( x + 2) x2 + 1 = 2; 6) 2 Вариант 1 1. Решите уравнения: 2⎞ 2 2x ⎛ + = 0; а) (2 + 3x ) ⎜ 4x − ⎟ = 0; б) 2 ⎝ 7⎠ x − 2x 4 − x2 4) x6 − x4 − 9x2 + 9 = 0; ( 2 Задания для самостоятельной работы 3) 2x4 − 5x3 − 18x2 + 45x = 0; ) ( ) 7) (5x − 7x + 3) (5x + x + 3) = 20x ; (ЕГЭ, 2007) 6) ( x − 3) ( x + 9) x2 − 4x − 12 = 300x2 ; 10) x4 − 27x2 − 14x + 120 = 0. 2) 24x4 + 16x3 − 3x − 2 = 0; ( 5) ( x + 4) ( x − 2) (x + 5) (10 − x ) − 54x2 = 0; (2007x + 2008x + 1)(x − 2008x + 2007) = 0. 2 2 Вариант 2 1. Решите уравнения: x 6 x+2 ⎛2 ⎞ а) (3 − 2x ) ⎜ x − 4⎟ = 0; б) ; − 2 = ⎝7 ⎠ x +1 x −1 1 − x в) x3 + 3x2 − 8x − 24 = 0; г) x4 − 6x2 + 8 = 0. 2. Найдите произведение корней уравнения (x − 2006x − 2007)(2007x − 2006x − 1) = 0. 2 2 5) (2x − 1) − (2x − 1) − 12 = 0; Ответы к заданиям для самостоятельной работы 21 = x2 − 4x + 6; x − 4x + 10 3x + 7 5x − 1 7) + = 5,2; 5x − 1 3x + 7 Вариант 1 № задания 1а 1б 1в –1 –4; –2; 2 1 − ; Ответ 4 3 14 4 6) 2 2 x −x x −x+2 3x 5x − = 1; 9) − = 2; 2 −1 x x2 − x + 1 x2 − x − 2 (x − 1) 2 8) 2 2 2 2 1 ⎛ 5x + 1 ⎞ ⎛ 2x − 3 ⎞ 10) ⎜ +⎜ =9 . ⎟ ⎟ ⎝ 2x − 3 ⎠ ⎝ 5x + 1 ⎠ 9 8. Решите уравнения: 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1) 7 ⎜ х + ⎟ − 2 ⎜ х2 + 2 ⎟ = 9; ⎝ ⎝ х⎠ х ⎠ 4⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2) ⎜ х2 + 2 ⎟ − ⎜ х − ⎟ − 10 = 0; ⎝ ⎠ ⎝ х⎠ х 6 5 + 5х + − 38 = 0; 2 х х 5 1 4) х2 + 5х + 8 + + 2 = 0; х х 3) 6х2 + ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» № задания Ответ Вариант 2 1а 1б 1в 1,5; 14 –2 −2 2 ; –3; 2 2 1г –3; − 2 ; 2 1 2; 3 1г –2; − 2 ; 2 1 2; 2 Тестовые задания 2 1. Решите уравнение ( x + 3) = x ( x + 6) . 2 А) 1,5; Б) ; В) корней нет; 3 Г) x — любое число. 2. Укажите значения x, при которых дробь 5x − 10 не имеет смысла. 5 − x2 А) 2; Б) –5; 5; В) 5 ; Г) ± 5. № 8 (8) август 2011 11 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 3. Укажите промежуток наименьшей длины, которому принадлежит корень уравнения 5x + 1 x +1 = . 4 3 А) [ −5; 0]; Б) [ −2;1] ; В) [ −1; 0] ; Г) [ −3;3] . 4. Найдите сумму корней уравнения x2 + 2x + 6 = 0 . А) –2; Б) 6; В) –6; Г) найти невозможно. 5. Если 5x = 0 , то 5 + x = ... А) 0; Б) 10; В) –5; Г) 5. x +1 6. Решите уравнение = 1. x +1 А) –1; Б) ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ ) ; В) x — любое число; Г) корней нет. x2 + 9 = 0. 7. Решите уравнение x+3 А) Корней нет; Б) 3; В) –3; Г) 0. 8. Укажите количество корней уравнения x4 + 5x2 + 4 = 0 . А) Четыре; Б) два; В) бесконечное множество; Г) корней нет. 9. Найдите значение a, при котором x = 1 является корнем уравнения x2 − ax = 0 . А) –1; Б) 2; В) 1; Г) 0. 10. Найдите произведение корней уравнения x2 + 4x = 0 . А) 4; Б) –4; В) 0; Г) 16. 5 − 2x 11. Решите уравнение = 0. 5 − 2x А) Корней нет; Б) –2,5; В) 2,5; Г) 0. 12. Найдите сумму корней уравнения x3 + 6x2 − x − 6 = 0 . А) 1; Б) –6; В) 3; Г) 2. 13. Какие из чисел 2; –2; 0 являются корнями x2 − 4 уравнения = 0? x −2 А) –2 и 2; Б) –2; В) 2; Г) 2 и 0. 14. Решите уравнение x = 3x . А) 1; Б) корней нет; В) 0; Г) –3. 15. Решите уравнение x2 − 3x + 2 = 0. В ответе b укажите значение выражения + 1, где b — m больший корень уравнения, m — меньший корень уравнения. А) 5; Б) 3; В) 1,5; Г) –3. 16. Найдите произведение корней уравнения 8x4 + x3 + 64x + 8 = 0. А) 4; Б) –4; В) 0,25; Г) 2. 17. Один из корней уравнения x3 − 4x2 − x − a = 0 равен –1. Найдите сумму остальных корней. А) –6; Б) 3; В) 4; Г) 5. 18. Какие из уравнений являются равносильныx2 − 9 = 0; ми: а) 2x − 6 = 0 ; б) x2 − 6x + 9 = 0; в) x+3 x2 − 3x = 0 ; д) x2 − x − 6 = 0 ? г) x +1 А) а, б; Б) а, б, в; В) а, б, в, г, д; Г) б, г. Ответы к тестовым заданиям № задания Ответ № задания Ответ 12 № 8 (8) август 2011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 В Г Б Г Г Б А Г В 10 11 12 13 14 15 16 17 18 В А Б Б В Б В Г Б МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА Вариант 2 ТЕМА 2. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 Задания для блицопроса Установите соответствие между системой уравнений (1–4) и ее графическим решением (А–Д). Вариант 1 1 ⎧x + y = 4, ⎨ 2 2 ⎩x + y = 16 А ⎧y − x = 5, ⎨ 2 ⎩y − x = 0 А у 5 1 х 0 1 –5 5 у –5 2 1 ⎧x − y = 5, ⎨ 2 2 ⎩x + y = 25 Б у 5 х 0 1 4 х –5 –4 2 ⎧⎪x2 + y = 0, ⎨ 2 2 ⎪⎩x + y = 16 Б у 3 4 1 –4 ⎧x2 + y = 5, ⎨ ⎩xy = 5 В –1 0 1 у 5 х 4 х − 5 0 1 0 5 − 5 –4 3 ⎧xy = 4, ⎨ 2 2 ⎩x + y = 16 В 4 у 4 1 –4 2 2 ⎪⎧x + y = 5, ⎨ 2 ⎩⎪y + x = 5 Г 5 у 1 4 х 0 0 1 х 1 –4 4 ⎧x + y = 4, ⎨ 2 ⎩x − y = 4 Г у 5 Д у 4 5 1 –4 0 4 х 1 х − 5 0 5 − 5 –4 Д у 1 0 1 4 х –4 ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» Задания для устной работы 1. Решите системы уравнений: ⎧x + y = 3, ⎧x + y = 7, ⎧2x + 3y = 13, 2) ⎨ 3) ⎨ 1) ⎨ x − y = 1 ; 2 x − y = 8 ; ⎩ ⎩ ⎩3x + 2y = 12; ⎧x2 − y2 = 40, ⎧2x2 − xy = 6, ⎧5x + y = 8, 4) ⎨ 5) ⎨ 6) ⎨ ⎩5x − 2y = −1; ⎩x + y = 10; ⎩2x − y = 2. № 8 (8) август 2011 13 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 2. При каком значении a система уравнений имеет бесконечное множество решений? ⎧x − 2y = 6, ⎧4x + y = 8, 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩2x − ay = 12; ⎩(a − 2) + 3y = 24. 