Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» О.В. Куликова Т.В. Завьялова П.П. Скачков АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СРЕДСТВАМИ MATHCAD λ S0 λ S1 λ …... S2 Sn …... Екатеринбург 2006 λ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики О.В. Куликова Т.В. Завьялова П.П. Скачков АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СРЕДСТВАМИ MATHCAD Методические рекомендации к выполнению лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» для студентов технических и экономических специальностей Екатеринбург 2006 1 УДК 681: 517 К 90 Методические рекомендации «Анализ характеристик системы массового обслуживания средствами Mathcad» предназначены для выполнения лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» студентами II курса, обучающихся по техническим и экономическим специальностям вуза. Содержание предлагаемых методических рекомендаций составлено в соответствии с программой дисциплины «Математика». В представленных методических рекомендациях последовательно раскрывается структура учебной деятельности, обеспечивающая успешное моделирование различных режимов работы автозаправочной станции. Вычисление характеристик систем массового обслуживания различных видов и исследование взаимосвязи между ними осуществляется с применением пакета компьютерной математики Mathcad. Методические рекомендации «Анализ характеристик системы массового обслуживания средствами Mathcad» утверждены на заседании кафедры высшей математики Уральского государственного университета путей сообщения (протокол № 3 от 20.12.06 г.). Авторы: О.В.Куликова, доцент кафедры «Высшая математика», канд. пед. наук, УрГУПС, Т.В.Завьялова, доцент кафедры «Высшая математика», канд. физ.-мат.наук, УрГУПС, П.П.Скачков, доцент кафедры «Высшая математика», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС. Рецензент: О.Б.Соколов, профессор кафедры высшей математики, д-р физ.-мат. наук. © Уральский государственный университет путей сообщения, (УрГУПС) 2006 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Лабораторная работа «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» …………………………………………… 4 1.1. Основные понятия теории систем массового обслуживания (СМО) ……. 5 1.1.1. СМО с отказами …………………………………………………………. 6 1.1.2. СМО с неограниченным ожиданием …………………………………... 7 1.1.3. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди ………………. 8 1.2. Решение задачи по теории СМО средствами Mathcad ………………...... 10 1.2.1. Построение функций пользователя в системе Mathcad …………….. 11 1.2.2. Анализ условий работы автозаправочных станций …………………..11 1.2.3. Математическое моделирование работы автозаправочной станции ..12 1.2.4. Составление программы вычислений характеристик СМО …………12 1.2.4.1. Программа 1. Вычисление характеристик СМО с ожиданием и с ограничением длины очереди ………………..13 1.2.4.1. Программа 2. Вычисление характеристик СМО с неограниченным ожиданием …………………………………..14 1.2.4.1. Программа 3. Вычисление характеристик СМО с отказами .………………………………………………………..15 1.2.5. Показатели работы АЗС как СМО с ожиданием и с ограничением длины очереди ……………………………………...15 1.2.6. Показатели работы АЗС как СМО с неограниченным ожиданием …19 1.2.7. Показатели работы АЗС как СМО с отказами ………………………. 25 2. Задание для лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» ………………………………….29 3. Варианты заданий для выполнения лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» …...30 4. Оформление лабораторной работы ……………………………………………30 Библиографический список………………………………………………………. 33 Приложение 1. Построение графика функции одной переменной в прямоугольной системе координат средствами Mathcad …...34 Приложение 2. Построение графика функции двух переменных средствами Mathcad ……………………………………………..36 Приложение 3. Решение матричных уравнений средствами Mathcad …………38 3 1. Лабораторная работа «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» В ходе выполнения лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» студенты должны научиться составлять и анализировать математические модели случайных процессов. Выполнение предлагаемого учебного исследования предусматривает применение пакета компьютерной математики Mathcad, которая во многом облегчает проведение вычислительного эксперимента. Содержание лабораторной работы включает следующие этапы: 1) анализ условий работы автозаправочных станций; 2) математическое моделирование функционирования системы массового обслуживания в различных режимах; 3) составление программы для нахождения характеристик систем массового обслуживания; 4) вычисление значений показателей работы автозаправочных станций; 5) определение эффективности работы автозаправочных станций. Прохождение представленных этапов отражается в соответствующих разделах отчета о полученных результатах. В информационном разделе «Анализ условий работы автозаправочных станций» (1-2 страницы) раскрывается содержание учебной задачи и последовательность действий, обеспечивающих успешность ее решения. В теоретическом разделе «Математическое моделирование функционирования системы массового обслуживания в различных режимах» (2-3 страницы) представляются математические модели систем массового обслуживания с отказами, с неограниченным ожиданием и с ограничением длины очереди. В технологическом разделе «Программа вычислений характеристик СМО» (3-4 страницы) видов с помощью визуально ориентированного языка программирования компьютерной математики Mathcad составляется программа вычислений для характеристик функционирования систем массового обслуживания различных видов. В практическом разделе «Определение числовых значений показателей работы автозаправочных станций» (3-4 страницы) приводятся графические зависимости показателей работы автозаправочных станций и их систематизация. В проектировочном разделе «Определение эффективности работы автозаправочных станций» (1-2 страницы) обобщаются результаты анализа функционирования систем массового обслуживания в различных режимах работы. В библиографическом списке фиксируются используемые учебнометодические материалы. Предлагаемые методические рекомендации «Анализ характеристик системы массового обслуживания средствами Mathcad» необходимо рассматривать как дополнение к программно-методическому комплексу для аудиторной и самостоятельной работы студентов всех форм обучениям, созданного авторским коллективом в составе И.