§1. Множество действительных чисел и его свойства. A, B, C - множества. - пустое множество. a, b, c - элементы множества. a A - принадлежность. N Z Q R - вхождение одного множества в другое. p r , p Z,q N q - "для любого" a N a 0 - "существует, найдется" ! - единственность !1 N - "или" a b - "и" - "если, то" - "эквиваленция","необходимо и достаточно" Свойства действительных чисел : I (аксиомы сложения) Опр.1 a, b R !a b - сумма элементов a и b. Операция нахождения суммы называется сложением. 1. a, b R a b b a - коммутативность 2. a, b, c R (a b) c a (b c) - ассоциативность 3. 0 R a R a 0 0 4. a 0 R ( a ) a ( a ) 0 Сл.1 0 R - единственный . 0 R 0 R I3 I1 I3 0 0 0 0 0 0 !0 R . II . (аксиомы умножения) Опр.2 a, b R !a b - произведение элементов a и b. Операция нахождения произведения - умножение. 1. a, b R a b b a - коммутативность 2. a, b, c R (a b) c a (b c) - ассоциативность 3. 1 0 R a R a 1 a. Сл. !1 R 4. a 0 1 - обратный для a - a 1 1 a a III . (связь сложения и умножения) 1. a, b R (a b) c a c b c - дистрибутивность IV .(аксиомы порядка) Опр.3 a R (a 0) ( a 0) ( a 0) Если a 0, то ( a ) 0 1. (a 0) (b 0) a b 0 2. (a 0) (b 0) a b 0 Опр.4 a, b R a b a b 0 V . (аксиомы непрерывности) Опр.5 Отрезком a, b с концами A, B на множестве R называют мн-во точек, удовлетв. условию a c b (интервал (a, b), полуинтервал (a, b ) Опр.6 Система отрезков an , bn , n 1, 2,3... называется вложенной, т.е a1 , b1 a2 , b2 ... an , bn , если: a1 a2 ... an ... ... bn ... b2 b1 1. Система вложенных отрезков мн-ва R имеет точку, общую всем этим отрезкам. Опр.7 Система отрезков an , bn - стягивающаяся, т.е величина (bn an ) 0, если 0 n n n bn an Т. Кантера (о непрерывности мн-ва R). Вложенная система стягивающихся отрезков мн-ва R имеет общую, единственную точку для всех этих отрезков. . I1 c an , bn , n 1, 2,... Пусть d c, d an , bn , d c d c 0, n n n bn an , d c bn an , d c d c 0, d c c - единственный . Опр.8 R, элементы которого удовлетворяют аксиомам I V групп называется мн-вом действ. чисел, а элементы этого множества - действ. числами. Опр.9 Иррациональным числов называется действ. число, которое не является рациональным. Обозн: T . Q T R, Q T , R R {, } (, ) a R a , a R a , . §2. Модуль действ. числа и его свойства. Опр.1 Модулем a R ( a ) называется наибольшее a и a (1) a max{a, a} a, если a 0 (2) a a, если a 0 (3) a - расстояние от начала координат до точки изобр. число. a a Св.1 a b a b . . a a , b b , ( a b) a b a b a b . Св.2 Если a 0, b 0 или a 0, b 0 ab ab. Если a 0, b 0 или a 0, b 0 ab ab. Св.3 a b a b a b . св.1 . a b a (b) a b a b . Св.4 a c (c 0) c a c . a 0 a c, a 0 a c, a c a c a c. §3. Функция (отображение). Действительные функции. Действительные переменные и их простейшие свойства. Опр.1 Если каждому элементу x из мн-ва X ставится в соответствие по некоторому правилу и закону f ! y Y y f ( x), то говорят что на множестве X определена ф-ия y f ( x) или задано отображение f : X Y . y - образ элемента x (x - прообраз). X D( y ) - ООФ. Способы задания функций: 1. алгебраический(аналитический): y 1 . x sin x, если x 0 2. кусочно-аналитический: y 2 x 1, если 0 x 1 1 , если 1 x x 1 3. графический (нарисовать график, напр. y x ) Опр.2 f : X Y называется инъективным, если разным значениям x X соответствуют разные y Y . Опр.3 f : X Y называют сюрьективным, если y Y x y f ( x). Опр.4 f : X Y называется биективным, если оно одновременно инъективно и сюрьективно. Опр.5 Если f : X Y и g : Y Z , то g f : X Z композиция отображений или сложная функция. Опр.6 Если f : X Y - биекция, то f 1 : Y X обратное отображение или обратная функция. Причем f 1 f 1 ( f f 1 1) Опр.7 Действительной функцией действ. переменного x называется отображение из некоторого подмн-ва мн-ва действ. чисел в некоторое другое мн-во этого подмн-ва. X D ( f ), f : R X Y R, y f ( x) Опр.8 y f ( x) монотонно возрастает(убывает) в своей области определения, если x1 , x2 D ( y ) x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) Опр.9 Числовое мн-во X - симметрично относительно O, если x X ( x) X . Опр.10 y f ( x) определенная на сим. мн-ве X - четная (нечетная), если: f ( x) f ( x) (f ( x) f ( x)) Т.1 Сумма двух четных функций - функция четная, сумма четной и нечетной функций - функция нечетная. . Пусть f ( x), g ( x) - четные ф-ии. Рассмотрим f ( x) g ( x). Т.к. f ( x) f ( x) и g ( x) g ( x), то складывая равенства получим f ( x) g ( x) f ( x) g ( x). Т.е. f ( x) g ( x) - четная . Т.2 Произведение двух четных и двух нечетных функций - функция четная, произведение четной и нечетной - функция нечетная. (Доказывается аналогично) Опр.11. X называется ограниченным мн-вом если есть отрезок полностью содержащий это множество. Опр.12 y f ( x) - ограниченная, если ее Y - огр. мн-во. §4. Числовые последовательности. Предел числовой числовой последовательности. Число е. Опр.1 Отображение f : N R называется числовой последовательностью(ЧП). n xn (xn - общий член ЧП) ЧП ограничена снизу x1 . Опр.2 ЧП xn называется монотонно убывающей (возрастающей), если n N xn xn 1 xn xn 1 . Опр.3 Окрестностью точки a радиуса r 0 на числовой прямой наз-ся интервал с центром в этой точке. Обозн: U (a, r ) (a r , a r ). Проколотая окр-ть: U (a, r ) (a r , a ) (a, a r ). Опр.4 a lim xn : 0 N ( ) n N xn a . x Опр.5 Последовательность, имеющая предел наз-ся сходящаяся. Сходящиеся числовые последовательности обладают свойствами: Т.1 Если последовательность сходится, то она имеет только один предел. Т.2 Всякая сходящаяся последовательность ограничена. n Последовательность xn 1 1 - сходится и n n lim 1 1 e (число Бернулли). n x §5. Предел функции в точке. Свойства функций, имеющих предел в точке. Предел на бесконечности. Бесконечные пределы. Пусть задана f ( x) и x U ( x0 , r ) Опр.1 Число A наз-ся пределом функции в т. x0 , если: 0 ( ) 0 x U ( x0 , ) f ( x) A . §7. Арифметические операции над пределами. Утв.1 Если f ( x) C , то lim f ( x) C. x x0 Т.1 Если f ( x) имеет lim f ( x) A, а g ( x) - lim g ( x) B, то x x0 x x0 lim ( f ( x) g ( x)) A B. x x0 . Т.к. lim f ( x) A, то x U ( x0 , 1 ) f ( x) A ( x), x x0 lim ( x) 0. U ( x0 , ) 0 x x0 . Т.1 Если f ( x) имеем предел в точке, то он единственный. BA . lim f ( x) A lim f ( x) B B A 0 x x0 x x0 2 BA 1 ( ) 0 x U ( x0 , 1 ) f ( x) A и 2 BA 2 ( ) 0 x U ( x0 , 2 ) f ( x) B . 2 A B A B min{1 , 2 }, x U ( x0 , ), f ( x) . 