Содержание
1 О многочленах
1.1 Кольцо многочленов над полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Финитная последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Операции с финитными последовательностями . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Определение многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Значение многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Теорема о гомоморфизме кольца многочленов и алгебры над полем .
1.2.2 Определение значения многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Наибольший общий делитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Единственность НОД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Алгоритм Евклида, линейное выражение НОД . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Неприводимые многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Основная теорема арифметики для многочленов над полем . . . . . . . . . .
1.7.1 Вспомогательная лемма 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Вспомогательная лемма 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
2 О корнях многочленов
9
2.1 Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Формальная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Кратные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.2 Эквивалентные условия существования кратного корня . . . . . . . . 10
2.4.3 Свойства кратных корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Об инвариантных подпространствах
3.1 Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Собственные векторы и собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Собственное подпространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Характеристический многочлен и его инвариантность . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 О делителях характеристического многочлена . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Подобные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Об инвариантности характеристического многочлена . . . . . . . . . .
3.3.5 Характеристический многочлен оператора . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Определитель и след преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 О коэффициентах в характеристическом многочлене . . . . . . . . . .
3.4.2 След и определитель оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
4 О собственных векторах и собственных значениях
4.1 Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно
различным собственным значениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения . . . . .
4.2.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Теорема о связи геометрической и алгебраической кратностей . . . .
4.3 Условия диагонализуемости преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 О Гамильтоне-Кэли
5.1 Приведение матрицы преобразования к треугольному виду . . . . . . . . . .
5.1.1 Новые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Инвариантность "сдвинутых"операторов . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Об инвариантных подпространствах в операторе с собственным значением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Теорема о приведении матрицы преобразования к треугольному виду
5.2 Теорема Гамильтона-Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
14
14
6 О ЖНФ
6.1 Аннулирующие многочлены преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Корневые подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Разложение пространства в сумму корневых подпространств . . . . . . . . .
6.4 Жорданова нормальная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Жорданова клетка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Жорданов вид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Жорданова нормальная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Нильпотентный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Циклическое подпространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 Высота вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.7 О линейной независимости векторов с различными высотами . . . . .
6.4.8 О дополнении циклического подпространства до всего пространства .
6.5 Существование жордановой нормальной формы в случае единственного собственного значения и в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Единственность жордановой нормальной формы . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Метод её нахождения без поиска базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Минимальный многочлен линейного преобразования, его свойства, связь с
жордановой нормальной формой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 О делимости любого аннулирующего многочлена минимальным . . .
6.8.3 Единственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.4 Связь минимального многочлена с жордановой формой . . . . . . . .
15
15
15
15
16
16
16
16
16
17
17
17
17
7 О линейных рекуррентах
7.1 Линейные рекурренты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Оператор левого сдвига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Инвариантность оператора левого сдвига . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Минимальный многочлен оператора сдвига . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Характеристический многочлен оператора сдвига . . . . . . . . . . . .
20
20
20
20
20
20
21
2
12
13
13
13
13
14
14
15
18
18
19
19
19
19
19
20
7.2
Общий вид линейной рекурренты над производным полем . . . . . . . . . . . 21
8 О билинейных формах
8.1 Билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Координатная запись билинейной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Матрица формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Координатная запись . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Матрица билинейной формы и её изменение при замене базиса . . . . . . . .
22
22
22
22
22
22
9 Ещё больше о билинейных формах
9.1 Симметричные и кососимметричные билинейные формы, их матрицы . . . .
9.1.1 Определение симметричной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Определение кососимметричной формы . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Свойства матриц кососимметричных и симметричных форм . . . . .
9.2 Ядро формы, ортогональное дополнение подпространства (относительно формы), их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Ядро формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Ортогональное дополнение подпространства . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Свойства ортогональных дополнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Относительная невырожденность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.5 Теорема о прямой сумме подпространства и его ортогонального дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
23
23
23
10 О квадратичных формах
10.1 Квадратичные формы, их связь с симметричными билинейными формами .
10.1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Связь квадратичных форм с симметричными билинейными формами
10.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду . . . . . . . . . . .
10.3 Положительно определённые квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Критерий положительной определённости . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Индексы инерции квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Закон инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Метод Якоби приведения квадратичной формы к диагональному виду . . .
10.7 Критерий Сильвестра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
24
24
24
25
25
25
25
25
26
26
23
23
23
23
24
24
11 Приведение кососимметричной билинейной формы к каноническому виду
26
12 Об эрмитовых формах
12.1 Полуторалинейные формы в комплексном пространстве . . . . . . . . . . . .
12.2 Эрмитовы полуторалинейные и квадратичные формы, связь между ними . .
12.2.1 Определение эрмитовой полуторалинейной формы . . . . . . . . . . .
12.2.2 Определение эрмитовой квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 О связи эрмитовых полуторалинейных и квадратичных форм . . . .
12.3 Приведение к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Закон инерции и критерий Сильвестра для эрмитовых квадратичных форм
3
27
27
27
27
27
27
27
27
13 Об операторах в евклидовых и эрмитовых пространствах
13.1 Евклидово и эрмитово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Эрмитово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Выражение скалярного произведения в координатах . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Свойства матрицы Грама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Неравенство Коши-Буняковского-Шварца, неравенство треугольника . . . .
13.4.1 Неравенство Коши-Буняковского-Шварца . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2 Неравенство треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
28
28
28
28
28
28
28
14 Об ортонормированных векторах и изоморфизмах
14.1 Ортонормированные базисы и ортогональные (униатрные) матрицы . . . . .
14.1.1 Определения для векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2 Определения для матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Существование ортонормированных базисов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Изоморфизмы евклидовых и эрмитовых пространств . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Теорема об изоморфизме пространств с одинаковой размерностью . .
14.4 Канонический изоморфизм евклидова пространства и сопряжённого к нему
29
29
29
29
29
29
29
29
30
15 Об ортогонализации и объёмах
15.1 Ортогональное дополнение подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Ортогональное проектирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2 Вычисление проекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Процесс ортогонализации Грама-Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Объём параллелипипеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.2 Вычисление объёма параллелипипеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
30
30
30
31
31
31
31
16 О сопряжённых преобразованиях
16.1 Связь билинейных (полуторалинейных) форм и линейных преобразований
в евклидовом (эрмитовом) пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Новое обозначение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2 Связь билинейных форм и преобразований . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Преобразование, сопряжённое данному . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Его существование и единственность, его свойства . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.1 Существование сопряжённого оператора . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.2 Связь матрицы оператора и сопряжённого к нему . . . . . . . . . . .
16.3.3 Свойства сопряжённых операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.4 О связи инвариантных подпространств оператора и сопряжённого к
нему . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Теорема Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
17 О самосопряжённых преобразованиях
17.1 Самосопряжённые линейные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Свойства самосопряжённых преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1 Инвариантные пространства самосопряжённых операторов . . . . . .
33
33
33
33
4
32
32
32
32
32
32
32
32
33
33
17.2.2 Характеристический многочлен самосопряжённых операторов . . . . 33
17.2.3 Ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
17.3 Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряжённого линейного преобрзования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
18 Об ортогональных операторах
34
18.1 Ортогональные и унитарные преобразования, их свойства . . . . . . . . . . . 34
18.1.1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
18.1.2 Критерий ортогональности преобразования . . . . . . . . . . . . . . . 34
18.1.3 Об инвариантных подпространствах ортогонального оператора . . . . 35
18.2 Инвариантные подпространства малой размерности для преобразований вещественного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
18.3 Канонический вид унитарного и ортогонального преобразований . . . . . . . 35
18.3.1 Канонический вид унитарного преобразования . . . . . . . . . . . . . 35
18.3.2 Канонический вид ортогонального преобразования . . . . . . . . . . . 36
18.4 Полярное разложение линейного преобразования в евклидовом пространстве 36
19 О привидениях
37
19.1 Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям 37
19.2 Одновременное приведение пары квадратичных форм к диагональному виду 37
20 О тензорах
20.1 Тензоры, как полилинейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.1 Определение тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.2 Примеры тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Тензорное произведение тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Координатная запись тензора, изменение координат при замене базиса . . .
20.3.1 Координатная запись тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2 Изменение координат при замене базиса . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
37
37
37
38
38
38
38
38
1
О многочленах
1.1
Кольцо многочленов над полем
1.1.1
Финитная последовательность
Пусть 𝐾 - коммутативное кольцо. Последовательность (𝑎0 , 𝑎1 , . . . ) элементов из 𝐾 называется финитной, если она содержит конечное число ненулевых элементов. Обозначение
финитной последовательности - (𝑎𝑖 ).
1.1.2
Операции с финитными последовательностями
Для финитных последовательностей (𝑎𝑖 ) и (𝑏𝑖 ) можно определить операции сложения
и умножения:
1. (𝑎𝑖 ) + (𝑏𝑖 ) := (𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 )
2. (𝑎𝑖 )(𝑏𝑖 ) := (𝑐𝑘 ), 𝑐𝑘 :=
∑︀
𝑎𝑖 𝑏 𝑗
𝑖+𝑗=𝑘
1.1.3
Определение многочленов
(𝑘)
Положим 𝑥 := (0, 1, 0, 0, . . . ), тогда 𝑥𝑘 = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . ) по правилам умножения
в 𝑅. В таких обозначениях (𝑎𝑖 ) = (𝑎0 , . . . , 𝑎𝑛 , 0, . . . ) можно представить в виде (𝑎𝑖 ) =
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 , где ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} : 𝑎𝑖 ≡ (𝑎𝑖 , 0, . . . ). Более того, такое представление
единственно.
1.2
Значение многочлена
1.2.1
Теорема о гомоморфизме кольца многочленов и алгебры над полем
Пусть 𝐴 - алгебра над полем 𝐹 , 𝑎 ∈ 𝐴. Тогда существует единственный гомоморфизм
алгебр 𝜙 : 𝐹 [𝑥] → 𝐴 такой, что 𝜙(𝑥) = 𝑎.
Доказательство.
Покажем, что искомый гомоморфизм 𝜙 не более чем единственен. Если он существует,
то в силу свойства гомоморфизма колец, для любого 𝑛 ∈ N ∪ {0} выполнено равенство
𝜙(𝑥𝑛 ) = 𝑎𝑛 , тогда для любого многочлена 𝑃 = 𝑝0 + · · · + 𝑝𝑛 𝑥𝑛 ∈ 𝐹 [𝑥] значение 𝜙(𝑃 )
определяется однозначно.
Покажем теперь, что определение таким образом отображения действительно является
гомоморфизмом алгебр. Оно, очевидно, является линейным отображением, и, кроме того,
𝜙(1) = 1. Остаётся проверить лишь свойство мультипликативности. Действительно, для
любых 𝑃 = 𝑝0 + · · · + 𝑝𝑛 𝑥𝑛 , 𝑄 = 𝑞0 + · · · + 𝑞𝑚 𝑥𝑚 ∈ 𝐹 [𝑥] выполнено следующее:
𝜙(𝑃 )𝜙(𝑄) =
𝑛
∑︁
𝑖=0
1.2.2
𝑖
𝑝𝑖 𝑎
𝑚
∑︁
𝑗
𝑞𝑗 𝑎 =
𝑛+𝑚
∑︁
𝑗=0
(
∑︁
𝑎𝑖 𝑏𝑗 )𝑥𝑘 = 𝜙(𝑃 𝑄)
𝑘=0 𝑖+𝑗=𝑘
Определение значения многочлена
Пусть 𝐴 - алгебра над полем 𝐹, 𝑎 ∈ 𝐴. Значением многочлена 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥] в точке 𝑎 ∈ 𝐴
называется 𝑃 (𝑎) := 𝜙(𝑃 ), где 𝜙 - гомоморфизм подстановки из утверждения выше.
6
1.3
Деление с остатком
Пусть 𝐹 - поле, 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐹 [𝑥] и 𝐵 ̸= 0. Тогда существует единственная пара многочленов
𝑄, 𝑅 ∈ 𝐹 [𝑥] такая, что 𝐴 = 𝑄𝐵 + 𝑅, deg 𝑅 < deg 𝑄.
Доказательство.
1. Пусть 𝑛 := deg 𝐴, 𝑘 := deg 𝐵. Докажем существование индукцией по 𝑛. База, 𝑛 < 𝑘,
тривиальна: 𝐴 = 0𝐵 + 𝐴. Теперь докажем переход, 𝑛 ⩾ 𝑘. Перепишем 𝐴 в виде
𝐴 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝐴′ , 𝐵 - в виде 𝐵 = 𝑏𝑥𝑘 + 𝐵 ′ , где 𝐴′ , 𝐵 ′ ∈ 𝐹 [𝑥] - многочлены такие, что
deg 𝐴′ < 𝑛, deg 𝐵 ′ < 𝑘. Определим многочлен 𝐶 ∈ 𝐹 [𝑥] следующим образом:
𝐶 := 𝐴 − 𝑎𝑏−1 𝑥𝑛−𝑘 𝐵 = 𝐴′ − 𝑎𝑏−1 𝑥𝑛−𝑘 𝐵 ′
Поскольку deg 𝐶 ⩽ deg 𝐴′ < 𝑛, то, по предположению, существуют многочлены
𝑄′ , 𝑅′ ∈ 𝐹 [𝑥] такие, что 𝐶 = 𝑄′ 𝐵 + 𝑅′ ⇒ 𝐴 = (𝑄′ + 𝑎𝑏−1 𝑥𝑛−𝑘 )𝐵 + 𝑅′
2. Покажем, что набор (𝑄, 𝑅) единственен. Пусть 𝐴 = 𝑄1 𝐵 + 𝑅1 = 𝑄2 𝐵 + 𝑅2 для некоторых двух наборов многочленов (𝑄1 , 𝑅1 ), (𝑄2 , 𝑅2 ), тогда (𝑄1 −𝑄2 )𝐵 = 𝑅1 −𝑅2 . Поскольку deg(𝑅1 − 𝑅2 ) < deg 𝐵, то равенство возможно лишь в случае, когда 𝑄1 − 𝑄2 = 0,
откуда 𝑄1 = 𝑄2 , 𝑅1 = 𝑅2 .
1.4
Наибольший общий делитель
1.4.1
Определение
Пусть 𝐾 - коммутативное кольцо, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾. Элемент 𝑐 ∈ 𝐾 называется наибольшим
общим делителем элементов 𝑎 и 𝑏, если выполнены следующие условия:
1. 𝑐 | 𝑎, 𝑏
2. ∀𝑑 ∈ 𝐾 : 𝑑|𝑎, 𝑏 : 𝑐 | 𝑑
1.4.2
Единственность НОД
Пусть 𝐾 - целостное кольцо, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾. Тогда два наибольших общих делителя 𝑎 и 𝑏
ассоциированы.
Доказательство.
Пусть 𝑐 = gcd(𝑎, 𝑏), 𝑑 = gcd(𝑎, 𝑏). Тогда, по определению наибольшего общего делителя,
𝑐 | 𝑑 ∧ 𝑑 | 𝑐, то есть 𝑐 = 𝛼𝑑, 𝑑 = 𝛽𝑐, 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾. Следовательно, 𝛼𝛽𝑐 = 𝑐. Если 𝑐 ̸= 0, то
𝛼𝛽 = 1 ⇒ 𝛼𝛽 ∈ 𝐾 * . Если же 𝑐 = 0, то 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0.
1.5
Алгоритм Евклида, линейное выражение НОД
Пусть 𝐹 - поле, 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐹 [𝑥]. Тогда существует многочлен 𝐶 = gcd(𝐴, 𝐵), причём
∃𝑃, 𝑄 ∈ 𝐹 [𝑥] : 𝐶 = 𝐴𝑃 + 𝐵𝑄.
Доказательство.
Проведём индукцию по 𝑘 := min(deg 𝐴, deg 𝐵). База 𝑘 = −∞ тривиальна: если без
ограничения общности 𝐵 = 0, то gcd(𝐴, 0) = 𝐴, 𝐴 = 1𝐴 + 0𝐵. Докажем переход. Пусть
без ограничения общности deg 𝐴 ⩾ deg 𝐵 = 𝑘. Выберем многочлены 𝑄, 𝑅 ∈ 𝐹 [𝑥] такие,
что 𝐴 = 𝑄𝐵 + 𝑅, deg 𝑅 < 𝑘, и заметим, что выполнена равносильность 𝐷 | 𝐴, 𝐵 ⇔ 𝐵, 𝑅.