3. Является ли пара чисел ( −1;2) решением системы уравнений: ⎧x + 2y = 3, ⎧2x − y = −4, 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩3x − 1,5y = −6; ⎩2x + y = 0; ⎧x + 5y = 9, 3) ⎨ ⎩ −7x − 3y = 1? Задания для письменной работы 1. Решите системы уравнений способом подстановки: ⎧ x + 3y + 1 y − 3x + 3 = 2, − ⎧x − 6y = −2, ⎪ 2 ( x − 2) y 1) ⎨ 2) ⎨ ⎩2x + 3y = 11; ⎪y − x = 1; ⎩ ⎧x − y = 1, ⎧x + y = 3, 3) ⎨ 3 4) ⎨ 2 3 2 ⎩x − y = 7; ⎩x + y = 29. 2. Решите системы уравнений способом сложения: ⎧3 4 ⎧ 3x y ⎪ x − y = 1, ⎪⎪ 4 + 2 = 2, ⎪ 1) ⎨ 2) ⎨ + y x y ⎪ − ⎪ 2 + 5 = 4,5; = −1; ⎪⎩ 5 2 ⎩⎪ x y ⎧⎪2x + y2 = 3, ⎧x2 + y2 = 20, 4) 3) ⎨ ⎨ 4 ⎩xy = 8. ⎩⎪3x + y = 4; 3. Решите системы уравнений способом введения новых переменных: 10 ⎧ 1 ⎧xy = 5, ⎪ x + y − x − y = 1, ⎪ ⎪ 1) ⎨ x + y x − y 13 2) ⎨ + = ; ⎪ 1 + 2 = − 3; ⎪x − y x + y 6 ⎩ ⎪⎩ x + y x − y 5 x ⎧ 3 ⎧1 +y= , ⎪3xy − 11 y = 4, ⎪ ⎪x ⎪ 2 3) ⎨ 4) ⎨ 1 x ⎪2xy − 3 = 20; ⎪ + y2 = 5 . ⎪⎩ x2 ⎪⎩ 4 y 4. Решите системы уравнений: ⎧x + y = 3, ⎧x + xy + y = 11, 2) ⎨ 1) ⎨ 3 2 ⎩x − xy + y = 1; ⎩x + x y = 12; 2 2 ⎪⎧x + 2y + 1 = 0, ⎪⎧x − xy = 28, 4) ⎨ 2 3) ⎨ 2 ⎪⎩y + 2x + 1 = 0; ⎪⎩y − xy = −12; 3 3 ⎧⎪x + y = 35, ⎧x2 + y2 + 4xy = −11, 6) 5) ⎨ 2 ⎨ 2 ⎩x + y − 2xy = 13; ⎩⎪x y + y x = 30; 14 № 8 (8) август 2011 3 3 2 ⎪⎧xy − xy = −18, ⎪⎧x + xy = 10, 7) ⎨ 2 8) ⎨ 3 2 ⎪⎩xy − x = 9; ⎪⎩y + x y = 5; 5 7 ⎧⎪( x + y )3 ( x − y )2 = 27, ⎪⎧x y = 32, 10) ⎨ 9) ⎨ 7 5 3 2 ⎪⎩x y = 128; ⎪⎩( x − y ) ( x + y ) = 9. Задания для самостоятельной работы Вариант 1 Решите системы уравнений: ⎧4х − 3у = −1, ⎧2ху = 5, 1) ⎨ 2) ⎨ ⎩х − 5у = 4; ⎩2х + у = 6; 3 1 ⎧ 2 + = , ⎪ ⎧х + у = 5, ⎪ 2х − у х − 2у 2 3) ⎨ 3 4) ⎨ 3 ⎩х + у = 215; ⎪ 2 − 1 = 1. ⎩⎪ 2х − у х − 2у 18 Вариант 2 Решите системы уравнений: ⎧2х − 5у = −7, ⎧ х + у = 5, 1) ⎨ 2) ⎨ ⎩ху = −14; ⎩х − 3у = −5; 4 13 ⎧ 5 + 2 = , 2 ⎪ ⎪⎧х + у = 2, ⎪ х + ху у + ху 6 3) ⎨ 2 4) ⎨ 2 8 1 ⎩⎪2у + х = 3; ⎪ − 2 = 1. 2 ⎩⎪ х + ху у + ху 2 Вариант 3 Решите системы уравнений: ⎧3x − 5y = 16, ⎧x − 2y = 2, 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩2x + y = 2; ⎩2xy = 3; ⎧х + y 3 2 2 = , ⎪⎧x + y = 10, ⎪ 2 3) ⎨ 4 4) ⎨ ху 2 2 ⎪⎩x + x y = 90; ⎪ху = 80. ⎩ Вариант 4 Решите системы уравнений: ⎧х − у = 1, ⎧2х + 5у = −7, 2) ⎨ 2 1) ⎨ ⎩3х − у = 15; ⎩х + 2у = 33; 4 ⎧ 5 + = 2, ⎪ ⎧2х + у = 3, ⎪ х + 3у 3х − 2у 3) ⎨ 4) ⎨ 4 8 ⎩3х + у = 4; ⎪ 15 + = 5. ⎪⎩ х + 3у 3х − 2у 2 МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА Ответы к заданиям для самостоятельной работы № задания Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 1 2 3 4 ( −1; −1) (2,5;1) ; ( −1;6) , (5;−2) (0,5;5) (6;−1) (4;3) ( −2;7) , (1;1) , (1;−1) (2;1) , (7;−2) ( −2; −1) (2;−2) ( −1; −1,5), (3;1) , (3;−1) , (20;4), (3;0,5) ( −3;1), ( −3; −1) ( −20; −4) (4;−3) (5;4), (1;1) , (1;−1) , (2;1) ⎛ 5 2⎞ ( −7; −8) ⎜ 4; 2 ⎟ , ⎠ ⎝ ⎛5 2⎞ ⎜ 4 ;− 2 ⎟ ⎠ ⎝ Тестовые задания 1. Найдите значение выражения x2 + y2 , если А) 4; Б) –2; В) 2; Г) −4. 6. Найдите удвоенный куб наименьшей суммы x + y, если ( x; y ) — решение системы уравне⎧⎪x2 − xy = 0, ний ⎨ 3 2 3 ⎩⎪x + x y + y = 3. А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 16. 7. Найдите наименьшее произведение xy, если (x; y) — решение системы уравнений 2 4 ⎪⎧x + y = 5, ⎨ 2 ⎪⎩xy = 2. А) –1; Б) –2; В) − 2 ; Г) 0. 8. Найдите произведение x ⋅ y всех решений си⎧x3 + y3 = 35, стемы уравнений ⎨ ⎩x + y = 5. А) 6; Б) 12; В) 36; Г) 18. 9. Найдите наибольшее произведение xy из решений ( x; y ) системы уравнений ⎧ 2x − y − xy = 14, ⎨ ⎩ −x + 2y + xy = −7. (x; y) — решение системы уравнений ⎧ 2x + 5y = 12, ⎨ ⎩3x − 4y = −5. А) 3; Б) 5; В) 6; Г) 2. 2. Найдите наибольшую сумму x + y , если (x; y) — решение системы уравнений ⎧xy = −6, ⎨ ⎩x − 2y = −7. А) –2,5; Б) –1; В) 5; Г) 2,5. 3. Укажите количество решений системы урав⎧3x2 + y2 = 19, нений ⎨ ⎩y − 2x = 6. А) Четыре; Б) одно; В) два; Г) три. 4. Найдите наименьшее число среди всех значений x и y, если ( x; y ) — решение системы 1 1 ⎧ 1 − = , ⎪ уравнений ⎨ y − 1 y + 1 x ⎪ y 2 − x − 5 = 0. ⎩ А) −4; Б) –3; В) 3; Г) 4. 