2 2 Получили противоречие . Т.2 Если ф-ия f ( x) имеет предел в точке x0 , то f ( x) - ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки. lim f ( x) g ( x) A B . . Пусть lim f ( x) A. Тогда 1 ( ) 0 x U ( x0 , ) A B B ( x ) A ( x ) ( x) ( x) A B x), где ( x) - б.м. в т. x0 . Т.е. lim f ( x) g ( x) A B . x x0 f ( x) A 1 x x0 Т.к. lim g ( x) B, то x U ( x0 , 2 ) g ( x) B ( x ), x x0 lim b( x) 0. min{1 , 2 } x U ( x0 , ) f ( x) g ( x) x x0 A B ( x), где ( x) ( x) ( x), lim ( x) 0 x x0 x x0 Т.2 Если lim f ( x) A lim g ( x) B x x0 x x0 lim f ( x) g ( x) A B . x x0 . f ( x) A ( x), g ( x) B ( x), f ( x) g ( x) ( A f ( x)) ( B ( x)) бесконечно малая x x0 A 1 f ( x) A 1 - f ( x) - огр. в U ( x0 , ) . Сл. Постоянную (С) можно выносить за знак предела: lim Cf ( x) C lim f ( x). Т.3 Если lim f ( x) A, A 0, то существует U ( x0 , ), где Т.3 Если lim f ( x) A lim g ( x) B B 0 x x0 ф-ия сохраняет знак своего предела. . Пусть A 0, тогда A 0 ( ) 0 x U ( x0 , ) 2 f ( x) A A f ( x) A A A 0. 2 2 2 Пусть A 0, тогда A 0 ( ) 0 x U ( x0 , ) 2 f ( x) A A f ( x) A A A 0 . 2 2 2 Т.4 Если y f ( x) имеет lim f ( x) y0 , а z g ( y ) x x0 lim g ( y ) z0 , то для z g ( f ( x)) lim g ( f ( x)) z0 . y y0 x x0 Опр.2 Число A называется пределом на бесконечности, если lim f ( x) A : 0 M ( ) 0 x x M x f ( x) A . Опр.3 Предел lim f ( x) наз-ся бесконечным, если x x0 x x0 x x0 x x0 f ( x) A . x x0 g ( x ) B 1 . - ограничена в U ( x0 , ), g ( x) B B 0 ( ) x U ( x0 , ) g ( x) B . 2 2 B B 1 2 g ( x) B B g ( x) , , g ( x) , 2 g ( x) B 2 1 f ( x) A - ограничена в U ( x0 , ), g ( x) g ( x) B ( A ( x)) B A ( B ( x)) g ( x) B lim бесконечно малая x x0 M 0 ( M ) 0 x U ( x0 , ) f ( x) M . Опр.4 Бесконечный предел на бесконечности: ээ.... уу...аааа...на лекциях не давали. 1 ( x) B (c) A . Следовательно, по критерию g ( x) B f ( x) A lim . x x0 g ( x ) B §6. Бесконечно малые в точке функции и их свойства. Необходимые и достаточные условия существования Опр. ( x) - бесконечно малая (б.м.) ф-ия в точке x0 , если: §8. Предельный переход в неравенствах. lim ( x) 0 : 0 ( ) 0 x U ( x0 , ) ( x) . x x0 Т.1 Сумма двух б.м. в точке x0 ф-ий - ф-ия б.м. в точке x0 . (методом матем. индукции теорема распространяется на любое конечное число слагаемых). Т.1 Если lim f ( x) A lim g ( x) B A B , то U ( x0 , ) x x0 x x0 где f ( x) g ( x). . В силу непрерывности мн-ва R : A C B. C A 0, 1 ( ) 0 x U ( x0 , 1 ) f ( x) A C A f ( x) A C A, f ( x) C , . Пусть lim ( x) 0 lim ( x) 0 , тогда пусть B C 0, 2 ( ) 0 x U ( x0 , 2 ) g ( x) B B C 1 ( ) 0 x U ( x0 , 1 ) ( x) 2 g ( x) B ( B C ), g ( x) C , min{1 , 2 }, x U ( x0 , ) f ( x) C g ( x) . x x0 x x0 0 2 ( ) 0 x U ( x0 , 2 ) ( x) 2 min{1 , 2 } x U ( x0 , ) ( x) ( x) ( x) ( x) lim ( x) ( x) 0 . 2 2 x x0 Т.2 Произведение функции б.м. на функцию ограниченную в точке x0 - функция б.м. в точке x0 . . Пусть ( x) - б.м. в точке x0 функция, а f ( x) - огран. Тогда для f ( x) : M 0 x U ( x0 , 1 ) f ( x) M , а для ( x) : 0 2 ( ) 0 x U ( x0 , 2 ) ( x) M , min{1 , 2 }, x U ( x0 , ). Пусть g ( x) ( x) f ( x), тогда g ( x) ( x) f ( x) ( x) f ( x) M M g ( x) - б.м. в точке x0 . Т.3 Произведение любого числа б.м. функций в точке x0 функция б.м. в этой точке. Т.4 (критерий существования предела функции в точке) lim f ( x) A x U ( x0 , ) f ( x) A ( x) , где x x0 ( x) - б.м функция. . 1.(необходимость) Пусть lim f ( x) A : 0 ( ) 0 x U ( x0 , ) x x0 f ( x) A , ( x) f ( x) A, f ( x) A ( x), lim ( x) 0. x x0 2.(достаточность) Пусть x U ( x0 , ) f ( x) A ( x) lim ( x) 0, x x0 ( x) , ( x) f ( x) A, f ( x) A lim f ( x) A. x x0 . Т.2 Если x U ( x0 , ) f ( x) g ( x) ( x) lim f ( x) lim ( x) lim f ( x) lim g ( x) lim ( x) . x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 . Пусть lim f ( x) lim g ( x). Тогда 0 1 , 2 , x x0 x x0 min{1 , 2 }, x U ( x0 , ), f ( x) A , ( x) A . A f ( x) g ( x) ( x) A A g ( x) A lim g ( x) A . x x0 Т.3 (о предельном переходе в неравенствах) Если lim f ( x) A, lim g ( x) B, то: x x0 x x0 1)если f ( x) g ( x), то A B, 2)если f ( x ) g ( x ), то A B, 3)если f ( x) B, то A B, 4) если f ( x) B, то A B. Т.1 . 1) Пусть A B f ( x) g ( x) - противоречие. Т.1 2) Пусть A B f ( x) g ( x) - противоречие. 3) B g ( x), 4) B g ( x) . §9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела в точке. Пусть f ( x) определена в U ( x0 , ). Опр.1 Число A lim f ( x) наз-ся правым односторонним §12. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Пусть задана f ( x) D( y ), x0 D( y ). Опр.1 f ( x) - непрерывна в точке x0 если lim f ( x ) f ( x0 ), т.е. пределом (x x0 ), если: 0 ( ) 0 x x0 x x0 f ( x) A . Опр.2 Число A lim f ( x) наз-ся левым односторонним 0 ( ) 0 x U ( x0 , ) f ( x) f ( x0 ) . Опр.2 f ( x) - непрерывна на мн-ве X , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Т.1 Если функции f ( x) и g ( x) - непрерывны в т. x0 и g ( x ) 0, то непрерывны следующие функции. f ( x) 1) f ( x) g ( x), 2) f ( x) g ( x), 3) . g ( x) . 1) ( x) f ( x) g ( x), lim ( x) lim f ( x) g ( x ) x x0 x x0 пределом (x x0 ), если: 0 ( ) 0 x x0 x x0 f ( x) A . Т.(необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 2) ( x) g ( x) f ( x), lim ( x) lim g ( x) f ( x) x x0 x x0 x x0 lim g ( x) lim f ( x) g ( x0 ) f ( x0 ) ( x0 ). f ( x) A . x x0 x x0 f ( x0 ) f ( x) f ( x) , lim ( x) lim ( x0 ) . x x0 g ( x ) g ( x) x x0 g ( x0 ) Т.2 (о непрерывности сложной функции) Если y f ( x) - непрерывна в точке x0 , z g ( y ) - непрерывна в точке y0 f ( x0 ), то функция z g ( f ( x)) ( x) - непрерывна в точке x0 . 3) ( x) x0 x x0 f ( x ) A 0 x x0 x0 x x0 f ( x ) A lim f ( x) lim f ( x) A. x x0 2) достаточность lim ( x) g ( f ( x0 )) lim g ( f ( x)) g lim f ( x) . Пусть lim f ( x) lim f ( x) A. Пусть 0, тогда x x0 x x0 lim f ( x) lim g ( x) f ( x0 ) g ( x0 ) ( x0 ). x x0 . 1)необходимость Пусть lim f ( x) A : 0 ( ) 0 x 0 x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 . Пусть 0, z g ( x) - непрерывна в точке y0 f ( x0 ), тогда ( ) 0 y y y0 g ( y ) g ( y0 ) . А т.к. y f ( x) - непрерывна в точке x0 0 , ( ) 0 x x x0 f ( x) f ( x0 ) g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) . Следовательно z g ( f ( x)) - непрерывна в точке x0 . 1 ( ) 0 x x0 x x0 1 f ( x) A 2 ( ) 0 x x0 2 x x0 f ( x) A min{1 , 2 }, 0 x x0 f ( x) A , lim f ( x) A . x x0 §10. Первый замечательный предел. §13 Классификация точек разрыва функции одной переменной. Пусть задана f ( x) и x0 D( f ). Опр.1 Ф-ия f ( x) называется разрывной в точке x0 , если она не является в этой точке непрерывой. Т.