Тогда, по предположению индукции, существует многочлен 𝐶 = gcd(𝐴, 𝐵) = gcd(𝐵, 𝑅) и
многочлены 𝑃 ′ , 𝑄′ ∈ 𝐹 [𝑥] : 𝐶 = 𝐵𝑃 ′ + 𝑅𝑄′ = 𝑄′ 𝐴 + (𝑃 ′ − 𝑄𝑄′ )𝐵
7
1.6
Неприводимые многочлены
Пусть 𝐹 - поле, 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥]. Многочлен 𝑃 называется неприводимым над 𝐹 , если deg 𝑃 >
0 и 𝑃 не раскладывается в произведение двух многочленов положительной степени.
1.7
Основная теорема арифметики для многочленов над полем
1.7.1
Вспомогательная лемма 1
Пусть 𝐹 - поле, 𝑄 ∈ 𝐹 [𝑥], deg 𝑄 > 0. Тогда 𝑄 раскладывается в произведение неприводимых многочленов.
Доказательство.
Докажем утверждение индукцией по deg 𝑄. База тривиальна: если deg 𝑄 = 1, то он уже
неприводим. Докажем переход. Если 𝑄 неприводим, то получено требуемое, иначе выполнено равенство 𝑄 = 𝑄1 𝑄2 для некоторых 𝑄1 , 𝑄2 ∈ 𝐹 [𝑥] таких, что 0 < deg 𝑄1 , deg 𝑄2 <
deg 𝑄, тогда 𝑄1 , 𝑄2 представляются в виде произведения неприводимых по предположению индукции.
1.7.2
Вспомогательная лемма 2
Пусть 𝐹 - поле, 𝑃, 𝑄, 𝑅 ∈ 𝐹 [𝑥], многочлен 𝑃 неприводим и выполнено 𝑃 | 𝑄𝑅. Тогда
𝑃 | 𝑄 или 𝑃 | 𝑅.
Доказательство.
Предположим, что 𝑃 ∤ 𝑄. Тогда, в силу неприводимости многочлена 𝑃 , выполнено
равенство gcd(𝑃, 𝑄) = 1, поэтому существуют многочлены 𝐾, 𝐿 ∈ 𝐹 [𝑥] такие, что 𝐾𝑃 +
𝐿𝑄 = 1. Умножая обе части равенства на 𝑅, получим, что 𝐾𝑃 𝑅 + 𝐿𝑄𝑅 = 𝑅, откуда
𝑃 | 𝐾𝑃 𝑅 + 𝐿𝑄𝑅 = 𝑅.
1.7.3
Теорема
Пусть 𝐹 - поле, и 𝑄 ∈ 𝐹 [𝑥] ∖ {0}. Тогда существует такой скаляр 𝛼 ∈ 𝐹 * и такие
неприводимые многочлены 𝑃1 , . . . , 𝑃𝑘 ∈ 𝐹 [𝑥], что 𝑄 можно представить в следующем
виде:
𝑄 = 𝛼𝑃1 . . . 𝑃𝑘
Более того, если 𝑄 = 𝛼𝑃1 . . . 𝑃𝑘 = 𝛽𝑅1 . . . 𝑅𝑙 для некоторого скаляра 𝛽 ∈ 𝐹 * и неприводимых многочленов 𝑅1 . . . 𝑅𝑙 ∈ 𝐹 [𝑥], то 𝑘 = 𝑙 и существует перестановка 𝜎 ∈ 𝑆𝑘 такая, что
для каждого 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘} многочлены 𝑃𝑖 и 𝑃𝜎(𝑖) ассоциированы.
Доказательство.
• (Существование) Случай, когда deg 𝑄 > 0 уже разобран, если deg 𝑄 = 0, то 𝑄 = 𝛼
• (Единственность) Проведём индукцию по 𝑘 (Количеству неприводимых многочленов,
на которые раскладывается 𝑄). База, k = 0, тривиальна: deg 𝑄 = 0 ⇒ 𝑘 = 𝑙 = 0, 𝑄 =
𝛼 = 𝛽.
Теперь докажем переход. Пусть 𝑘 > 0 и выполнены равенства 𝑄 = 𝛼𝑃1 . . . 𝑃𝑘 =
𝛽𝑅1 . . . 𝑅𝑙 . Тогда, поскольку 𝑃𝑘 | 𝑅1 . . . 𝑅𝑙 , существует 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑙} такое, что 𝑃𝑘 |
𝑅𝑖 , то есть многочлены ассоциированы в силу их неприводимости: 𝑅𝑖 = 𝛾𝑃𝑘 , 𝛾 ∈
𝐹 * . Пусть без ограничени общности 𝑖 = 𝑙, тогда 𝛼𝑃1 . . . 𝑃𝑘−1 = (𝛽𝛾)𝑅1 . . . 𝑅𝑙−1 , и
применимо предположение индукции.
8
2
О корнях многочленов
2.1
Корни многочленов
Пусть 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥]. Скаляр 𝛼 ∈ 𝐹 называется корнем многочлена 𝑃 , если выполнено
равенство 𝑃 (𝑎) = 0
2.2
Теорема Безу
Скаляр 𝛼 ∈ 𝐹 является корнем многочлена 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥] ⇔ (𝑥 − 𝑎) | 𝑃
Доказательство.
Разделим 𝑃 с остатком на (𝑥 − 𝑎), то есть выберем 𝑅, 𝑄 ∈ 𝐹 [𝑥] такие, что 𝑃 = (𝑥 −
𝑎)𝑄 + 𝑅 и deg 𝑅 ⩽ 0. Заметим, что 𝑃 (𝑎) = 𝑅, тогда выполнены равносильности 𝑃 (𝑎) =
0 ⇔ 𝑅 = 0 ⇔ (𝑥 − 𝑎) | 𝑃
2.3
Формальная производная
2.3.1
Определение
Пусть 𝑃 = 𝑝0 +𝑝1 𝑥+· · ·+𝑝𝑛 𝑥𝑛 ∈ 𝐹 [𝑥]. Формальной производной многочлена 𝑃 (𝑥) называется многочлен 𝑃 ′ := 𝑝1 + 2𝑝2 𝑥 + · · · + 𝑛𝑝𝑛 𝑥𝑛−1 , где целочисленные скаляры понимаются,
как суммы соответствующего числа единиц.
2.3.2
Основные свойства
1. ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐹 : ∀𝑃, 𝑄 ∈ 𝐹 [𝑥] : (𝛼𝑃 + 𝛽𝑄)′ = 𝛼𝑃 ′ + 𝛽𝑄′ (Линейность)
2. ∀𝑃, 𝑄 ∈ 𝐹 [𝑥] : (𝑃 𝑄)′ = 𝑃 ′ 𝑄 + 𝑃 𝑄′ (Правило Лейбница)
Доказательство.
1. Пусть 𝑛 := max(deg 𝑃, deg 𝑄), тогда многочлены 𝑃 и 𝑄 можно представить в виде
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑃 =
𝑝𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑄 =
𝑞𝑖 𝑥𝑖 , откуда 𝛼𝑃 + 𝛽𝑄 =
(𝛼𝑝𝑖 + 𝛽𝑞𝑖 )𝑥𝑖 . Проверим требуемое
𝑖=0
𝑖=0
𝑖=0
равенство непосредственной проверкой:
𝑛
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
∑︁
′
𝑖−1
𝑖−1
(𝛼𝑃 + 𝛽𝑄) =
𝑖(𝛼𝑝𝑖 + 𝛽𝑞𝑖 )𝑥 = 𝛼
𝑖𝑝𝑖 𝑥 + 𝛽
𝑖𝑞𝑖 𝑥𝑖−1 = 𝛼𝑃 ′ + 𝛽𝑄′
𝑖=0
𝑖=0
𝑖=0
2. Левая и правая часть требуемого равенства линейны по 𝑃 и 𝑄, поэтому равенство
достаточно проверить на некотором базисе пространства многочленов, например, для
произвольных многочленов вида 𝑃 (𝑥) = 𝑥𝑖 , 𝑄(𝑥) = 𝑥𝑗 , 𝑖, 𝑗 ∈ N ∪ {0}
(𝑃 𝑄)′ = (𝑖 + 𝑗)𝑥𝑖+𝑗−1 = 𝑖𝑥𝑖−1 𝑥𝑗 + 𝑗𝑥𝑖 𝑥𝑗−1 = 𝑃 ′ 𝑄 + 𝑄′ 𝑃
2.4
Кратные корни
2.4.1
Определение
Пусть 𝑎 ∈ 𝐹 - корень многочлена 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥]. Кратностью корня 𝑎 называется наибольшее 𝛾 ∈ N такое, что (𝑥 − 𝑎)𝛾 | 𝑃 . Если 𝛾 > 1, то корень 𝑎 называется кратным, иначе простым.
9
2.4.2
Эквивалентные условия существования кратного корня
1. 𝑐 - кратный корень 𝑃 .
2. 𝑃 (𝑐) = 𝑃 ′ (𝑐) = 0
3. (𝑥 − 𝑐)| gcd(𝑃, 𝑃 ′ )
Доказательство.
• (1 ⇔ 2) Пусть 𝑐 - корень многочлена 𝑃 , тогда 𝑃 = (𝑥 − 𝑐)𝑄 и 𝑃 ′ = 𝑄 + (𝑥 − 𝑐)𝑄′ ,
поэтому 𝑐 - кратный корень многочлена 𝑃 ⇔ 𝑃 ′ (𝑐) = 0
• (2 ⇔ 3) 𝑃 (𝑐) = 𝑃 ′ (𝑐) = 0 ⇔ (𝑥 − 𝑐) | 𝑃 ′ , 𝑃 ⇔ (𝑥 − 𝑐) | gcd(𝑃, 𝑃 ′ )
2.4.3
Свойства кратных корней
Пусть 𝑐 ∈ 𝐹 - корень многочлена 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥] кратности 𝑘 ∈ N, 𝑘 > 1. Тогда выполнены
следующие свойства:
1. 𝑐 - корень многочлена 𝑃 ′ кратности хотя бы 𝑘 − 1.
2. Если char 𝐹 > 𝑘 или char 𝐹 = 0, то 𝑐 - корень многочлена 𝑃 ′ кратности ровно 𝑘 − 1.
Доказательство.
Многочлен 𝑃 имеет вид 𝑃 = (𝑥 − 𝑐)𝑘 𝑄, 𝑄 ∈ 𝐹 [𝑥], (𝑥 − 𝑐) ∤ 𝑄. Тогда:
𝑃 ′ = 𝑘(𝑥 − 𝑐)𝑘−1 𝑄 + (𝑥 − 𝑐)𝑘 𝑄′ = (𝑥 − 𝑐)𝑘−1 (𝑘𝑄 + (𝑥 − 𝑐)𝑄′ )
Из равенства выше следует, что 𝑐 уже корень многочлена 𝑃 ′ кратности хотя бы 𝑘 − 1.
Рассмотрим теперь многочлен 𝑘𝑄 + (𝑥 − 𝑐)𝑄′ . Если char 𝐹 > 𝑘 ∨ char 𝐹 = 0, то 𝑘𝑄(𝑐) ̸= 0,
поэтому кратность корня 𝑐 у многочлена 𝑃 ′ равна 𝑘 − 1
3
Об инвариантных подпространствах
3.1
Инвариантные подпространства
3.1.1
Определение
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Подпространство 𝑈 ⩽ 𝑉 называется инвариантным относительно
преобразования 𝜙, если 𝜙(𝑈 ) ⩽ 𝑈
3.1.2
Свойства
1. Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), подпространства 𝑈, 𝑊 ⩽ 𝑉 таковы, что 𝑈 ⩽ Ker 𝜙 и Im 𝜙 ⩽ 𝑊 ⩽ 𝑉 .
Тогда 𝑈 и 𝑊 инвариантны относительно 𝜙.
2. Пусть 𝜙, 𝜓 ∈ ℒ(𝑉 ), причём 𝜙 ∘ 𝜓 = 𝜓 ∘ 𝜙. Тогда Ker 𝜓 и Im 𝜓 инвариантны относительно 𝜙.
Доказательство.
10
1.
• 𝜙(𝑈 ) ⩽ 𝜙(Ker 𝜙) = {⃗0} ⩽ 𝑈
• 𝜙(𝑊 ) ⩽ Im 𝜙 ⩽ 𝑊
2.
• Пусть ⃗𝑢 ∈ Ker 𝜓, тогда 𝜓(𝜙(⃗𝑢)) = 𝜙(𝜓(⃗𝑢)) = 𝜙(⃗0) = ⃗0 ∈ Ker 𝜓
• Пусть ⃗𝑢 ∈ Im 𝜓, тогда ∃𝑤
⃗ ∈ 𝑉 : 𝜓(𝑤)
⃗ = ⃗𝑢 𝜙(⃗𝑢) = 𝜙(𝜓(𝑤))
⃗ = 𝜓(𝜙(𝑤))
⃗ ∈ Im 𝜓
3.2
Собственные векторы и собственные значения
3.2.1
Определение
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Вектор ⃗𝑣 ∈ 𝑉 ∖ {⃗0} называется собственным вектором оператора 𝜙 с
собственным значением 𝜆 ∈ 𝐹 , если 𝜙(⃗𝑣 ) = 𝜆⃗𝑣 .
Скаляр 𝜇 ∈ 𝐹 называется собственным значением оператора 𝜙, если существует собственный вектор ⃗𝑢 ∈ 𝑉 ∖ {⃗0} оператора 𝜙 с собственным значением 𝜇.
3.2.2
Собственное подпространство
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ),𝜆 ∈ 𝐹 - собственное значение оператора 𝜙. Подпространство 𝑉𝜆 :=
Ker (𝜙 − 𝜆) ⩽ 𝑉 называется собственным подпространством оператора 𝜙, соответствующим собственному значению 𝜆
3.3
Характеристический многочлен и его инвариантность
3.3.1
Определение
Пусть 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ). Характеристическим многочленом матрицы 𝐴 называют многочлен
𝜒𝜆 (𝐴) = |𝐴 − 𝜆𝐸|
3.3.2
О делителях характеристического многочлена
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), 𝜙 ↔ 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ). Тогда скаляр 𝜆0 ∈ 𝐹 является собственным значением оператора 𝜙 ⇔ 𝜒𝐴 (𝜆0 ) = 0 ⇔ (𝜆 − 𝜆0 ) | 𝜒𝐴 (𝜆)
Доказательство.
Скаляр 𝜆0 является собственным значением тогда и только тогда, когда Ker (𝜙 − 𝜆0 ) ̸=
⃗
{0}. Выполнены следующие равносильности:
Ker (𝜙 − 𝜆0 ) ̸= {⃗0} ⇔ rk (𝐴 − 𝜆0 𝐸) < 𝑛 ⇔ |𝐴 − 𝜆0 𝐸| = 0 ⇔ 𝜒𝐴 (𝜆0 ) = 0 ⇔ (𝜆 − 𝜆0 ) | 𝜒𝐴 (𝜆0 )
3.3.3
Подобные матрицы
Матрицы 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ) называются подобными, если существует матрица 𝑆 ∈ 𝐺𝑙𝑛 (𝐹 )
такая, что 𝐵 = 𝑆 −1 𝐴𝑆
Подобные матрицы - это матрицы одного и того же оператора в разных базисах.
3.3.4
Об инвариантности характеристического многочлена
Пусть 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ) - подобные матрицы. Тогда 𝜒𝐴 (𝜆) = 𝜒𝐵 (𝜆)
Доказательство.
Зафиксируем значение 𝜆 ∈ 𝐹 , тогда выполнены следующие равенства:
𝜒𝐴 (𝜆) = |𝐴 − 𝜆𝐸| = |𝑆 −1 (𝐵 − 𝜆𝐸)𝑆| = |𝐵 − 𝜆𝐸| = 𝜒𝐵 (𝜆)
11
3.3.5
Характеристический многочлен оператора
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Характеристическим многочленом оператора 𝜙 называется характеристический многочлен его матрицы в произвольном базисе. Обозначение - 𝜒𝜙 (𝜆)
3.4
Определитель и след преобразования
3.4.1
О коэффициентах в характеристическом многочлене
Пусть 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ). Тогда в характеристическом многочлене 𝜒𝐴 (𝜆) коэффициент при
𝜆
равен (−1)𝑛−1 tr 𝐴, а свободный член равен det 𝐴.
Доказательство.