5. Найдите значение выражения ( x + 1) ( y − 2), если ( x; y ) — решение системы уравнений ⎧ 2х + y − 3 x − 3y + = −1, ⎪⎪ 5 2 ⎨ ⎪ 2х + y − 3 − 3 x − 3y = 3. ⎪⎩ 5 2 ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» А) –30; Б) 30; В) 0; Г) 7. 10. Найдите количество решений системы урав⎧х2 + у2 + х + у = 18, нений ⎨ 2 2 ⎩ х − у + х − y = 6. А) одно; Б) два; В) три; Г) четыре. 11. Найдите значение выражения x1x2 + y1y2 , если (x1; y1 ) и (x2 ; y2 ) — решения системы уравне- ний ⎧x2 + хy = 15, ⎨ 2 ⎩ y + xy = 10, причем x1 < 0. А) –23; Б) –31; В) 23; Г) 31. ⎧⎪x3 + y3 = 28, 12. Решите систему уравнений ⎨ 2 2 ⎩⎪x y + xy = 12. А) (3;1) , (1;3) ; Б) ( −3;1), (1;−3); В) (3;−1), ( −1;3); Г) (3;−1), (1;−3). 13. Решите систему уравнений 1 2 ⎧ ⎪⎪ х + y − 1 + 3x + 2y − 3 = 2, ⎨ 3 4 ⎪ + = 5. ⎩⎪ х + y − 1 3x + 2y − 3 А) (4; 4); Б) (2;2); В) (1; 0); Г) (1;1). № 8 (8) август 2011 15 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 14. Найдите сумму x + y всех решений системы ⎧ x + y = 7, уравнений ⎨ 3 3 ⎩x ⋅ y = −8. А) 6; Б) –6; В) 2; Г) 4. 3 3 15. Найдите значение выражения x1 − y1 , если x2 − y2 (x1; y1 ) и (x2 ; y2 ) — решения системы уравне⎧xy − x = 2, причем x1 > x2 . ний ⎨ 3 2 ⎩xy − xy = 8, А) 0; Б) 2; В) –1; Г) –3. 16. Укажите количество решений системы урав8 6 ⎪⎧x y = 64, нений ⎨ 6 8 ⎪⎩x y = 256. А) Восемь; Б) два; В) четыре; Г) шесть. 17. Укажите количество решений системы урав⎧ х2 у + х2 − у = 7, нений ⎨ 4 2 2 ⎩х у − у х = 12. А) Решений нет; Б) четыре; В) два; Г) восемь. 18. Найдите сумму x + y всех целых решений си⎧⎪x − 3y + 2 = (x + y )2 , стемы уравнений ⎨ 2 2 ⎪⎩(x + y ) + (x − 3y ) = 8. А) 0; Б) 12; В) 8; Г) –12. 1 2 3 4 5 6 7 8 № Неравенство 1 x < −1 2 x≥2 3 x≤4 4 x > −4 5 −3 < x < 1 6 0<x≤5 7 1≤ x <7 8 2≤x≤9 Числовой Изображепромежуток ние Задания для устной работы 1. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку: 3⎤ ⎛ а) (2;6); б) ⎜ −4;2 ⎥ ; ⎝ 4⎦ ( ) в) −∞; 3 ; г) [ −0,76;10,24]. 2. Решите неравенства: 1) 3 − 2x > 2x + 7; 2) −5x − 23 ≤ −28; 3 m 1 3) 3n + 4 ≥ 7n + 11; 4) 1 < ≤ 2 ; 4 4 4 5) x > −3; 6) x ≤ 2; Ответы к тестовым заданиям № задания Ответ № задания Ответ 2. Запишите в виде промежутков и изобразите на координатной прямой множества чисел, удовлетворяющих неравенствам: 9 Б Б В Б Б В Б В В 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Г А А Г В А В Б А 7) x2 > 0; 8) x2 ≤ 0; 9) x2 − 25 < 0; 10) x2 ≥ x. 3. Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства ( x + 2) ( x − 4) ≤ 0. 4. Какое из неравенств не имеет решений? А) ( x − 2) > 0; Б) (5 − x ) ≥ 0; 2 2 В) ( x − 3) ≤ 0; Г) −x2 − 1 > 0. 2 ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Задания для блицопроса 1. Изобразите на координатной прямой промежуток: № Задание 1 (3;7) 2 3 4 5 6 16 [ −4;3) [ −3;3] ( −∞; −2) [ −2; +∞ ) ( −∞; +∞ ) № 8 (8) август 2011 Ответ 5. Укажите количество целых решений нерах−4 венства ≤ 0. 4х + 2 Задания для письменной работы 1. Решите неравенства и изобразите множества их решений на координатной прямой: 1) 5 (3x + 2) < 4x − 1; 2) 2 − 5x < 3 − 5(x + 2); 2 x 2x − 5 3) 1 − x < + x; 4) − x ≤ 1; 3 4 −3 2х + 1 −х − 2 3 − 2х 5) − х +1≥ − ; 3 6 5 6) ( x + 1) ≥ ( x + 1) ( x − 1) + 2x. 2 МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 2. Решите неравенства с использованием графиков соответствующих квадратичных функций: Ответы к заданиям для самостоятельной работы 1) 5x2 + 7x ≤ 0; 2) 16 − 24x + 9x2 < 0; № задания Вариант 1 Вариант 2 3) −4x + 4x − 1 ≥ 0; 4) x + 2x + 5 > 0; 1 ( −∞; −1] ∪ ⎡⎢ ; +∞⎞⎟⎠ [ −4; −1] 2 2 1 ⎣3 5) 2x + x + 3 < 0; 6) ( x − 2) (4 + x ) < 3. 2 2 2 0 3 ( −∞; −20) ∪ (3,5; +∞ ) 3) −4x2 + 2x + 1 ≤ 0; 4) (5x − 3) 7x − 2 − 6x2 < 0; 2⎞ ⎛ ⎜⎝ −∞; −1 ⎟⎠ ∪ (5; +∞ ) 3 4 5) ( x − 5) (6 − x ) ( x + 2) x ≤ 0; 5 [ −4; −1) ∪ [2;3) ( −3; −1) ∪ (3; +∞ ) ( −3; −2] ∪ (1;4] ( −∞; −4) ∪ ( −2;4) 3. Решите неравенства методом интервалов: 1) (7 − 3x ) ( x − 1) ≥ 0; 2) 5 − 2x − 2x > 0; 2 ( 2 3 ) 4 ( ) 6) (4 − x ) (x + 6) (5x − 2) x2 + 2x ≤ 0. 5 4 4. Решите неравенства: 8x2 − 2 (x2 − 9)(1 − x) 2) ≥ 0 ; ≥ 0; 1) 3x2 + x x2 + 2x + 1 3) x2 (6 − x)3 (x + 4) 5x − x2 − 4 4) ≤ 0 ; ≥ 0; (x + 7)4 ( x 2 − x )2 5) (x − 2)(x2 + x − 2)2 1 2 3 ≥ 0; 6) + ≥ ; 2 x − 2 x x −1 6−x−x 7) (x2 − 6x + 9)(3x2 − 2x − 1) ≥ 5−x ≥ (x2 − 6x + 9)(2 + 2x − 4x2 ) . 5−x Задания для самостоятельной работы Вариант 1 1. Решите неравенство 3x2 + 2x − 1 ≥ 0. Тестовые задания 1. Найдите наименьшее целое решение нерах х −2 венства − > 1. 