Лекция 5 Тема 3. Переходные процессы в линейных электрических цепях Установившимся называется процесс, который может продолжаться как угодно долго. Переходным будем называть процесс перехода от одного установившегося процесса к другому. Такой переход обычно осуществляется коммутацией. Коммутацией называется подключение (отключение) источника энергии к (от) цепи или изменение конфигурации цепи. Законы коммутации 1 закон коммутации: ток, протекающий через катушку индуктивности, есть функция непрерывная (т.е. ток не может измениться скачком). i L 0 i L 0 Закон основан на связи тока, протекающего через катушку индуктивности с электромагнитной энергией. WL L iL 2 2 - электромагнитная энергия, запасаемая на катушке индуктивности. На основе закона сохранения энергии можно сделать вывод, что энергия есть функция непрерывная. Следовательно, и ток будет функция непрерывная. после коммутации до коммутации При t 0 происходит коммутация. i 0 при t 0 (перед коммутацией) i 0 при t 0 (после коммутации) uL L di dt 2 закон коммутации: падение напряжения на конденсаторе есть функция непрерывная (т.е. напряжение не может измениться скачком). uC 0 uC 0 C uC . 2 2 Конденсатор аккумулирует электростатическую энергию WC На основе закона сохранения энергии можно сделать вывод, что энергия есть функция непрерывная. Следовательно, и напряжение будет функция непрерывная. Примеры расчета переходных процессов различных цепей Подключение r L цепи к источнику постоянного напряжения 1) До коммутации нас интересует ток через катушку индуктивности iL 0 -? i 0 0 2) Коммутация Запишем уравнения по 2 закону Кирхгофа в дифференциальной форме. Комплексным методом в данном случае пользоваться нельзя, так как процессы апериодические. U 0 u r u L , где u r i r ; u L L di dt di - неоднородное дифференциальное уравнение 1 порядка dt U0 i r L (1) 3) i i i , (2) где i - решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (ОДУ); i - частное решение неоднородного дифференциального уравнения (НДУ). 4) Найти i - ? Составим соответствующее ОДУ: 0 i r L (3) di dt Характеристическое уравнение: 0 r L p (4) где p - оператор ( p p r L di 2 di 2 ; p 2 ;1 / p idt ). dt dt - корень характеристического уравнения. Тогда решение записывается в виде: i A e pt . В нашем случае i A e r t L - решение ОДУ. (5) 5) Найти i - ? За частное решение принимается решение при t , т.е. при новом установившемся процессе. Это решение можно найти, пользуясь известными приемами, в том числе и комплексными числами для анализа установившегося процесса. I jL . Так как xL L , при t 0 . Тогда U 0 I r 0 U i 0 r 6) На основании выражения (2) записываем полное решение. r t U0 Ae L r При t 0 i 0 i0 0 . i U0 A e0 0 r U A 0 r r r t t U U U U i 0 0 e L , где i 0 ; i 0 e L . r r r r i iсв - свободная составляющая тока i ; i iпр - принужденная составляющая тока i . i0 t 0 3 i U0 r U0 r U0 r U0 r 1 L p r i U 0 r U 0 0.37 r U0 0.05 r 0 i 0 U0 0.63 r U0 