Во всех нетождественных перестановках степень получаемых в 𝜒𝑎 (𝜆) мономов не превосходит 𝑛−2, поэтому слагаемое с 𝜆𝑛−1 может возникнуть только при 𝜎 = 𝑖𝑑, когда число
(−𝜆) перемножается 𝑛 − 1 раз и умножается на один из диагональных элементов, поэтому
коэфициент при (𝜆)𝑛−1 равен (−1)𝑛−1 · tr 𝐴. Свободный член в 𝜒𝐴 (𝜆) равен 𝜒𝐴 (0) = |𝐴|.
𝑛−1
3.4.2
След и определитель оператора
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Следом оператора 𝜙 называется след матрицы 𝜙 в произвольном
базисе, определителем оператора - определитель матрицы 𝜙 в произвольном базисе. Обозначения - tr 𝜙, det 𝜙 соответственно.
4
О собственных векторах и собственных значениях
4.1
Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ∈ 𝐹 - различные собственные значения оператора 𝜙. Тогда
сумма 𝑉𝜆1 + · · · + 𝑉𝜆𝑛 - прямая.
Доказательство.
Проведём индукцию по k (количеству собственных подпространств). База 𝑛 = 1 тривиальна, докажем переход. Пусть для некоторого 𝑘 > 1 утверждение неверно, тогда, по
критерию прямой суммы, существует индекс 𝑖 ∈ {𝑖, . . . , 𝑘} такой, что выполнено следующее:
𝑉𝜆𝑖 ∩ (𝜆1 ∪ · · · ∪ 𝜆𝑖−1 ∪ 𝜆𝑖+1 ∪ · · · ∪ 𝜆𝑘 ) ̸= {⃗0}
Пусть без ограничений общности 𝑖 = 𝑘, тогда существуют векторы 𝑣⃗1 ∈ 𝑉𝜆1 , . . . , 𝑣𝑘−1
⃗ ∈
𝑉𝜆𝑘−1 такие, что выполнено следующее:
𝑣⃗1 + · · · + 𝑣𝑘−1
⃗ = 𝑣⃗𝑘 ̸= {⃗0}
Применим к неравенству выше оператор 𝜙, и вычтем из полученного равенства исходное,
умноженное на 𝜆𝑘 , тогда:
(𝜆1 − 𝜆𝑘 )𝑣⃗1 + · · · + (𝜆𝑘−1 − 𝜆𝑘 )𝑣𝑘−1
⃗ = ⃗0
Все коэффициенты в левой части по условию отличны от нуля, а также хотя бы один
из векторов в левой части - ненулевой, поскольку сумма этих векторов равна 𝑣⃗𝑘 ̸= ⃗0.
Получено нетривиальное разложение нуля, что невозможно по предположению индукции,
значит сумма 𝑣⃗1 + · · · + 𝑣⃗𝑘 - прямая.
12
4.2
Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения
4.2.1
Определение
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), 𝜆0 ∈ 𝐹 - собственное значение оператора 𝜙. Алгебраической кратностью собственного значения 𝜆0 называется кратность корня 𝜆0 в 𝜒𝜙 (𝜆), геометрической
кратностью - величина dim 𝑉𝜆0
4.2.2
Теорема о связи геометрической и алгебраической кратностей
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), 𝜆0 ∈ 𝐹 - собственное значение оператора 𝜙. Тогда алгебраическая
кратность значения 𝜆0 не меньше его геометрической кратности.
Доказательство.
Пусть геометрическая кратность значения 𝜆0 равна 𝑘 ∈ N. Выберем базис (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 )
в 𝑉𝜆0 и дополним этот базис до базиса в (𝑒⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑛 ) в 𝑉 . Тогда матрица оператора 𝜙 в
этом базисе имеет следующий вид для некоторой матрицы 𝐷 ∈ 𝑀𝑛−𝑘 (𝐹 ) :
(︂
)︂
*
𝜆0 𝐸 𝑘
𝜙 ↔𝑒 𝐴 :=
0
𝐷
По теореме об определителе с углом нулей, выполнены следующие равенства:
𝜒𝜙 (𝜆) = |𝐴 − 𝜆𝐸𝑘 | = |(𝜆0 − 𝜆)𝐸𝑘 | · |𝐷 − 𝜆𝐸𝑛−𝑘 | = (𝜆0 − 𝜆)𝑘 |𝐷 − 𝜆𝐸𝑛−𝑘 |
Значит, 𝜆0 - корень кратности не меньше 𝑘 в 𝜒𝜙 (𝜆).
4.3
Условия диагонализуемости преобразования
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Тогда равносильны следующие условия:
1. Оператор 𝜙 диагонализуем.
2. Алгебраическая кратность каждого собственного значения оператора 𝜙 равна геометрической, и 𝜒𝜙 раскладывается на линейные сомножители.
3. 𝑉 =
𝑘
⨁︀
𝑉𝜆𝑖
𝑖=1
4. В 𝑉 есть базис из собственных векторов оператора 𝜙.
Доказательство.
1. (1 ⇒ 2) Пусть в некотором базисе 𝑒 в 𝑉 матрица оператора 𝜙 имеет диагональный
вид, 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑘 ∈ 𝐹 - различные элементы на диагонали, 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑘 ∈ N - количества
𝑘
∏︀
их вхождений в матрицу, тогда 𝜒𝜙 (𝜆) =
(𝜆 − 𝜆𝑖 )𝛼𝑖 . Для любого 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘}
𝑖=1
алгебраическая кратность значения 𝜆𝑖 равна 𝛼𝑖 , при этом 𝛼𝑖 базисных векторов из 𝑒
являются собственными векторами со значениями 𝜆𝑖 , откуда dim 𝑉𝜆𝑖 ⩾ 𝛼𝑖 , и обратное
неравенство тоже верно (по предыдущей теореме).
13
2. (2 ⇒ 3). Пусть 𝑉𝜆1 , . . . , 𝑉𝜆𝑘 ⩽ 𝑉 - собственные подпространства оператора 𝜙. Их
𝑘
𝑘
∑︀
∑︀
сумма - прямая, и по условию
dim 𝑉𝜆𝑖 =
𝛼𝑖 = 𝑛, поэтому 𝑉𝜆1 ⊕ · · · ⊕ 𝑉𝜆𝑘 = 𝑉
𝑖=1
𝑖=1
3. (3 ⇒ 4). Выберем базисы 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 в пространствах 𝑉𝜆1 , . . . , 𝑉𝜆𝑘 . Тогда, так как сумма
𝑉𝜆1 ⊕ · · · ⊕ 𝑉𝜆𝑘 - прямая, то объединение этих базисов даёт базис в 𝑉 , который и
является искомым.
4. (4 ⇒ 1). Если 𝑒 - базис, составленный из собственных векторов, то именно в этом
базисе матрица оператора будет иметь диагональный вид.
5
О Гамильтоне-Кэли
5.1
Приведение матрицы преобразования к треугольному виду
5.1.1
Новые обозначения
1. Для произвольных 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) и 𝜇 ∈ 𝐹 положим 𝜙𝜇 := 𝜙 − 𝜇
2. Для произвольных 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ) и 𝜇 ∈ 𝐹 положим 𝐴𝜇 := 𝐴 − 𝜇𝐸
5.1.2
Инвариантность "сдвинутых"операторов
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Тогда 𝑈 ⩽ 𝑉 является инвариантным относительно 𝜙 ⇔ 𝑈 является
инвариантным относительно 𝜙𝜇
Доказательство.
⇒ Если 𝑈 инвариантно относительно 𝜙, то 𝜙𝜇 (𝑈 ) ⩽ 𝜙(𝑈 ) + 𝜇𝑈 ⩽ 𝑈
⇐ Если 𝑈 ивариантно относительно 𝜙, то 𝜙(𝑈 ) ⩽ 𝜙𝜇 (𝑈 ) + 𝜇𝑈 ⩽ 𝑈
5.1.3
Об инвариантных подпространствах в операторе с собственным значением
Пусть оператор 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) имеет собственное значение. Тогда существует инвариантное
относительно 𝜙 подпространство 𝑈 ⩽ 𝑉 размерности 𝑛 − 1.
Доказательство.
Пусть 𝜇 ∈ 𝐹 - собственное значение оператора 𝜙. Тогда 𝜙𝜇 - невырожденный оператор,
то есть dim Im 𝜙𝜇 ⩽ 𝑛−1. Дополним базис в dim Im 𝜙𝜇 до базиса в некотором подпространстве 𝑈 ⩽ 𝑉 размерности 𝑛 − 1, тогда 𝑈 инвариантно относительно 𝜙𝜇 и, следовательно,
отнсительно 𝜙.
5.1.4
Теорема о приведении матрицы преобразования к треугольному виду
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), и 𝜒𝜙 раскладывается на линейные сомножители. Тогда в 𝑉 существует
такой базис 𝑒 = (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑛 ), что для любого 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} подпространство ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩
инвариантно относительно оператора 𝜙.
Доказательство.
Проведём индукцию по 𝑛 (размеру этого подпространства). База 𝑛 = 1, тривиальна,
докажем переход, 𝑛 > 1. Многочлен 𝜒𝜙 имеет корни, поэтому существует инвариантное
подпространство 𝑈 ⩽ 𝑉 размерности 𝑛 − 1. Положим 𝜓 := 𝜙|𝑈 ∈ ℒ(𝑈 ), тогда 𝜒𝜓 | 𝜒𝜙 ,
14
поэтому 𝜒𝜓 также раскладывается на линейные сомножители, и к нему применимо предположение индукции. Выберем подходящий базис 𝑒′ в 𝑈 и дополним его до базиса в 𝑉 ,
получим требуемое.
5.2
Теорема Гамильтона-Кэли
Для любого оператора (но мы доказываем только для таких, характеристический многочлен которых раскладывается на линейные сомножители) 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) выполнено следующее равенство:
𝜒𝜙 (𝜙) = 0
Доказательство.
Выберем базис 𝑒 в 𝑉 , в котором ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} : 𝑉𝑖 := ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑖 ⟩ ⩽ 𝑉 инвариантно
относительно 𝜙, тогда матрица оператора 𝜙 в этом базисе имеет верхнетреугольный вид.
Пусть 𝜙 ↔𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ) ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ). Покажем, что тогда ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} : 𝜙𝜆𝑖 (𝑉𝑖 ) ⩽ 𝑉𝑖−1 .
Действительно, так как 𝑉𝑖 инвариантно относительно 𝜙, то оно также инвариантно
относительно 𝜙𝜆𝑖 , и матрица сужения 𝜓 := 𝜙𝜆𝑖 |𝑉𝑖 ∈ ℒ(𝑉𝑖 ) имеет вид:
⎛
⎞
𝜆1 − 𝜆0
*
... *
⎜ 0
𝜆2 − 𝜆0 . . . *⎟
⎜
⎟
𝜓 ↔(𝑒⃗1 , ..., 𝑒⃗𝑖 ) ⎜ ..
..
.. ⎟
.
.
⎝ .
. .⎠
.
0
0
... 0
Последняя координата у образов всех базисных векторов нулевая, поэтому 𝜓(𝑉𝑖 ) ⩽ 𝑉𝑖−1 .
Следовательно, выполнены следующие включения:
𝜒𝜙 (𝜙)(𝑉 ) = (𝜙𝜆1 . . . 𝜙𝜆𝑛 )(𝑉 ) ⩽ (𝜙𝜆1 . . . 𝜙𝜆𝑛−1 )(𝑉𝑛−1 ) ⩽ . . . ⩽ {⃗0}
Таким образом, 𝜒𝜙 (𝜙) = 0.
6
О ЖНФ
6.1
Аннулирующие многочлены преобразования
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Многочлен 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥] ∖ {0} называется аннулирующим многочленом
оператора 𝜙, если 𝑃 (𝜙) = 0.
6.2
Корневые подпространства
Пусть 𝜆𝑖 - собственное значение оператора 𝜙. Корневым подпространством, соответствующим 𝜆𝑖 , называется 𝑉 𝜆𝑖 = Ker (𝜙𝜆𝑖 )𝛼𝑖 , где 𝛼𝑖 - алгебраическая кратность собственного значения 𝜆𝑖 для оператора 𝜙
6.3
Разложение пространства в сумму корневых подпространств
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥] - аннулирующий многочлен оператора 𝜙, и 𝑃 = 𝑃1 𝑃2 , для
многочленов 𝑃1 , 𝑃2 ∈ 𝐹 [𝑥], таких, что gcd(𝑃1 , 𝑃2 ) = 1. Тогда 𝑉 = 𝑉1 ⊕ 𝑉2 , где 𝑉1 :=
Ker 𝑃1 (𝜙), 𝑉2 := Ker 𝑃2 (𝜙) - инвариантные относительно 𝜙 подпространства.
15
Доказательство.
Подпространства из условия инвариантны относительно 𝜙, поскольку операторы 𝑃1 (𝜙), 𝑃2 (𝜙)
коммутируют с 𝜙. Покажем, что Im 𝑃1 (𝜙) ⩽ 𝑉2 . Действительно, 𝑃2 (𝜙)(𝑃1 (𝜙)(𝑉 )) = 𝑃 (𝜙)(𝑉 ) =
{⃗0}, то есть Im 𝑃1 (𝜙) ⩽ 𝑉2 . Аналогично, выполняется включение для Im 𝑃2 (𝜙) ⩽ 𝑉1 . Поскольку gcd(𝑃1 , 𝑃2 ) = 1, то существуют многочлены 𝑄1 , 𝑄2 ∈ 𝐹 [𝑥] такие, что выполнено
равенство 𝑃1 𝑄1 + 𝑃2 𝑄2 = 1, подставим 𝜙 в это равенство и получим следующее:
𝑃1 (𝜙)𝑄1 (𝜙) + 𝑃2 (𝜙)𝑄2 (𝜙) = 𝑖𝑑
Значит, для произвольного ⃗𝑣 ∈ 𝑉 выполнены следующие равенства:
⃗𝑣 = 𝑖𝑑(⃗𝑣 ) = 𝑄1 (𝜙)(𝑃1 (𝜙)(⃗𝑣 )) + 𝑄2 (𝜙)(𝑃2 (𝜙)(⃗𝑣 ))
Заметим теперь, что 𝑃1 (𝜙)(⃗𝑣 ) ∈ Im 𝑃1 (𝜙) ⩽ 𝑉2 , 𝑃2 (𝜙)(⃗𝑣 ) ∈ Im 𝑃2 (𝜙) ⩽ 𝑉1 , откуда 𝑄1 (𝜙)(𝑃1 (𝜙)(⃗𝑣 )) ∈
𝑉2 , 𝑄2 (𝜙)(𝑃2 (𝜙)(⃗𝑣 )) ∈ 𝑉1 в силу инвариантности подпространств 𝑉1 и 𝑉2 относительно 𝜙.
Значит 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉 , причём эта сумма - прямая, т.к. для любого вектора 𝑤
⃗ ∈ 𝑉1 ∩ 𝑉2
выполнены следующие равенства:
𝑤
⃗ = 𝑄1 (𝜙)(𝑃1 (𝜙)(𝑤))
⃗ + 𝑄2 (𝜙)(𝑃2 (𝜙)(𝑤))
⃗ = 𝑄1 (𝜙)(⃗0) + 𝑄2 (𝜙)(⃗0) = ⃗0
Таким образом, 𝑉 = 𝑉1 ⊕ 𝑉2 .
6.4
Жорданова нормальная форма
6.4.1
Жорданова клетка
Пусть 𝐹 - поле, 𝜆0 ∈ 𝐹 . Жордановой клеткой размера 𝑘 ∈ N с собственным значением
𝜆0 называется матрица 𝐽𝑘 (𝜆0 ) ∈ 𝑀𝑘 (𝐹 ), имеющая следующий вид:
⎛
⎞
𝜆0 1 . . . 0
⎜ 0 𝜆0 . . . 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
𝐽𝑘 (𝜆0 ) := ⎜ ... . . . . . . ... ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 . . . 𝜆0 1 ⎠
0 . . . 0 𝜆0
6.4.2
Жорданов вид
Пусть 𝐹 - поле, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ). Матрица 𝐴 имеет жорданов вид, если она имеет блочнодиагональный вид, в котором каждый блок является жордановой клеткой.
6.4.3
Жорданова нормальная форма
Пусть 𝑉 - линейное пространство, 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Если в некотором базисе матрица оператора 𝜙 имеет жорданов вид, то она называется жордановой нормальной формой оператора
𝜙, а соответствующий базис - его жордановым базисом.
6.4.4
Нильпотентный оператор
Пусть 𝜓 ∈ ℒ(𝑉 ). Оператор 𝜓 называется нильпотентным, если существует 𝑚 ∈ N
такое, что 𝜓 𝑚 = 0
16
6.4.5
Циклическое подпространство
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - нильпотентный оператор. Подпространство 𝑈 ⩽ 𝑉 называется циклическим относительно 𝜓, если оно инвариантно относительно 𝜓 и существует вектор ⃗𝑣 ∈ 𝑉
такой, что 𝑈 - минимальное по включению инвариантное подпространство, содержащее ⃗𝑣 .