Я.Каца, П.П.Скачкова и М.А.Толмачевой [6]. 4 1.1. Основные понятия теории систем массового обслуживания Система массового обслуживания (СМО) – это модель, описывающая функционирование предприятия, деятельность которого связана с исполнением каких-то однотипных операций. Процесс работы СМО моделирует случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Анализ работы СМО удобно проводить с использованием структурнофункциональных схем и ориентированного графа состояний. Основными элементами СМО выступают: – входящий и выходящий потоки – каналы обслуживания. Входящий и выходящий потоки представляют собой последовательности однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Каналы обслуживания можно рассматривать как устройства, обрабатывающие поток заявок (требований), поступающих на вход СМО в случайные моменты времени. Характеристика входящего потока – интенсивность потока заявок λ, определяющая среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени. Характеристики выходящего потока: – интенсивность потока обслуживания μ, фиксирующая среднее число обслуживаемых заявок в единицу времени; – среднее время обслуживания одной заявки tобс (величину tобс будем обозначать как t). Интенсивность потока обслуживания μ и среднее время обслуживания t связаны отношением μ=1/ t. Наибольшее распространение получило математическое моделирование показателей функционирования СМО при условии, что все потоки рассматриваются как пуассоновские. Эти потоки обладают такими свойствами, как отсутствие последействия и ординарности. Отсутствие последействия означает, что для любых двух непересекающихся промежутков времени число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой. Свойство ординарности показывает, что вероятность наступления за малый промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток одного события. Промежутки времени между двумя событиями распределены по показательному закону. В зависимости от условий функционирования СМО выделяют следующие ее виды: – СМО с отказами – СМО с неограниченным ожиданием – СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди. 5 При неизменном распределении вероятностей состояний СМО во времени pi (t ) их рассматривают как стационарные, которые можно найти из системы дифференциальных уравнений Колмогорова, приравнивая к нулю произ' водную вероятности состояний по времени pi (t ) = 0 . 1.1.2. СМО с отказами Поступающая в такую систему заявка получает отказ и покидает ее необслуженной, если в момент поступления в систему все каналы обслуживания заняты (рис. 1). Переход СМО с отказами из одного состояния в другое можно изобразить с помощью ориентированного графа (рис. 2). СМО Каналы обслуживания Входящий поток Поток обслуженных заявок Поток необслуженных заявок Рис. 1. Структурная схема функционирования СМО с отказами λ S0 λ S1 μ λ …... λ S2 Sn 2μ 3μ …... nμ λ – интенсивность потока заявок; μ – интенсивность потока обслуживания; Si – состояние системы, в которых заняты i каналов (i=0, 1, 2 …., n). Рис. 2. Граф переходов СМО с отказами 6 Характеристики системы массового обслуживания с отказами: – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок Po (k=0) P0 = 1 n (λ t ) k ; ∑ k = 0 k! (1) – вероятность отказа в обслуживании Pотк, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n) P0 (λt ) n Pîòê = Pn = n! (2) – вероятность обслуживания Pобс Pîáñ = 1 − Ðîòê ; (3) – среднее число занятых обслуживанием каналов nз n ç = λtPîáñ ; (4) – абсолютная пропускная способность СМО А À = λÐîáñ . (5) 1.1.3.СМО с неограниченным ожиданием Поступающая в такую систему заявка становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов, если в момент ее поступления в систему все каналы были заняты (рис. 3). Переход СМО с неограниченным ожиданием из одного состояния в другое можно изобразить с помощью ориентированного графа (рис. 4). СМО Каналы обслуживания Поток обслуженных заявок Входящий поток Очередь Рис. 3. Структурная схема функционирования СМО с неограниченным ожиданием 7 λ S0 λ … λ λ S1 μ … λ λ Sn 2μ … … Sn+k nμ nμ … nμ nμ … λ – интенсивность потока заявок; μ – интенсивность потока обслуживания; Si – состояния системы, в которых заняты i каналов (i=0, 1, 2 …., n); Si+j – состояния системы, в которых заняты i каналов (i=0, 1, 2 …., n) и j заявок в очереди (j=1, 2, …, k, ….). Рис. 4. Граф переходов СМО с неограниченным ожиданием Характеристики системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием: – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок Po (k=0) P0 = 1 (λ t ) k (λt ) n+1 + ∑ k! n!( n − λt ) k =0 n , λt < n ; (6) – вероятность занятости обслуживанием всех каналов Pn Pn = ( λt ) P0 ; n! (7) – вероятность того, что заявка окажется в очереди Pоч (λt ) n+1 Pî÷ = P0 n!(n − λt ) ; (8) – среднее число заявок в очереди Lоч (λt ) n +1 Lî÷ = P0 (n − 1)!(n − λt ) 2 ; (9) – среднее время ожидания заявки в очереди tоч t î÷ = Lî÷ λ ; (10) – среднее число занятых обслуживанием каналов nз n ç = λt ; (11) – среднее число заявок z в СМО z = Lî÷ + nç ; (12) – среднее время пребывания заявки tсмо в СМО t ñìî = t î÷ + t îáñ . 8 (13) 1.1.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди Поступающая в такую систему заявка становится в очередь, если в момент ее поступления в систему все каналы были заняты, но оставались свободные места для ожидания. Заявка покидает систему необслуженной, если все каналы заняты и нет свободных мест для ожидания (рис. 5). Переход СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди из одного состояния в другое можно изобразить с помощью ориентированного графа (рис. 6). СМО Каналы обслуживания Входящий поток Поток обслуженных заявок Поток необслуженных заявок Очередь Рис. 5. Структурная схема функционирования СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди λ S0 λ λ … S1 μ … λ Sn 2μ … nμ Sn+m nμ … nμ λ – интенсивность потока заявок; μ – интенсивность потока обслуживания; Si – состояния системы, в которых заняты i каналов (i=0, 1, 2 …., n); Si+j – состояния системы, в которых заняты i каналов (i=0, 1, 2 …., n) и j заявок в очереди (j=1, 2, …, m). Рис. 6. Граф переходов СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди 9 Характеристики системы массового обслуживания с ожиданием и с ограниченной длиной очереди: – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок Po (k=0) P0 = 1 ( λt ) n (λt ) n +1 ⎡ (λt ) m ⎤ ; + ∑ ⎢1 − m ⎥ k! n!