0.95 r U0 r (сек) – постоянная времени. Она характеризует скорость прохождения переходного процесса. При t e 1 0.37 При t 3 e 3 0.05 U 0 ur u L u L U 0 ur U 0 i r r U0 t L uL U 0 r 1 e r 0 uL U0 U0 0.37 U 0 0.37 U 0 3 0.05 U 0 0.05 U 0 0 0 t r t L uL U 0 e uL uL uL uL 0 uL U 0 e r t L uL Лекция 6 Подключение r L цепи к источнику переменного напряжения u U m sint 1) До коммутации i 0 0 2) Коммутация ut u r u L ur i r di uL L dt U m sin t i r L (6) 3) i i i (7) di - НДУ dt 4) i - ? 0 i r L di dt (8) 0 r L p - характеристическое уравнение p r - корень характеристического уравнения. L i A e A e pt r t L (9) 5) i - ? За частное решение принимается решение при t , т.е. при новом установившемся процессе. Так как установившийся процесс – переменный ток, то используем для анализа комплексные числа. Для этого запишем уравнение (6) в комплексной форме. U I r I jL , (10) где U U e j . I U U r j L Z Z r j L z e j , где z r 2 L ; arctg 2 I L r . U U U e j I e j , где I . j z Z z e j I I e i I m sint , (11) где I m 2 I . 6) На основании пункта 3 записываем общее решение: i I m sin t A e r t L (12) 7) A - ? При t 0 уравнение (12) превращается в тождество: i0 I m sin A 0 , так как в соответствии с пунктом 1 и законом коммутации i 0 i0 0 . A I m sin Подставив это выражение в уравнение (12), получим i I m sin t I m sin e r t L (13) Здесь i I m sint ; i I m sin e t i r t L . i i I m sin I m sin 0 I m sin 0.37 I m sin i i … … … … … 0 … 0 1 L p r Пусть 80 , 30 , тогда 50 . uL L di или u L u u r dt r t L u L U m sin t r i U m sin t r I m sin e I m sin t u L U m sin t U rm sin t U rm sin e Здесь u L U m sint U rm sint : r t L r uL U rm sin U m sin … 0 uL U m sin U rm sin … t … t u L U rm sin e L . uL … Пусть 80 , 30 , тогда 50 . При t 0 , u L 0 При t 0 , u L U m sin В момент включения при неблагоприятной начальной фазе падение напряжения на катушке индуктивности может превышать амплитуду входного напряжения. Подключение r C цепи к источнику постоянного напряжения 1) До коммутации uC 0 - ? Пусть uC 0 U C 0 2) Коммутация U 0 u r uC , (14) где u r i r . i dq C du C dt dt du C . dt du U 0 r C C u C - НДУ dt Тогда u r r C (15) 3) uC uC uC 4) u C - ? du C 0 r C uC dt 0 r C p 1 - характеристическое уравнение 1 p r C uC A e A e 5) u C - ? pt 1 t r C По завершению переходного процесса uC U 0 . 6) В соответствии с уравнением (14) общее решение запишется в виде: uC U 0 A e 1 t r C 7) A - ? При t 0 : uC U 0 A U C 0 , так как uC 0 uC 0 U C 0 . A U 0 U C 0 uC U 0 U 0 U C 0 e Здесь uC U 0 ; uC U 0 U C 0 e 1 t r C 1 t r C . r C U0 U 0 U C 0 U C0 0.37 U 0 U C 0 0.63 U 0 0.37 U C 0 … U0 uC … 0 uC … uC … t 3 U0 0.05 U 0 U C 0 0.95 U 0 0.05 U C 0 U0 0 U0 8) i - ? du C dt 1 t 1 r C i C U 0 U C 0 e r C i C U U C 0 r C t i 0 e r i 0 ; i i 1 t 0 r C 3 Если r 0 , то i0 , так как i0 U 0 U C0 . r i i U 0 U C0 r U U C0 0.37 0 r U U C0 0.05 0 r 0 Лекция 7 Подключение r C цепи к источнику переменного напряжения u U m sint 1) До коммутации uC 0 - ? Пусть uC 0 U C 0 , т.