е. lim f ( x0 ). x x0 Опр.2 Точка x0 - точка разрыва 1-го рода ф-ии f ( x), если: а) lim f ( x) A, A f ( x0 ) - точка устранимого разрыва. x x0 б) lim f ( x) lim f ( x) - точка неустранимого разрыва. x x0 x x0 h( x0 ) lim f ( x) lim f ( x) - скачок функции в точке x0 . x x0 x x0 Опр.3 Точка x0 - точка разрыва 2-го рода, если lim f ( x) x x0 или lim f ( x) не существует или бесконечен. x x0 Т. (о первом замечательном пределе). sin x Существует lim 0. x 0 x . 1) 0 x , S OBA S OBA S OCA , 2 S OBA 1 OA BK 1 R 2 sin x, S OBA 1 R 2 x, 2 2 2 S OCA 1 R 2 tg x sin x x tg x 1 x 1 2 sin x cos x cos x sin x 1, lim 1 1, x x 0 lim cos x 1: 0, ( ) 0 0 x cos x 1 x 0 1 cos x sin x 2 , lim 1 1 x 0 lim lim cos x 1 x 0 x 0 2 , sin x x , x 2 2 2 2 2 , sin x 1. x a ,b t x, sin(t ) sin t 2) - x 0, lim lim lim 1 (2) 2 x 0 t 0 t 0 t 0 t t sin x Из (1) и (2) следует, что lim 1 . x 0 x Другие замечательные пределы: tg x arcsin arctg x lim 1, lim 1, lim 1 x 0 x x 0 x 0 x x §11. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы. Т. (1 ) Существует предел lim 1 1 x e (1) - второй x x замечательный предел. Сл.1 (1 ) lim 1 x x e 1 x 0 0 lim Сл.2 0 log a 1 x x 0 x ln 1 x 1 lim 1. x 0 ln a x (2) - третий замечательный предел 0 Сл.3 0 lim x 0 ax 1 ln a x lim x 0 ex 1 1. x четвертый замечательный предел 1 x 1 Сл.4 lim x 0 x §14. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Опр.1 y f ( x) - непрерывна на a, b , если она непрерына в каждой точке a, b , в т.a - непр. справа, в т.b - слева. Т.1 Если f ( x) - непрерывна на a, b и f (a ) f (b) 0, то c a, b f (c) 0. Т.2 (первая теорема Вейерштрасса) Если f ( x) - непрерывна на a, b , то она на этом отрезке ограничена. A, B ( A B ) x a, b A f ( x) B. Т.3 (вторая теорема Вейештрасса) Непрерывная на a, b ф-ия достигает на этом отрезке своих верхних и нижних граней, которые наз-ся соответсвенно наибольшее и наименьшее значения функции на a, b . Обозн: inf f ( x) A, sup f ( x) B. пятый замечательный предел. a ,b , a, b A f ( ) min f ( x), B f ( ) max f ( x). a ,b a ,b . По Т.2 f ( x) - ограничена на a, b , т.е. A, B ( A B ) x a, b A f ( x) B. 1 Пусть f ( x) B. Рассмотрим ( x) 0. ( x) B f ( x) - непрерывна на a, b . 1 B1 0 x a, b ( x) B1 , B1 (B1 0), B f ( x) B f ( x) 1 , f ( x) B 1 B - противоречие (B B1 B1 не верхняя часть. Следовательно, f ( x) достигает своей верхней грани B, т.е. a, b f ( ) B max f ( x) . 0, B §15. Обратная функция и ее непрерывность. Т. Если f ( x) : 1) определена на a, b , f ( a ) c, f (b) d , 2) монотонно возрастает(убывает) на a, b f (a ) f ( x) f (b) f (b) f ( x) f (a ) , 3) непрерывна на a, b , то на c, d определена обратная функция f 1 ( y ), монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная на c, d . §1. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Задача 1. Написать уравнение касательной к графику функции y f ( x) в точке M 0 ( x0 , y0 ), y f ( x0 ). MM 0 K , M 1 M 0 K , x x0 x, y y0 y. Опр.1 Предельное положение секущей M 0 M при x 0 называется касательной к кривой y f ( x) в точке x0 . Рассмотрим M 0 KM . MK y y0 y, M 0 K x. y y tg tg k , k tg lim (1). x 0 x 0 x (x ) y Уравнение касательной: y y0 lim x x0 (2). x 0 x Задача 2. Тело движется прямолинейно S s (t ) из точки A. Найти мгновенную скорость тела в точке B. В момент t0 тело находилось в точке A. В момент t - в т.B. S t t0 t , s (t ) s (t0 ) S , vср , t S vмгн lim vср lim (3). t 0 t 0 t Пусть y f ( x) - определена и непрерывна в окр. точки x. Дадим x приращение x, так чтобы x x U ( x, ). y f ( x x) f ( x) - приращение функции в точке x. Опр.2 Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что x 0, наз-ся производной ф-ии f ( x) в точке x, а ф-ия - дифференцируемая y dy в точке x. lim y ( x). x 0 x dx Т. Если y f ( x) - дифференцируема в точке x0 , то она в этой точке непрерывна. y tg lim y ( x0 ). x 0 x Геометрический смысл производной: Если y f ( x) - дифференцируема в точке x0 , то к графику функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) ( y0 f ( x0 )) можно провести касательную, угловой коэффициент которой будет равен значению производной в точке x0 . y y0 y ( x0 )( x x0 ) - ур-е касательной к кривой в т.M 0 1 x x0 - ур-е нормали к кривой в т.M 0 y ( x0 ) Механический смысл производной: Производная - это скорость изменения функции в т.M 0 . y y0 §2.Два определения дифференцируемой в точке функции и их эквивалентность. Дифференциал 1-го порядка и его геометрический смысл. Опр.1 Функция y f ( x) - дифференцируема в точке x0 , если у нее в этой точке есть производная. Опр.2 Функция y f ( x) - дифференцируема в точке x0 , если ее приращение в этой точке можно представить в виде: y A x ( x0 , x) x. A не зависит от x, lim ( x0 , x) 0 (б.м.). x 0 Т. Определения 1, 2 о дифференцировании функции в точке эквивалентны. . 1) 1 2 y y lim y ( x), y ( x0 ) ( x), x 0 x x y y ( x0 ) x (x) x, A y ( x0 ) функция дифференцируема в смысле опр.2 2) 2 1 y y A x (x ) x, A (x ), x y lim lim A (x) A y ( x0 ) - производная x 0 x x 0 существует, следовательно, y f ( x) - дифференцируема в смысле опр.1 . Опр.3 Главная линейная относительно приращения аргумента часть приращения дифференцируемой ф-ии называют дифференциалом 1-го порядка или 1-м дифференциалом этой функции. y A x (x ) x, A y ( x0 ), dy A x y ( x0 ) x (2) dx x, dy y ( x0 ) dx MK y, TK y ( x0 ) x dy. Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции - это приращение точек касательной и кривой y f ( x) в точке M 0 . y dy d (x) x , f ( x) f ( x0 ) dy малое число f ( x) f ( x0 ) dy (3) (для приближенного вычисления значений функций). §3. Производные основных элементарных функций. 