(n − λt ) ⎣ n ⎦ k =0 n (14) – вероятность отказа в обслуживании Pотк, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n) (λt ) n + m Pîòê = P0 ; n!n m (15) – вероятность обслуживания Pобс (см. формулу 3); – среднее число занятых обслуживанием каналов nз (4); – абсолютная пропускная способность СМО А (см. формулу 5); – среднее число заявок в очереди Lоч m mλt ⎞ ⎛ λt ⎞ ⎛ − 1 1 + − m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (λt ) n +1 n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ ⋅ P0 Lî÷ = 2 ; n ⋅ n! ⎛ λt ⎞ ⎜1 − ⎟ n⎠ ⎝ (16) – среднее время ожидания заявки в очереди tоч (10); – среднее число заявок в СМО z (12); – среднее время пребывания заявки в СМО tсмо tñìî = z λ. (17) 1.2. Решение задач по теории СМО средствами Mathcad Популярная система компьютерной математики Mathcad предназначена для автоматизации решения математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Ее применение требует лишь их корректного формульного описания, которое задается с помощью операторов и функций. Важным достоинством системы Mathcad выступает визуально ориентированный язык общения с пользователем, который позволяет составить программу вычислений не в виде таинственных кодов, а в виде хорошо воспринимаемых и понятных объектов. Входной язык общения этой системы служит промежуточным звеном между языком реализации системы и скрытым от пользователя языком документа, поэтому при опознавании блока система автоматически запускает внутренние подпрограммы для выполнения необходимых действий. 10 1.2.1. Построение функций пользователя в системе Mathcad Использование пакета Mathcad для решения задач по теории систем массового обслуживания обеспечивает успешное проведение трудоемких вычислений. Все основные характеристики СМО можно рассматривать как функции от нескольких переменных, в качестве которых выступают такие параметры, как интенсивность потока заявок ( λ ), среднее время обслуживания (tобс), число каналов обслуживания ( n ) и число мест в очереди ( m ) (таблица 1). Таблица 1 Функциональные зависимости характеристик СМО № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Характеристики СМО СМО с ожиданием и с ограничением мест в очереди P0=P0(λ, t, n, m) Pотк= Pотк(λ, t, n, m) Pобс= Pобс (λ, t, n, m) nз = nз (λ, t, n, m) А = А (λ, t, n, m) Lоч = Lоч (λ, t, n, m) tоч = tоч (λ, t, n, m) z = z (λ, t, n, m) tсмо = tсмо (λ, t, n, m) СМО с неограниченной очередью Po = Po (λ, t, n) Pn = Pn (λ, t, n) Pоч = Pоч (λ, t, n) Lоч = Lоч (λ, t, n) tоч = tоч (λ, t, n) nз = nз (λ, t, n) z = z (λ, t, n) tсмо = tсмо (λ, t, n) СМО с отказами Po = Po (λ, t, n) Pотк = Pотк (λ, t, n) Pобс = Pобс (λ, t, n) nз= nз (λ, t, n) А= А (λ, t, n) 1.2.2. Анализ условий работы автозаправочных станций В некотором населенном пункте W находятся две автозаправочные станции B и D, услугами которых пользуются все владельцы автомашин. Автозаправочная станция B оборудована 3 колонками для выдачи бензина и площадкой для ожидания заправки на 2 автомашины, а автозаправочная станция D – 4 колонками для выдачи бензина и площадкой для ожидания заправки на 3 автомашины. Число машин, прибывающих на автозаправочную станцию B, в среднем составляет 2 машины каждые 5 минут, а на автозаправочную станцию D – 3 машины каждые 5 минут. Среднее время обслуживания одной машины на автозаправочной станции B не превышает 5 минут и 6 минут на автозаправочной станции D. Если машина прибывает на автозаправочную станцию в тот момент, когда все колонки и места на площадке для ожидания заняты, она отказывается от заправки. Предложите рекомендации по увеличению количества обслуженных клиентов на 5% для каждого предприятия, если уменьшить время обслуживания автомашин не представляется возможным. 11 Спроектируйте режим функционирования автозаправочных станций, если одна из них встанет на капитальный ремонт. Составьте уравнения Колмогорова для вероятностей состояний АЗС в стационарном режиме, если площадка для ожидания заправки закроется на реконструкцию (ставить машину вне площадки в этом случае строго запрещается). Определите характеристики работы автозаправочных станций во всех случаях. 1.2.3. Математическое моделирование работы автозаправочных станций Работа в обычном режиме автозаправочных станций B и D, имеющих каналы обслуживания и места для парковки, соответствует модели СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди. Проектирование развития малого предприятия в стационарных условиях, если нет возможности сократить время обслуживания клиентов, предусматривает исследование функциональных характеристик СМО при различных значениях таких переменных величин, как количество колонок для выдачи бензина (каналы обслуживания СМО) и количество мест на площадке для ожидания заправки (ограниченная длина очереди). В том случае, когда одна из автозаправочных станций встанет на капитальный ремонт, все владельцы автомашин данного населенного пункта вынуждены будут пользоваться услугами только одной из них, тогда одна из работающих автозаправочных станций в этот период отражает модель функционирования СМО с неограниченным ожиданием. Если на одной из автозаправочных станций начинается реконструкция площадки для ожидания заправки, то работу АЗС можно рассматривать как СМО с отказами. План определения параметров эффективного функционирования АЗС: 1) составление программы вычислений характеристик работы различных СМО; 2) вычисление значений характеристик работы автозаправочных станций B и D в различных режимах; 3) построение графиков функциональных зависимостей характеристик автозаправочных станций B и D в различных режимах; 4) решение системы уравнений для стационарного состояния СМО с отказами; 5) анализ полученных результатов вычислений. 1.2.4. Составление программы вычислений характеристик СМО Визуально ориентированный язык программирования системы Mathcad создает условия для удобного конструирования формул (1) – (17) через использование оператора присваивания (:=) и шаблонов операторов математических действий. 