е. конденсатор заряжен. 2) Коммутация u u r uC , где u r i r . i C du C dt Тогда u r r C u r C du C . dt du C uC dt U m sin t r C duC u C - НДУ dt (16) 3) Ищем решение в виде uC uC uC (17) 4) u C - ? du C uC dt 0 r C p 1 - характеристическое уравнение 1 p r C 0 r C 1 t uC A e pt A e r C (18) 5) u C - ? За частное решение принимается решение при t , т.е. при новом установившемся процессе. Так как установившийся процесс – переменный ток, то используем для анализа комплексные числа. Запишем уравнения по 2 закону Кирхгофа для данной цепи в комплексной форме: 1 U I r I j C UR UC I U r j 1 C U Z 1 1 / C 1 Здесь Z r j . z e j , где z r 2 ; arctg C r C 2 U U e j U U U e j I I e j , где I . j z Z z e 1 UC I j C j j 1 1 e 2 , C C так как j 1 1 0 j z C e j , C C где 2 1 1 zC 0 ; C C 2 arctg 1 / C . 0 2 j j j 1 1 1 2 , где U C I . UC I e 2 I e j e 2 UC e C C C UC UC e j 2 uC U Cm sin t , где U Cm 2 U C 2 (19) 6) В соответствии с выражением (17) общее решение t u C U Cm sin t A e r C 2 7) A - ? u 0 U Cm sin A U C 0 , так как uC 0 uC 0 U C 0 . 2 A U C 0 U Cm sin 2 1 j r C t 8) uC U Cm sin t U Cm sin U C 0 e 2 2 1 Здесь uC U Cm sin t ; uC t 0 r C 2 t U Cm sin U C 0 e r C . 2 uC 1 U Cm sin 2 U Cm sin 2 uC U Cm sin U C 0 2 0.37 U Cm sin U C 0 2 uC U C0 … 3 U Cm sin 3 2 0.05 U Cm sin U C 0 2 … … 0 uC uC Пусть 80 , 20 , тогда 2 10 . Подключение r L C цепи к источнику постоянного напряжения 1) До коммутации i 0 - ? uC 0 - ? i 0 0 uC 0 U C 0 2) Коммутация U 0 u r u L uC ur i r uL L di dt t uC du 1 1 idt idt u C 0 , так как i C C . C C0 dt t di 1 U 0 i r L idt u C 0 dt C 0 t U 0 u C 0 i r L di 1 idt - НДУ 2-го порядка dt C 0 (20) 3) i i i 4) i - ? Запишем соответствующее ОДУ: 0 i r L di 1 i dt dt C 0 t (21) Продифференцируем уравнение d i di 1 r i 0 dt C dt 2 d 2 i r di 1 i 0 2 L dt C L dt L 2 Запишем соответствующее характеристическое уравнение: r 1 p 0 L LC r 1 2 2 ; 0 LC L 2 2 p 2 p 0 0 p2 p1, 2 2 0 2 Возможны 3 варианта: 1. 0 - корни вещественные, разные; 2. 0 - корни кратные; 3. 0 - корни комплексно-сопряженные. Рассмотрим каждый вариант отдельно. 3. 0 p1 2 0 2 p2 2 0 2 p2 p1 0 i A1 e p1t A2 e p2 t (22) 5) i - ? при t i 0 , так как имеется конденсатор. 6) i i A1 e p t A2 e p t (23) A1 - ? A2 - ? Чтобы найти два коэффициента A1 и A2 , надо иметь два уравнения, которые затем превратить в тождество при t 0 . Составим второе уравнение, продифференцировав исходное (23). 1 2 i A1 e p1t A2 e p2 t di p1 A1 e p1t p 2 A2 e p2 t dt (24) di 0 - ? dt Для нахождения di 0 превращаем уравнение (20) в тождество при t 0 dt . 0 di 1 U 0 u C 0 i0 r L 0 idt dt C0 0 UC 0 0 i0 i 0 0 - на основании 1 закона коммутации. uC 0 uC 0 U C 0 - на основании 2 закона коммутации. di 0 U 0 U C 0 dt L Превращаем уравнение (24) в тождество при t 0 . i0 A1 A2 0 di 0 p1 A1 p2 A2 U 0 U C 0 dt L A1 A2 U 0 U C0 A1 p1 p2 L U U C0 A2 0 p1 p2 L Подставляя значения коэффициентов в уравнение (23), получим окончательное решение. i U 0 U C0 e p1 t e p2 t L p1 p 2 (25) exp 1 U 0 U C0 e p1 t p1 p2 L exp 2 U 0 U C0 e p2 t p1 p2 L p2 p1 0 1 1 1 ; 2 p1 p2 1 2 Апериодический процесс uL L di dt t uC 1 idt U C 0 C 0 2. 