1) y x n , n Q. Дадим x приращение x. n x n y x x x n x n 1 1 , x n зам. x n 1 x 1 5-й предел x y nx n 1 . lim lim x 0 x x 0 x x x 2) y log a x, a 0, a 1. Дадим x приращение x. x y log a x x log a x log a 1 , x зам. x 3-й log 1 предел a y 1 x lim lim . x 0 x x 0 x x x ln a x x 3) y a , a 0, a 1. Дадим x приращение x. y a x x a x a x a x 1 , a x a x 1 предел x y lim a ln a. x x 0 x 4) y sin x. Дадим x приращение x. x x y sin x x sin x 2 cos x , sin 2 2 1-й зам. x x cos x sin y 2 2 предел lim lim cos x. x 0 x x 0 x 2 5) y cos x. Дадим x приращение x. x x y cos( x x) cos x 2sin x , sin 2 2 x x sin x sin y 2 2 lim lim sin x. x 0 x x 0 x 2 4-й зам. lim x 0 §4. Правила дифференцирования. Утв.1 Производная постоянной равна нулю: f ( x) C , y f ( x x) f ( x) C C 0, y lim 0 C 0 x 0 x Т.1 Если u ( x) и v( x) дифференцируемы в точке x, то их сумма и разность u ( x) v( x) u v (1). Т.2 Если u ( x) и v( x) дифференцируемы в точке x, то их произведение u ( x) v( x) u ' v uv ' (2). . Дадим x приращение x. u ( x) u , v( x) v, u u ( x x) u , u ( x x) u u , v v( x x) v, м( x x ) v v. Рассмотрим z u ( x) v( x). z u ( x x) v( x x) u v u v v u u v u v u v. z v u u v u v u (u v) lim lim lim x 0 x x 0 x 0 v x v u v u lim lim u v u v . x 0 x x 0 x Т.3 Если u ( x) и v( x) дифференцируемы в точке x, то их u ( x) u ' v uv ' частно (3). v2 v( x) §5. Дифференцирование обратной и сложной функции. Т.1 Если y f ( x) монотонна и дифференцируема в окр-ти точки x0 и ее производная y ( x0 ) 0, то обратная функция x f 1 ( y ) дифференцируема в точке y0 f ( x0 ) и ее 1 производная x ( y0 ) (1). y ( x0 ) . Дадим y0 приращение y. x x( x0 x) x( y0 ), x 1 1 x ( y0 ) lim lim . y 0 y x 0 y y ( x0 ) x Т.2 (о дифференцировании сложной функции). Если y f ( x) дифференцируема в точке x0 , а ф-ия z g ( y ) дифференцируема в точке y0 f ( x0 ), то сложная функция z g f ( x) дифференцируема в точке x0 и ее производная z ( x0 ) g ( y0 ) y ( x0 ) (2). . Дадим x0 приращение x. Тогда y получит приращение y f ( x0 x) f ( x0 ) y y0 , а z g ( y ) - приращение z g ( y0 y ) g ( y0 ), z y z z ( x0 ) lim lim z ( y0 ) y ( x0 ) . x 0 x x 0 y x §6. Метод логарифмического дифференцирования. v x y u ( x) . Прологарифмируем обе части, получим: ln y v( x) ln u ( x). Продифференцируем равенство: 1 1 y v ( x) ln u ( x) v( x) u ( x), y u ( x) v( x) y y v '( x) ln u ( x) u ( x) , u ( x) v( x) v x y ' u ( x) v '( x) ln u ( x) u ( x) . u ( x) §7. Производные высших порядков. Бином Ньютона. Опр.1 Второй производной или производной 2-го порядка ф-ии y f ( x) наз-ся производная ее первой производной. dy d2y n n 1 y y , y y , y y или y , y . dx dx 2 1) y a x , n y a x ln a, y a x ln 2 a, ... , y a x ln n a 2) y ln x, 1 1 1 2 1 2 3 4 y , y 2 , y 3 , y , ... , x x x x2 n 1 1 n 1! n y xn 3) y sin x, y cos x sin x , y cos x sin 2 x , 2 2 2 n ... , y sin n x 2 4) y cos x, n Аналогично пункту 3 получаем: y cos n x 2 Опр.2 Биномом Ньютона называет n-ая степень n двучлена: x a . n x a x n A1 x n 1 A2 x n 2 ... Ak x n k ... An 1 x An Продифференцируем обе части равенства: n 1 n x a nx n 1 A1 n 1 x n 2 A2 n 2 x n 3 ... Ak n k x n k 1 ... An 1 . Еще раз продифференцируем обе части неравенства: n2 n n 1 x a n n 1 x n 2 A1 n 1 n 2 x x 3 ... ... n k n k 1 Ak x n k 2 ... 2 An 2 . Дифференцируя равенство k -ый раз, получим: nk n n 1 ... n k 1 x a n n 1 ... n k 1 x n k A1 n 1 n 2 ... n k 2 x n k 1 ... Ak n k ! n-ое дифференцирование: n ! n ! An , a n An , na n 1 An 1 , n n 1 a n 2 2 An 2 ,..., n n 1 ... n k 1 a n k Ak n k ! n n 1 ! n 2 An an , An 1 na n 1 , An 2 a , 2 n n 1 n k 1 n k nk nk Ak a , Ak Cn a , n k ! n n 1 ... n k 1 n n 1 ... n k 1 Cnn k Cnk , n! n k ! n n 1 1 Cn n Cn , n 1! n 0 n 0 x a Cn x a Cnn 1 x n 1a1 ... Cnk x n k a k ... Cnn x 0 a n n x a Cnk x n k a k - бином Ньютона. n k 0 §8. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Опр. Если функции x(t ) и y (t ) непрерывны на , , ф-ия x(t ) монотонна и имеет обратную ф-ию t ( x), то сложная ф-ия F ( x) y t ( x) наз-ся параметрически заданной ф-ией. F ( x) y t ( x) - параметрически заданная ф-ия. x x(t ) (1) , t , b y y( y) Т. Если x(t ) и y (t ) дифференцируемы на некотором отрезке, то параметрически заданная функция y t ( x) диф-ма dy yt и производная ее равна y x (2) dx xt dy dy dt yt . . y x dx dx xt dt 1 y 1 y x x y xt t x y x t t y xx xt xt t xt y x x y tt t 3 tt t (3) xt §9. Основные теоремы дифференциального исчисления. п.1 Теоремы Ролля и Коши Т.1 (Ролля) Если y f ( x) : 1) определена и непрерна на a, b , 2) дифференцируема на a, b , 3) f ( a) f (b), то найдется точка с на a, b такая, что f (c) 0. Т.2 (Коши) Если f ( x) и g ( x) : 1) определены и непрерывна на a, b , 2) дифференцируемы на a, b , 3) g ( x) 0 на a, b , то существует точка c a, b , такая, что f (b) f (a ) f (c) справедлива формула: (1) g (b) g (a ) g (c) п.2 Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Т. Если f ( x) определена и непрерывна на a, b и дифференцируема на a, b , то существует точка c, такая, что справедливо: f (b) f (a ) f (c) b a (2) . Рассм. вспомогательную ф-ию F ( x) f ( x) x. F ( x) - определена и непрерывна на a, b . F ( x) - диф. на a, b , как разность диф. функций и F ( x) f ( x) . Подберем так, чтобы F (a ) F (b) F (a ) f (a ) a F (b) f (b) b, f (b) f (a ) b a f (b) f (a ), . ba При найденном для ф-ии F ( x) выполнены все условия теоремы Ролля и по ней существует т.c, в которой F (c) 0, т.е. f (c) 0, f (c). f (b) f (a ) f (c) . ba Геометрический смысл теоремы Лагранжа. KB f (b) f (a ) C c, f (c) , tg f (c) AK ba §10. Условия постоянства и монотонности функций на интервале. Т.1 Если f ( x) - диф. на a, b и f ( x) 0 на a, b , то f ( x) const ( f ( x) - постоянная) . Пусть x1 x2 и x1 , x2 a, b . Тогда на x1 , x2 выполнены все условия Т. Лагранжа, т.е существует точка c x1 , x2 f ( x2 ) f ( x1 ) f (c) x2 x1 , f (c) 0 f ( x2 ) f x1 , т.е. f ( x) const . Т.2 (условие возрастания (убывания) функции на интервале) Если f ( x) - диф. на a, b и f ( x) 0 f ( x) 0 , то f ( x) возрастает (убывает) на a, b . . (убывание) Пусть x1 , x2 - прозвольные точки принадлежащие a, b и x1 x2 . По условию f ( x) 0 x a, b , тогда на x1 , x2 для f ( x) выполнены все условия Т. Лагранжа. Следовательно, f ( x2 ) f ( x1 ) f (c) x2 x1 0, где c x1 , x2 f ( x2 ) f ( x1 ). Т.е f ( x) убывает на a, b по определению . §11. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Пусть задана y f ( x) и x0 - внутренняя точка области определения. Опр.1 В точке x0 функция f ( x) имеет максимум(минимум) при условии, что x U ( x0 , ) f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) Максимум и минимум экстремум Т.1 (необходимое условие экстремума) Если y f ( x) имеет экстремум в точку x0 , то f ( x0 ) 0 или не существует. Опр.2 Точки, в которых f ( x) 0 или не существует, называются критическими (станционарными, подозрительными) по экстремуму. Т.2 (1-ое достаточное условие экстремума) Пусть y f ( x) - диф. в окрестности критической по экстрему точке, кроме может быть самой этой точки. Тогда: 1) если при переходе черех точку x0 f ( x) меняет знак, то в точке x0 есть экстремум, а именно: а) максимум, если при x x0 f ( x) 0 и при x x0 f ( x) 0, б) минимум, если при x x0 f ( x) 0 и при x x0 f ( x) 0. . 