6.4.6
Высота вектора
Пусть 𝜓 ∈ ℒ(𝑉 ) - нильпотентный оператор, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 ∖ {⃗0}. Высотой вектора ⃗𝑣 относительно 𝜓 называется наименьшее 𝑛 ∈ N такое, что 𝜓 𝑛 (⃗𝑣 ) = 0
6.4.7
О линейной независимости векторов с различными высотами
Пусть 𝜓 ∈ ℒ(𝑉 ) - нильпотентный оператор, и пусть векторы 𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ∈ 𝑉 ∖ {⃗0}
имеют попарно различные высоты относительно 𝜓. Тогда эти векторы образуют линейно
независимую систему.
Доказательство.
Предположим, что это не так, тогда существует нетривиальная линейная комбинация
с коэффициентами 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑘 ∈ 𝐹 , равная нулю:
𝛼1 𝑣⃗1 + · · · + 𝛼𝑘 𝑣⃗𝑘 = ⃗0
Пусть 𝑣⃗𝑖 - вектор с наибольшей высотой 𝑛𝑖 , коэффициент при котором не равен нулю.
Применяя к данному равенству 𝜓 𝑛−1 , получим, что 𝛼𝑖 𝜓 𝑛−1 (⃗
𝑣𝑖 ) = ⃗0. Значит 𝛼𝑖 = 0, что
противоречит нашему условию.
6.4.8
О дополнении циклического подпространства до всего пространства
Пусть 𝜓 ∈ ℒ(𝑉 ) - нильпотентный оператор, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 ∖ {⃗0} - вектор наибольшей высоты
𝑛 в пространстве 𝑉 , и 𝑈 ⩽ 𝑉 - циклическое подпространство, порождённое ⃗𝑣 . Тогда
существует 𝑊 ⩽ 𝑉 такое, что 𝑊 инвариантно относительно 𝜓 и 𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑊 .
Доказательство.
Вектор из условия определён корректно, т.к. все векторы из 𝑉 ∖ {⃗0} имеют конечную
высоту, ограниченную сверху величиной dim 𝑉 . Выберем инвариантное подпространство
𝑊 ⩽ 𝑉 наибольшей размерности такое, что 𝑊 ∩ 𝑈 = {⃗0}. Такое пространство точно
существует, потому что ⃗0 ⩽ 𝑉 удовлетворяет условию. Если 𝑈 ⊕ 𝑊 = 𝑉 , то утверждение
доказано.
Если же 𝑈 ⊕ 𝑊 ̸= 𝑉 , то выберем ⃗𝑣 ̸∈ 𝑈 ⊕ 𝑊 . Поскольку в наборе ⃗𝑣 , 𝜓(⃗𝑣 ), . . . , ⃗0 первый
вектор не лежит в 𝑈 ⊕ 𝑊 , а последний - лежит, то в некоторый момент произойдёт скачок
из 𝑉 ∖ (𝑈 ⊕ 𝑊 ) в 𝑈 ⊕ 𝑊 . Пусть без ограничения общности это произойдёт на первом шаге,
тогда:
𝜓(⃗𝑣 ) = 𝛼0 𝑣⃗0 + · · · + 𝛼𝑛−1 𝜓 𝑛−1 (𝑣𝑛−1
⃗ )+𝑤
⃗
Применим к обеим частям равенства оператор 𝜓 𝑛−1 , получим следующее:
⃗0 = 𝛼0 𝜓 𝑛−1 (𝑣⃗0 ) + 𝜓 𝑛−1 (𝑤)
⃗
Поскольку сумма прямая, то оба слагаемых в правой части равны нулю, то есть 𝛼0 =
0 ∧ 𝜓 𝑛−1 (𝑤)
⃗ = 0. Положим теперь 𝑣⃗′ := ⃗𝑣 − 𝛼1 𝑣⃗1 − · · · − 𝛼𝑛−1 𝜓 𝑛−2 (𝑣𝑛−1
⃗ ). Заметим, что
′
⃗
𝑣 ̸∈ 𝑈 ⊕ 𝑊 , т.к. ⃗𝑣 ̸∈ 𝑈 ⊕ 𝑊 . Кроме того:
𝜓(𝑣⃗′ ) = 𝜓(⃗𝑣 ) − 𝛼1 𝜓(𝑣𝑒𝑐𝑣1 ) − · · · − 𝛼𝑛−1 𝜓 𝑛−1 (𝑣𝑛−1
⃗ )=𝑤
⃗
17
Значит, пространство 𝑊 ⊕⟨𝑥⃗′ ⟩ - тоже инвариантно относительно 𝜓, причём (𝑊 ⊕⟨𝑥⃗′ ⟩)∩𝑈 =
{⃗0}. Получено противоречие с максимальное размерностью пространства 𝑊 .
6.5
Существование жордановой нормальной формы в случае единственного собственного значения и в общем случае
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) и 𝜒𝜙 раскладывается на линейные сомножители. Тогда у оператора 𝜙
существует жорданова нормальная форма.
Доказательство.
Представим 𝑉 в виде прямой суммы подпространств:
𝑉 = 𝑉 𝜆1 ⊕ · · · ⊕ 𝑉 𝜆𝑘
∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘} : 𝜙𝜆𝑖 |𝑉 𝜆𝑖 - нильпотентный, поэтому он раскладывается в прямую сумму
подпространств и, как следствие, имеет жорданов базис 𝑒𝑖 . В этом базисе оператор 𝜙𝜆𝑖 |𝑉 𝜆𝑖
имеет жорданову нормальную форму с нулями на главной диагонали.
В этом же базисе 𝑒𝑖 оператор 𝜙|𝑉 𝜆𝑖 имеет матрицу, состоящую из тех же клеток, что и
𝜙𝜆𝑖 |𝑉 𝜆𝑖 , только вместо нуля на диагонали стоит 𝜆𝑖
Объединение жордановых базисов в подпространствах 𝑉 𝜆1 , . . . , 𝑉 𝜆𝑘 даёт искомый жорданов базис в 𝑉 .
6.6
Единственность жордановой нормальной формы
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), и 𝜒𝜙 раскладывается на линейные сомножители. Тогда жорданова
нормальная форма оператора 𝜙 единственна с точностью до перестановки клеток.
Доказательство. Пусть 𝜆0 ∈ 𝐹 - собственное значение оператора 𝜙. Выберем жорданов
базис 𝑒 = (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑛 ) такой, что 𝜙 ↔𝑒 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ), где 𝐴 - жорданова нормальная форма, в
которой все клетки со значением 𝜆0 стоят в начале и имеют суммарный размер 𝑑 ⩽ 𝑛, тогда
этим клеткам соответствует начальный фрагмент базиса (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑑 ). Обозначим размеры
𝑠
∑︀
этих клеток через 𝑘1 , . . . , 𝑘𝑠 , тогда
𝑘𝑖 = 𝑑. Достаточно показать, что набор {𝑘1 , . . . , 𝑘𝑠 }
𝑖=1
определён однозначно.
Пусть 𝛼0 - алгебраическая кратность значения 𝜆0 , тогда выполнено равенство 𝑑 = 𝛼0 .
Рассмотрим оператор 𝜙𝜆0 и заметим, что 𝜙𝜆0 ↔𝑒 𝐴𝜆0 = 𝐴−𝜆0 𝐸, то есть первые 𝑑 элементов
на диагонали 𝐴𝜆0 равны нулю, а остальные - отличные от нуля. При возведении матрицы
𝐴𝜆0 в некоторую степень каждая клетка возводится в степень независимо, причём ранг
каждой вырожденной клетки в каждой следующей степени уменьшается на один, пока
клетка не станет нулевой, а невырожденные клетки остаются невырожденными. Значит
rk (𝐴𝜆0 )𝑑 = 𝑛 − 𝑑.
Исследуем нильпотентный оператор 𝜓 := 𝜙𝜆0 |𝑉 𝜆0 ∈ ℒ(𝑉 𝜆0 ). Его матрица в базисе 𝑒′ =
(𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑑 ) имеет блочно-диагональный вид из жордановых клеток со значением ноль и
размерами 𝑘1 , . . . , 𝑘𝑠 .
Пусть 𝑛1 - число клеток, с размером ⩾ 1, 𝑛2 - число клеток с размером ⩾ 2, и так
далее. Число клеток размера 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑑} равно 𝑛𝑗 − 𝑛𝑗+1 , поэтому для опредления
числа клеток каждого размера достаточно найти числа 𝑛𝑖 . ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑑} : 𝑉𝑖 := Ker 𝜓 𝑖 ,
тогда 𝑉𝜆0 = 𝑉1 ⩽ . . . ⩽ 𝑉𝑑 = 𝑉 𝜆𝑜 . Чтобы определить величины dim 𝑉1 , . . . , dim 𝑉𝑑 снова
воспользуемся замечанием о том, что возведение клетки в каждую следующую степень
18
уменьшает её ранг на один, пока она не станет нулевой:
dim 𝑉1 = dim Ker 𝜓 = 𝑑 − rk 𝜓 = 𝑛1
dim 𝑉2 = dim Ker 𝜓 2 = 𝑑 − rk 𝜓 2 = (𝑑 − rk 𝜓) + (rk 𝜓 − rk 𝜓 2 ) = 𝑛1 + 𝑛2
...
dim 𝑉𝑑 = dim Ker 𝜓 = (𝑑 − rk 𝜓
𝑑
𝑑−1
) + (rk 𝜓
𝑑−1
− rk 𝜓 ) =
𝑑
𝑑
∑︁
𝑛𝑖
𝑖=1
Таким образом, числа 𝑛1 , . . . , 𝑛𝑑 определяются однозначно через величины dim 𝑉1 , . . . , dim 𝑉𝑑
вне зависимости от выбора базиса, и по ним однозначно определяется набор {𝑘1 , . . . , 𝑘𝑠 },
что и требовалось доказать.
6.7
Метод её нахождения без поиска базиса
Метод нахождения ЖНФ без поиска базиса описан в доказательстве единственности
разложения жордановой нормальной формы.
6.8
Минимальный многочлен линейного преобразования, его свойства, связь с жордановой нормальной формой
6.8.1
Определение
Минимальным многочленом оператора 𝜙 называется аннулирующий многочлен наименьшей степени.
6.8.2
О делимости любого аннулирующего многочлена минимальным
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), 𝜇𝜙 - минимальный многочлен для 𝜙. Тогда многочлен 𝑃 ∈ 𝐹 [𝑥] аннулирующий для 𝜙 ⇔ 𝜇𝜙 | 𝑃
Доказательство.
Разделим 𝑃 на 𝜇𝜙 с остатком: 𝑃 = 𝜇𝜙 𝑄 + 𝑅, deg 𝑅 < deg 𝜇𝜙 , тогда 𝑃 (𝜙) = 𝑅(𝜙). Т.к.
𝜇𝜙 - минимальный, то:
𝑃 (𝜙) = 0 ⇔ 𝑅(𝜙) = 0 ⇔ 𝜇𝜙 | 𝑃
6.8.3
Единственность
Минимальный многочлен оператора 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) единственен с точностью до ассоциированности.
Доказательство.
Пусть 𝜇1 , 𝜇2 ∈ 𝐹 [𝑥] - различные минимальные многочлены для 𝜙, тогда:
{︃
{︃
𝜇1 | 𝜇2
deg 𝜇1 ⩽ deg 𝜇2
⇒
⇒ deg 𝜇1 = deg 𝜇2
𝜇2 | 𝜇1
deg 𝜇2 ⩽ deg 𝜇1
Т.к. 𝜇1 | 𝜇2 , то 𝜇1 и 𝜇2 ассоциированы.
19
6.8.4
Связь минимального многочлена с жордановой формой
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ), и 𝜒𝜙 раскладывается
на линейные сомножители. Тогда его минималь∏︀
ный многочлен имеет вид 𝜇𝜙 = (𝜆𝑖 − 𝜆)𝛽𝑖 , где 𝛽𝑖 - наибольший размер клетки с собственным значением 𝜆𝑖 в жордановой нормальной форме оператора 𝜙 для всех 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘}
Доказательство.
Многочлен 𝑝 аннулирующий ⇔ он обнуляет каждую клетку жордановой нормальной
формы. Пусть 𝑠𝑗 - наибольший размер клетки, соответствующей значению 𝜆𝑗 в ЖНФ
оператора 𝜙, тогда:
𝑘
∏︁
∏︁
𝑝(𝐽𝑠𝑗 (𝜆𝑗 )) =
(𝜆𝑖 𝐸 − 𝐽𝑠𝑗 (𝜆𝑗 ))𝛽𝑖 = (−𝐽𝑠𝑗 )𝑏𝑗
(𝜆𝑖 𝐸 − 𝐽𝑠𝑗 (𝜆𝑗 ))𝛽𝑖
𝑖=1
𝑖̸=𝑗
Поскольку все матрицы в произведении, кроме первой, невырожденные, то их произведение тоже невырожденная матрица, поэтому выполнено неравенство (𝐽𝑠𝑗 )𝛽𝑗 = 0, откуда
𝛽𝑗 ⩾ 𝑠𝑗 . Но нам достаточно и степени 𝛽𝑗 = 𝑠𝑗 .
7
О линейных рекуррентах
7.1
Линейные рекурренты
7.1.1
Определение
Последовательность (𝑎𝑖 ) ∈ 𝐹 ∞ называется линейной рекуррентой с характеристическим многочленом 𝑝 = 𝑥𝑛 + 𝑝𝑛−1 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑝0 ∈ 𝐹 [𝑥], если выполнено следующее условие:
∀𝑘 ∈ N ∪ {0} : 𝑎𝑘+𝑛 + 𝑝𝑛−1 𝑎𝑘+𝑛−1 + · · · + 𝑝0 𝑎𝑘 = 0
Обозначим множество рекуррент с характеристическим многочленом 𝑝 через 𝑉𝑝
7.1.2
Оператор левого сдвига
Оператором левого сдвига на 𝐹 ∞ называется оператор 𝜙 : 𝐹 ∞ → 𝐹 ∞ , заданный для
каждой последовательности (𝑎𝑖 ) ∈ 𝐹 ∞ как 𝜙((𝑎𝑖 )) := (𝑎𝑖+1 )
7.1.3
Инвариантность оператора левого сдвига
Пусть 𝑝 ∈ 𝐹 [𝑥], 𝜙 - оператор левого сдвига. Тогда 𝑉𝑝 = Ker 𝑝(𝜙).
Из этого следует, что 𝑉𝑝 инвариантно относительно 𝜙, поэтому можно рассматривать
оператор 𝜓 := 𝜙|𝑉𝑝
Доказательство.
Для любой последовательности 𝐴 = (𝑎𝑖 ) ∈ 𝐹 ∞ выполнена равносильность 𝐴 ∈ Ker 𝑝(𝜙) ⇔
𝑝(𝜙)(𝐴) = (0). Заметим, что ∀𝑘 ∈ N ∪ {0} : [𝑝(𝜙)(𝐴)]𝑘 = 𝑎𝑘+𝑛 + 𝑎𝑘+𝑛−1 𝑝𝑛−1 + · · · + 𝑎𝑘 𝑝0 ,
поэтому 𝐴 ∈ Ker 𝑝(𝜙) ⇔ 𝐴 ∈ 𝑉𝑝
7.1.4
Минимальный многочлен оператора сдвига
Минимальный многочлен 𝜇𝜓 оператора 𝜓 равен 𝑝 с точностью до ассоциированности.
Доказательство.
20
С одной стороны, 𝑉𝑝 = Ker 𝑝(𝜙), поэтому Im 𝑝(𝜓) = 𝑝(𝜙)(𝑉𝑝 ) = {⃗0}, значит 𝜇𝜓 | 𝑝.
С другой стороны, ∀𝐴 ∈ 𝑉𝑝 : 𝜇𝜓 (𝜓)(𝐴) = (0) ⇔ 𝐴 ∈ Ker 𝜇𝜓 (𝜓) ⇔ 𝐴 ∈ 𝑉𝜇𝜓 ⇒ 𝑉𝑝 ⩽
𝑉𝜇𝜓 ⇒ deg 𝑝 ⩽ deg 𝜇𝜓 ⇒ 𝑝 = 𝜇𝜓 с точностью до ассоциированности.