0 p1 p2 i e t A1 t A2 i i e t A1 t A2 di e t A1 t A2 e t A1 dt (26) При t 0 : i0 A2 0 di 0 A2 A1 U 0 U C 0 dt L U U C0 A1 0 ; A2 0 L U U C0 i e t 0 t - граничный случай L 3. 0 p1, 2 j , где 0 2 2 . i A1 e t sin t A2 e t cos t или i A e t sint A -? -? A1 - ? A2 - ? Составляем два уравнения: i A1 e t sin t A2 e t cos t di A1 e t sin t A1 e t cos t A2 e t cos t A2 e t sin t dt При t 0 : i0 A2 0 di 0 A1 A2 U 0 U C 0 dt L U 0 U C0 ; A2 0 A1 L U U C 0 t i 0 e sin t L T 2 1 r 2L 2L r Если r 0 - незатухающие колебания. , Лекция 8 Подключение r L C цепи к источнику переменного напряжения u U m sint 1) До коммутации i 0 - ? uC 0 - ? i 0 0 uC 0 U C 0 2) Коммутация ut u r u L uC , где u r i r ; u L L t di 1 ; uC idt uC 0 . dt C0 t di 1 U m sin t i r L idt u C 0 dt C 0 (27) U m sin t u C 0 i r L t di 1 idt - ЛНДУ 2-го порядка dt C 0 (28) 3) i i i 4) i - ? 0 i r L di 1 i dt dt C 0 t Продифференцируем выражение и разделим на L : d i r di 1 i 0 2 L dt C L dt r 1 p2 p 0 L LC r 1 2 2 ; 0 LC L 2 2 p 2 p 0 0 2 p1, 2 2 0 2 1. 0 - корни вещественные p2 p1 0 i A1 e p1t A2 e p2 t 2. 0 - корни кратные p1 p2 p i e pt A1 t A2 3. 0 - корни комплексно-сопряженные p1, 2 j , где 0 2 2 . i A1 e t sin t A2 e t cos t 5) i - ? при t , т.е. при новом установившемся процессе. При этом определим значение i , используя символический метод, т.е. запишем уравнение (27) в комплексной форме. 1 U I r I j L I j C 1 U I r j L C L 1 / C 1 1 2 j . Z r j L ; arctg z e , где z r L C r C U U e j U I Z U U U e j I I e j , где I . j z Z z e j I e i I m sint , где I m 2 I . 2 6) В соответствии с пунктом 3 записываем общее решение: i I m sint A1 e p1t A2 e p2 t Дифференцируем это выражение, чтобы получить второе для нахождения A1 и A2 . di I m cost p1 A1 e p1t p2 A2 e p2 t dt Решаем эту систему уравнений при t 0 . i0 I m sin A1 A2 di 0 I m cos p1 A1 p2 A2 dt (29) На основании 1 закона коммутации i0 i 0 0 . di 0 решаем уравнение (28) при t 0 . dt 0 0 r L di 0 1 i0di U m sin u C 0 i dt C0 0 Для нахождения 0 На основании 2 закона коммутации uC 0 uC 0 U C 0 . di 0 U m sin U C 0 dt L Подставляя найденные значения i0 и I m sin A1 A2 0 I m cos p1 A1 p2 A2 di 0 в систему (29), получим: dt U m sin U C 0 L Решая эти уравнения совместно, находим A1 и A2 . Методика расчета переходных процессов классическим методом Известны: r1 , r2 , C , L e Em sint Найти: ток в ветви с конденсатором Решение: 1) До коммутации i L 0 - ? uC 0 - ? До коммутации установившийся процесс переменного тока, поэтому можем пользоваться символическим методом, т.е. записывать уравнения в комплексной форме. 1 способ. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Ir IC I L 1 E I r r1 r2 I C j C 1 0 IC j I L j L C 2 способ. Метод контурных токов. 