12 1.2.4.1. Программа 1. Вычисление характеристик СМО с ожиданием и с ограничением длины очереди 1. Вероятность простоя каналов обслуживания Р0 1 Po ( λ , t , n , m) := n ∑ ( λ ⋅ t) k k! (λ ⋅t) n+1 ⎡⎢ ⎛ λ ⋅t ⎞ m ⎥⎤ + ⋅ 1−⎜ ⎟ n ( ) ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ n! n − λ ⋅ t k=0 2. Вероятность отказа в обслуживании Potk n+ m ( λ ⋅ t) Potk ( λ , t , n , m) := n! n m ⋅ Po ( λ , t , n , m) 3. Вероятность обслуживания Pobs Pobs ( λ , t , n , m) := 1 − Potk ( λ , t , n , m) 4. Абсолютная пропускная способность А A( λ , t , n , m) := Pobs ( λ , t , n , m) ⋅ λ 5. Среднее число занятых каналов nz ns( λ , t , n , m) := A( λ , t , n , m) ⋅ t 6. Среднее число заявок в очереди L L ( λ , t , n , m) := ⎡ ⎛ λ ⋅t ⎞ m ⎛ m ⋅λ ⋅t ⎞ ⎤ ⎢ ⎥ ( λ ⋅t) n+ 1 ⎣ 1 − ⎜⎝ n ⎟⎠ ⋅⎜⎝ m + 1 − n ⎟⎠ ⎦ ⋅ n ⋅n! λ ⋅t ⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ n ⎠ ⎝ 2 7. Среднее время ожидания обслуживания toch toch ( λ , t , n , m) := 1 λ ⋅ L( λ , t , n , m) 8. Среднее число заявок в системе Z Z( λ , t , n , m) := L( λ , t , n , m) + nz( λ , t , n , m) 9. Среднее время пребывания в системе tsmo tsmo ( λ , t , n , m) := 1 λ ⋅ Z( λ , t , n , m) 13 ⋅Po ( λ , t , n , m) 1.2.4.2. Программа 2. Вычисление характеристик СМО с неограниченным ожиданием 1. Вероятность простоя каналов обслуживания Р0 1 Po ( λ , t , n) := n ∑ ( λ ⋅ t) k k! (λ ⋅t) n+1 + n!⎡⎣n − ( λ ⋅ t)⎤⎦ k=0 2. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов Pn n Pn ( λ , t , n) := ( λ ⋅ t) n! Po ( λ , t , n) 3. Вероятность того, что заявка окажется в очереди Poch n+ 1 Poch ( λ , t , n) := ( λ ⋅ t) ⋅ Po ( λ , t , n) n!( n − λ ⋅ t) 4. Среднее число заявок в очереди Loch n+1 ( λ ⋅ t) Loch( λ , t , n) := ⋅ Po ( λ , t , n) 2 ( n − 1)! ( n − λ ⋅ t) 5. Среднее время ожидания в очереди toch toch ( λ , t , n) := 1 λ ⋅ Loch( λ , t , n) 6. Среднее число занятых обслуживанием каналов ns ns( λ , t , n) := λ ⋅ t 7. Среднее число заявок z в СМО z ( λ , t , n) := Loch( λ , t , n) + ns( λ , t , n) 8. Среднее время пребывания заявки tsmo в СМО tsmo ( λ , t , n) := toch ( λ , t , n) + t 14 1.2.4.3. Программа 3. Вычисление характеристик СМО с отказами 1. Вероятность простоя каналов обслуживания Р0 1 Po ( λ , t , n) := n ∑ ( λ ⋅ t) k k! k=0 2. Вероятность отказа в обслуживании Potk n Potk ( λ , t , n) := ( λ ⋅ t) n! ⋅ Po ( λ , t , n) 3. Вероятность обслуживания Pobs Pobs ( λ , t , n) := 1 − Potk ( λ , t , n) 4. Среднее число занятых каналов ns ns( λ , t , n) := λ ⋅ t ⋅ Pobs ( λ , t , n) 5. Абсолютная пропускная способность А A( λ , t , n) := λ ⋅ Pobs ( λ , t , n) 1.2.5. Показатели работы АЗС как СМО с ожиданием и с ограничением длины очереди Значения параметров и характеристик работы автозаправочных станций B и D в обычном режиме (СМО с ожиданием и с ограничением длины очереди) получены на основе программы 1 и представлены в таблице 2. Схемы функционирования АЗС B и D изображены на рис. 7-8. λ S0 λ S1 μ λ S2 2μ λ S3 3μ λ S4 3μ S5 3μ колонка свободна; колонка занята; место на площадке свободно; место на площадке занято Рис. 7. Схема функционирования АЗС В 15 λ S0 λ S1 μ λ S2 2μ λ S3 3μ λ S4 4μ колонка свободна; место на площадке свободно; λ S5 4μ λ S6 4μ S7 4μ колонка занята; место на площадке занято Рис. 8. Схема функционирования АЗС D Таблица 2 Показатели АЗС B АЗС D Параметры λ=2/5=0,4; t=5; n=3; m=2 λ=3/5=0,6; t=6; n=4; m=3 Показатели Po ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 0.128 Po ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 0.023 Potk ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 0.076 Potk ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 0.119 Pobs ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 0.924 Pobs ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 0.881 A( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 0.37 A( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 0.529 ns ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 1.848 ns ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 3.172 L ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 0.265 L ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 0.767 toch ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 0.664 toch ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 1.279 Z ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 2.114 Z ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 3.94 tsmo ( 0.4 , 5 , 3 , 2) = 5.284 tsmo ( 0.6 , 6 , 4 , 3) = 6.566 16 Рекомендации по увеличению количества обслуженных клиентов (увеличение пропускной способности СМО) при условии, что время обслуживания не изменяется, можно получить, если рассматривать взаимное расположение поверхности, определяемой функциональной зависимостью А=A(n, m) и плоскостью, заданной уравнением Z=A. Координаты точек поверхности, расположенных выше плоскости, устанавливают количество n требуемых каналов обслуживания СМО и длину m очереди. Графики взаимного расположения соответствующих поверхностей и плоскостей для АЗС В и D представлены на рис. 9-10. n+ m ⎡ ⎤ 1 ( 2) ⎢ ⎥ A1( n , m) := 0.4 ⋅ 1 − ⋅ m n ⎢ k n+ 1 ⎡ m ⎥ n! n ( 2) ( 2) 2⎞ ⎤ ⎛ ⎢ + ⋅⎢ 1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎥ k! n! ( n − 2 ) ⎣ ⎝ n⎠ ⎦ ⎥ ⎢ k=0 ⎣ ⎦ ∑ i := 0 .. 4 Z1 ( x , y) := 0.37 + 0.37 ⋅0.05 j := 0 .. 5 M1i, j := A1( i + 3 , j + 2) M2i, j := Z1 ( i + 1 , j + 1) M1 , M2 M1 , M2 Рис. 9. График взаимного расположения поверхности А1=A(n, m) и плоскости Z1=0,37+0,37*0,05 (АЗС В). 17 n+ m ⎤ ⎡ ( 3.6) 1 ⎢ ⎥ A2( n , m) := 0.6 ⋅ 1 − ⋅ n m ⎢ k n+ 1 ⎡ m ⎥ n! n 3.6 ⎞ ⎤ ( 3.6) ( 3.6 ) ⎛ ⎢ ⎢ + ⋅ 1−⎜ ⎟ ⎥⎥ n k! n! ( n − 3.6 ) ⎣ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎢ k=0 ⎣ ⎦ ∑ i := 0 .. 4 Z2 ( x , y) := 0.529 + 0.529 ⋅0.05 j := 0 .. 