7.1.5
Характеристический многочлен оператора сдвига
Характеристический многочлен 𝜒𝜓 оператора 𝜓 равен (−1)𝑛 𝑝
Доказательство.
В стандартном базисе 𝑒 матрица преобразования 𝜓 имеет следующий вид:
⎛
⎞
0
1 ...
0
.. ⎟
..
..
⎜
.
.
. ⎟
⎜ 0
𝜓 ↔𝑒 𝐴𝑝 ⎜ .
⎟
.
.
..
..
⎝ ..
1 ⎠
−𝑝0 −𝑝1 . . . −𝑝𝑛−1
Докажем индукцией по 𝑛, что |𝐴𝑝 − 𝜆𝐸| = (−1)𝑛 𝑝(𝜆), база 𝑛 = 1 тривиальна. Докажем
переход, используя разложение определителя по первому столбцу:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −𝜆
⃒
⃒ −𝜆
1
.
.
.
0
1
.
.
.
0
⃒
⃒
⃒
⃒
..
..
..
..
..
..
⃒
⃒
⃒
⃒
.
.
.
.
.
.
⃒
⃒ 0
⃒
⃒ 0
⃒ + (−1)𝑛+1 (−𝑝0 ) =
⃒ = −𝜆 ⃒ .
⃒ .
.
.
.
.
⃒
⃒
⃒
⃒ ..
.
.
.
..
..
.
.
1
1
⃒
⃒ .
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒−𝑝 −𝑝 . . . −𝑝
−𝑝1 −𝑝2 . . . −𝑝𝑛−1 − 𝜆⃒
0
1
𝑛−1 − 𝜆
(−𝜆)(−1)𝑛−1 (𝑝1 + 𝜆𝑝2 + · · · + 𝜆𝑛−2 𝑝𝑛−1 ) + (−1)𝑛 𝑝0 = (−1)𝑛 𝑝(𝜆)
7.2
Общий вид линейной рекурренты над производным полем
Пусть 𝑝 ∈ 𝐹 [𝑥] раскладывается на линейные сомножители. Тогда каждое решение
рекурренты с характеристическим многочленом 𝑝 имеет следующий вид для некоторого
набора коэффициентов {𝛽𝑖𝑡 } ⊂ 𝐹 :
(𝑎𝑚 ) =
𝛼𝑖
𝑘 ∑︁
∑︁
𝑡−1 𝑚+1−𝑡
𝛽𝑖𝑡 𝐶𝑚
𝜆𝑖
𝑖=1 𝑡=1
Доказательство.
Поскольку минимальный многочлен 𝜓 равен характестическому многочлену 𝜓, то для
каждого собственного значения 𝜆 в ЖНФ оператора 𝜓 есть ровно одна жорданова клетка с таким собственным значением, и она имеет размер 𝛼. Найдём последовательности
𝐴1 , . . . , 𝐴𝛼 такие, что
𝜙(𝐴1 ) = (0)
𝜙(𝐴2 ) = 𝐴1
...
𝜙(𝐴𝛼 ) = 𝜙(𝐴𝛼−1 )
Все эти последовательности обнуляются оператором (𝜙𝜆 )𝛼 , а значит и 𝑝(𝜙), поэтому они
лежат в 𝑉𝑝 . Именно они образуют жорданов базис в 𝑉 𝜆 . Пусть 𝐴1 := (1, 𝜆, 𝜆2 , . . . ), тогда
21
𝜓𝜆 (𝐴1 ) = (0), теперь для каждого 𝑡 ∈ {1, . . . , 𝛼} положим, что 𝐴𝑡 = (𝑓𝑡 (𝑚)𝜆𝑚+1−𝑡 ) для
некоторой функции 𝑓𝑡 : N ∪ {0} → 𝐹 , причём 𝑓1 = 1, считая 𝐴𝑡 найденным, найдём 𝐴𝑡+1 :
𝜙𝜆 (𝐴𝑡+1 ) = 𝐴𝑡
𝑓𝑡+1 (𝑚 + 1)𝜆𝑚+1−𝑡 − 𝜆𝑓𝑡+1 (𝑚)𝜆𝑚−𝑡 = 𝑓𝑡 (𝑚)𝜆𝑚+1−𝑡
𝑓𝑡+1 (𝑚 + 1) − 𝑓𝑡+1 (𝑚) = 𝑓𝑡 (𝑚)
Базе 𝑓1 = 1 и рекуррентному соотношению удовлетворяет семейство функций {𝑓𝑡 }𝛼𝑡=1
𝑡−1
𝑡−1 𝑚+1−𝑡
такое, что 𝑓𝑡 (𝑚) = 𝐶𝑚
. Таким образом, 𝐴𝑡 = (𝐶𝑚
𝜆
). Объединение жордановых
базисов клеток и будет базисом в 𝑉𝑝 , который позволяет представить каждый элемент из
𝑉𝑝 в требуемом виде.
8
О билинейных формах
8.1
Билинейные формы
Пусть 𝑉 - линейное пространство над полем 𝐹 . Билинейной формой на 𝑉 называется
функция 𝑏 : 𝑉 × 𝑉 → 𝐹 , линейная по обоим аргументам.
8.2
Координатная запись билинейной формы
8.2.1
Матрица формы
𝐵:
Матрицей формы 𝑏 ∈ ℬ(𝑉 ) в базисе (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗2 ) =: 𝑒 называется следующая матрица
⎞
⎛
𝑏(𝑒⃗1 , 𝑒⃗1 ) . . . 𝑏(𝑒⃗1 , 𝑒⃗𝑛 )
⎜
⎟
..
..
...
𝐵 = (𝑏(𝑏⃗𝑖 , 𝑏⃗𝑗 )) = ⎝
⎠
.
.
𝑏(𝑒⃗𝑛 , 𝑒⃗1 ) . . . 𝑏(𝑒⃗𝑛 , 𝑒⃗𝑛 )
8.2.2
Координатная запись
Пусть 𝑏 ∈ ℬ(𝑉 ), 𝑒 - базис в 𝑉, 𝑏 ↔𝑒 𝐵. Тогда для любых ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉, ⃗𝑢 ↔𝑒 𝑥, ⃗𝑣 ↔𝑒 𝑦,
выполнено 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 𝑥𝑇 𝐵𝑦
Доказательство.
𝑛
𝑛
𝑛 ∑︁
𝑛
∑︁
∑︁
∑︁
𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 𝑏(
𝑥𝑖 𝑒⃗𝑖 ,
𝑦𝑗 𝑒⃗𝑗 ) =
𝑥𝑖 𝑏(⃗
𝑒𝑖 , 𝑒⃗𝑗 )𝑦𝑗 = 𝑥𝑇 𝐵𝑦
𝑖=1
8.3
𝑗=1
𝑖=1 𝑗=1
Матрица билинейной формы и её изменение при замене базиса
Пусть 𝑏 ∈ ℬ(𝑉 ), 𝑒 и 𝑒′ - два базиса в 𝑉, 𝑒′ = 𝑒𝑆. Тогда если 𝑏 ↔𝑒 𝐵, 𝑏 ↔𝑒′ 𝐵 ′ , то
𝐵 ′ = 𝑆 𝑇 𝐵𝑆
22
9
Ещё больше о билинейных формах
9.1
Симметричные и кососимметричные билинейные формы, их
матрицы
9.1.1
Определение симметричной формы
Пусть 𝑏 ∈ ℬ(𝑉 ). Форма 𝑏 называется симметричной, если для всех ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 выполнено
𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑢). Пространство симметричных форм на 𝑉 обозначается через ℬ + (𝑉 )
9.1.2
Определение кососимметричной формы
Пусть 𝑏 ∈ ℬ(𝑉 ). Форма 𝑏 называется кососимметричной, если:
1. ∀⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = −𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑢)
2. ∀⃗𝑢 ∈ 𝑉 : 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑣 ) = 0
Пространство кососимметричных форм обозначается через ℬ − (𝑉 )
9.1.3
Свойства матриц кососимметричных и симметричных форм
Пусть 𝑒 - базис в 𝑉, 𝑏 ∈ ℬ(𝑉 ), 𝑏 ↔𝑒 𝐵. Тогда:
1. 𝑏 ∈ ℬ + (𝑉 ) ⇔ 𝐵 = 𝐵 𝑇
2. 𝑏 ∈ ℬ − (𝑉 ) ⇔ 𝐵 = −𝐵 𝑇 и на главной диагонали 𝐵 стоят нули
9.2
Ядро формы, ортогональное дополнение подпространства (относительно формы), их свойства
9.2.1
Ядро формы
Пусть 𝑏 ∈ ℬ ± (𝑉 ). Ядром формы 𝑏 называется подпространство Ker 𝑏 := {⃗𝑣 ∈ 𝑉 : ∀⃗𝑢 ∈
𝑉 : 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 0} = {⃗𝑢 ∈ 𝑉 : ∀⃗𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 0} ⩽ 𝑉
9.2.2
Ортогональное дополнение подпространства
Пусть 𝑏 ∈ ℬ ± (𝑉 ), ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 . Векторы ⃗𝑢, ⃗𝑣 называются ортогональными, если 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 0.
Если 𝑈 ⩽ 𝑉 , то ортогональным дополнением к 𝑈 относительно 𝑏 называется 𝑈 ⊥ := {⃗𝑣 ∈
𝑉 : ∀⃗𝑢 ∈ 𝑈 : 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 0}
9.2.3
Свойства ортогональных дополнений
Пусть 𝑏 ∈ ℬ ± (𝑉 ), 𝑈 ⩽ 𝑉 . Тогда:
1. dim 𝑈 ⊥ ⩾ dim 𝑉 − dim 𝑈
2. Если 𝑏 невырожденна, то dim 𝑈 ⊥ = dim 𝑉 − dim 𝑈
23
Доказательство.
Пусть 𝑛 := dim 𝑉, 𝑘 := dim 𝑈 . Дополним базис (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ) в 𝑈 до базиса 𝑒 := (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑛 )
в 𝑉.
Тогда, если ⃗𝑣 ∈ 𝑉, ⃗𝑣 ↔𝑒 𝑥, то ⃗𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ ⇔ ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘} : 𝑏(⃗
𝑒𝑖 , ⃗𝑣 ) = 0 ⇔ 𝐵 ′ 𝑥 = 0,
где 𝐵 ′ - матрица, составленная из первых 𝑘 строк матрицы 𝐵. Тогда, так как rk 𝐵 ′ ⩽ 𝑘,
то dim 𝑈 ⊥ ⩾ dim 𝑉 − dim 𝑈 . Более того, если форма 𝑏 невырождена, то матрица 𝐵 тоже
невырождена, откуда rk 𝐵 ′ = 𝑘 ⇒ dim 𝑈 ⊥ = dim 𝑉 − dim 𝑈 .
9.2.4
Относительная невырожденность
Подпространство 𝑈 ⩽ 𝑉 называется невырожденным относительно 𝑏 ∈ ℬ ± (𝑉 ), если
ограничение 𝑏|𝑈 ∈ ℬ ± (𝑈 ) невырожденно.
9.2.5
Теорема о прямой сумме подпространства и его ортогонального дополнения
Пусть 𝑏 ∈ ℬ ± (𝑉 ). Тогда подпространство 𝑈 ⩽ 𝑉 невырожденно относительно 𝑏 ⇔ 𝑉 =
𝑈 ⊕ 𝑈⊥
Доказательство.
⇒ Значит dim 𝑈 ⊥ = 𝑛 − 𝑘, Ker 𝑏|𝑈 = {⃗0}, значит ∀⃗𝑢 ∈ 𝑈 : ∃⃗𝑣 ∈ 𝑈 : 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) ̸= 0. Это
значит, что 𝑈 ∩ 𝑈 ′ = {⃗0} ⇒ 𝑈 ⊕ 𝑈 ′ , но dim(𝑈 ⊕ 𝑈 ′ ) = 𝑛 ⇒ 𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑈 ′
⇐ Если сумма 𝑈 ⊕ 𝑈 ′ прямая, то Ker 𝑏|𝑈 = {⃗0}. Значит 𝑈 невырождено относительно
𝑏.
10
О квадратичных формах
10.1
Квадратичные формы, их связь с симметричными билинейными формами
10.1.1
Определение
Квадратичной формой, соответствующей форме 𝑏 ∈ ℬ(𝑉 ) называется функция ℎ :
𝑉 → 𝐹 такая, что ∀⃗𝑣 ∈ 𝑉 : ℎ(⃗𝑣 ) = 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑣 ). Квадратичные формы на 𝑉 образуют линейное
пространство над 𝐹 , обозначаемое через 𝒬(𝑉 )
10.1.2
Связь квадратичных форм с симметричными билинейными формами
Пусть char 𝐹 ̸= 2. Тогда для любой квадратичной формы ℎ на 𝑉 существует единственная форма 𝑏 ∈ ℬ + (𝑉 ), соответствующая ей.
Доказательство.
Пусть 𝑏 ∈ B(𝑉 ), ℎ(⃗𝑣 ) = 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑣 ). 𝑏 представимо в виде 𝑏+ + 𝑏− , где 𝑏± ∈ B± (𝑉 ), тогда
ℎ(⃗𝑣 ) = 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑣 ) = 𝑏+ (⃗𝑣 , ⃗𝑣 ). Более того, по ℎ можно однозначно восстановить 𝑏+ следующим
𝑣 )−ℎ(⃗
𝑢)
образом: ∀⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑏+ (⃗𝑢,⃗𝑣 ) := ℎ(⃗𝑢+⃗𝑣)−ℎ(⃗
2
10.2
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Пусть char 𝐹 ̸= 2, ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ). Тогда в пространстве 𝑉 существует такой базис 𝑒, что ℎ в
этом базисе имеет диагональную матрицу.
24
Следствие. Пусть 𝐹 = R, ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ). Тогда в пространстве 𝑉 существует такой базис 𝑒,
что ℎ в этом базисе имеет диагональную матрицу с числами 0 и ±1 на главной диагонали.
Доказательство.
Проведём индукцию по 𝑛 := dim 𝑉 . База, 𝑛 = 1, тривиальна. Пусть теперь 𝑛 > 1, ℎ ∈
Q(𝑉 ), 𝑏 ∈ B+ (𝑉 ) - полярная к ℎ форма. Если ℎ = 0, то 𝑏 = 0, поэтому у ℎ нулевая матрица,
если же ℎ ̸= 0, то ∃𝑒⃗1 ∈ 𝑉 : ℎ(𝑒⃗1 ) ̸= 0. Тогда ⟨𝑒1 ⟩ невырожденно относительно 𝑏, откуда
𝑉 = ⟨𝑒⃗1 ⟩ ⊕ ⟨𝑒⃗1 ⟩⊥ . По предположению индукции, в 𝑈 ⊥ существует базис, в котором матрица
ℎ|𝑈 диагональна, и объединение этого базиса с 𝑒⃗1 и даёт искомый базис в 𝑉 .
10.3
Положительно определённые квадратичные формы
10.3.1
Определение
Пусть ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ). Тогда ℎ называется:
• Положительно определённой, если ∀⃗𝑣 ∈ 𝑉, ⃗𝑣 ̸= ⃗0 : ℎ(⃗𝑣 ) > 0.
• Положительно полуопределённой, если ∀⃗𝑣 ∈ 𝑉 : ℎ(⃗𝑣 ) ⩾ 0
• Отрицательно определённой, если ∀⃗𝑣 ∈ 𝑉, ⃗𝑣 ̸= ⃗0 : ℎ(⃗𝑣 ) < 0.
• Отрицательно полуопределённой, если ∀⃗𝑣 ∈ 𝑉 : ℎ(⃗𝑣 ) ⩽ 0
10.3.2
Критерий положительной определённости
𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (R) положительно определена ⇔ ∃𝐴 ∈ 𝐺𝑙𝑛 (R) : 𝐵 = 𝐴𝑇 𝐴
Доказательство.
Квадратичная форма ℎ ↔𝑒 𝐵 положительно определена ⇔ ℎ имеет нормальный вид
𝐸 ⇔ для некоторой матрицы 𝑆 ∈ 𝐺𝑙𝑛 (R) выполнено 𝐸 = 𝑆 𝑇 𝐵𝑆 ⇔ для некоторой матрицы
𝐴 ∈ 𝐺𝑙𝑛 (R) выполнено 𝐵 = 𝐴𝑇 𝐴
10.4
Индексы инерции квадратичной формы
Пусть ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ). Её положительным индексом инерции 𝜎+ (ℎ) называется наибольшая
размерность подпространства 𝑈 ⩽ 𝑉 такого, что ℎ|𝑈 положительно определена, отрицательным индексом инерции 𝜎− (𝑔) - наибольшая размерность подпространства 𝑈 ⩽ 𝑉
такого, что ℎ|𝑈 отрицательно определена.