1 1 E I I r1 r2 j I II j C C 1 1 0 I II j L j II j C C 3 способ. Метод узловых потенциалов. Пусть b 0 . 1 E r1 r2 a U ab 1 1 1 1 r1 r2 j L j C U ab U C IL U ab j L U C U C e jC uC t U Cm sint C uC 0 U Cm sin C , где U Cm 2 U C I L I L e j L iL t I Lm sint L iL 0 I Lm sin L 2) Коммутация ir iC i L t e ir r2 1 iC dt u C 0 C 0 (30) 0 t di 1 iC dt u C 0 L L C0 dt Поскольку стоит задача найти ток iC , то эти три уравнения путем преобразований нужно свести к одному уравнению относительно тока iC . В результате получится НДУ 2-го порядка, где аргументом будет iC . 3) iC iC iC 4) iC - ? Используя метод операторной схемы замещения можно непосредственно получить характеристическое уравнение, соответствующее ОДУ для данной цепи. Эквивалентная операторная схема замещения составляется следующим образом: 1. Активное сопротивление заменяется активным. 2. 3. 4. Источник э.д.с. закорачивается. 5. Источник тока отбрасывается. В результате операторная схема замещения нашей цепи будет иметь вид: Размыкается любая ветвь в этой схеме, и относительно образовавшихся зажимов подсчитывают эквивалентное сопротивление Z p данной схемы. Приравняв выражение к нулю, получаем характеристическое уравнение. 1 pL r p 2 LCr2 pL pC Z p r2 2 0 1 1 p 2 LC pL pC r2 p 2 LCr2 pL 0 1 1 p2 p 0 r2 C LC Находим корни: p1, 2 1 2r2 C 2 1 1 . LC 2r2 C Покажем, что характеристическое уравнение не зависит от того, какая ветвь размыкается. r2 pL r2 pL r2 p 2 LC 1 Z p pC r2 pL p C r2 pL r2 pL r2 p LC 0 1 1 p2 p 0 r2 C LC Как видим, характеристическое уравнение то же самое. В соответствии с тем, какие будут корни, записываем решение iC . Пусть корни вещественные, тогда iC A1 e p t A2 e p t . 1 2 5) iC - ? при t , т.е. при новом установившемся процессе. E U ab IC 1 r2 1 r2 1 j UC 1 C 1 j L U C U C e jC I C e j C iC t I Cm sin t C , где I Cm 2 I C 1 j C Записываем полное решение iC iC iC . iC I Cm sint C A1 e p1t A2 e p2 t diC I Cm cost C A1 p1 e p1 t A2 p2 e p2 t (31) dt 6) iC 0 - ? diC 0 - ? dt Эти условия будут называться зависимыми начальными условиями. Независимые начальные условия – это условия, связанные с законами коммутации ( i L 0 , uC 0 ). Используя значения независимых начальных условий из системы уравнений (30), находим интересующие нас зависимые начальные условия. Лекция 9 Пример: ir iC i L (32) t 1 e ir r2 iC dt u C 0 C0 (33) 0 t di 1 iC dt u C 0 L L C0 dt (34) Составим дополнительно еще одно уравнение: e ir r2 L (35) di L dt Рассмотрим уравнение (33) при t 0 : e0 ir 0 r2 0 1 iC dt u C 0 C 0 uC 0 uC 0 U C 0 e0 U C 0 ir 0 I r0 r2 Уравнение (32) при t 0 будет иметь вид: ir 0 iC 0 iL 0 iC 0 ir 0 iL 0 I r 0 I L0 I C 0 iL 0 iL 0 I L0 Дифференцируем уравнение (32): dir di L diC dt dt dt (36) Уравнение (35) при t 0 будет иметь вид: di L 0 dt di L 0 e0 ir 0 r2 diL dt L dt 0 e0 ir 0 r2 L (37) Продифференцируем уравнение (33): de dir 1 r2 iC dt dt C (38) При t 0 уравнение (38) будет