5 M3i, j := A2( i + 4 , j + 3) M4i, j := Z2 ( i + 1 , j + 1) M3 , M4 M3 , M4 Рис. 10. График взаимного расположения поверхности А2=A(n, m) и плоскости Z2=0,529+0,529*0,05 (АЗС D). Поверхность А1=A(n, m) пересекает плоскость Z1=0,37+0,37*0,05 по линии, на которой можно выделить две точки с целочисленными значениями координат n и m (первая точка имеет координаты n=1, m=0, вторая точка имеет координаты n=0, m=2), следовательно, увеличение пропускной способности на 5% на АЗС В может произойти, если на предприятии будет установлена дополнительно одна колонка или оборудованы еще два места на площадке для ожидания заправки. Поверхность А2=A(n, m) пересекает плоскость Z2=0,529+0,529*0,05 по линии, на которой можно выделить одну точку с целочисленными значениями координат n и m (n=0, m=2) ), следовательно, увеличение пропускной способности на 5% на АЗС D может произойти, если на предприятии будут оборудованы еще два места на площадке для ожидания заправки. Точка с координатами n=1 и m=0 находится на поверхности А2=A(n, m) выше плоскости 18 Z2=0,529+0,529*0,05, значит установка одной колонки увеличит пропускную способность на АЗС D больше чем на 5%. 1.2.6. Показатели работы АЗС как СМО с неограниченным ожиданием Если АЗС D закроется на капитальный ремонт, то АЗС В придется обслуживать всех владельцев автомашин населенного пункта W, и следует предполагать, что интенсивность входящего потока будет увеличиваться на 3 машины за каждые 5 минут ( λ=(2+3)/5=1) и ее можно рассматривать как СМО с неограниченным ожиданием (рис.11). λ S0 λ λ S1 μ S2 2μ λ S3 3μ S4 3μ колонка свободна; колонка занята; место на площадке свободно; очередь. Рис. 11. Схема работы АЗС В в условиях капитального ремонта АЗС D Отсутствие изменений на АЗС В не позволит функционировать ей как СМО с неограниченным ожиданием, так как нарушается требование λt<n (1.5>3). Возможные пути создания условий успешной работы АЗС В в новой ситуации: 1) уменьшение времени обслуживания автомашины (2<t<3) при сохранении количества колонок для заправки бензином (n=const); 2) увеличение количества колонок для заправки бензином (5<n<10) при сохранении времени обслуживания автомашины (t=const). Одним из важных показателей качества деятельности АЗС В как СМО с неограниченным ожиданием выступает время пребывания заявки в системе tsmo и среднее число заявок в очереди Loch. Сохранение качества обслуживания клиентов обязывает не увеличивать значительно время пребывания автомашины на автозаправочной станции относительно обычного режима работы (tsmo<5,284). Производственные мощности АЗС В ограничивают величину средней длины очереди Loch до количества мест на площадке для ожидания заправки (Loch < 2). Графики функциональных зависимостей tsmo=f(t), Loch=f(t), tsmo=g(n), Loch=g(n) для АЗС В представлены на рис. 12-13, а ее характеристики, получен19 ные на основе программы 2 для наиболее оптимальных значений переменных t и n (t=2,3 и n=8), – в таблице 3. t := 2.1 , 2.2 .. 2.9 t = tsmo ( 1 , t , 3) = Loch( 1 , t , 3) = 2.1 3.249 1.149 2.2 3.691 1.491 2.3 4.251 1.951 2.4 4.989 2.589 2.5 6.011 3.511 2.6 7.533 4.933 2.7 10.054 7.354 2.8 15.073 12.273 2.9 30.093 27.193 40 36 32 28 24 tsmo ( 1 , t , 3) 20 16 12 8 4 0 2.3 5.3 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 t 30 27 24 21 18 Loch ( 1 , t , 3) 15 12 9 6 3 0 2.3 2 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 t Рис. 12. Графики функциональных зависимостей tsmo=f(t) и Loch=f(t) АЗС B 20 n := 6 , 7 .. 9 n = 6 7 8 9 tsmo ( 1 , 5 , n) = Loch( 1 , 5 , n) = 7.938 2.938 5.81 0.81 5.279 0.279 5.101 0.101 4 10 7.5 tsmo ( 1 , 5 , n) 3 5.3 Loch ( 1 , 5 , n) 5 2.5 0 2 2 1 0 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 n n Рис. 13. Графики функциональных зависимостей tsmo=g(n) и Loch=g(n) АЗС B Таблица 3 Показатели АЗС B Параметры λ=1; t=2,3; n=3 λ=1; t=5; n=8 Показатели Po ( 1 , 2.3 , 3) = 0.068 Po ( 1 , 5 , 8) = 6.474 × 10 Pn ( 1 , 2.3 , 3) = 0.139 Pn ( 1 , 5 , 8) = 0.063 Poch ( 1 , 2.3 , 3) = 0.455 Poch ( 1 , 5 , 8) = 0.105 Loch( 1 , 2.3 , 3) = 1.951 Loch( 1 , 5 , 8) = 0.279 toch ( 1 , 2.3 , 3) = 1.951 toch ( 1 , 5 , 8) = 0.279 ns( 1 , 2.3 , 3) = 2.3 ns( 1 , 5 , 8) = 5 z ( 1 , 2.3 , 3) = 4.251 z ( 1 , 5 , 8) = 5.279 tsmo ( 1 , 2.3 , 3) = 4.251 tsmo ( 1 , 5 , 8) = 5.279 21 −3 Если АЗС В закроется на капитальный ремонт, то АЗС D придется обслуживать всех владельцев автомашин населенного пункта W, и следует предположить, что интенсивность входящего потока увеличится на 2 машины за каждые 5 минут ( λ=(3+2)/5=1) и ее можно рассматривать как СМО с неограниченным ожиданием (рис.14). λ S0 λ S1 μ λ λ S2 2μ S3 3μ колонка свободна; место на площадке свободно; λ S4 4μ S5 4μ колонка занята; очередь Рис. 14. Схема работы АЗС D в условиях капитального ремонта АЗС В Отсутствие изменений на АЗС D не позволит функционировать ей как СМО с неограниченным ожиданием, так как нарушается требование λt<n (1.6>4). Возможные пути создания условий успешной работы АЗС D в новой ситуации: 1) уменьшение времени обслуживания автомашины (3<t<4) при сохранении количества колонок для заправки бензином (n=const); 2) увеличение количества колонок для заправки бензином (5<n<10) при сохранении времени обслуживания автомашины (t=const). Одним из важных показателей качества деятельности АЗС D как СМО с неограниченным ожиданием выступает время пребывания заявки в системе tsmo и среднее число заявок в очереди Loch. Сохранение качества обслуживания клиентов обязывает не увеличивать значительно время пребывания автомашины на автозаправочной станции относительно обычного режима работы (tsmo<6,566). Производственные мощности АЗС В ограничивают величину средней длины очереди Loch до количества мест на площадке для ожидания заправки (Loch < 3). Графики функциональных зависимостей tsmo=f(t), Loch=f(t), tsmo=g(n), Loch=g(n) для АЗС D представлены на рис. 15-16, а ее характеристики, полученные на основе программы 2 для наиболее оптимальных значений переменных t и n (t=3,3 и n=8), – в таблице 4. 22 t := 3.1 , 3.2 .. 3.9 t = tsmo ( 1 , t , 4) = Loch( 1 , t , 4) = 3.1 5.002 1.902 3.2 5.586 2.386 3.3 6.327 3.027 3.4 7.306 3.906 3.5 8.665 5.165 3.6 10.69 7.09 3.7 14.047 10.347 3.8 20.737 16.937 3.9 40.759 36.859 50 45 40 35 30 tsmo ( 1 , t , 4) 25 20 15 10 5 0 6.6 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 t 40 36 32 28 24 Loch ( 1 , t , 4) 20 16 12 8 4 0 3 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 t Рис. 15. Графики функциональных зависимостей tsmo=f(t) и Loch=f(t) АЗС D 23 n := 7 , 8 .. 