10.5
Закон инерции
Пусть ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ), 𝐵 - нормальная форма ℎ в нормальном базисе 𝑒. Тогда на диагонали
матрицы стоит ровно 𝜎+ (ℎ) единиц и 𝜎− (ℎ) минус единиц.
Следствие. (Закон инерции). Нормальный вид квадратичной формы ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ) определён однозначно с точностью до перестановки диагональных элементов.
Доказательство.
Пусть 𝑛 := dim 𝑉 . Без ограничений общности можно считать, что нормальная форма
ℎ имеет вид, где на диагонали стоят подряд 𝑘 единиц, 𝑙 нулей и 𝑚 минус единиц, где
𝑘+𝑙+𝑚=𝑛
Пусть 𝑈 := ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑗 ⟩, 𝑊 := ⟨𝑒𝑘+1
⃗ , . . . , 𝑒⃗𝑛 ⟩ сужение ℎ|𝑈 положительно определено
⇒ 𝜎+ (ℎ) ⩾ 𝑘. С другой стороны, сужение ℎ|𝑊 отрицательно полуопределено, пусть теперь
25
𝑈 ′ ⩽ 𝑉 положительно определено, тогда 𝑈 ′ ∩ 𝑊 = {⃗0}. Значит 𝜎+ (ℎ) = 𝑘. Аналогично
𝜎− (ℎ) = 𝑚.
10.6
Метод Якоби приведения квадратичной формы к диагональному виду
Пусть ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ), ℎ ↔𝑒 𝐵, причём все главные миноры матрицы 𝐵 отличны от нуля.
Тогда существует такой базис 𝑒′ = 𝑒𝑆, что матрица перехода 𝑆 - верхнетреугольная с
единицами на главной диагонали, ℎ ↔𝑒′ 𝐵 ′ и 𝐵 ′ диагональна. Более того, тогда 𝐵 ′ =
𝑛 (𝐵)
2 (𝐵)
, . . . , ΔΔ𝑛−1
)
𝑑𝑖𝑎𝑔(∆1 (𝐵), Δ
Δ1 (𝐵)
(𝐵)
Доказательство.
Докажем индукцией по 𝑛 := dim 𝑉 , что матрица формы ℎ приводится к диагональному
виду в базисе с матрицей перехода из условия. База 𝑛 = 1 тривиальна, подходит исходный
базис 𝑒. Пусть теперь 𝑛 > 1, тогда 𝑈 := ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒𝑛−1
⃗ ⟩ невырожденно относительно 𝑏, т.к.
∆𝑛−1 (𝐵) ̸= 0. Значит 𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑈 ⊥ . Представим 𝑒⃗𝑛 = ⃗𝑢 + 𝑒⃗′𝑛 , ⃗𝑢 ∈ 𝑈, 𝑒⃗′𝑛 ∈ 𝑈 ⊥ , 𝑒⃗′𝑛 ̸= ⃗0. По
предположению индукции, в 𝑈 можно выбрать подходящий базис (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒𝑛−1
⃗ ), тогда его
′
⃗
объединение с 𝑒𝑛 будет искомым.
Вычислим значения диагональных элементов 𝑑𝑖 , 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} Заметим, что поскольку
базис 𝑒′ получен описанным выше образом, то ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} : ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑖 ⟩ = ⟨𝑒⃗′1 , . . . , 𝑒⃗′𝑖 ⟩.
Пусть 𝐵𝑖 - подматрица 𝐵 в левом верхнем углу, а 𝐵𝑖′ - аналогичная матрица в 𝐵 ′ . Тогда
𝐵𝑖′ = 𝑆𝑖𝑇 𝐵𝑖 𝑆𝑖 , где 𝑆𝑖 - соответствующая подматрица 𝑆, поэтому 𝑏1 𝑏2 . . . 𝑏𝑖 = ∆𝑖 (𝐵𝑖′ ) = |𝐵𝑖′ | =
𝑛 (𝐵)
2 (𝐵)
|𝑆𝑖𝑇 𝐵𝑖 𝑆𝑖 | = |𝐵𝑖 | = ∆(𝐵𝑖 ). Значит 𝐵 ′ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(∆1 (𝐵), Δ
, . . . , ΔΔ𝑛−1
)
Δ1 (𝐵)
(𝐵)
10.7
Критерий Сильвестра
Пусть ℎ ∈ 𝒬(𝑉 ), ℎ ↔𝑒 𝐵. Тогда ℎ положительно определена ⇔ ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} :
∆𝑖 (𝐵) > 0.
Доказательство. ⇒ Если ℎ положительно определена, то 𝐵 = 𝐴𝑇 𝐴, 𝐴 ∈ 𝐺𝑙𝑛 (R). Тогда
∆𝑛 (𝐵) = |𝐵| = |𝐴|2 > 0. Поскольку главному минору порядка 𝑖 соответствует ограничение
ℎ на 𝑈 = ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑖 ⟩, которое тоже положительно определено, то, аналогично ∆𝑖 (𝐵) > 0
⇐ Очевидно, используя метод Якоби.
11
Приведение кососимметричной билинейной формы
к каноническому виду
Пусть 𝑏 ∈ ℬ − (𝑉 ). Тогда в 𝑉 существует базис 𝑒, в котором матрица
𝑏 имеет
блочно(︂
)︂
0 1
диагональный вид, состоящий из блоков 𝐵𝑖 , где ∀𝑖 : 𝐵𝑖 = (0) ∨ 𝐵𝑖 =
−1 0
Доказательство.
Докажем данное утверждение индукцией по 𝑛 := dim 𝑉 . База, 𝑛 = 1, и случай, когда
𝑏 = 0, тривиальны. Пусть теперь ∃𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 ∈ 𝑉 : 𝑏(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 ) ̸= 0. Пусть 𝑈 = ⟨𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 ⟩. Тогда эти
(︂ векторы
)︂ линейно независимы, и без ограничения общности можно считать, что
0 1
𝑏|𝑈 =
Заметим, что ограничение 𝑏|𝑈 невырожденно, значит 𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑈 ⊥ , и к 𝑈 ⊥
−1 0
применимо предположение индукции.
26
12
Об эрмитовых формах
12.1
Полуторалинейные формы в комплексном пространстве
Полуторалинейной формой на 𝑉 называется функция 𝑏 : 𝑉 × 𝑉 → C такая, что:
1. 𝑏 линейна по первому аргументу
2. 𝑏 сопряжённо-линейна по второму аргументу:
• ∀⃗𝑢, 𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 ∈ 𝑉 : 𝑏(⃗𝑢, 𝑣⃗1 + 𝑣⃗2 ) = 𝑏(⃗𝑢, 𝑣⃗1 ) + 𝑏(⃗𝑢, 𝑣⃗2 )
• ∀⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 : ∀𝜆 ∈ C : 𝑏(⃗𝑢, 𝜆⃗𝑣 ) = 𝜆𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 )
12.2
Эрмитовы полуторалинейные и квадратичные формы, связь
между ними
12.2.1
Определение эрмитовой полуторалинейной формы
Пусть 𝑏 ∈ 𝒮(𝑉 ). Форма 𝑏 называется эрмитовой, если для всех ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 выполнено
𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑢). Матрица 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (C) называется эрмитовой, если 𝐵 𝑇 = 𝐵, или 𝐵 = 𝐵 * ,
где 𝐵 * := 𝐵 𝑇 - эрмитово сопряжённая к 𝐵 матрица.
12.2.2
Определение эрмитовой квадратичной формы
Эрмитовой квадратичной формой, соответствующей эрмитовой форме 𝑏 ∈ 𝒮(𝑉 ), называется функция ℎ : 𝑉 → C такая, что ∀⃗𝑣 ∈ 𝑉 : ℎ(⃗𝑣 ) = 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑣 ). Форма ℎ называется
полярной к ℎ.
12.2.3
О связи эрмитовых полуторалинейных и квадратичных форм
Если 𝑏1 , 𝑏2 ∈ 𝒮(𝑉 ) - различные эрмитовы формы, то соответствующие им квадратичные формы также различны.
Доказательство.
Пусть ℎ - эрмитова квадратичная форма. Восстановим эрмитову форму 𝑏 ∈ S(𝑉 ),
полярную к ℎ:
ℎ(⃗𝑢 + ⃗𝑣 ) − ℎ(⃗𝑢) − ℎ(⃗𝑣 )
𝑅𝑒(𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 )) =
2
𝐼𝑚(𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 )) = 𝑅𝑒(−𝑖𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 )) = 𝑅𝑒(𝑏(⃗𝑢, 𝑖⃗𝑣 ))
12.3
Приведение к каноническому виду
Пусть ℎ - эрмитова квадратичная форма. Тогда в пространстве 𝑉 существует такой
базис 𝑒, что ℎ в этом базисе имеет диагональную матрицу с числами 0 и ±1 на главной
диагонали.
Доказательство аналогично билинейному случаю.
12.4
Закон инерции и критерий Сильвестра для эрмитовых квадратичных форм
Аналогично билинейному случаю.
27
13
Об операторах в евклидовых и эрмитовых пространствах
13.1
Евклидово и эрмитово пространство
13.1.1
Евклидово пространство
Евклидовым пространством называется линейное пространство 𝑉 над R, на котором
определена положительно определённая симметричная билинейная форма (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) - скалярное произведение.
13.1.2
Эрмитово пространство
Эрмитовым пространством называется линейное пространство 𝑉 над C, на котором
определена положительно определённая квадратичная форма (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) - скалярное произведение.
13.2
Выражение скалярного произведения в координатах
В евклидовом случае матрица Грама симметрична, в эрмитовом - эрмитова. Более
того, очевидно, что для любых векторов ⃗𝑢 ↔𝑒 𝑥, ⃗𝑣 ↔𝑒 𝑦 выполнено (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 𝑥𝑇 Γ𝑦
13.3
Свойства матрицы Грама
Система (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) линейно независима ⇔ её матрица Грама Γ положительно определена ⇔ det Γ > 0
Доказательство.
Если система (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) линейно зависима, то тогда существует столбец 𝑥 ̸= ⃗0 такой,
что (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 )𝑥 = ⃗0. Тогда ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘} : (0, . . . , 1𝑖 , . . . , 0)Γ𝑥 = 0 ⇒ 𝐸Γ𝑥 = 0 ⇒
Γ вырожденна, откуда det Γ = 0, и Γ не положительно определена. Если же система
(𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) линейно независима, то Γ - это матрица ограничения скалярного произведения
на ⟨𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ⟩, тогда Γ положительно определена, а значит det Γ > 0
13.4
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца, неравенство треугольника
13.4.1
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
Для любых векторов ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 выполнено |(⃗𝑢, ⃗𝑣 )| ⩽ ‖⃗𝑢‖ · ‖⃗𝑣 ‖, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ⃗𝑢 и ⃗𝑣 коллинеарны.
Доказательство.
Обозначим через Γ матрицу Грама системы векторов (⃗𝑢, ⃗𝑣 ), тогда выполнено 0 ⩽
det Γ = ‖⃗𝑢‖2 · ‖⃗𝑣 ‖2 − (⃗𝑢, ⃗𝑣 )2 , откуда |(⃗𝑢, ⃗𝑣 )| ⩽ ‖⃗𝑢‖ · ‖⃗𝑣 ‖
13.4.2
Неравенство треугольника
Для любых векторов ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 выполнено ‖⃗𝑢 + ⃗𝑣 ‖ ⩽ ‖⃗𝑣 ‖ + ‖⃗𝑢‖.
Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца.
28
‖⃗𝑣 +⃗𝑢‖2 = (⃗𝑢+⃗𝑣 , ⃗𝑢+⃗𝑣 ) = ‖⃗𝑣 ‖2 +‖⃗𝑢‖2 +2𝑅𝑒(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) ⩽ ‖⃗𝑢‖2 +‖⃗𝑣 ‖2 +2(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) ⩽ ‖⃗𝑣 ‖2 +‖⃗𝑢‖2 +2‖⃗𝑣 ‖·‖⃗𝑢‖ =
(‖⃗𝑣 ‖ + ‖⃗𝑢‖)2
14
Об ортонормированных векторах и изоморфизмах
14.1
Ортонормированные базисы и ортогональные (униатрные)
матрицы
14.1.1
Определения для векторов
Векторы ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 называются ортогональными, если (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 0. Обозначение ⃗𝑢⊥⃗𝑣 .
Система векторов (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) из 𝑉 называется ортогональной, если все векторы системы
попарно ортогональны, и ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого
вектора равна 1.
14.1.2
Определения для матриц
Матрица 𝑆 ∈ 𝑀𝑛 (R) называется ортогональной, если 𝑆 𝑇 𝑆 = 𝐸. Матрица 𝑆 ∈ 𝑀𝑛 (C)
называется унитарной, если 𝑆 𝑇 𝑆 = 𝐸, или 𝑆 𝑇 𝑆 = 𝐸.
14.2
Существование ортонормированных базисов
В пространстве 𝑉 существует ортонормированный базис.
Доказательство.
Приведём скалярное произведение к нормальному виду 𝐸. Нормальный базис и будет
искомым ортонормированным базисом.
14.3
Изоморфизмы евклидовых и эрмитовых пространств
14.3.1
Определение
Пусть 𝑉1 и 𝑉2 евклидовы (эрмитовы) пространства. Отображение 𝜙 : 𝑉1 → 𝑉2 называется изоморфизмом евклидовых (эрмитовых) пространств, если:
1. 𝜙 - изоморфизм линейных прострнств 𝑉1 и 𝑉2 .
2. ∀⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 : (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = (𝜙(⃗𝑢), 𝜙(⃗𝑣 ))
14.3.2
Теорема об изоморфизме пространств с одинаковой размерностью
Пусть 𝑉1 и 𝑉2 - евклидовы (эрмитовы) пространства. Тогда 𝑉1 ∼
= 𝑉2 ⇔ dim 𝑉1 = dim 𝑉2
Доказательство.
⇐ Пусть 𝑒1 , 𝑒2 - ортонормированные базисы в 𝑉1 , 𝑉2 , 𝜙 - линейное отображение, такое,
что 𝜙(𝑒1 ) = 𝑒2 , причём для любых ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉1 : ⃗𝑣 ↔𝑒1 𝑥, ⃗𝑢 ↔𝑒1 𝑦, выполнено (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 𝑥𝑇 𝑦 =
(𝜙(⃗𝑢), 𝜙(⃗𝑣 )).
⇒ Поскольку 𝑉1 ∼
= 𝑉2 , то они в частности изоморфны, как линейные пространства,
тогда dim 𝑉1 = dim 𝑉2
29
14.4
Канонический изоморфизм евклидова пространства и сопряжённого к нему
Для каждого ⃗𝑣 ∈ 𝑉 положим 𝑓⃗𝑣 (⃗𝑢) := (⃗𝑣 , ⃗𝑢). Тогда сопоставление ⃗𝑣 ↦→ 𝑓⃗𝑣 осуществляет
изоморфизм между 𝑉 и 𝑉 * .
Доказывается непосредственной проверкой.
15
Об ортогонализации и объёмах
15.1
Ортогональное дополнение подпространства
Пусть 𝑈, 𝑊 ⩽ 𝑉 . Тогда:
1. (𝑈 ⊥ )⊥ = 𝑈
2. (𝑈 + 𝑊 )⊥ = 𝑈 ⊥ ∩ 𝑊 ⊥
3. (𝑈 ∩ 𝑊 )⊥ = 𝑈 ⊥ + 𝑊 ⊥
Доказательство.
Расммотрим изоморфизм 𝜃 : 𝑉 → 𝑉 * из предыдущей теоремы и заметим, что 𝜃(𝑈 ⊥ ) =
{𝑓⃗𝑣 ∈ 𝑉 * | ⃗𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ } = {𝑓 ∈ 𝑉 * | ∀⃗𝑢 ∈ 𝑈 : 𝑓 (⃗𝑢) = 0} = 𝑈 0 для любого подпространства
𝑈 ⩽𝑉.