иметь вид: de 0 dir 0 r2 1 iC 0 dt dt C 1 de 0 I C 0 dir C dir 0 dt dt r2 dt 0 (39) Подставляя найденные значения (37) и (39) в уравнение (36) при t 0 , получим: dir 0 diL 0 diC 0 dt dt dt diC 0 dir diL diC dt dt 0 dt 0 dt 0 (40) Зависимые начальные условия: iC 0 I C 0 diC 0 diC dt dt 0 Решая систему уравнений(31) при t 0 , получаем искомые значения коэффициентов A1 и A2 . I C 0 I Cm sin C A1 A2 diC I Cm cos C A1 p1 A2 p2 dt 0 (41) Решение найдено: iC I Cm sint C A1 e p1t A2 e p2 t Методика расчета переходных процессов классическим методом: 1. До коммутации: определяются значения iL 0 , uC 0 . 2. Коммутация: записываются уравнения по 2 закону Кирхгофа в дифференциальной форме для цепи после коммутации. 3. Нахождение свободной составляющей i . Здесь составляется операторная схема замещения, разрывается какая-либо ветвь и относительно образованных зажимов записывается эквивалентное операторное сопротивление. Оно приравнивается к нулю. Это и будет характеристическое уравнение. Находим его корни и в соответствии с видом корней записывается соответствующее решение i . 4. Нахождение принужденной составляющей i . Находим ее при t , т.е. при новом установившемся процессе. Если это цепь переменного тока, то используется символический метод с комплексными числами. Если цепь постоянного тока, то обычный метод. 5. Составляется общее решение i i i . Если необходимо составляется второе уравнение: di di di dt dt dt 6. Нахождение зависимых начальных условий: i0 , di 0 . Они находятся dt из уравнений, записанных в пункте 2, с использованием независимых начальных условий i L 0 , uC 0 . 7. Составляются уравнения: i0 i 0 i 0 di 0 di 0 di 0 dt dt dt Находятся искомые значения A1 и A2 . Таким образом, решение найдено. Лекция 10 Операторный метод расчета переходных процессов L di I jL dt d j dt 1 1 1 I j idt I C C jC 1 idt j Операторное преобразование Лапласа Если имеется функция f t действительного переменного. Эта функция на каком-то конкретном интервале a, b имеет конечное значение относительных экстремумов и имеет разрывы только 1 рода, т.е. удовлетворяет условиям Дирихле и имеет ограничения в виде f t A e at , то такая функция может иметь отображение функцией комплексной переменной. F p - функция комплексной переменной. f t F p f t e pt dt , где p j - прямое преобразование Лапласа. 0 j 1 0 f t F p e pt dp - обратное преобразование Лапласа. 2 j 0 j В дальнейшем f t будем называть оригиналом, F p - изображением (оригинала). F p f t Свойства преобразования Лапласа 1. Свойство линейности. Если f1 t F1 p и f 2 t F2 p , то 1 f1 t 2 f 2 t 1 F1 p 2 F2 p . 