1) (минимум) Пусть при переходе через x0 f ( x) меняет знак / , тогда по т. Лагранжа: x c x0 , f (c) 0 f ( x0 ) f ( x) f (c) x0 x 0 Значит f ( x0 ) f ( x), x0 c x, f '(c) 0 f ( x) f ( x0 ) f (c) x x0 0 Значит f ( x) f ( x0 ). Следовательно по опр.1 в т.x0 есть экстремум, а именно минимум. 2) Пусть при переходе через т.x0 f ( x) 0 постоянно, т.е x U ( x0 , ) f ( x) 0. Тогда по т. Лагранжа: x c x0 , f ( x0 ) f ( x) f (c) x0 x 0 f ( x0 ) f ( x), x0 c x, f ( x) f ( x0 ) f (c) x x0 0 f ( x) f ( x0 ). Следовательно по опр.1 экстремума в т.x0 НЕТ . Т.3 (2-ое достаточное условие экстремума) Если y f ( x) имеет f ( x) и f ( x) в U ( x0 , ) и f ( x) 0, то 1) если f ( x0 ) 0, то в т.x0 - минимум, 2) если f ( x0 ) 0, то в т.x0 - максимум. §12. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Пусть y f ( x) - непрерывна на a, b , тогда по 2-ой теореме Вейерштрасса у нее есть на этом отрезке наибольшее и наменьшее значения. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения необходимо: 1) найти критические по экстремуму точки из a, b , 2) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка a, b , 3) из полученных значений выбрать самое большое и самое маленькое. §13. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба. Пусть y f ( x) - непрерывна a, b , a x1 x2 b, A a, f (a ) , B b, f (b) , C x1 , f ( x1 ) , D x2 , f ( x2 ) . y f ( x1 ) x x1 Уравнение CD : , f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 x x1 f ( x2 ) f ( x1 ) y f ( x1 ), x2 x1 f ( x2 ) x x1 f ( x1 ) x2 x y , x2 x1 f ( x2 ) x x1 f ( x1 ) x2 x l ( x) (1) x2 x1 Опр.1 На x1 , x2 график ф-ии y f ( x) имеет выпуклость вверх (вниз), если x x1 , x2 l ( x) f ( x) l ( x) f ( x) . Т.1 Если ф-ия y f ( x) имеет f ( x) и f ( x) на a, b и f ( x) 0 f ( x) 0 , то на a, b ф-ия f ( x ) имеет выпуклость вниз (вверх). Опр.2 Точка x0 , при переходе через которую график ф-ии y f ( x) сменяет направление выпуклости, называется точкой перегиба ф-ии f ( x), а точка M 0 x0 , f ( x0 ) - точкой перегиба графика функции. Т.2 (необходимое условие перегиба) Если в точке x0 функция имеет перегиб, то f ( x) 0 или не существует. Опр.3 Точки, в которых f ( x) 0 или не существует называются критическими по перегибу. Т.3 (достаточное условие перегиба) Для того чтобы в точке x0 , критической по перегибу, ф-ия f ( x) имела перегиб, достаточно, чтобы при переходе через эту точку f ( x) меняла знак. Если f ( x) знака не меняет, значит в т.x0 перегиба НЕТ. §14. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции и построение ее графика. Опр.1 Прямая x a называется вертикальной асимптотой графика ф-ии y f ( x), если хотя бы один из односторонних пределов lim f ( x) или lim f ( x) . xa xa Опр.2 Прямая y kx b - невертикальная асимптота графика функции y f ( x), если ( x) f ( x) kx b - б.м. функция при x . Т. Если y kx b - невертикальная асимптота графика ф-ии f ( x) y f ( x), то k lim , b lim f ( x) kx (1). x x x Полное исследование функции и построение графика проводится по следующей схеме: 1. Находим ООФ и вертикальные асимптоты. 2. Точки пересечения графика функции с осями координат. 3. Четность, нечетность, периодичность функции. 4-5. Промежутки монотонности, выпуклости, экстремумы и перегибы. 6. Невертикальные асимптоты графика функции. 7. Построение графика. §15. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя. п.1 0 , первое правило Лопиталя . 0 Т.1 Если f ( x) и g ( x) : 1) определены и непрерывны на a, b , 2) существует предел lim f ( x) lim g ( x) 0, xa xa 3) g ( x) 0 на a, b , f ( x) 4) существует lim K, x a g ( x ) f ( x) тогда существует lim K. x a g ( x) п.2 , второе правило Лопиталя Т.2 Если f ( x) и g ( x) : 1) определены и непрерывны на a, b , 2) существует предел lim f ( x) lim g ( x) , xa xa 3) g ( x) 0 на a, b , f ( x) 4) существует lim K, x a g ( x ) f ( x) тогда существует lim K. x a g ( x) п.3 Раскрытие неопределенностей 1 , 0 , 0 g ( x) g ( x) lim f ( x) , y f ( x) , §1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Опр.1 Диф. функция F ( x) называется первообразной для ф-ии f ( x), если F ( x) f ( x). Т.1 1) Если ф-ия F ( x) - первообразная для f ( x), то ф-ия F ( x) C также является первообразной для f ( x). 2) Если F ( x) и ( x) - первообразные для f ( x), то разность F ( x) ( x) C (постоянная) . 1) F ( x) f ( x), F ( x) C f ( x) F ( x) C - первообразная для f ( x), 2) Пусть ( x) - первообразная для f ( x) F ( x) ( x) f ( x) f ( x) 0 по условию постоянства функции это означает, что F ( x) ( x) C , F ( x) ( x) C . Опр.2 Множество всех первообразных функции f ( x) есть неопределенный интеграл от этой функции. Обозн: f ( x) dx F ( x ) X , F '( x) f ( x) (1) подынтегральное выражение Геометрический смысл неопределенного интеграла: xa ln y g ( x) ln f ( x), lim ln y K lim f ( x) eK xa x a Неопределенности вида , 0 сводятся к неопределенностям 0 или с помощью 0 алгебраических преобразований. g ( x) Свойства неопределенных интегралов : 1. d f ( x)dx f ( x )dx . По опр.1 f ( x)dx F ( x) C , где F ( x) f ( x), d f ( x)dx d F ( x ) C f ( x )dx . 2. d F ( x) F ( x) C 3. f1 ( x) f 2 ( x) dx f1 ( x)dx f 2 ( x )dx (2) . Пусть F1 ( x) f1 ( x), F2 ( x) f 2 ( x), тогда f1 ( x)dx F1 ( x) C , f 2 ( x)dx F2 ( x) C , F1 ( x) F2 ( x) - первообразная для f1 ( x) f 2 ( x ). По определению: f1 ( x) f 2 ( x) dx F1 ( x) F2 ( x) C , f ( x)dx f ( x)dx F ( x) F ( x) C C 1 2 1 2 f1 ( x) f 2 ( x) dx f1 ( x )dx f 2 ( x)dx . 4. Cf ( x)dx C f ( x ), C const (доказывается аналогично свойству 3). §2. Таблица основных интегралов. x n 1 dx C , n 1 2. ln x C n 1 x x a 3. a x dx C , e x dx e x C ln a 4. sin xdx cos x C 5. cos xdx sin x C dx dx 6. tg x C 7. ctg x C 2 cos x sin 2 x dx x dx 8. arcsin C , arcsin x C a a2 x2 1 x2 dx 1 x dx 9. 2 arctg C , arctg x C a a x2 a 1 x2 dx 1 xa 10. 2 ln C xa x a 2 2a dx 2 11. ln x x a 2 C x2 a2 1 . 1. 1) x 0, ln x C ln x C , x 1 2) x 0, ln x C ln( x) C . x x 1 1 1 a2 1 1 9. arctg C 2 a a 1 x2 2 a2 a2 x2 a2 x2 a a 11. 