1. Докажем данную формулу непосредственно. Так как dim 𝑈 = dim 𝑉 −dim 𝑈 ; dim 𝑈 ⊥ =
dim 𝑉 − dim(𝑈 ⊥ )⊥ , то dim 𝑈 = dim(𝑈 ⊥ )⊥ . При этом, 𝑈 ⩽ (𝑈 ⊥ )⊥ , поскольку ∀⃗𝑢 ∈
𝑈, ∀⃗𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ : ⃗𝑢⊥⃗𝑣 . Значит 𝑈 = (𝑈 ⊥ )⊥
2. Поскольку (𝑈 +𝑊 )0 = 𝑈 0 ∩𝑊 0 , то, применяя 𝜃 к обеим частям неравенства, получим,
(𝑈 + 𝑊 )⊥ = 𝑈 ⊥ ∩ 𝑊 ⊥
3. Поскольку (𝑈 ∩𝑊 )0 = 𝑈 0 +𝑊 0 , то, применяя 𝜃 к обеим частям неравенства, получим,
(𝑈 ∩ 𝑊 )⊥ = 𝑈 ⊥ + 𝑊 ⊥
15.2
Ортогональное проектирование
15.2.1
Определение
Пусть 𝑈 ⩽ 𝑉, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 . Вектор ⃗𝑣 единственным образом представляется в виде суммы
⃗𝑢 + 𝑢⃗′ , ⃗𝑢 ∈ 𝑈, 𝑢⃗′ ∈ 𝑈 ⊥ . Вектор ⃗𝑢 называется ортогональной проекцией ⃗𝑣 на подпространство
𝑈 . Обозначение - 𝑝𝑟𝑈 ⃗𝑣
15.2.2
Вычисление проекции
Пусть 𝑒 = (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ) - это ортогональный базис в 𝑈 . Тогда для любого вектора ⃗𝑣 ∈ 𝑉
выполнено равенство:
𝑝𝑟𝑈 ⃗𝑣 =
𝑘
∑︁
(⃗𝑣 , 𝑒⃗𝑖 )
‖𝑒𝑖 ‖2
𝑖=1
Доказательство.
30
𝑒⃗𝑖
Представим ⃗𝑣 в виде ⃗𝑣 = ⃗𝑢 + 𝑢⃗′ , ⃗𝑢 ∈ 𝑈, 𝑢⃗′ ∈ 𝑈 ⊥ , тогда ⃗𝑢 =
𝑘
∑︀
𝛼𝑖 𝑒⃗𝑖 . Заметим теперь, что
𝑖=1
∀𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑘} : (⃗
𝑒𝑗 , ⃗𝑣 ) = (⃗𝑢 + 𝑢⃗′ , 𝑒⃗𝑗 ) = (⃗𝑢, 𝑒⃗𝑗 ) = 𝛼𝑗 ‖⃗
𝑒𝑗 ‖2 , откуда получаем требуемое.
15.3
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
Пусть (𝑓⃗1 , . . . , 𝑓⃗𝑛 ) - базис в 𝑉 . Тогда в 𝑉 существует ортогональный базис (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑛 )
такой, что ∀𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛} : ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑖 ⟩ = ⟨𝑓⃗1 , . . . , 𝑓⃗𝑖 ⟩, причём матрица перехода 𝑆 верхнетреугольная с единицами на диагонали.
Доказательство.
Положим 𝑒⃗1 := 𝑓⃗1 , 𝑒⃗𝑖 = 𝑓⃗𝑖 − 𝑝𝑟⟨𝑓1 , ..., 𝑓𝑖−1 ⟩ (𝑓⃗𝑖 ). Тогда матрица перехода 𝑆 - верхнетреугольная с единицами на главной диагонали, поэтому (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑛 ) является базисом в 𝑉 .
Проверим равенство ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ⟩ = ⟨𝑓⃗1 , . . . , 𝑓⃗𝑘 ⟩ индукцией по 𝑘. База 𝑘 = 1 тривиальна.
⃗ , 𝑒⃗𝑖 ⟩ = ⟨𝑓⃗1 , . . . , 𝑓𝑖−1
⃗ , 𝑓⃗𝑖 ⟩
Пусть теперь 𝑖 > 1, тогда: ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒𝑖−1
⃗ , 𝑒⃗𝑖 ⟩ = ⟨𝑓⃗1 , . . . , 𝑓𝑖−1
15.4
Объём параллелипипеда
15.4.1
Определение
𝑘 - мерным объёмом системы (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) векторов из 𝑉 называется величина 𝑉𝑘 (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ),
определяемая индуктивно:
• Если 𝑘 = 1, то 𝑉1 (𝑣⃗1 ) := ‖𝑣⃗1 ‖
• Если 𝑘 ⩾ 2, то 𝑉𝑘 := 𝑉𝑘−1 (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣𝑘−1
⃗ ) · 𝜌(⟨𝑣⃗1 , . . . , 𝑣𝑘−1
⃗ ⟩, 𝑣⃗𝑘 )
15.4.2
Вычисление объёма параллелипипеда
√
Пусть 𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ∈ 𝑉, Γ := Γ(𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ). Тогда 𝑉𝑘 (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) = det Γ
Доказательство.
Если система (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) линейно зависима, то det Γ = 0, но при этом ∃𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘} :
𝑣⃗𝑖 ∈ ⟨𝑣1 , . . . , 𝑣𝑖−1 ⟩ ⇒ 𝑉𝑖 (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑖 ) = 0, поэтому все последующие объёмы также равны
нулю.
Если же система (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ) линейно независима, то она образует базис в 𝑈 := ⟨𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 ⟩.
Применим к нему метод Грама-Шмидта и получим ортогональный базис (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ) такой,
что (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ) = (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑘 )𝑆, где матрица перехода 𝑆 - верхнетреугольная с единицами
на главной диагонали. Тогда det 𝛾(𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ) = det Γ · (det 𝑆)2 = det Γ, откуда:
𝑉𝑘 (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ) = 𝑉1 (𝑒⃗1 )𝜌(𝑒⃗2 , ⟨𝑒⃗1 ⟩) . . . 𝜌(𝑒⃗𝑘 , ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒𝑘−1
⃗ ⟩) =
√︀
√
‖𝑒⃗1 ‖ . . . ‖𝑒⃗𝑘 ‖ = det Γ(𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑘 ) = det Γ
Остаётся проверить по индукции, что ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘} : 𝑉𝑖 (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑖 ) = 𝑉𝑖 (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑖 ).
База 𝑖 = 1 тривиальна. Пусть теперь 𝑖 ⩾ 2, тогда:
𝑉𝑖 (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑖 ) = 𝑉𝑖−1 (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒𝑖−1
⃗ )𝜌(⃗
𝑒𝑖 , ⟨𝑒⃗1 , . . . , 𝑒𝑖−1
⃗ ⟩) =
𝑉𝑖−1 (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣𝑖−1
⃗ )𝜌(⃗
𝑒𝑖 , ⟨𝑣⃗1 , . . . , 𝑣𝑖−1
⃗ ⟩) = 𝑉𝑖 (𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑖 )
31
16
О сопряжённых преобразованиях
16.1
Связь билинейных (полуторалинейных) форм и линейных
преобразований в евклидовом (эрмитовом) пространстве
16.1.1
Новое обозначение
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Для всех ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 положим 𝑓𝜙 (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) := (𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 )
16.1.2
Связь билинейных форм и преобразований
Пусть 𝑒 - ортонормированный базис в 𝑉 , 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - такой оператор, что 𝜙 ↔𝑒 𝐴, 𝑓𝜙 ↔𝑒
𝐵. Тогда 𝐵 = 𝐴𝑇 .
Следствие. Сопоставление 𝜙 ↦→ 𝑓𝜙 осуществляет изоморфизм между ℒ(𝑉 ) и ℬ𝜃 (𝑉 )
Доказательство.
Если ⃗𝑢 ↔𝑒 𝑥, ⃗𝑣 ↔𝑒 𝑦. Тогда 𝑓𝜙 (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = (𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 ) = 𝑥𝑇 𝐵𝑦 = (𝐴𝑥)𝑇 𝑦 = 𝑥𝑇 𝐴𝑇 𝑦, что и
означает требуемое в силу биективности сопоставления матриц 𝜃-линейных форм.
16.2
Преобразование, сопряжённое данному
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Оператором, сопряжённым к 𝜙, называется оператор 𝜙* такой, что
𝑓𝜙 = 𝑔𝜙* , то есть ∀⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 : (𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 ) = (⃗𝑢, 𝜙* (⃗𝑣 ))
16.3
Его существование и единственность, его свойства
16.3.1
Существование сопряжённого оператора
Поскольку сопоставление 𝜙 ↦→ 𝑓𝜙 ↦→ 𝑔𝜙* ↦→ 𝜙* биективны, то сопряжённый оператор
существует и единственен. Более того, сопоставление 𝜙 ↦→ 𝜙* осуществляет автоморфизм
в евклидовом случае и антиавтоморфизм в эрмитовом случае.
16.3.2
Связь матрицы оператора и сопряжённого к нему
Пусть 𝑒 - ортонормированный базис в 𝑉 , 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - такой линейный оператор, что
𝜙 ↔𝑒 𝐴. Тогда 𝜙* ↔𝑒 𝐴* .
Доказательство.
Поскольку 𝜙 ↔𝑒 𝐴, то 𝑓𝜙 = 𝑔𝜙* ↔ 𝐴𝑇 . Значит 𝜙* ↔ 𝐴* .
16.3.3
Свойства сопряжённых операторов
1. Сопоставление 𝜙 ↦→ 𝜙* сопряжённо линейно
2. ∀𝜙, 𝜓 ∈ ℒ(𝑉 ) : (𝜙𝜓)* = 𝜓 * 𝜙*
3. ∀𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) : 𝜙** = 𝜙
Доказательство.
Первое свойство уже было отмечено, докажем два последних. Зафиксируем ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 ,
тогда:
(𝜙𝜓(⃗𝑢), ⃗𝑣 ) = (𝜓(⃗𝑢), 𝜙* (⃗𝑣 )) = (⃗𝑢, 𝜓 * 𝜙* (⃗𝑣 ))
32
(⃗𝑢, 𝜙(⃗𝑣 )) = (𝜙(⃗𝑣 ), ⃗𝑢) = (⃗𝑣 , 𝜙* (⃗𝑢)) = (𝜙* (⃗𝑢), ⃗𝑣 )
В силу единственности оператора, получили требуемое.
16.3.4
О связи инвариантных подпространств оператора и сопряжённого к
нему
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) и подпространство 𝑈 ⩽ 𝑉 инвариантно относительно 𝜙. Тогда 𝑈 ⊥
инвариантно относительно 𝜙* .
Доказательство.
Пусть ⃗𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ . Тогда ∀⃗𝑢 ∈ 𝑈 : 0 = (𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 ) = (⃗𝑢, 𝜙* (⃗𝑣 )) в силу инвариантности 𝑈 .
Значит 𝜙* (⃗𝑣 ) ∈ 𝑈 ⊥ .
16.4
Теорема Фредгольма
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Тогда Ker 𝜙* = (Im 𝜙)⊥
Доказательство.
⊂. Пусть ⃗𝑣 ∈ Ker 𝜙* ⇒ 𝜙* (⃗𝑣 ) = 0 ⇒ ∀⃗𝑢 ∈ 𝑉 : 0 = (⃗𝑢, 𝜙* (⃗𝑣 )) = (𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 ) ⇒ ⃗𝑣 ∈ (Im 𝜙)⊥
⊃. Заметим, что rk 𝜙 = rk 𝜙* = dim Im 𝜙 = dim Im 𝜙* ⇒ dim Ker 𝜙* = dim 𝑉 −
dim Im 𝜙* = dim 𝑉 − dim Im 𝜙 = dim(Im 𝜙)⊥ .
17
О самосопряжённых преобразованиях
17.1
Самосопряжённые линейные преобразования
Оператор 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) называется самосопряжённым, если 𝜙* = 𝜙, то есть ∀⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈
𝑉 (𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 ) = (⃗𝑢, 𝜙(⃗𝑣 )).
17.2
Свойства самосопряжённых преобразований
17.2.1
Инвариантные пространства самосопряжённых операторов
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - самосопряжённый, 𝑈 ⩽ 𝑉 . Тогда 𝑈 инвариантно относительно 𝜙 ⇔
𝑈 ⊥ инвариантно относительно 𝜙.
Доказательство.
⇒. Это уже было доказано.
⇐. (𝑈 ⊥ )⊥ = 𝑈 , поэтому 𝑈 инвариантно относительно 𝜙.
17.2.2
Характеристический многочлен самосопряжённых операторов
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - самосопряжённый. Тогда его характеристический многочлен 𝜒𝜙 раскладывается на линейные сомножители над R.
Доказательство.
Пусть 𝑉 - эрмитово пространство, 𝜆 ∈ C - корень 𝜒𝜙 . Тогда 𝜆 является собственным
значением 𝜙 с собственным вектором ⃗𝑣 ∈ 𝑉, ⃗𝑣 ̸= ⃗0, откуда
𝜆‖⃗𝑣 ‖2 = (𝜙(⃗𝑣 ), ⃗𝑣 ) = (⃗𝑣 , 𝜙* (⃗𝑣 )) = 𝜆‖⃗𝑣 ‖2 ⇒ 𝜆 = 𝜆 ⇒ 𝜆 ∈ R
33
Пусть теперь 𝑉 евклидово пространство с ортонормированным базисом 𝑒, тогда 𝜙 ↔𝑒
𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (R), 𝐴 = 𝐴𝑇 . Рассмотрим 𝑈 - эрмитово пространство с ортонормированным базисом ℱ, и оператор 𝜓 ↔ℱ 𝐴. Тогда 𝜓 тоже самосопряжённый, поэтому для 𝜓 утвеждение
выполнено. Тогда заметим, что 𝜒𝜙 = 𝜒𝐴 = 𝜒𝜓 .
17.2.3
Ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - самосопряжённый, 𝜆1 , 𝜆2 ∈ R - два различных собственных значения
𝜙. Тогда 𝑉𝜆1 ⊥𝑉𝜆2 .
Доказательство.
Пусть 𝑣⃗1 ∈ 𝑉𝜆1 , 𝑣⃗2 ∈ 𝑉𝜆2 . Тогда:
𝜆1 (𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 ) = (𝜙(𝑣⃗1 ), 𝑣⃗2 ) = (𝑣⃗1 , 𝜙(𝑣⃗2 )) = 𝜆2 (𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 ) ⇒ (𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 ) = 0
17.3
Существование ортонормированного базиса из собственных
векторов самосопряжённого линейного преобрзования
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - самосопряжённый. Тогда в 𝑉 существует ортонормированный базис
𝑒, в котором матрица оператора 𝜙 диагональна.
Доказательство.
Проведём индукцию по 𝑛 := dim 𝑉 . База, 𝑛 = 1, тривиальна. Пусть 𝑛 > 1. Поскольку корни 𝜒𝜙 вещественные, то у 𝜙 есть собственное значение 𝜆0 ∈ R. Пусть 𝑒⃗0 ∈ 𝑉 соответствующий ему собственный вектор длины 1. Тогда подпространство 𝑈 := ⟨𝑒⃗1 ⟩⊥
инвариантно относительно 𝜙, поэтому можно рассмотреть оператор 𝜙|𝑈 ∈ ℒ(𝑈 ), который
также является самосопряжённым. По предположению индуции, в 𝑈 есть ортонормированный базис из собственных векторов, тогда его объединение с 𝑒⃗0 даёт нужный нам базис
в 𝑉.
18
Об ортогональных операторах
18.1
Ортогональные и унитарные преобразования, их свойства
18.1.1
Определение
Оператор 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) называется ортогональным (унитарным), если ∀⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 : (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) =
(𝜙(⃗𝑢), 𝜙(⃗𝑣 ))
18.1.2
Критерий ортогональности преобразования
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Тогда оператор 𝜙 ортогонален (унитарен) ⇔ 𝜙 обратим и 𝜙−1 = 𝜙*
Доказательство.
По определению, 𝜙 ортогонален (унитарен) ⇔ для любых векторов ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 выполнено
(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = (𝜙(⃗𝑢), 𝜙(⃗𝑣 )) = (⃗𝑢, 𝜙* 𝜙(⃗𝑣 )) ⇒ 𝜙* 𝜙 = 𝑖𝑑. Это равносильно тому, что 𝜙 обратим и
𝜙−1 = 𝜙*
34
18.1.3
Об инвариантных подпространствах ортогонального оператора
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - ортогональный (унитарный), 𝑈 ⩽ 𝑉 . Тогда 𝑈 инвариантно относительно 𝜙 ⇔ 𝑈 ⊥ - инвариантно относительно 𝜙
Доказательство.