2. Дифференцирование и интегрирование F p , то Если f t d2 f dt 2 df dt p 2 F p p f 0 f t dt p F p f 0 . df 0 dt 1 F p p 3. Если f t A - постоянное число, то f t F p A p A 4. e at 1 pa 5. sin t p 2 2 p2 p2 2 6. cos t Законы Ома в операторной форме ur i r I p ; Если i ur uL L di dt Если i uL U r p , то U r p r I p . I p ; U L p , то U L p pL I p L i0 . A . p t uC 1 idt u C 0 C 0 I p ; Если i uC U C p , то U C p u 0 1 I p C . pC p t u r i L di 1 idt u C 0 dt C 0 В операторной форме это уравнение будет иметь следующий вид: u 0 1 I p C pC p U 1 U p L i0 C 0 I p r pL p pC U p r I p pL I p L i0 Z p Z p r pL 1 - операторное сопротивление. pC Законы Кирхгофа в операторной форме 1 закон Кирхгофа: n i 0 k 1 k Если i1 t i2 t I1 p I 2 p … … n , то на основании свойства линейности I k p 0 k 1 сумма ik t I k p … … in t операторных токов в узле равна 0. I n p 2 закон Кирхгофа: m n e u j 1 j k 1 k E1 p U1 p Если e1 t u1 t … … m , то на основании свойства линейности n E p U p . j 1 j k 1 k e j t E j p … … U k p u k t Лекция 11 Операторная схема замещения i t ur I p U r p i t I p ; u L t i t I p ; u C t U C p U C p , u 0 1 I p C pC p U L p , так как U L p pL I p L i0 Рассмотрим r L C цепь. u 0 1 I p C pC p U 1 U p L i0 C 0 I p r pL p pC U U p L i 0 C 0 p I p 1 r pL pC 0 U p r I p pL I p L i0 Z p (42) Z p r pL 1 pC Если сравним выражение (42), полученное при рассмотрении эквивалентной операторной схемы замещения, и значение I p , найденное ранее, то эти выражения одни и те же. Следовательно, просматривается два способа анализа электрической цепи операторным методом: 1. Составляются дифференциальные уравнения для анализируемой схемы, затем эти уравнения преобразуются в операторные на основе преобразования Лапласа. В результате получается решение в виде: I p M p N p 2. Составляется операторная схема замещения для исходной оригинальной схемы. Для этой эквивалентной схемы составляются уравнения по закону Ома и законам Кирхгофа. В результате получается решение в виде: I p M p N p Далее стоит задача получить оригинальное значение тока it . Это преобразование производится с помощью теоремы разложения. Теорема разложения Пусть мы получили I p M p , где M p am p am1 p n n 1 N p ... ae p e ... a1 p a0 ; N p bn p n bn1 p n1 ... bk p k ... b1 p b0 . Условия: 1) n m , т.е. дробь правильная; 2) Многочлен N p не имеет кратных корней, т.е. p1 , p2 ,..., pn - разные. В соответствии со вторым условием: N p p p1 p p2 ... p pk ... p pn , где p1 , p2 ,..., pn - корни N p . 1 , то можем записать: pa Ak An A1 A2 M p ... ... N p p p1 p p 2 p pk p pn Так как e at (43) Ставится задача найти A1 , A2 ,..., An - ? Умножим левую и правую часть выражения (43) на p pk и возьмем предел от левой и правой части при p pk . A p p k A2 p p k M p p pk A p pk A p pk lim 1 ... k ... n p pk p pk N p p p2 p pk p p n p p1 lim (44) 0 Ak 0 Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя: M ( p) p p k M ( p) Ak p pk N p M pk Ak N p k M p ; I p I p i t N p n M p k pk t it e k 1 N p k M 0 n M p k pk t Если pl 0 , то it e . N 0 k 1 N p k lim Пример: Пусть M p a1 p a0 ; N p b2 p 2 b1 p b0 M p ; it I p N p M p1 p1 t M p 2 p2 t it e e , где p1 , p 2 - корни многочлена b2 p 2 b1 p b0 0 . N p1 N p 2 a p a0 a p a0 it 1 1 e p1 t 1 2 e p2 t 2b2 p1 b1 2b2 p 2 b1 I p