1) x x 2 a 2 0, 1 2x ln x x 2 a 2 C 1 x x2 a2 2 x2 a2 2 2 1 x a x 1 , x x2 a2 x2 a2 x2 a2 2 2 2) x x a 0, 1 2x ln x x 2 a 2 C 1 2 x2 a2 x x2 a2 1. x n dx x a x 1 1 x a x a x x a 2 2 2 2 2 2 2 2 . §3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Т. Если u ( x) и v( x) - диф. и существует интеграл vdu , то существует интеграл udv uv vdu . По правилу дифференцирования произведения: d u v u dv v du , d u v udv vdu , u v udv vdu , udv u v vdu . Рекурентная формула: 1 n 2 x u 2 , du 2 dx dx ( x a2 ) ( x a 2 ) n 1 In 2 2 x a dv dx, v x x x 2 dx x 2n n n 1 n x2 a2 x2 a2 x2 a2 dx dx dx 2n 2na 2 , I n 1 , n n 1 n 1 x2 a2 x2 a2 x2 a2 I n 1 x 2na 2 x 2 a 2 n 2n 1 I n (2) 2na 2 §4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Т. (о замене переменной) Если F ( x) - первообразная ф-ии f ( x) на множестве X и x (t ) - дифференцируемая функция, значение которой принадлежит мн-ву X , то ф-ия F ( (t )) - первобразная для ф-ии f ( (t )) (t ) и интеграл f ( (t )) (t )dt f ( x)dx , ф-ия x (t ) называется подстановкой. . Пусть f ( x)dx F ( x) C. Покажем, что F ( (t )) F ( (t )) (t ) f ( (t )) (t ), f ( (t )) (t )dt F ( (t )) C F ( x) C f ( x)dx . §5 Интегрирование рациональных функций. п.1 Интегрирование простейших рациональных функций. Опр.1 Рациональной функцией называется отношение двух многочленов P ( x) f ( x) m , где Pm ( x) - многочлен степени m, Qn ( x) m Pm b0 x b1 x m 1 ... bm 1 x bm , b0 0, Qn ( x) - многочлен степени n с C 1 перед x n , Qn ( x) x n a1 x n 1 ... an 1 x an . Если m n, то f ( x) - неправильная рациональная функция, а если m n, то f ( x) - неправильная рациональная (дробно-рациональная) функция. Опр.2 Простейшими рациональными функциями называются правильные рациональные функции следующих видов: A A I. m N m 1 A, a R II. m xa x a 2 Bx C Bx C p III. 2 q 0 IV. p, q, c R, m 4 x px q x 2 px q A d ( x a) I. dx A A ln x a C. xa xa A dx d ( x a) A II. dx A m x a m A x a m 1 m x m1 C. x a p p2 p2 III. Преобразуем x 2 px q x 2 2 x q 2 4 4 2 2 2 p p p p 2 2 x q , t x , a q , x px q t 2 a 2 2 4 2 4 B tp C 2 Bx C x t p , dx dt 2 dx dt 2 x px q t 2 a2 Bp C tdt dt B 2 arctg t B 2 C Bp 2 ln t 2 a 2 2 2 a a t a2 t a2 C Bp x p B 2 arctg 2 C. C 1 ln x 2 px q 2 2 2 q p q p 4 4 B tp C 2 Bx C tdt IV. dx dt B c Bp m m m 2 x 2 px q t 2 a2 t 2 a2 dt B dt Bp 2 2 ln t a C 0 далее m m 2 2 t 2 a2 2 t a2 используем рекурентную формулу и возвращаемся к подстановке. п.2 Интегрирование правильных рациональных функций. P ( x) f ( x) m , m n, Qn ( x) x n a1 x n 1 ... an 1 x an , Qn ( x) a1 - кратности 1 , a2 - кратности 2 , 1 1i - кратности s1 . s Это означает, что Qn ( x) делится на x 2 p1 x q1 , 1 2 2 i - кратности s2 . Тогда Qn ( x) делится на x 2 p2 x q2 , 1 2 1 2 n, тогда s2 Qn ( x) x a1 1 x a2 2 x 2 p1 x q1 s1 x p x q . s2 2 2 2 Т.1 Правильная рациональная функция вида Pm ( x) x a1 x a2 1 A2 2 1 2 1 Ps2 x Ls2 2 1 2 B1 2 ... s1 1 M s1 x N s1 x 2 p1 x q1 s2 2 B2 x a1 x a2 x a1 x p x q 2 A1 ... 1 1 M 1 x N1 x p x q x p x q s1 A1 x a1 1 ... 2 1 x a2 P1 x L1 x p x q 2 2 1. ax 2 bx c не имеет действительных корней. () ax 2 bx c x a t - 1-ая подстановка Эйлера. ax 2 bx c ax 2 2 x at t 2 , x b 2t a t 2 c, B 2 x a2 ... s2 , где A1 ,..., A1 , B1 ,..., B 2 , M 1 ,..., M s1 , N1 ,..., N s1 , P1 ,..., Ps2 , x 2 p2 x q2 L1 ,..., Ls1 - неопределенные коэффициэнты (метод неопределенных коэффициентов). Т.2 Правильная рациональная функция имеет первообразные, которые выражены через правильные рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. п.3 Интегрирование неправильных рациональных функций P ( x) R ( x) f ( x) m , m n, f ( x) f1 ( x) m n , Qn ( x) Qn ( x) прав. рац. ф-ия Rm n ( x) f ( x)dx f ( x)dx Q ( x) dx . 1 n метод неопр. коэф. п.4 Метод Остроградского P ( x) f ( x) m , m n, Qn ( x) Qn ( x) x a1 1 x a2 2 x 2 p1 x q1 1 2 s1 s2 n, s1 x p x q , где s2 2 2 2 Pm ( x) P ( x) P2 ( x) dx 1 dx (1) где Qn ( x) Q1 ( x) Q2 ( x) метод неопр. коэф. Q1 ( x) x a1 1 x a2 2 x 2 p1 x q1 x 2 p2 x q2 Q ( x) Q2 ( x) n , P1 ( x) и P2 ( x ) - многочлены в степени на 1 меньше Q1 ( x) чем Q1 ( x) и Q2 ( x) соответственно. Продифференцируем формулу (1): 1 s1 1 1 s2 1 Pm ( x) P1 Q1 PQ 1 1 . 2 Qn ( x) Q1 ( x) x 2 t c 2 b 2t a , dx 2bt 2t 2 a 2c a b 2t a 2t b 2t a t 2 c 2 a 2 dt , b 2t a 2 ax 2 bx c at 2 c a b 2t a t bt at 2 c a dt , тогда R x, ax 2 bx c dx b 2t a t 2 c bt at 2 c a 2bt 2t 2 a 2c a R , dt 2 b 2t a b 2t a b 2t a 2. ax 2 bx c a x x1 x x2 , x1 , x2 - корни. 2 a x x1 x x2 2 dx R x, ax bx c dx R x, x x1 a x x2 dx. R x, x x1 x x1 a x x2 2 a x x2 t , t ( ) - 2-ая подстановка x x1 x x1 x t 2 ax2 xt 2 x1t 2 ax ax2 , x t 2 a x1t 2 ax2 , x 1 2 , t a x1t 2 ax2 x1t 2 ax1 a x1 x2 x x1 , t2 a t2 a 2 2 2 x1t t a 2t x1t ax2 2ta x2 x1 dx dt dt , 2 2 t 2 a t 2 a a x x2 R x, x x1 x x1 dx x t 2 ax a x x tx x 1 2 1 2 2a 1 2 , t 22 dt - рациональное 2 t a t a t a выражение. §8 Вычисление интегралов вида Pn ( x) ax bx c dx 2 Pn ( x) 2 ax b ax b R x, n . - рациональное выражение от x и n cx d cx d ax b ax b Подстановка t n tn , ct n x dt n ax b, cx d cx d n 1 n dn t ct a cn t n 1 b dt n b dt n x n , dx dt 2 ct a ct n a nt n 1 d ct n a c b dt n ct a n 2 dt nt n 1 bc ad ct a n 2 dt , b dt n n 1 bc ad ax b R x, n cx d dx n R ct n a , t t ct n a 2 dt. R x, ax 2 bx c n 1 2 2 - неизвестный коэффициент, ax b R x, cx d dx n dx ax bx c dx P ( x) ax bx c ax bx c (1), §6 Вычисление интегралов вида: Pn 1 ( x) - многочлен степени n 1 с неопр. коэффициентами. Дифференцируем формулу, чтобы получить Pn ( x) P ( x) 2ax b Pn ( x) Pn1 ( x) ax 2 bx c n 1 ax 2 bx c 2 ax 2 bx c , ax 2 bx c 2 Pn ( x) 2 Pn1 ( x) ax 2 bx c Pn 1 ( x ) 2ax b 2 , xn x n 1 ... (n 1) уравнения с (n 1) неизвестными () 0 x Решение системы уравнений () в (1), в которой последний интеграл - табличный. §7. Интегрирование выражений вида . Подстановка Эйлера. §9 Интегрирование тригонометрических функций. п.1 Вычисление cos x cos xdx, sin x sin xdx, sin x cos xdx Преобразуем подынтегральные функции: cos x cos x 1 cos ( ) x cos ( ) x , 2 sin x sin x 1 cos ( ) x cos ( ) x , 2 sin x cos x 1 sin ( ) x sin ( ) x , 2 далее вычисления сводятся к табличным интегралам. п.2 Вычисление sin m x cos n xdx, m, n Q 1) m 2k 1 (нечетное), тогда m n 2k n sin x cos xdx sin x sin x cos xdx t cos x k 1 cos 2 x cos n x sin xdx 1 t 2 t n dt dt sin xdx 2) n 2k 1 (нечетное), тогда sin m x cos 2 k 1 dx рац. выражение sin x cos x cos xdx 1 sin x sin x cos xdx t sin x k 1 t 2 t m dt - рац. выражение от t dt cos xdx 3) m 2k , n 2 s (четные), тогда k s 2k 2s sin x cos xdx 1 2k s 1 cos 2 x 1 2 cos 2 x dx, далее см. п.1,2,3. п.3 Вычисление R sin x, cos x dx. Универсальная тригонометрическая подстановка. x 2dt t tg (), x 2 arctg t , dx , 2 1 t2 2 tg x x x x x 2 2t , sin x 2 sin cos 2 tg cos 2 2 2 2 2 1 tg 2 x 1 t2 2 2 x x x 1 t cos x cos 2 sin 2 cos 2 x 1 tg 2 2 2 2 1 t2 2t 1 t 2 2dt R sin x, cos x dx R , . 