2 6 А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4. 2. Укажите количество целых решений неравенства x2 ≤ 2. А) Три; Б) два; В) четыре; Г) пять. 3. Решите неравенство x2 − 2x + 1 < 0 . А) Решений нет; Б) 1; В) ( −∞;1) ; Г) (1; +∞ ). 4. Какие из чисел 0; 3; 4; 5 являются решениями неравенства 6 − 2 ( x − 1) ≥ 0? А) 0; 3; 4; Б) 3; 4; 5; В) 0; 3; Г) 3; 4. 5. Установите соответствие между промежутком и его изображением на координатной прямой. 1 венства x+3 ≤ 0. 2x − 5 8 х 8 х 1 8 х 1 8 х 1 2. Укажите наибольшее целое решение нера- А (1;8] Б [1;8) В [1;8] Г (1;8) Д ( −∞;8] 2 3. Решите неравенство (5 + 3x ) (0,4x − 2) > 0. х2 + 2х − 8 4. Решите неравенство ≥ 0. 2x + 3 − х2 5. Решите неравенство x3 + x2 − 9x − 9 > 0 . 3 4 Вариант 2 1. Решите неравенство −4 − 5x − x2 ≥ 0. 2. Укажите наибольшее целое решение неравенства 3x − 1 ≤ 0. x+4 3. Решите неравенство (7 − 2x ) (0,2x + 4) < 0. 4. Решите неравенство х2 − 2х − 8 ≥ 0. 3 − 2x − х2 5. Решите неравенство x + 2x − 16x − 32 < 0 . 3 2 ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» А) 1Г, 2Д, 3В, 4Б; Б) 1В, 2Д, 3А, 4Г; В) 1В, 2Д, 3Г, 4А; Г) 1Б, 2Д, 3Г, 4В. 6. Укажите количество кратных трем отрицательных решений неравенства −0,5x − 4 < 5. А) Пять; Б) шесть; В) семь; Г) восемь. 7. Решите неравенство x − 1 ≥ 2. А) [3; +∞ ); Б) ( −∞; −3] ∪ [3; +∞ ); В) [1; +∞ ); Г) ( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ). № 8 (8) август 2011 17 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 8. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства x2 − 7x + 10 < 0. А) 6; Б) 3,5; В) 7; Г) 2. х +1 9. Решите неравенство ≥ 0. 5−х А) [ −1;5]; Б) [ −1;5); В) ( −∞; −1) ∪ (5; +∞ ); Г) ( −∞; −1] ∪ (5; +∞ ). 1 > 3. 2х 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎛1 ⎞ А) ⎜ 0; ⎟ ; Б) ⎜ −∞; ⎟ ; В) ⎜ ;+∞⎟ ; Г) ( −∞;6). ⎝ 6⎠ ⎝ ⎝6 ⎠ 6⎠ 11. Укажите количество целых отрицательных решений неравенства x3 − 3x2 − x + 3 > 0. А) Таких решений нет; Б) два; В) три; Г) четыре. х2 − 6х + 9 ≤ 0. 12. Решите неравенство х −1 А) (1;3); Б) (1;3]; Ответы к тестовым заданиям № задания Ответ № задания Ответ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 В А А А В А Г Б Б 10 11 12 13 14 15 16 17 18 А А Г Б Г В В Г Б 10. Решите неравенство В) ( −∞;1) ∪ [3; +∞ ) ; Г) ( −∞;1) ∪ {3}. 13. Решите неравенство А) [0;3] ; Б) (0;3] ; ТЕМА 4. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Задания для блицопроса 1. Найдите пересечение числовых промежутков: Вариант 1 № Задание 1 [ −4;3] и [1;5] ( −∞;8) и (4;+∞ ) ( −∞;2) и (3;+∞ ) ( −∞; −2) и ( −2; +∞ ) ( −∞; −3) и ( −∞;6) ( −∞;1) и [1;+∞ ) ( −∞;5] и [ −1;6] ( −∞;4) и ( −∞;0] [ −3;0) и ( −2; +∞ ) [ −1;3) и [0;+∞ ) 2 х2 − 9 ≤ 0. х2 + 3х 3 4 В) ( −∞; −3) ∪ (0;3]; Г) ( −3; 0) ∪ (3; +∞ ). 5 14. Укажите количество целых решений нера(х − 4)(х − 5)2 венства < 0. х −7 А) Четыре; Б) два; В) бесконечное множество; Г) одно. 1 ≥ 0. 15. Решите неравенство 2 х − 6х + 9 А) (3;+∞ ); Б) ( −∞;3) ; 6 7 8 9 10 В) ( −∞;3) ∪ (3; +∞ ) ; Г) ( −3;3). ний неравенств ( x + 3) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) ≤ 0 Задание 1 [ −5;4] и [2;5] ( −∞;4] и [ −2;7] ( −∞; −3) и ( −3; +∞ ) ( −∞;0) и (2;+∞ ) ( −∞; −5) и ( −∞;5) ( −∞;1) и ( −∞;2] ( −∞;5) и (1;+∞ ) [ −3;1) и [ −1; +∞ ) [ −3;3) и ( −1; +∞ ) ( −∞;2) и [2;+∞ ) 2 3 4 6 (х − 6)2 (х − 2) х ≥ 0. (х + 1)4 (х + 5) 9 7 6 2 А) 2; Б) 0; В) 1; Г) –1. 18 2 № и x − 6x + 9x − x + 6x − 9 ≤ 0. А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 8. 18. Вычислите сумму наибольшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений неравенства 8 № 8 (8) август 2011 Ответ Изображение Ответ Вариант 2 16. Укажите количество целых решений нерах4 + 2х3 − х − 2 венства ≤ 0. 3х2 А) 5; Б) 2; В) 3; Г) 4. 17. Вычислите сумму наибольших целых реше3 Изображение 5 7 8 10 МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 2. Установите соответствие между неравенствами (1–4) и их решениями (А–Д). 1 −3 < x ≤ 5 А ⎡1 1⎤ ⎢6;3⎥ ⎣ ⎦ 2 1 1 ≤x≤ 6 3 Б ( −3;5] 3 −3 ≤ x < 5 В 4 3<x≤6 Г [ −3;5) (3;6) (3;6] 5 Д 3. Установите соответствие между системами неравенств (1–4) и их решениями (А–Д). 1 ( −2;0] ⎧x ≤ 2, ⎪ ⎨х ≥ −5, ⎪ −1 < x < 8 ⎩ А 2 ⎧ −2 ≤ x < 2, ⎪ ⎨х < 4, ⎪x > 0 ⎩ Б ( −1;2] 3 ⎧x ≤ 0, ⎪х ≥ 8, ⎪ ⎨ ⎪x < 4, ⎪⎩x > −2 В [ −1;0) ⎧x < 0, ⎪ ⎪x > −4, ⎪ ⎨ ⎪ −1 ≤ x < 6, ⎪ ⎪⎩x ≥ −2 Г 4 5 Д Решений нет (0;2) Задания для устной работы 1. Какие из чисел –1; 2; 4; 8; 10 удовлетворяют системе неравенств: ⎧х ≥ 5, ⎧х > 2, ⎧х ≤ 10, 2) ⎨ 3) ⎨ 1) ⎨ ⎩x < 8; ⎩x > 4; ⎩x ≤ 3; ⎧х ≥ 4, ⎧х ≥ 2, 5) ⎨ 4) ⎨ ⎩x ≤ 1; ⎩x ≤ 2 ? 