Поскольку (𝑈 ⊥ )⊥ = 𝑈 , то достаточно доказать импликацию ⇒. Так как 𝑈 инвариантно
относительно 𝜙, то 𝜙* = 𝜙−1 инвариантно относительно 𝑈 ⊥ , то есть 𝜙−1 (𝑈 ⊥ ) ⩽ 𝑈 ⊥ , но 𝜙
биективен, поэтому 𝜙−1 (𝑈 ⊥ ) = 𝑈 ⊥ ⇒ 𝜙(𝑈 ⊥ ) = 𝑈 ⊥ , откуда 𝑈 ⊥ инвариантно относительно
𝜙.
18.2
Инвариантные подпространства малой размерности для преобразований вещественного типа
Пусть 𝑉 - линейное пространство над R, dim 𝑉 ⩾ 1, 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Тогда у 𝜙 существует
одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Доказательство.
По основной теореме алгебры, минимальный многочлен 𝜇𝜙 имеет следующий вид:
𝜇𝜙 =
𝑘
𝑚
∏︁
∏︁
(𝜆 − 𝜆𝑖 ) (𝜆2 + 𝛼𝑗 𝜆 + 𝛽𝑗 )
𝑖=1
𝑗=1
Поскольку 𝜇𝜙 - минимальный, то все операторы 𝜙−𝜆𝑖 , 𝜙2 +𝛼𝑗 𝜙+𝛽𝑗 вырождены. Значит,
возможны два случая
1. Если 𝜙 − 𝜆𝑖 вырожденный, то ∃⃗𝑣 ∈ 𝑉 : 𝜙(⃗𝑣 ) = 𝜆𝑖⃗𝑣 ⇒ ⟨⃗𝑣 ⟩ - ивариантное подпространство размерности 1.
2. Если 𝜙2 + 𝛼𝑗 𝜙 + 𝛽𝑗 вырожденный, то ∃⃗𝑣 ∈ 𝑉 : (𝜙2 + 𝛼𝑗 𝜙 + 𝛽𝑗 )(⃗𝑣 ) = ⃗0 ⇒ 𝜙2 (⃗𝑣 ) =
−𝛼𝑗 𝜙(⃗𝑣 ) − 𝛽𝑗 ⃗𝑣 ⇒ ⟨⃗𝑣 , 𝜙(⃗𝑣 )⟩ - инвариантное подпространство размерности 2.
18.3
Канонический вид унитарного и ортогонального преобразований
18.3.1
Канонический вид унитарного преобразования
Пусть 𝑉 - эрмитово пространство, 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - унитарный. Тогда в 𝑉 существует ортонормированный базис 𝑒, в котором матрица оператора 𝜙 диагональна с числами модуля
1 на главной диагонали.
Доказательство.
Докажем диагонализируемость оператора 𝜙 в ортонормированном базисе индкцией по
𝑛 := dim 𝑉 . База 𝑛 = 1 тривиальна, пусть 𝑛 > 1. Поскольку у 𝜒𝜙 есть корень над C, то
у 𝜙 есть собственный вектор 𝑒⃗0 длины 1. Тогда 𝑈 := ⟨𝑒⃗0 ⟩⊥ инвариантно относительно 𝜙,
поэтому можно рассмотреть оператор 𝜙|𝑈 ∈ ℒ(𝑈 ), который также является унитарным. По
предположению индукции, в 𝑈 есть ортонормированный базис из собственных векторов,
тогда объединение с 𝑒⃗0 даёт искомый базис в 𝑉 .
Покажем теперь, что все собственные значения оператора 𝜙 имеют модуль 1. Действительно, если ⃗𝑣 ∈ 𝑉, ⃗𝑣 ̸= ⃗0 - собственный вектор со значением 𝜆, то (⃗𝑣 , ⃗𝑣 ) = (𝜙(⃗𝑣 ), 𝜙(⃗𝑣 )) =
𝜆2 (⃗𝑣 , ⃗𝑣 ) ⇒ |𝜆| = 1.
35
18.3.2
Канонический вид ортогонального преобразования
Пусть 𝑉 - евклидово пространство 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ) - ортогональный. Тогда в 𝑉 существует
ортонормированный базис 𝑒, в котором матрица оператора
(︂ 𝜙 имеет блочно-диагональный
)︂
cos 𝛼 − sin 𝛼
вид, состоящий из блоков 𝐵𝑖 , где ∀𝑖 : 𝐵𝑖 = (±1) ∨ 𝐵𝑖 =
sin 𝛼 cos 𝛼
Доказательство.
Проведём индукцию по 𝑛 := dim 𝑉 . База, 𝑛 = 0 тривиальна. Пусть 𝑛 ⩾ 1. Выберем
𝑈 ⩽ 𝑉 - одномерное или двумерное инвариантное относительно 𝜙 подпространство. Тогда
𝑈 ⊥ тоже инвариантно относительно 𝜙, и в 𝑈 ⊥ есть требуемый базис 𝑒′ по предположению
индукции. Если 𝑒′′ - некоторый ортонормированный базис в 𝑈 , то его объединение с 𝑒′
даёт ортонормированный базис в 𝑉 . Исследуем оператор 𝜙|𝑈 ∈ ℒ(𝑈 ):
1. Если dim 𝑈 = 1, то 𝑈 = ⟨⃗𝑣 ⟩, где ⃗𝑣 ∈ 𝑉 - собственный вектор длины 1 с собственным
значением 𝜆 ∈ R ⇒ 𝜆 = ±1 аналогично комплексному случаю.
(︂
)︂
𝑎 𝑏
2. Если dim 𝑈 = 2, то 𝜙|𝑈 ↔𝑒′′ 𝐶 =
. Тогда, т.к. 𝜙|𝑈 - также ортогональный, то:
𝑐 𝑑
⎧
2
2
⎪
⎨𝑎 + 𝑐 = 1
𝐶 𝑇 𝐶 = 𝐸 ⇔ 𝑏2 + 𝑑 2 = 1
⎪
⎩
𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 0
Выберем 𝛼, 𝛽 ∈ [0, 2𝜋) такие, что 𝑎 = cos 𝛼, 𝑏 = sin 𝛽, 𝑐 = sin 𝛼, 𝑑 = − cos 𝛽, тогда
sin(𝛼 − 𝛽) = 0 ⇔ 𝛼 = 𝛽 ∨ 𝛼 = 𝛽 ± 𝜋. В первом случае уже получено требуемое, во
втором матрица 𝐶 имеет вид:
(︂
)︂
cos 𝛼 sin 𝛼
sin 𝛼 − cos 𝛼
В этом случае 𝜒𝐶 (𝜆) = 𝜆2 − 1, поэтому 𝑈 = ⟨⃗𝑢, ⃗𝑣 ⟩, ⃗𝑢, ⃗𝑣 ∈ 𝑉 - собственные векторы
длины 1 с собственными значениями 1 и -1. Заметим теперь, что (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = (𝜙(⃗𝑢), 𝜙(⃗𝑣 )) =
(⃗𝑢, − ⃗𝑣 ) ⇒ (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = 0.
18.4
Полярное разложение линейного преобразования в евклидовом пространстве
Пусть 𝜙 ∈ ℒ(𝑉 ). Тогда существуют 𝜓, 𝜃 ∈ ℒ(𝑉 ) такие, что 𝜓 - самосопряжённый с
неотрицательными собственными значениями, а 𝜃 - ортогональный (унитарный), и 𝜓 = 𝜓𝜃
Доказательство.
Рассмотрим оператор 𝜈 := 𝜙* 𝜙, 𝜈 * = 𝜙* 𝜙 ⇒ 𝜈 самосопряжённый. Более того, если
⃗𝑣 ∈ 𝑉 ∖ {⃗0} - собственный вектор с собственным значением 𝜆, то (𝜙(⃗𝑣 ), 𝜙(⃗𝑣 )) = (⃗𝑣 , 𝜈(⃗𝑣 )) =
𝜆(⃗𝑣 , ⃗𝑣 ) ⇒ 𝜆 ⩾ 0.
Пусть (𝑒⃗1 , . . . , 𝑒⃗𝑛 ) - ортонормированный базис в 𝑉 из собственных векторов 𝜈 с собственными значениями 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑘 ⩾ 0. Положим 𝑓⃗𝑖 = 𝜙(⃗
𝑒𝑖 ). Тогда ∀𝑖, 𝑗 : (𝑓⃗𝑖 , 𝑓⃗𝑗 ) = (⃗
𝑒𝑖 , 𝜈(⃗
𝑒𝑗 )) =
√
⃗
⃗
⃗
𝜆(⃗
𝑒𝑖 , 𝑒⃗𝑗 ) ⇒ система (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑛 ) ортогональна и ∀𝑖 : ‖𝑓𝑖 ‖ = 𝜆𝑖 𝑒⃗𝑖
Без ограничения общности, будем считать, что первые 𝑘 собственных
значений поло{︃ ⃗
⃗
√𝑓𝑖
𝑓𝑖 ̸= ⃗0
𝜆𝑖
дополним
жительные, а остальные - нулевые, тогда будем считать, что 𝑔⃗𝑖 =
0
𝑓⃗𝑖 = 0
36
систему (𝑔⃗1 , . . . , 𝑔⃗𝑘 ) до ортонормированного
базиса (𝑔⃗1 , . . . , 𝑔⃗𝑛 ). Тогда оператор 𝜙 имеет
√
⃗
следующий вид: 𝜙 : 𝑒⃗𝑖 → 𝑔⃗𝑖 → 𝜆⃗
𝑔𝑖 = 𝑓𝑖 . Тогда зададим операторы 𝜃, 𝜓 ∈ ℒ(𝑉 ), как:
𝜃 : 𝑒⃗𝑖 → 𝑔⃗𝑖
√︀
𝜓 : 𝑔⃗𝑖 → 𝜆𝑖 𝑔⃗𝑖
Таким образом, 𝜙 = 𝜓𝜃. Наконец, 𝜃 переводит ортонормированный базис в ортонормированный, значит он ортогональный, а 𝜓 имеет в базисе (𝑔⃗1 , . . . , 𝑔⃗𝑛 ) диагональный вид,
поэтому 𝜓 - самосопряжённый.
19
О привидениях
19.1
Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям
Пусть 𝑉 - евклидово (эрмитово) пространство, 𝑞 ∈ 𝒬(𝑉 ). Тогда в 𝑉 существует ортонормированный базис 𝑒, в котором 𝑞 имеет диагональный вид.
Доказательство.
Пусть 𝑏 ∈ B+ (𝑉 ) - 𝜃 линейная форма, полярная к 𝑞. Тогда ∃𝜙 ∈ L(𝑉 ) : 𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) =
(𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 ). При этом:
𝑏(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) = (𝜙(⃗𝑢), ⃗𝑣 ) = 𝑏(⃗𝑣 , ⃗𝑢) = (𝜙(⃗𝑣 ), ⃗𝑢) = (⃗𝑢, 𝜙(⃗𝑣 ))
Значит 𝜙 самосопряжённый, и в 𝑉 существует ортонормированный базис, в котором 𝜙
диагонализуем. Тогда если 𝜙 ↔𝑒 𝐴, 𝑏 ↔𝑒 𝐴𝑇 , 𝑞 ↔𝑒 𝐴𝑇 , поэтому форма 𝑞 тоже имеет
диагональную матрицу в базисе 𝑒.
19.2
Одновременное приведение пары квадратичных форм к диагональному виду
Пусть 𝑉 - линейное пространство над R(C), 𝑞1 , 𝑞2 ∈ 𝒬(𝑉 ) и 𝑞2 положительно определена. Тогда в 𝑉 существует такой базис 𝑒, в котором матрицы форм 𝑞1 , 𝑞2 диагональны.
Доказательство.
Пусть 𝑏 - 𝜃-линейная форма, полярная к 𝑞2 . Тогда 𝑏 можно объявить скалярным (эрмитовым) произведением на 𝑉 . В полученном евклидовом (эрмитовом) пространстве форма
𝑞1 приводится к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе 𝑒. Поскольку
базис 𝑒 - ортонормированный, то в этом же базисе 𝑞2 имеет диагональный вид 𝐸.
20
О тензорах
20.1
Тензоры, как полилинейные отображения
20.1.1
Определение тензора
Тензором типа (𝑝, 𝑞), или 𝑝 раз контрвариантным и 𝑞 раз ковариантным тензором называется полилинейное отображение 𝑡 : (𝑉 * )𝑝 × 𝑉 𝑞 → 𝐹 . Все тензоры типа (𝑝, 𝑞) образуют
линейное пространство над 𝐹 , обозначение - T𝑝𝑞 .
37
20.1.2
Примеры тензоров
1. Тензор типа (0, 1) - это линейный функционал на 𝑉 , поэтому T01 = 𝑉 *
2. Тензор типа (1, 0) - это элемент пространства 𝑉 ** , поэтому T10 = 𝑉 ** ∼
=𝑉
3. Тензор типа (0, 2) - это билинейная форма на 𝑉 , поэтому ℬ(𝑉 ) = T02
20.2
Тензорное произведение тензоров
′
Пусть 𝑡 ∈ T𝑝𝑞 , 𝑡′ ∈ T𝑝𝑞′ . Тогда тензорным произведением тензоров 𝑡 и 𝑡′ называется тензор
′
𝑡 ⊗ 𝑡′ ∈ T𝑝+𝑝
𝑞+𝑞 ′ следующего вида:
𝑡 ⊗ 𝑡′ (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑝+𝑝′ , 𝑣⃗1 , . . . , 𝑣𝑞+𝑞
⃗ ′ ) = 𝑡(𝑓1 , . . . , 𝑓𝑝 , 𝑣⃗1 , . . . , 𝑣⃗𝑞 ) · 𝑡′ (𝑓𝑝+1 , . . . , 𝑓𝑝+𝑝′ , 𝑣𝑞+1
⃗ , . . . , 𝑣𝑞+𝑞
⃗ ′)
20.3
Координатная запись тензора, изменение координат при замене базиса
20.3.1
Координатная запись тензора
Пусть 𝑒 и 𝑒* - взаимные базисы 𝑉 и 𝑉 * , 𝑡 ∈ T𝑝𝑞 . Координатами тезора 𝑡 в базисе 𝑒
называется набор из следующих величин:
𝑖 , ..., 𝑖
𝑇𝑗11, ..., 𝑗𝑞𝑝 = 𝑡(𝑒𝑡1 , . . . , 𝑒𝑡𝑝 , 𝑒𝑗1 , . . . , 𝑒𝑗𝑞 ), 𝑖1 , . . . , 𝑖𝑝 , 𝑗1 , . . . , 𝑗𝑞 ∈ {1, . . . , 𝑛}
Значит, произвольный тензор 𝑡 ∈ T𝑝𝑞 можно записать в таком виде:
𝑖 , ..., 𝑖
𝑡 = 𝑡𝑗11 , ..., 𝑗𝑝𝑞 · 𝑒𝑖1 ⊗ · · · ⊗ 𝑒𝑖𝑝 ⊗ 𝑒𝑗1 ⊗ · · · ⊗ 𝑒𝑗𝑞
20.3.2
Изменение координат при замене базиса
Пусть 𝑒, 𝑒′ - базисы в 𝑉 такие, что 𝑒′𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 𝑒′𝑖 . Тогда преобразование координат
тензора 𝑡 ∈ T𝑝𝑞 при замене базиса имеет следующий вид:
𝑗 , ..., 𝑗
𝑗
𝑖′
𝑖′ 𝑗 ′ , ..., 𝑗 ′
𝑡𝑖11, ..., 𝑖𝑞𝑝 = 𝑎𝑗𝑗1′ . . . 𝑎𝑗𝑝𝑝′ 𝑏𝑖11 . . . 𝑏𝑖𝑞𝑞 𝑡𝑖′1, ..., 𝑖′𝑞𝑝
1
1
Доказательство.
Для простоты выполним проверку в случае, когда 𝑡 ∈ T11 , поскольку в общем случае
рассуждение аналогично:
′
′
′
′
′
′
𝑡 = 𝑡𝑗𝑖 𝑒𝑗 ⊗ 𝑒𝑖 = 𝑡𝑗𝑖′ 𝑒𝑗 ′ ⊗ 𝑒𝑖 = 𝑡𝑗𝑖′ (𝑒𝑗 𝑎𝑗𝑗 ′ ) ⊗ (𝑒𝑖 𝑏𝑖𝑖 ) = 𝑡𝑗𝑖′ 𝑎𝑗𝑗 ′ 𝑏𝑖𝑖 𝑒𝑗 ⊗ 𝑒𝑖
′
Получено разложение тензора 𝑡 по базису 𝑒 двумя способами, поэтому 𝑡𝑗𝑖 = 𝑡𝑗𝑖′ 𝑎𝑗𝑗 ′ 𝑏𝑖𝑖
38
′