2 2 2 1 t 1 t 1 t m 2k k 2 m §10. Определение интеграла по Риману. Ограниченность интегрируемой функции. Пусть f ( x) определена на a, b . Разобьем a, b на частичные отрезки с помощью точек деления. Обозн. разбиения: : a x0 x1 ... xk ... xn b, Длина k -го отрезка xk xk 1 xk , k 0,1, 2,..., n 1 , На каждом отрезке выберем точку Ck xk , xk 1 , тогда n 1 f (Ck )xk f (C0 )x0 f (C1 )x1 ... f (Cn 1 )xn 1 , k 0 max xk - диаметр разбиения , k Опр. Конечный предел интегральных сумм при 0, не зависящий ни от разбиения отрезка a, b на частичные отрезки, ни от выбора точек Ck , называется определенным интегралом от a до b ф-ии f ( x), а сама ф-ия - интегрируемой b на a, b . lim f ( x) dx (2) 0 a Утв.1 Если ф-ия f ( x) интегрируема на a, b , то она на этом отрезке ограничена. Утв.2 Если f ( x) - неотрицательная и интегрируемая на a, b , b то f ( x)dx S aABb (площади криволинейной трапеции, a ограниченной сверху графиком f ( x), снизу - осью абсцисс, и прямыми x a, x b. §11. Верхняя и нижняя интегральные суммы и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции по Риману. Пусть задана f ( x), x a, b . Разобьем a, b : a x0 x1 .. xk ..xn b, Длина k го отрезка xk xk 1 xk , Обозначим mk : inf f ( x), M k : sup f ( x), xk , xk 1 xk , xk 1 n 1 s mk xk k 0 (1) n 1 S M k x k 0 (1) - нижняя и верхняя интегр. суммы Дарбу, n 1 Ck xk , xk 1 , () s S , f (Ck ) xk k 0 Св.1 Если к фиксированному разбиению добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может только увеличиться, а верхняя только уменьшиться. Св.2 Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней, даже если эти суммы отвечают разным разбиениям. Добавим к новые точки ( 0), s1 , s2 ,..., sn - монотонно возрастает, sn Si , S1 , S 2 ,..., S n - монотонно убывает, S n si , I sup sn , I inf S n , s I I S Т. (необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману) Для того чтобы органиченная на a, b ф-ия f ( x) была интегрируема на a, b по Риману необходимо и b достаточно: lim S s 0 lim s lim S f ( x) dx 0 0 0 a §12. Свойства неопределенного интеграла. a a a b b b Св.1 f ( x)dx 0 Св.2 f ( x) dx f ( x)dx a b b a a Св.3 f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx a b b a a Св.4 Cf ( x)dx C f ( x )dx (C - постоянная) b c b Св.5 если a c b, то f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a a (аддитивность определенного интеграла) b b a a c Св.6 Если f ( x) g ( x), то f ( x)dx g ( x)dx Св.7 Если f ( x) - интегрируема на a, b , то f ( x) b b a a интегрируема на a, b , то f ( x)d x f ( x) dx Св.8 Если f ( x) - интегр. на a, b и m f ( x) M , то b m b a f ( x)dx M b a a Теорема о среднем для опр. интеграла. §13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Основная формула интегрального исчисления. Пусть f ( x) опр. и огран. на a, b . Возьмем xk так, что a x b, на a, x - f ( x) интегрируема. x (1) F ( x) f ( x)dx - интеграл с перем. верхний пределом a Св.1 Если f ( x) интегр. на a, b , то F ( x) - непр. на a, b . . Зафикс. x a, b , дадим x приращение x, x x x a a F ( x) F ( x x) F ( x) f ( x)dx f ( x)dx x x x x x x a x a x x x f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, f ( x)dx M x, По усл. m f ( x) M (св.8), mx 1 разделим на x : x x x x x x f ( x) dx , m M , x f ( x)dx x, F ( x) x, x 0, F ( x) 0 x F ( x) - непрер. в точке x . Св.2 Если f ( x) - непр. на a, b , то F ( x) - диф. функция, x F ( x) f ( x), f ( x)dx f ( x) a . Фикс. x, даем приращение x, F x, m M , по т. о среднем для непр. ф-ии f ( x) сущ. точка c x, x x , такая что f (c ) f ( x ) f (c )x, F F ( x) lim lim f (c) f ( x), x 0 x x 0 x f ( x)dx f ( x) . a x Сл. Непр. на отрезке ф-ия f ( x) всегда имеет первообразную, одной из которых является интеграл с переменным верхним пределом. Т. (Основная формула интегрального исчисления, ф. Ньютона-Лейбница) b Если f ( x) - непр. на a, b , то f ( x) dx (b) ( a), a где ( x) - какая-нибудь первообразная f ( x), b f ( x)dx (b) (a) ( x) b a (2) a x . ( x) - первообр. f ( x), F ( x) f ( x)dx - первобр. f ( x) a x b a a ( x) f ( x)dx C , (a ) C , f ( x) dx ( a ), b f ( x)dx (b) (a) . a §14. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Т. Если u ( x) и v( x) - диф. на a, b , то b b udv uv vdu b a a a §15. Замена переменной в определенном интеграле. Т. Если f ( x) - интегр. на a, b и x (t ) - диф. на , , где ( ) a, ( ) b, то b b a a f ( x)dx f (t ) (t )dt §16. Вычисление площадей в прямоугольной декартовой системе координат. Рассм. плоскую фигуру ограниченную сверху графиком ф-ии y f ( x) - непр. на a, b , а снизу - y g ( x ) непр. на a, b . Разобъем a, b : : a x0 x1 ... xk ... xn b, xk xk 1 xk , k 0,1,..., n 1 , max xk , k mk min f ( x), M k max f ( x), mk min g ( x), xk , xk 1 xk , xk 1 xk , xk 1 M k max g ( x). xk , xk 1 Рассм. ступенчатую фигуру F из прямоугольников с осн. xk и высотами hk mk M k . n 1 n 1 n 1 F ABCD, S ( F ) mk M k xk mk xk M k xk k 0 k 0 k 0 s f Sg , рассм. ступенчатую фигуру F1 из прямоугольников с осн. xk и высотами hk M k mk . n 1 S ( F1 ) x M k mk S f s g k 0 Опр.1 Если lim S ( F ) lim S ( F1 ), то плоская фигура ABCD 0 0 называется квадрируемой, а общее значение этих пределов называется площадью фигуры ABCD. b b 0 0 a a b 0 0 a Из равенств () и ( ) фигура ABCD - квадрируемая и b площадь ее в дек. пр. с.к S f ( x) g ( x) dx (2) a §17. Вычисление площадей в полярной системе координат. x r sin Формулы перехода из пол. в дек. с.к. , y r cos Рассм. плоскую фигуру в пол. с.к. ограниченную 2-мя лучами и графиком непр. на a, b функции r (0 ). Разобъем 0 1 ... k k 1 ... n . Обозначим: mk min r ( ), k ,k 1 M k max r ( ). Рассмотрим круговые сектора, опирающиеся на k ,k 1 углы k и ограниченные дугами окружности радиуса mk . Площадь каждого кругового сектора Sсек 1 R 2 d , 2 1 n 1 s mk2 k - нижняя сумма Дарбу для ф-ии 1 r 2 ( ). 2 2 k 0 Рассмотрим круговые сектора, опирающиеся на углы k и ограниченные дугами окружности радиуса M k : 1 n 1 S M k2 k - верхняя сумма Дарбу для ф-ии 1 r 2 ( ), 2 2 k 0 lim s lim 1 0 0 n 1 m 1 r ( )d , lim S 1 r ( ) d . 2 2 2 2 k k 0 2 k 0 2 0 0 S 1 r ( )d (1) - ф. для вычисления площади в пол. с.к 2 2 k 0 n 1 L 0 2 2 n 1 lim L lim 0 2 x (c) y (c1 ) tk 2 k 0 2 x (t ) y (t ) dt 2 x (t ) y (t ) dt (2) l 2 2 2 Ф.(2) - длина кривой, заданной параметрически. Если кривая задана в полярной с.