2. Решите системы неравенств: 1 ⎧ ⎧x > 3, ⎧x > 1, 4, ⎪x ≤ 2 , 1) ⎨ 2) ⎨ 3) ⎨ 3 ⎩x < 10; ⎩x < 3,2; ⎪⎩x > 2,1; ⎧0,5x ≥ 3, ⎧4 < x ≤ 10, ⎧3x − 9 > 0, 5) ⎨ 6) ⎨ 4) ⎨ ⎩ −x > 7; ⎩x > 6; ⎩ −2x ≤ −4. 3. Решите двойные неравенства: 6−x 1) x < 3 − x ≤ 12; 2) −1 ≤ ≤ 2. 3 ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» Задания для письменной работы 1. Решите системы неравенств: ⎧ ⎪5 ( x − 1) + 2 ≥ 3 − (4 + x ), ⎧ −2х2 + 5х − 3 ≥ 0, ⎪ 1) ⎨ 2) ⎨x − 30 − 2(x − 5) > 4x + 5, ⎩5x − 6 < 0; ⎪ x + 10 ⎪ ≥ 0; ⎩ 5 ⎧ x2 ⎪⎪ x − 1 ≥ 0, 2 3) ⎨ 2 4) ⎧x ≥ 8, ⎪ ⎪ x − 3 ≤ 0; ⎪ x + 5 ≤ 0, ⎪⎩ 3x + 5 ⎨x − 4 ⎪7 − x x + 3 ⎪ + > 4,5; 3 ⎩ 2 ⎧1 2 ⎪x < x , ⎧3 + 2x < 0, ⎪ ⎪ 2 ⎪1 ⎪x + x 6) ⎨ 2 ≤ x2 , ≥ 0, 5) ⎨ ⎪x ⎪ x +1 ⎪1 ⎪⎩x2 + 5x + 4 < 0; ⎪ x2 ≥ x; ⎩ ⎧x2 − 9x + 14 ≤ 0, ⎪ ⎪ x −7 7) ⎨ ≥ 0, 2 ⎪ (x − 4) ⎪⎩x2 − 4x + 4 > 0; ⎧ ( x − 1)2 − 1 x 2 ( x − 1)2 + 3 x − 1 + < + + 3, ⎪ ⎪ 5 2 10 2 8) ⎨ 0,5 (x − 1) − 1 2 (x − 1) + 4,5 ⎪ . − ⎪⎩ 1 − x > 3 2 2. Решите двойные неравенства: 1) 1 < x −1 x − 2 1 1 − ≤ 6; 2) −1,25 < (1 − 3x) ≤ 1 ; 2 3 4 4 3) 1 < 3x − 1 + x + 2 < 3; 4) 5x − 20 ≤ x2 ≤ 8x. 12 Задания для самостоятельной работы Вариант 1 Решите системы неравенств: ⎧х х ⎧2 − 2 ( х − 4) ≥ 3х − 5, ⎪ − > 2, 1) ⎨ 2) ⎨ 4 2 ⎩7 − 3х ≤ 0; ⎪х2 + 8x − 9 < 0; ⎩ ⎧x −5 2 ≤ 0, ⎪⎧x + 2x > 0, ⎪ 3) ⎨ 2 4) ⎨ 2 + x ⎪⎩х − 6 < 0; ⎪3х + 4 ≤ x2 . ⎩ № 8 (8) август 2011 19 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА Тестовые задания 1. Решите систему неравенств Вариант 2 Решите системы неравенств: х ⎧х ⎧3 − 4 (2 − x ) ≤ 6х − 3, ⎪ +1< , 1) ⎨ 2) ⎨ 5 3 ⎩20 − 7х ≥ 0; ⎪х2 − 9x + 8 < 0; ⎩ ⎧x +5 ≥ 0, ⎧6x − x2 > 0, ⎪ 3) ⎨ 2 4) ⎨ 4 − x ⎩ х − 25 ≥ 0; ⎪ −2x2 + 3 < x. ⎩ ⎧ 13 3х х − 1 7 ⎪⎪ − 4 + 4 ≤ 4 − 8 , ⎨ ⎪2 ≥ х + 3 − 2х . ⎪⎩ 4 3 х ⎧х ⎧2x − 4 (х + 8) ≤ 4, ⎪ −1 > , 1) ⎨ 2) ⎨ 4 2 ⎩15 − 4х ≥ 0; ⎪х2 + 4x − 12 < 0; ⎩ ⎡ 1 ⎞ А) ⎢4 ;+∞⎟ ; Б) ( −∞; −2, 4]; ⎠ ⎣ 4 В) [ −2, 4; 4,25] ; Г) решений нет. ⎧x + 4 2 ≥ 0, ⎪⎧x − 4x ≥ 0, ⎪ 3) ⎨ 4) ⎨ 5 − x 2 ⎪⎩9 − х > 0; ⎪ −2х2 + 5 < 3x. ⎩ 3. Укажите количество целых решений системы неравенств ⎧3х ≤ 5 − 6х, ⎪ ⎨ −3х + 1 ≤ 4х − 1, ⎪7 − 2х > 2х + 9. ⎩ Вариант 4 Решите системы неравенств: ⎧х х ⎧4x − 5 (х − 2) ≤ 2 + x, ⎪ − > −1, 1) ⎨ 2) ⎨ 6 2 ⎩23 − 5х ≥ 0; ⎪х2 + x − 20 < 0; ⎩ А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4. 5. Вычислите сумму целых решений системы неравенств Ответы к заданиям для самостоятельной работы 1 2 3 4 Вариант 1 ⎡ 1 ⎤ ⎢2 3 ;3⎥ ⎣ ⎦ ( −9; −8] ( − 6; −2) ∪ ∪ (0; 6 ) ( −2; −1] ∪ ∪ [4;5] Вариант 2 6⎤ ⎡ ⎢ −1; 2 7 ⎥ ⎣ ⎦ (7,5; 8) [5; 6) [ −5; − 1,5) ∪ ∪ (1; 4) Вари- ⎡ −18; 3 3 ⎤ 4 ⎥⎦ ант 3 ⎢⎣ ( −6; −4) 3⎤ ⎡ ⎢4; 4 5 ⎥ ⎣ ⎦ ( −5;3) Вариант 4 20 № 8 (8) август 2011 [ −5; 0) А) Таких решений нет; Б) одно; В) два; Г) три. 4. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств ⎧х − 1 < 2х − 2, ⎨ 2 ⎩х − 3х + 2 > 0. ⎧1 − 2x ≤ 0, ⎧ x2 − 25 ≤ 0, ⎪ 3) ⎨ 4) ⎨ 1 + x 2 ⎩7x − х < 0; ⎪ −3х2 + 4 ≥ x. ⎩ ( −3; 0] А) Решений нет; Б) 3; В) ( −∞;3]; Г) [3; +∞ ). 2. Решите систему неравенств Вариант 3 Решите системы неравенств: № задания ⎧2х + 1 ≥ 7, ⎨ ⎩3х − 1 ≤ 8. [ −4; − 2,5) ∪ ∪ (1; 5) ⎡ 1 ⎞ ⎢ −1 3 ; − 1⎟⎠ ∪ ⎣ ⎡1 ⎤ ∪ ⎢ ; 1⎥ ⎣2 ⎦ ⎧1 − х ≥ 0, ⎪ ⎨ х −1 1 ⎪⎩ 2 − х + 2 ≥ 0. А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4. 6. Решите систему неравенств ⎧ −7 ≤ 3 − 4x < 3, ⎨ ⎩ −4 < 2x + 4 ≤ 15. А) (0;2,5] ; Б) ( −4;5,5] ; В) (–4;0); Г) [2,5;5,5]. 7. Укажите количество целых решений системы неравенств ⎧12х − 1 < 9, ⎨ ⎩ −1 ≤ 1 − х ≤ 4. А) Пять; Б) четыре; В) три; Г) два. МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ТЕМА 5. СТЕПЕНИ И КОРНИ 8. Решите неравенство −9 < x2 ≤ 25. А) ( −3;3) ; Б) [ −5;5]; В) ( −3;3) ∪ [ −5;5] ; Г) (3;5). 9. Найдите сумму целых решений неравенства 5х − 7 x 3x <4− + 2 < 4. х −5 5 − x x − 25 А) 20; Б) 3; В) –54; Г) 0. 10. Вычислите сумму наибольшего и наименьшего целых решений системы неравенств Задания для блицопроса 1. Установите соответствие между выражением (1–4) и его значением (А–Д). Вариант 1 ( 5 + 2 ) ( 5 − 2) − 5 ( 5 + 2) − 9 1 2 4 5 Б 6 В 1− 5 Г 2 3 Д 2 15 А 6 2 Б 3 5 54 − 24 В 11 Г −3 5 Д 6 −1 2 48 − 12 3 ⎧ 2х − 14 ≤ 1, ⎪ 2 ⎨ х − х − 12 ⎪⎩ −3,5 ≤ х ≤ 5,5. А 5+ 3 4 5− 3 А) 4,5; Б) 2; В) 6; Г) 4. 11. Укажите количество целых решений двойного неравенства 0,3 < 0,5 + 0,1x < 0,6 , принадлежащих промежутку [ −5; −1] . А) Шесть; Б) пять; В) четыре; Г) одно. 12. Укажите количество целых решений неравенства х2 − 2х + 1 ≥ −1 , (х − 1) (х − 3) y = 16 − x2 . А) Пять; Б) четыре; В) два; Г) шесть. 