10 n = 7 8 9 10 tsmo ( 1 , 6 , n) = Loch( 1 , 6 , n) = 9.683 3.683 7.071 1.071 6.392 0.392 6.152 0.152 10 8 6 tsmo ( 1 , 6 , n) 4 2 0 4 6.6 3 3 Loch ( 1 , 6 , n) 2 1 0 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 n n Рис. 16. Графики функциональных зависимостей tsmo=g(n) и Loch=g(n) АЗС D Таблица 4 Показатели АЗС D Параметры λ=1; t=3,3; n=4 λ=1; t=6; n=8 Показатели Po ( 1 , 3.3 , 4) = 0.023 Po ( 1 , 6 , 8) = 2.142 × 10 Pn ( 1 , 3.3 , 4) = 0.112 Pn ( 1 , 6 , 8) = 0.089 Poch ( 1 , 3.3 , 4) = 0.53 Poch ( 1 , 6 , 8) = 0.268 Loch( 1 , 3.3 , 4) = 3.027 Loch( 1 , 6 , 8) = 1.071 toch ( 1 , 3.3 , 4) = 3.027 toch ( 1 , 6 , 8) = 1.071 ns( 1 , 3.3 , 4) = 3.3 ns( 1 , 6 , 8) = 6 z ( 1 , 3.3 , 4) = 6.327 z ( 1 , 6 , 8) = 7.071 tsmo ( 1 , 3.3 , 4) = 6.327 tsmo ( 1 , 6 , 8) = 7.071 24 −3 1.2.7. Показатели работы АЗС как СМО с отказами Если на автозаправочной станции В или D начинается реконструкция площадки для ожидания заправки, то работу каждой АЗС можно спроектировать на основе модели СМО с отказами (рис. 17-18). λ λ S0 S1 λ S2 μ 2μ колонка свободна; S3 3μ колонка занята Рис. 17. Схема работы АЗС В в условиях реконструкции площадки для ожидания заправки λ S0 λ S1 μ λ S2 2μ S3 3μ колонка свободна; λ S4 4μ колонка занята Рис. 18. Схема работы АЗС D в условиях реконструкции площадки для ожидания заправки Характеристики работы автозаправочных станций В или D как СМО с отказами, полученные с использованием программы 3, представлены в таблице 5. 25 Таблица 5 Показатели АЗС B АЗС D Параметры λ=0,4; t=5; n=3 λ=0,6; t=6; n=4 Показатели Po ( 0.4 , 5 , 3) = 0.158 Po ( 0.6 , 6 , 4) = 0.039 Potk ( 0.4 , 5 , 3) = 0.211 Potk ( 0.6 , 6 , 4) = 0.271 Pobs ( 0.4 , 5 , 3) = 0.789 Pobs ( 0.6 , 6 , 4) = 0.729 ns( 0.4 , 5 , 3) = 1.579 ns( 0.4 , 5 , 3) = 1.579 A( 0.4 , 5 , 3) = 0.316 A( 0.6 , 6 , 4) = 0.438 Проведение реконструкции площадки для ожидания заправки приведет к снижению по сравнению с обычным режимом работы пропускной способности автозаправочных станций В (0,316<0,37) и D (0,438<0,529). Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний АЗС В для стационарного режима: ⎧− λ p0 + μ p1 = 0, ⎪λ p − λ p − μ p + 2 μ p = 0, ⎪ 0 1 1 2 ⎨ ⎪λ p1 − λ p 2 − 2 μ p 2 + 3μ p3 = 0, ⎪⎩λ p 2 − 3μ p3 = 0. (S0 ) ( S1 ) (S 2 ) (18) (S3 ) Единственное решение системы уравнений (18) может быть получено с учетом условий нормировки p 0 + p1 + p 2 + p 3 = 1 . (19) Выразим из уравнения (19) р3 и подставим данное выражение в четвертое уравнение системы уравнений (18): p3 = 1 − p0 − p1 − p2 λp2 − 3μ (1 − p0 − p1 − p2 ) = 0 . 26 Матричная форма системы уравнений (18) с учетом нормировки (19) принимает следующий вид: ⎛− λ ⎜ ⎜ λ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 3μ ⎝ μ 0 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ p0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2μ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ p1 ⎟ − (λ + μ ) = ⋅ λ − (λ + 2 μ ) 3μ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ p 2 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ + 3μ 3μ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 3μ ⎟⎠ ⎜⎝ p3 ⎟⎠ (20) Решение матричного уравнения (20) в системе Mathcad ⎡⎢ 1 −0.4 0 ⎢ 5 ⎢ ⎢ ⎛ 2 1⎞ ⎢ 0.4 −⎜ 0.4 + ⎟ ⎜ ⎢ 5 5 ⎟⎠ ⎝ ⎢ ⎞ ⎛ ⎢ ⎜ 0.4 + 2 ⎟ 0.4 − 0 ⎢ ⎜ 5 ⎟⎠ ⎝ ⎢ ⎢ 3 3 ⎢ 3 0.4 + ⎢ 5 5 5 ⎣ ⎤ 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 3⎥ ⎥ 5⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎦ −1 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎛⎜ 0.158 ⎟⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0.316 ⎟⎟ ⋅⎜ 0 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎜ 0.316 ⎟⎟ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0.211 ⎟⎠ ⎝5⎠ Значения вероятностей состояний системы для АЗС В: р0=0,158; р1=0,316; р2=0,316; р3=0,211. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний АЗС D для стационарного режима: (S0 ) ⎧− λ p0 + μ p1 = 0, ⎪λ p − λ p − μ p + 2 μ p = 0, ( S1 ) 1 1 2 ⎪⎪ 0 ⎨λ p1 − λ p2 − 2 μ p2 + 3μ p3 = 0, ( S 2 ) ⎪λ p − λ p − 3μ p + 4 μ p = 0, ( S ) 3 3 4 3 ⎪ 2 ⎪⎩λ p3 − 4 μ p4 = 0. (S 4 ) 27 (21) Единственное решение системы уравнений (21) может быть получено с учетом условий нормировки p0 + p1 + p2 + p3 + p4 = 1 . (22) Выразим из уравнения (22) р4 и подставим данное выражение в пятое уравнение системы уравнений (21): p4 = 1 − p0 − p1 − p2 − p3 λp3 − 4 μ (1 − p0 − p1 − p2 − p3 ) = 0 . Матричная форма системы уравнений (21) с учетом нормировки (22) принимает следующий вид: ⎛− λ ⎜ ⎜ λ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 4μ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ p0 ⎞ μ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2μ 0 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ p1 ⎟ − (λ + μ ) 3μ 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ p2 ⎟ λ − (λ + 2 μ ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. 0 λ − (λ + 3μ ) 4μ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ p3 ⎟ ⎜ ⎟ 4μ 4μ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 4μ ⎟⎠ ⎝ p 4 ⎠ λ + 4μ Решение матричного уравнения (23) в системе Mathcad ⎡ 1 ⎢−0.6 0 0 ⎢ 6 ⎢ ⎛ ⎞ 2 ⎢ ⎜ 0.6 + 1 ⎟ 0.6 − 0 ⎢ ⎜ ⎟ 6 6 ⎝ ⎠ ⎢ ⎢ ⎛ 2 ⎞⎟ 3 ⎢ 0 0.6 −⎜ 0.6 + ⎜ ⎢ 6 ⎟⎠ 6 ⎝ ⎢ ⎢ ⎛ 3 ⎞⎟ 0.6 −⎜ 0.6 + 0 ⎢ 0 ⎜ 6 ⎟⎠ ⎢ ⎝ ⎢ 4 4 4 ⎢ 4 0.6 + ⎢ 6 6 6 ⎣ 6 28 ⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 4⎥ ⎥ 6⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎦ −1 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎛⎜ 0.039 ⎟⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0.139 ⎟⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⋅⎜ ⎟ = ⎜ 0.251 ⎟⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0.301 ⎟⎟ ⎜4⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 0.271 ⎟⎠ ⎝6⎠ (23) Значения вероятностей состояний системы для АЗС D: р0=0,039; р1=0,139; р2=0,251; р3=0,301; р4=0,271. 