к уравнением r r ( ), причем , x r cos r ( ) cos , y r sin r ( ) sin , то: x r ( ) cos r ( ) sin , y r ( ) sin r ( ) cos , 2 2 2 x y r ( ) cos 2 2r ( ) r ( ) cos sin 2 2 r ( ) sin r ( ) sin 2 2r ( ) r ( ) sin cos 2 2 2 r ( ) cos r ( ) r ( ) , b l r ( ) r ( ) d (2) 2 2 a Если кривая задана функцией y f ( x), a x b, то b x x 2 2 2 l x y dt 1 y dx (3) y f ( x) a §20. Площадь поверхности вращения. Пусть кривая l , заданная параметрическими уравнениями x x(t ) l: , t , вращается вокруг оси Ox . Площадь y y (t ) поверхности вращения 2 y (t )dt , тогда: 2 y (t ) x y dt (1) ф. поверхности вращения 2 2 Частные случаи: b x x 2 а) l : , a b b, 2 y 1 y dx (2) y f ( x) a б) r r ( ), , , y r sin r ( ) sin . Кривая вращается вокруг полярной оси. Совместим дек. с пол. с.к. и подставим y в (1): 2 r sin r 2 r d (3) 2 §18. Объем тела вращения. Рассм. тело V , обладающее следующими свойствами: 1) расположено по одну сторону от плоскости 2) в сечении тела плоскостями, параллельными пл-ти , лежат квадрируемые фигуры. 3) площадь сечения, проведенного на расстояние x от пл-ти , пл-тью парал. - непр. ф-ия S ( x). 4) Если S ( x2 ) S ( x1 ), то проекция фигуры с площадью S ( x2 ) на пл-ть содержит проекцию фигуры с с площадью S ( x1 ) на пл-ть . Опр.1 Пространственное тело, обладающее св-ми 1-4 называется регулярным. Т.1 Регулярное тело кубируемое и объем го вычисляется b по формуле V S ( x)dx, где S ( x) - площадь сечения, a проведенного на расстоянии x от пл-ти , a - наименьшее расстояние от тела до пл-ти , b - наибольшее расстояние от тела до пл-ти . Т.2 Если тело V получено вращением криволинейной трапеции ограниченной сверху графиком ф-ии y f ( x), f ( x) 0, а снизу отрезком a, b вокруг оси Ox , то его b объем V f ( x) dx (2) 2 a . Покажем, что тело V - регулярное. 2 x a, b , S ( x) r 2 f ( x) непр. ф-ия от x, Все условия (1-4) выполнены V - регулярное тело, Тогда по ф.(1): y f ( x), f ( x) 0, a x b, b V f ( x) dx . 2 a Сл. Если криволинейная трапеция вращается вокруг Oy , то объем полученного тела вычисляется по формуле: b V 2 x f ( x)dx (3) a 2 x (c) y (c1 ) tk , k 0 lim S ( F1 ) lim S f lim sg f ( x) f ( x) dx ( ) 0 k 0 x xk yk верхняя грань называется длиной кривой: sup L l xk xk 1 xk x (c ) tk , c tk , tk 1 , yk yk 1 yk y (c1 ) tk , c1 tk , tk 1 , f ( x) g ( x) dx () n 1 Опр.1 Если множество длин, вписанных в кривую l , ограничены сверху, то кривая l - спрямляющаяся, а a b n 1 длина кривой L M k M k ! 0 lim S ( F ) lim s f lim S g f ( x) dx g ( x) dx 0 §19. Спрямляемая кривая и ее длина. Вычисление длины кривой. Рассм. кривую l заданную параметрическим уравнением: x x(t ) , ограниченную t , y y (t ) Начало - A x( ), y ( ) , конец - B x( ), y ( ) . Предположим, что x (t ) и y (t ) - непрерывны. Разобьем : t0 ... tk tk 1 ... tn , tk tk 1 tk , xk x tk , xk 1 x tk 1 , xk xk 1 xk , yk y tk , yk 1 y tk 1 , yk yk 1 yk , впишем ломанную в кривую l , max tk , §21. Применение определенных интегралов к решению физических задач. п.1 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоских кривых. Опр.1 Статическим моментом материальной точки отн-но неперсекающей ее прямой называется произведение массы этой точки на расстояние от точки до прямой: Sl m r Опр.2 Статическим моментом системы матер. точек отн-но k прямой l наз-ся сумма произведения масс этих точек на i 1 расстояния. k m k m r m r ... m r , S 1, m l i 1 b i i 1 1 2 2 k k 1 y dx, масса m S - площадь, применим разбиение 2 a : a x0 x1 ... xk ... xn b, xk , xk 1 n 1 n 1 k 0 k 0 y ( xk )lk S y y ( xk 1 )lk , mk lk S x M k lk , n 1 n 1 m l y l M l , k 0 k k k 1 k k k k 0 S x y 1 y dx (1) - относительно Ox , 2 a b S y x 1 y dx (1 ) - относительно Oy , 2 a b l x 1 y dx, y 1 2 a b l y 1 y dy (2) 2 a координаты центра тяжести п.2 Статические моменты и координаты центра m 1 S x, y 1, S x l dy y , S x l ydy lm 2 , 2 0 b b 2 y 2 dx (1), S y xydx (2), y S S x , x S S y , S xydx , y 1 a b x 1 a a b a 2S y 2 dx a п.3 Теорема Гульдина C x , y , l 2 y , y 1 b l y 1 y dx, 2 a b 2 yl 2 y 1 y dx, 2 yl - 1-ая т. Гульдина 2 a Т.1 Площадь поверхности, которая получается при вращении плоской прямой вокруг непересекающей ее прямой равна длине кривой на длину окружности которую описывает центр тяжести кривой. b V y 2 dx, y 1 a b 2S a b y 2 dx, 2 yS y 2 dx, a V 2 yS - 2-ая т. Гульдина Т.2 Объем тела, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг непересекающей ее прямой произведение площади фигуры на длину окружн-ти, которую описывает центр тяжести фигуры. a то он сходящийся и называется несобств. интегралом 1-го рода. Если (1) бесконечен или не сущ. , то он расходится. Если f ( x) опр. на -, a и интегр. на любом a, b , где a a b a, то f ( x)dx lim f ( x)dx (2) - несобств. 1-го рода. b 0 b 0 (3) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx lim f ( x)dx b 0 b c lim f ( x)dx для сходимости необходима и достаточна 0 сходимость (1) и (2). п.2 Несобств. интегралы 2 - го рода и их сходимость Пусть f ( x) опр. на a, b , неогр. в точке b и огр. на любом a, c где, c b. Зададим 0 и рассмотрим a, b : b f ( x)dx lim f ( x)dx (1) - несобств. 2-го рода. 0 a a Если предел (1) сущ. и конечен, то интеграл сходится, если предел (1) не сущ. или бесконечен, то - расходится. Пусть f ( x) опр. на a, b и интегрируема на любом c, b , c a и неогр. в точке a. b Опр.3 Центром тяжести плоской материальной фигуры наз-ся точка c x, y такая, что если в этой точке сосредоточить всю массу плоской кривой, то статические моменты т. C относительно координат осей будут равны стат-м моментам всей плоской кривой относительнно тех же осей. S x (c ) S x , S y (c ) S y , S x (c ) l y , S y (c ) l x, Sx 1 b b b k b x 1 Опр.1 f ( x)dx lim f ( x)dx (1) . Если интеграл (1) конечен, c mk min f ( x), M k max f ( x), mk lk S x M k lk , xk , xk 1 §22. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. п.1 Несобственные интегралы 1 - го рода и их сходимость Пусть f ( x) опр. на луче a, и интегр. на любом a, b , где b a. b f ( x)dx lim f ( x)dx (2) - несобств. 2-го рода. 0 a a Если предел (2) конечен, то интеграл сходится, если бесконечен или не сущ., то расходится. Пусть f ( x) неогр. в точке c, причем a c b, тогда несобств. интеграл 2-го рода от неогр. функции: b c b b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx lim f ( x)dx a a c 0 a b lim f ( x)dx (3) 0 c Для сходимости несобств. интеграла (3) необходима и достаточна сходимость несобств. интегралов (1),(2).