14. Если к некоторому двузначному числу прибавить его половину, то в результате получится число, большее 128, но меньшее 130. Найдите это двузначное число. А) 68; Б) 85; В) 86; Г) 24. 15. Вычислите произведение целых решений системы неравенств ⎧⎪(3 − 10 )(2х − 7) ≥ 0; ⎨ ⎩⎪ 1 − 2 > 2х − 2 2х. 5− 3 5+ 3 Вариант 2 ( 2 − 3 )( 2 + 3 ) + 6 ( 2 + 3) − 6 2 1 2 3 5 −3 4 5 +3 принадлежащих отрезку [0; 4]. А) Одно; Б) три; В) пять; Г) семь. 13. Укажите количество целых решений неравенства х х − < 2x + 1 2 3 из области определения функции − − 5 +3 5 −3 Задания для устной работы 1. Найдите значение выражения: 1) 53 ⋅ 56 ⋅ 55 ; 2) 2⋅ 6 4) 3 10 ⋅105 ; 3) 108 2 14 ; 25 0 0 ⎛ 2⎞ ; 5) 30 + ( −1,7 ) + ⎜ ⎟ + 0,75 + 4−1 ; ⎝ 5⎠ 6) 3 8 ⋅125; 7) 4 16 ; 8) 81 ( 3) + ( 5) . 2 3 3 2. Упростите выражение: ( ) 3 1) a2 ⋅ a6 ⋅ a; 2) b5 ⋅ b2 ; 3) m5 ⋅ n5 ; ( ) 2 ( ) ( ) 10 2 4) −2ab3 ; 5) − 3x3 y2 ; 6) 5x4 y ⋅ 3xy4 z; ⎛ b4 2 ⋅ b ⎞ a3 ⋅ a6 ⎟ . 7) ; 8) ⎜ 9 a10 ⎜⎝ b ⎟⎠ А) 4; Б) 6; В) 0; Г) 24. 3. Вычислите: Ответы к тестовым заданиям 5 № задания 1 2 3 4 5 6 7 8 Б Ответ Б В А В А А Б № задания 9 10 11 12 13 14 15 Ответ Б В Г Б А В Б ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» 1 1 − ⎛ 1⎞ 1) 34 ; 2) 6−2 ; 3) ⎜ ⎟ ; 4) 16 4 ; 5) 4 2 ; ⎝ 2⎠ −3 − 1 1 ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ 3 6) ⎜ ⎟ ; 7) 8 3 ; 8) ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 8⎠ № 8 (8) август 2011 21 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА Задания для письменной работы 1. Найдите значение выражения: ( ) ( ) −3 4. Найдите значение выражения 4−2 −2 125 ; 2) ; 3) 3 ⋅ 2−3 ; 1) 10 2 2 ⋅ 81 25 4) 2−2 + 20 −2 ⎛ 2⎞ (0,5) − 5 ⋅ ( −2) + ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ −2 5) ( ) ( 6 ⋅ 3) Задания для самостоятельной работы 3 2 3 8) 1000,5 + 27 + 16 3 − 4 1 1 52 ⋅ 812 84 9 1 2 5 ⋅9 ( −3)2 ; 3 2−2 ⋅ 53 ⋅10−4 ; 2−3 ⋅ 52 ⋅10−5 ⎛ 9−10 ⋅ 316 ⎞ 12) ; 1 ⎜⎝ 272 ⎟⎠ 6 1 2 −2 1 2 2 5 17) 5 2 −64 ⎛ 1⎞ 18) ⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠ 4 3 36 3 3. Вычислите: 16 4 − 10. ( 1 4 1 15) (2 6 ) . 2. Вычислите: 4. Вычислите: 25−1 ; 13) 7 2 ⋅ 8 9 ⋅ 7 64 : 4 3; 14) 6 ⋅ 3 ⋅(0,25) ; 1 ⎛ 23 ⎞ 2 6 ⋅ 72 36 ⎜⎝ ⎟⎠ пени с основанием 3. 2 + 81− 0,25 ; 9) 1,53 ⋅ 2,25−1,5 ⋅ 0,75−1 ; 10) 1 3 3− 10 ⋅ 32 в виде сте3− 15 1. Представьте выражение 4 ⋅ Вариант 1 1 ; 64 7) 4 16 + 3 1000 + 4 ( −5) + 3 ( −6) + 11) если x = 16. ; ; 6) 3 64 − 2 3 х : х2 −2 (3 2 )4 − (6 5 )2 х + 65 х , х 4 ; 16) 4 12 + 63 ⋅ 4 12 − 63 ; 1 5 1 2 ) − 32 . − ⎛ 1⎞ 6. Вычислите: ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ −3 − 2 + 125 3 − 810,75. 7. Упростите выражение b ⋅ 6 b4 ⋅ b 4 + 3 ⋅ 3 −3 ⋅ 27 ⋅ 3 9; 1 − 0,75 + 810000 0,25 19 ⎞ 5 ⎛ + ⎜7 + ⎟ ; ⎝ 32 ⎠ (2 ⋅ (−3) ) ⋅ (−3) ; 19) 4 ⋅ ( −3) ⋅ (( −3) ) − 1 −2 −1 −2 − 20) ( − 0,5) −4 − 625 0,25 3 1⎞ 2 ⎛ − ⎜ 2 + ⎟ + 19 ⋅ ( −3) − 3 . ⎝ 4⎠ 2. Упростите выражение: b3 . Вариант 2 1. Представьте выражение −2 −1 −1 2− 12 ⋅16− 5 . 8− 10 5. Найдите значение выражения 210 в виде сте2 ⋅ 2− 8 −4 пени с основанием 2. 20 2. Вычислите: . 2 4 5 ( ) 2 3. Вычислите: 8 3 − 3 . 1 ( 1 2 ) . − 1) 5 + 24 ; 2) 28 − 300 ; 4. Вычислите: 16 4 − 64− 1 3) 12 − 6 3 ; 4) 7 − 4 3 + 7 + 4 3. 5. Найдите значение выражения 3. Упростите выражение: 5− 9 ⋅ 25− 2 . 125− 4 −3 1) у⋅ у⋅ у 10 3 6 5 у 2 а⋅ а ⋅ а 5 ; 2) 2 4 4 а 4 − 0,8 2 3) 2 ⋅ х ⋅ х − − 1 + 4 ⋅ х 5 . х 3 22 2 3 № 8 (8) август 2011 −3 ; 2 − ⎛ 1⎞ 6. Вычислите: 320,6 + 27 3 + ⎜ − ⎟ . ⎝ 3⎠ 7. Упростите выражение x ⋅ 6 x5 ⋅ 3 x 9 x2 . МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА Ответы к заданиям для самостоятельной работы № задания Вариант 1 Вариант 2 12. Найдите значение выражения A 2 , если 1 1 1 2 3 4 5 6 7 7 2 3 1 4 –2 3 0,25 −34 24 25 8 −18 9 b А) 1; Б) 100; В) 400; Г) 20 5 . 3 222 1 –6 0,2 5 45 − 12 + 75. 2 14 ; В) 4 ; Г) 2. 3 15 А) –1; Б) 1 1 А) 19; Б) 3 ; В) 24; Г) 3. 4 2. Вычислите: 5 ⋅ 20 − 64 ⋅ 81. А) 62; Б) 82; В) –62; Г) 40. 3. Найдите значение выражения 32 2 + 49 . 100 А) 4,7; Б) 11; В) 47; Г) 40. 32 ⋅ 2 в виде степе4. Представьте выражение 84 ни с основанием 2. А) 217,5; Б) 2−6,5 ; В) 2−5; Г) 26,5 . ( 4− 7 − 4+ 7) . 2 1 А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 5. ( х у ) , y > 0. 16. Упростите выражение 4 х 16 у8 −2 . 100 81 ; Б) 82; В) ; Г) 10. 81 100 18. Вычислите: 5 23 ⋅ 72 ⋅ 5 212 ⋅ 73 . А) 14; Б) 28; В) 56; Г) 9. 19. Вычислите: 8. Вычислите: 0,25−0,5. − 1 2 3 −1 − ⎛ 1⎞ 3 0 2 −4 3 2 ⎜⎝ ⎟⎠ − 8 + (12 ) ⋅ 7 + 32 ⋅ 2 ⋅16 . 27 1 ; В) 4; Г) 0,05. 5 А) 8; Б) –9; В) 10; Г) 22. 3−2 ⋅143 ⋅ 7 −4 . 9. Вычислите: −3 3 ⋅142 ⋅ 7 −3 А) 42; Б) 6; В) 9; Г) 21. )( 5 4 А) x; Б) y3 ; В) xy3 ; Г) xy −1 . 