2. Задание для лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» Внимательно прочитайте задание для лабораторной работы и порядок ее выполнения. Повторите основные понятия теории систем массового обслуживания, используя литературу, представленную в методических рекомендациях, и правильно выберите свой вариант. Постановка учебной задачи о работе автозаправочных станций В некотором населенном пункте W находятся две автозаправочные станции B и D, услугами которых пользуются все владельцы автомашин. Автозаправочная станция B оборудована n1 колонками для выдачи бензина и площадкой для ожидания заправки на m1 автомашины, а автозаправочная станция D – n2 колонками для выдачи бензина и площадкой для ожидания заправки на m2 автомашины. Число машин, прибывающих на автозаправочную станцию B, в среднем составляет N1 машины каждые T1 минут, а на автозаправочную станцию D – N2 машины каждые T2 минут. Среднее время обслуживания одной машины не превышает t1 минут на автозаправочной станции B и t2 минут на автозаправочной станции D. Если машина прибывает на автозаправочную станцию в тот момент, когда все колонки и места на площадке для ожидания заняты, она отказывается от заправки. Сформулируйте рекомендации по увеличению количества обслуженных клиентов на y % для каждого предприятия, если уменьшить время обслуживания автомашин не представляется возможным. Спроектируйте режим функционирования автозаправочных станций, если одна из них встанет на капитальный ремонт. Составьте уравнения Колмогорова для вероятностей состояний АЗС в стационарном режиме, если площадка для ожидания заправки закроется на реконструкцию (ставить машину вне площадки в этом случае строго запрещается). Определите характеристики работы автозаправочных станций во всех случаях. Напишите отчет о проделанной работе в соответствии с требованиями оформления лабораторных работ. 29 3. Варианты заданий для выполнения лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» Вар-т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Значения начальных данных в задании для лабораторной работы n1 m1 n2 m2 N1 T1 N2 T2 t1 t2 y, % 3 4 2 5 6 7 2 3 4 5 6 4 7 8 3 5 7 8 9 2 3 5 8 3 6 8 7 6 5 6 1 2 1 3 2 4 1 1 3 2 2 3 4 4 1 3 3 4 5 1 1 3 6 1 3 3 2 1 2 3 4 5 3 6 7 8 3 4 5 6 7 5 8 9 4 6 8 9 10 3 4 6 9 4 7 9 8 7 6 7 2 3 2 4 3 5 2 2 4 3 3 4 5 5 2 4 4 5 6 2 2 4 7 2 4 4 3 2 3 4 7 16 5 37 35 31 8 17 32 63 16 11 72 99 14 35 12 36 41 3 15 42 120 12 19 84 19 13 7 46 10 15 20 35 20 15 40 55 30 45 25 10 35 55 45 25 10 30 40 25 35 40 50 45 25 35 15 20 10 35 12 22 10 42 39 37 15 25 38 66 21 16 73 100 21 40 18 42 47 7 22 48 114 18 24 83 24 18 11 50 15 20 25 40 25 20 45 60 35 50 30 15 40 60 50 30 15 35 45 30 40 45 55 50 30 40 20 25 15 40 3 3 5 4 3 3 6 7 3 3 8 3 3 4 7 3 5 6 8 9 5 4 3 8 7 3 5 8 6 4 4 4 6 5 4 4 7 8 4 4 9 4 4 5 8 4 6 7 9 10 6 5 4 9 8 4 6 9 7 5 2 3 5 4 2 3 5 7 2 5 4 3 5 4 7 2 3 5 4 3 6 5 4 3 2 5 6 2 3 4 4. Оформление лабораторной работы Лабораторная работа оформляется на листах формата А4 при соблюдении следующих требований к размерам полей: верхнее и нижнее – 20мм, левое – 30мм, правое – 10 мм. В работе не нумеруется первая страница – титульный 30 лист и вторая – «Содержание». Сквозная нумерация идет с третьей страницы и до последней, а номер каждой страницы проставляется арабскими цифрами в центре верхнего поля. Титульный лист – первая страница лабораторной работы, которая содержит основные данные о работе и ее авторе: 1) надзаголовочные данные (название вуза и кафедры); 2) заглавие (название лабораторной работы); 3) сведения об исполнителе (фамилия и инициалы автора, индекс группы); 4) сведения об ответственности (фамилия и инициалы руководителя, его ученое звание или ученая степень); 5) выходные данные (местонахождение вуза, год написания работы). Образец титульного листа представлен на рис. 19. УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра высшей математики Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ РАБОТЫ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Исполнитель: Руководитель: Екатеринбург 2006 Рис. 19. Образец титульного листа 31 Все таблицы, рисунки, графики должны нумероваться и иметь заглавие, отражающее основное содержание иллюстрированного материала. При переносе таблицы пронумеровываются ее графы, и эту нумерацию сохраняют на следующей странице. Заглавие таблицы не повторяют, а пишут: «Продолжение табл. …» и ставят ее номер. Все иллюстрации обозначаются словом «Рис.» и нумеруются в пределах раздела арабскими цифрами, а их наименование помещается над ними. Номер иллюстрации состоит из номера раздела и порядкового номера иллюстрации, разделенные точкой. Ссылки на иллюстрации дают по типу: «рис…», а на ранее упомянутые – «см. рис…». Математические уравнения и формулы имеют сквозную нумерацию. Номер проставляется в круглых скобках на уровне строки выражения в правой части страницы. Допускается не нумеровать формулу, если в дальнейшем на нее нет ссылок. При ссылке в тексте на формулу необходимо указать в круглых скобках ее номер. Расшифровку величин приводят непосредственно после формулы в той последовательности, в которой они даны в выражении. Объяснение каждой переменной дают с новой строки, после чего ставят точку с запятой, а после объяснения последней величины – требуемый знак пунктуации. Первую строку пояснения начинают со слова «где» и двоеточия не ставят. Приложение располагается после списка библиографии, в котором о каждом издании отмечаются такие сведения, как фамилия и инициалы автора, название, описание, издательство, год выпуска и объем. Каждое приложение начинается с новой страницы и имеет свой порядковый номер и заголовок, который указывается в первой строке. Приложения располагаются в порядке появления ссылок в тексте работы. Ссылки даются указанием сокращения «прил.» и номера. Страницы, занятые приложениями, входят в сквозную нумерацию курсовой, но в объем работы не засчитываются. 32 Библиографический список 1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб.пособие. – М.: Финансы и статистика. 2002. 368 с. 2. Воронцов Г.А. Письменные работы в вузе: Учебное пособие для студентов – Ростов н/Д: Издательский центр «МарТ», 2002. 192 с. 3. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебное пособие для вузов (Изд. 3-е, доп. и перераб.)/Серия «Высшее образование». – Ростов н/Д: Феникс, 2005. 480 с. 4. Дьяконов В. Mathcad 2001: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002. 832 с. 5. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. 2-е изд., перераб, и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 352 с. 6. Кац И.Я., Скачков П.П., Толмачева М.А. Математические модели массового обслуживания. – Екатеринбург, УрГУПС, 2001. 63 с. 7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 573. 8. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие/Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Минск: ТетраСистемс, 2002. 