17. Найдите значение выражения А) А) 1,6xy; Б) 0,1xy; В) xy; Г) x −5 y −5 . 45 − 20 2 5 6. Вычислите: 1 7. Упростите выражение 0, 4x −2 y3 ⋅ x3 y −2 . 4 7 + . 2 5 3 2 ⋅ 3 ⎛ ⎛ − 1 ⎞ 8 ⎛ 3⎞ 0 ⎞ ⎜ ⎜3 4 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ 4 ⋅ 332 + 9 ⋅ 330 . 916 А) 0; Б) 1; В) 5; Г) 10. 27 2 ⋅ 3 4 15. Найдите значение выражения А) 8; Б) –2; В) −2 7 ; Г) 2. ( −1 −1 −1 −1 −1 3 3 3 − ⎞4 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 1⎞ 4 1⎞ 2 ⎛ ⎛ 5 2 14. Вычислите: ⎜ 27 ⋅ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ 32 + ⎜ ⎟ ⎟ . ⎝ 9⎠ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎟ ⎜⎝ ⎜⎝ ⎠ ⎠ А) 6 3 ; Б) 6 2 ; В) 0; Г) 3 5 + 3 3 . 10. Вычислите: ) ) + (1 + (1 + 2 ) ) . 4 1. Упростите выражение 5. Вычислите: ( ( 13. Вычислите: 1 + 1 − 2−1 х3 Тестовые задания А) 2; Б) 1 A = 10 4 ⋅ 40 4 ⋅ 52. 20. Найдите значение выражения ) 12 + 75 ⋅ 7 3 5 + 180 A3 + 1 , если 3 A = 4 3 84 . . А) 8; Б) 2; В) 9; Г) 3. Ответы к тестовым заданиям А) 21; Б) 7 3 ; В) 3 7 ; Г) 63. 8 1 −0,5 ⎛ ⎞ 1⎞ 2 ⎛ ⎛ 1⎞ 11. Вычислите: ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + 7 −1 ⋅ ⎜ ⎟ . ⎝ 49 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ А) 10; Б) 82; В) 1 1 1 ; Г) . 81 81 ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» № задания Ответ № задания Ответ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Г В А Б Г В Б А Б А 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Б Б Г Г Б В В В Г № 8 (8) август 2011 23 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ТЕМА 6. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Задания для блицопроса 1. Установите соответствие между линейной функцией (1–5), ее графиком (А–Д) и свойством (I, II). Вариант 1 y = −x 1 Вариант 2 А y=x 1 у А у 1 0 y = x −3 2 Б 1 1 0 y =2−x В y =3−x 2 у 1 3 0 х Б 1 0 y = x −2 3 у В y = −2x + 1 Г 1 1 0 х 4 у 1 y = − x +1 2 Г 5 y= 1 x −1 2 Д 1 0 х y = 2x − 1 5 Д 1 х 1 х у 1 1 24 х 1 у 0 1 у 1 0 х 1 у 1 4 х у х 1 0 1 1 0 х I Функция возрастает на множестве действительных чисел I Функция возрастает на множестве действительных чисел II Функция убывает на множестве действительных чисел II Функция убывает на множестве действительных чисел № 8 (8) август 2011 МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 2. Установите соответствие между квадратичной функцией (1–6) и ее графиком (А–Е). Вариант 1 1 Вариант 2 А y = x2 − 2 1 у А y = x2 + 2 у 1 0 2 y = ( x − 2) 2 Б 1 1 0 1 х 2 у y = ( x + 2) 2 Б у 1 0 3 y = ( x + 2) − 2 2 В х 1 1 х 0 3 у y = − ( x − 2) − 2 2 В 1 х 1 х 1 х 1 х 1 х у 1 0 1 х 1 0 4 y = ( x − 2) + 2 2 Г 4 у y = − ( x + 2) + 2 2 Г 5 y = − ( x + 2) 2 Д 1 х 5 у y = − ( x − 2) 2 Д 6 y = 2 − x2 Е у 1 0 1 0 1 0 1 0 у 1 х 6 у y = −2 − x2 Е у 1 0 1 0 1 х ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» № 8 (8) август 2011 25 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 3. Установите соответствие между функцией (1–5), ее графиком (А–Д) и свойством (I–III). Вариант 1 1 y = x3 Вариант 2 А 1 у y = x4 А у 1 0 2 y=− 1 x Б 1 1 0 х 2 у y= 3x Б 3 y= x В х 0 3 у y=− x В y= 1 x2 Г х 0 4 у y= 1 x Г y = −3 x Д 1 0 х 5 y = − x3 Д х 1 х у 1 1 26 1 1 у 0 х у 1 5 1 1 1 0 х у 1 4 1 1 1 0 х у 1 0 1 1 0 х I Функция четная I Функция четная II Функция нечетная II Функция нечетная III Функция ни четная, ни нечетная III Функция ни четная, ни нечетная № 8 (8) август 2011 МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА Задания для устной работы 1. Найдите значение функции в точке x0 : 1 1) y = 2x + 3, x0 = 0, 4 ; 2) y = x − 4, x0 = −15 ; 3 1 3) y = x2 + 7 , x0 = −3; 4) y = x2 − 3x + 1, x0 = 6; 3 5 1 5) y = − , x0 = ; 6) y = −5 + 0,25x3 , x0 = 4. x 5 2. Найдите область определения функции: x −1 1) y = 2 ; 2) y = 2x − 3 ; x + 3x 7 3) f ( x ) = −x2 ; 4) f ( x ) = . 14 − 2x 3. Найдите область значений функции: 1) y = −x4 + 2; 2) y = 5 − 3x2 ; 3) f ( x ) = x −1; 4) f ( x ) = x2 − 10x + 25. 4. Какие из заданных функций являются четными? 1) y = 4 − x2 ; 2) y = x − 5; 3) y = x + 1; 2 2 2 4) y = (4 − x ) ; 5) y = ; 6) y = ( x + 1) + 1. x 5. Найдите координаты точки пересечения графика функции y = −4x − 10 с осью абсцисс. 6. Найдите координаты точки пересечения графика функции y = −x2 + 5x − 7 с осью ординат. 7. Какая из функций является возрастающей на множестве действительных чисел? 1) y = x6 ; 2) y = 3 − 7x ; 3) y = x3 − 2; 3 4) y = ; 5) y = x ; 6) y = x . x 8. Укажите координаты вершины параболы: 2 1⎞ 2 ⎛ 1) y = x2 − 2; 2) y = ( x − 1) − 3 ; 3) y = ⎜ x + ⎟ ; ⎝ 6⎠ 4) y = x + 2x + 1. 2 Задания для письменной работы 1. Постройте графики функций: 1) y = −x2 + 5x + 6; 2) y = − 3 x − 2 ; 2. Решите графически уравнения: 1 1) x − 6 = − x ; 2) x2 − 2x + = 0 ; x 9 − x2 + x2 + 6x + 9 = 0; 4) x + x2 − 2 = 0. 3) x+3 3. Решите графически системы уравнений: ⎧х = у + 6, ⎧⎪у = х , ⎪ 1) ⎨ 2) ⎨ 4х2 − х4 2 . ⎪у = 2 ⎩⎪у + х = 2; х −4 ⎩ Задания для самостоятельной работы Вариант 1 Постройте графики функций: 2 1) y = 1 − x2 ; 2) y = ; 3) y = 3 x ; x ⎧2х − 1, если х < 0, 1− х ⎪ ; 5) у = ⎨ −1, если 0 ≤ х ≤ 3, 4) у = 2 х + 2х − 3 ⎪2 − х, если х > 3. ⎩ Вариант 2 Постройте графики функций: 8 1 1) y = x2 − 4; 2) y = − ; 3) y = 2 ; x x ⎧х2 , если х < 1, х4 − 4х2 ⎪ 4) у = ; 5) у = ⎨1, если 1 ≤ х ≤ 4, 2 4−х ⎪5 − x, если х > 4. ⎩ Тестовые задания 1. Укажите точку, принадлежащую графику функции y = 8x2 + 2 . А) (2;42); Б) ( −1; −6) ; В) (1;66); Г) ( −2;34). 2. Найдите координаты вершины параболы y = x2 + 4x . А) ( −2; −4); Б) (2;4); В) ( −2; 4); Г) (4;2). 3. Функция задана формулой f ( x ) = 3x + 5. Найдите f ( −4). x2 + 4x − 5 1− x ; 4) y = − 2 ; 2x + 10 x − x3 ⎧ −x3 , если x ≤ 1, 5) y = x + 4 − 1; 6) y = ⎨ ⎩x − 2, если x > 1; А) 7; Б) –7; В) 17; Г) –17. 4. Найдите значения x, при которых значение ⎧ ⎪x2 , если x ≤ 1, ⎪ 7) y = ⎨2 − x, если 1< x < 3, ⎪ 3 ⎪ − , если x ≥ 3. ⎩ x 6 5. Найдите область значений функции y = − . x А) ( −∞; 0) ∪ (0; +∞ ); Б) ( −∞;6) ∪ (6; +∞ ) ; 3) y = ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА» функции y = x2 − 4x + 5 равно 5. А) 0; 4; Б) 0; –4; В) –5; 5; Г) –4; 5. В) ( −∞; −6) ∪ ( −6; +∞ ) ; Г) ( −∞; +∞ ) . № 8 (8) август 2011 27 ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА 6. Укажите рисунки, на которых изображены графики четных функций. 1) 2) 3) 4) у у 1 0 0 1 х у 1 у 1 1 х 0 1 1 0 х 1 А) 1; 3; Б) 2; 4; В) 1; 4; Г) 1; 3; 4. 7. На рисунке изображен у график функции f (x), которая определена 1 при x ∈[ −6; 4]. Найди- х х Б) ( −∞;2) ∪ (2; +∞ ) ; В) [ −4; 0]; Г) ( −∞;2]. у 1 х 0 1 В) ( −2; +∞ ) ; Г) ( −∞;2]. А) [0;+∞ ) ; Б) ( −∞;1) ; 15. Укажите значения a и b, при которых графики функций y = 4x + 5 и y = ax + b параллельны. 1 А) a = 5, b = 4; Б) a = , b = −5; 4 В) a = 1, b = 6; Г) a = 4, b = 6. 16. Какая из функций является возрастающей на ее области определения? А) y = x2 + 1; Б) y = − x + 1 ; у № задания 1 Ответ Г А Б А А Б Г В 1 № задания 9 10 11 12 13 14 15 16 Ответ А Б Г Б В Б Г Г х 0 1 А) ( −∞; +∞ ) ; Б) [ −1,5; +∞ ); В) [0;+∞ ) ; Г) (1,5; +∞) . № 8 (8) август 2011 х 0 1 Ответы к тестовым заданиям лите наименьшее значение функции. А) –2,5; Б) 2; В) 0; Г) –3. 10. Укажите количество точек пересечения графиков функций y = x3 и y = x . А) Одна; Б) две; В) три; Г) четыре. 11. Найдите область определения функции 1 y= . 2x − 3 28 1 В) y = 3 − 2x ; Г) y = 3x3. А) [2;+∞ ) ; Б) [ −2; +∞ ) ; 12. На рисунке изображен график функции y = ax + b. Определите знаки коэффициентов a и b. А) a > 0, b < 0; Б) a < 0, b > 0; В) a < 0, b < 0; Г) a > 0, b > 0. А) f ( x ) = −5x + 2; Б) f ( x ) = 2x − 5; 2 В) f ( x ) = 2x2 − 3x + 3 ; Г) f ( x ) = + 3. x 14. На рисунке изображеу ны графики функций y = f ( x ) и y = g ( x ). В) (1;+∞ ) ; Г) [1;+∞ ) . те область значений данной функции. А) ( −∞; +∞ ) ; 9. На рисунке изображен график функции f (x). которая определена при x ∈[ −4;5]. Опреде- ку (2;5). Укажите функцию f ( x ). Используя рисунок, решите неравенство x3 < −x + 2. 0 1 8. На рисунке изображен график функции f (x). Определите, при каких значениях аргумента f (x) > 0. 13. График функции y = f (x) проходит через точ- у 1 0 1 х 2 3 4 5 6 7 8 Литература 1. Алгебра : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2000. 2. Алгебра : учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2001. 3. Алгебра : учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2004. 4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — 8-е изд., перераб. — М. : Просвещение, 2000. 5. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов : учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики / М. : Просвещение, 1992. — 271 с. 6. Едуш О. Ю. ЕГЭ по математике: учебно-тренировочные тесты и другие материалы для 9 класса. — М. : АСТ: ХРАНИТЕЛЬ, СПб. : Астрель-СПб, 2008. — 234 с. 7. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс / Л. В. Кузнецова, Е. А. Бунимович, Б. П. Пигарев, С. Б. Суворова. — 7-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2002. — 192 с. : ил. МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!