432 с. 33 Приложение 1 Построение графика функции одной переменной в прямоугольной системе координат средствами Mathcad Построение графика функции одной переменной в системе Mathcad начинается с вывода на экран палитры графиков «Graph» и выбора соответствующего шаблона (View → Toolbars → Graph) (рис. 20). Оператор построения графика View функции одной переменной Toolbars ⇐ ⇐ ⇐ Шаблон оператора построения графика функции одной переменной Graph Палитра шаблонов операторов «Graph» Рис. 20. Путь вывода шаблона оператора построения двухмерного графика В шаблоне по оси Х необходимо ввести имя независимой переменной х, а по оси Y – ее имя f(x), если предварительно ей было присвоено значение функции (например f ( x) := sin( x) ) или выражение функции f(x). Автоматическое построение системой Mathcad графика функции sin(x) представлено на рис. 21. f ( x) := sin( x) 1 f ( x) 1 sin( x) 0 1 10 0 0 1 10 10 x 0 x Рис. 21. График функции sin(x) 34 10 Построение второго графика в выбранном шаблоне (рис. 22) требует выполнения следующих действий: – присвоение другой переменной значение второй функции, например, переменной g(x) присваивается значение функции cos(x); – введение курсора в место ввода имени функции f(x) и выделение синим уголком с помощью клавиш перемещения курсора и клавиши Пробел всего выражения; – введение знака запятой английского алфавита (имя первой функции f(x) поднимется вверх) с последующим вводом в появившееся новое место ввода функции имени второй функции g(x) или ее выражения. f ( x ) := sin ( x ) g ( x ) := cos ( x ) 1 f ( x) g ( x) 0 1 10 0 10 x Рис. 22. Построение графиков двух функции 35 Приложение 2 Построение графика функции двух переменных средствами Mathcad Построение графика функции двух переменных в системе Mathcad начинается с вывода на экран палитры графиков «Graph» и выбора соответствующего шаблона (View → Toolbars → Graph) (рис. 23). Оператор построения графика функции двух переменных View Toolbars ⇐ ⇐ ⇐ Шаблон оператора построения графика функции двух переменных Graph Палитра шаблонов операторов «Graph» Рис. 23. Путь вывода шаблона оператора построения графика поверхностей Необходимо определить функцию z(x, y) двух переменных x и y. В отмеченное синим уголком место ввода в шаблоне оператора графика функции двух переменных следует ввести имя функции «z» (рис. 24 а). 2 2 z ( x , y ) := 2x − 2 y + 2 ⋅ x ⋅ y 2 2 2 2 z1 ( x , y ) := x − y + x ⋅ y 2 2 2 2 2 z2 ( x , y ) := − x + y − x ⋅ y z1 , z2 z а) б) Рис. 24. Построение графиков поверхностей 36 Если требуется построить две поверхности, то после их определения, в место ввода в шаблоне оператора графика функции двух переменных, их имена записываются через запятую (рис. 24 б). Построение поверхностей по матрице аппликат их точек Матрица аппликат М или матрица значений функции z(x, y) двух переменных x и y задается с помощью индексов i и j , которым присваиваются целочисленные значения (рис. 25). z ( x , y ) := 2 x 2 i := 0 .. 10 − 2y 2 + 2 ⋅x ⋅y 2 j := 0 .. 20 ⎡ ⎛ i − 10 ⎞ , ⎛ j − 20 ⎞ ⎤ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎦ M2 i , j := z ⎢ ⎜ M1 i , j := z [ ( i + 2 ) , ( j + 3 ) ] M2 M1 Рис. 25. Построение графика поверхности по матрице аппликат 37 Приложение 3 Решение матричных уравнений средствами Mathcad Найти решение системы линейных алгебраических уравнений можно с помощью обратной матрицы, если записать исходную систему как матричное уравнение. ⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ Систему линейных уравнений ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , с тремя неиз⎪a x + a x + a x = b , 32 2 33 3 3 ⎩ 31 1 вестными можно представить в матричном виде AX = B , где А – матрица ко⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ эффициентов системы уравнений ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ , X = ⎜ x ⎟ – матрица-столбец ⎜ 2⎟ ⎜a ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 31 a 32 a 33 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ неизвестных, а В – матрица-столбец правых частей B = ⎜ b2 ⎟ . Нахождение неиз⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ вестных ( x1 , x2 , x3 ) системы линейных уравнений осуществляется через реше- ⎛ x1 ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ ⎜ −1 ние матричного уравнения X = A ⋅ B или ⎜ x2 ⎟ = ⎜ a21 ⎜ x ⎟ ⎜a ⎝ 3 ⎠ ⎝ 31 a12 a22 a32 −1 a13 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ a23 ⎟ ⋅ ⎜ b2 ⎟ . a33 ⎟⎠ ⎜⎝ b3 ⎟⎠ Если требуется, например, определить значения неизвестных х1, х2, х3 из ⎧3 x1 + 3 x2 + x3 = 2 системы уравнений ⎪ ⎨2 x1 + 4 x2 + x3 = 0 , то необходимо составить следующее ⎪x + x + 2x = 4 ⎩ 1 2 3 −1 ⎛ x1 ⎞ ⎛ 3 3 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ выражение ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 2 4 1 ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎟ . ⎜ x ⎟ ⎜ 1 1 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Палитра шаблонов операторов «Matrix» позволяет формировать матрицы различных размеров, выполнять в автоматическом режиме трансформирование матрицы, умножение матрицы на число, умножение матриц, вычисление обратной матрицы. Познакомиться с содержанием палитры шаблонов операторов «Matrix» и способом вывода ее на экран можно на рис. 26, а с решением искомого матричного уравнения – на рис. 27. 38 View Toolbars ⇐ Шаблон оператора обратной матрицы ⇐ ⇐ Шаблон оператора матрицы Matrix Палитра шаблонов операторов «Matrix» Рис. 26. Путь вызова оператора матрицы и обратной матрицы ⎛3 3 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜2 4 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 1 2⎟ ⎝ ⎠ −1 ⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Рис. 27. Решение системы алгебраических уравнений в системе Mathcad 39 Ольга Валентиновна Куликова Татьяна Викторовна Завьялова Павел Павлович Скачков «Анализ характеристик системы массового обслуживания средствами Mathcad» Методические рекомендации к выполнению лабораторной работы «Моделирование режимов работы системы массового обслуживания» для студентов технических и экономических специальностей Редактор С.В.Пилюгина 620034, Екатеринбург, ул., Колмогорова, 66, УрГУПС Редакционно-издательский отдел Бумага писчая № 1 Тираж 100 экз. Подписано в печать Формат 60х84 1/16 41 Усл. печ. л. 2,6 Заказ
