ОГЛАВЛЕНИЕ
Аннотация .................................................................................................................. 2
1.
Основные механизмы полимерного вытеснения .......................................... 2
2.
Математическое описание процесса вытеснения ......................................... 4
3.
2.1.
Основные предположения и уравнения ................................................... 4
2.2.
Учет влияния концентрации полимера на вязкость раствора ............... 9
2.3.
Построение решения задачи Римана ...................................................... 10
2.4.
Реализация в MRST изменения вязкости с концентрацией ................. 14
Адсорбционный процесс при полимерном вытеснении ............................ 16
3.1.
Качественное и количественное описание механизма адсорбции ..... 16
3.2.
Реализация механизма адсорбции в MRST ........................................... 22
3.3.
Снижение проницаемости в ходе адсорбции ........................................ 23
3.4.
Недоступное поровое пространство....................................................... 26
4.
Моделирование неньютоновских свойств ................................................... 27
5.
Практическая часть ........................................................................................ 29
АННОТАЦИЯ
Закачка
ПАВ и полимеров, отдельно или
в комбинации, является
распространенным и эффективным физико-химическим методом увеличения
нефтеотдачи (ФХМУН). В данной работе рассмотрены основные физические
механизмы процесса вытеснения нефти полимерными растворами и показана,
реализация
математических
моделей
течения
полимера
с
использованием
дополнительного модуля к MATLAB – Reservoir Simulation Toolbox (MRST). В
работе рассматривается так называемая композиционная модель, при построении
которой предполагается, что ПАВ и полимер переносятся только в водной фазе, а
также адсорбируются на поверхности пористой матрицы. Углеводородные фазы
описываются стандартными трехфазными уравнениями модели «black oil».
Полученные модели также учитывают такие особенности как химическая
адсорбция,
недоступное
поровое
пространство,
снижение
проницаемости,
эффективная вязкость полимерного раствора, изменение капиллярного давления,
изменение относительной фазовой проницаемости и так далее.
1. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ПОЛИМЕРНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ
При полимерном заводнении водорастворимые полимеры добавляются в
закачиваемую воду, чтобы уменьшить ее подвижность и, следовательно, улучшить
как коэффициент вытеснения, так и коэффициент охвата заводнением. Полимер
представляет собой химическое соединение, состоящее из повторяющихся
структурных единиц, называемых мономерами, соединенных между собой
ковалентными химическими связями. В результате связи мономеров образуются
соединения с большой молекулярной массой. Существуют два ключевых типа
полимеров: биополимеры, такие как ксантановая камедь (полисахарид), и
синтетические полимеры, такие как частично гидролизованные полиакриламиды,
которые состоят из синтетических эластичных прямых цепочек акриламидных
мономеров.
Основной механизм полимерного заводнения заключается в том, что
растворенные молекулы полимера увеличивают вязкость раствора, что позволяет
2
улучшить коэффициент вытеснения за счет улучшения соотношения подвижностей
между нефтью и вытесняющей жидкостью. Повышенная вязкость также снижает
тенденцию
нагнетаемой
воды
к
прохождению
через
зоны
с
большей
проницаемостью. Иначе говоря, происходит выравнивание фронта вытеснения, и
вода не прорывается с той же скоростью в виде так называемых «вязких пальцев» к
добывающей скважине по высокопроницаемым участкам пласта.
Полимер может адсорбироваться на поверхности пористой среды коллектора,
что приводит к снижению пористости и проницаемости пласта. Кроме того,
разбавленный раствор полимера в большинстве случаев является псевдопластичной
жидкостью (его эффективная вязкость снижается при больших скоростях сдвига,
или же, если выражаться более понятно, при больших градиентах давления).
Вследствие этого полимерный раствор имеет более низкую вязкость вблизи
нагнетательных скважин и других зон с высоким уровнем давления, где скорость
сдвига
высока.
Такое
реологическое
поведение
улучшает
приемистость
нагнетательной скважины и обеспечивает желаемый контроль подвижности, так как
на отдалении от скважины полимерный раствор будет загущаться. Однако это же
свойство может снизить коэффициент охвата, поскольку раствор полимера будет
иметь большую склонность к протеканию через области с высокой проницаемостью.
Закачка
полимеров
считается
зрелой
технологией
с
хорошо
зарекомендовавшими себя результатами и относительно низким коммерческим и
техническим риском. Многие страны, особенно Китай, применяют эту технологию
уже
несколько
десятилетий
для
повышения
эффективности
вытеснения
высоковязкой нефти и/или для снижения подвижности воды в высокопроницаемых
зонах с целью перенаправления потоков в низкопроницаемые пласты, что отлично
работает на залежах со значительной вертикальной стратификацией. На шельфе
применение полимерного заводнения все еще немногочисленно из-за проблем,
связанных с логистикой и расположением платформы, пластовой воды с высокой
минерализацией, большого расстояния между скважинами, а также других
требований к здоровью, безопасности и экологии.
3
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ВЫТЕСНЕНИЯ
2.1.
Основные предположения и уравнения
При
полимерном
заводнении
рабочий
агент
представляет
собой
многокомпонентную смесь, состоящую из воды и полимера, которые могут быть
полностью
или
частично
перемешаны
внутри
пласта
в
зависимости
от
технологических особенностей процесса (на промыслах могут закачивать как
готовые
полимерные
составы,
так
и
составы,
которые
перемешиваются
непосредственно в пласте).
В принципе, должна быть возможность моделировать полимерное вытеснение
в лабораторном масштабе, рассматривая отдельно движение молекул полимера в
воде. В этом случае следует делать сетку с маленьким шагом и
использовать
численные дискретизации более высокого порядка. Однако, для моделирования в
масштабе реальных залежей, требуемые размеры сетки намного превышают
вычислительные возможности. Поэтому, обычно увеличивают масштаб задачи,
переходя к определению полимерного раствора как несмешивающейся жидкостной
системы, в которой вода и полимер рассматриваются как две «псевдофазы»
(компоненты), которые вместе образуют одну несмешивающуюся жидкую фазу
(рис.1).
Рисунок
1.
Переход
от
частично
смешанных
потоков
высококонцентрированного полимерного состава и воды к усредненным блокам
единой несмешивающейся жидкой фазы с концентрацией полимера c.
4
Содержание
полимера
в
этой
несмешивающейся
фазе
представлено
концентрацией. Чтобы учесть эффект частичного смешивания двух жидкостей, мы
изменим свойства псевдофаз таким образом, чтобы они зависели от концентрации
полимера. Мы используем тот же подход для ПАВ, которое, как предполагается,
существует внутри как в воде, так и в компоненте полимера, и, таким образом,
получаем две различные концентрации, Сp и Сs, для полимера и ПАВ,
соответственно.
Таким образом, в общем случае SP-заводнения (surfactant+polymer) мы имеем
систему с пятью различными компонентами - нефтью (O), газом (G), водой (W),
полимером (P) и поверхностно-активным веществом (S). Причем все компоненты
могут разделяться на три фазы: нефтяную (o), газовую (g) и водную (w). Водная
фаза представляет собой смесь двух компонент: чистой воды (ww) и разбавленного
полимера (wp). Каждая фаза имеет соответствующую насыщенность 𝑆𝛼 , плотность
𝜌𝛼 , вязкость 𝜇𝛼 , и скорость 𝑣⃗𝛼 .
Скорости фильтрации задаются модифицированными версиями закона Дарси:
k S ,C
vo ro o S K po o gz
o
vg
vw
krg S g
g
K p g g g z
krw Sw , CS
w,eff p, CS , CP Rk C pa
vwp
krw S w , CS
wp p, CS , CP Rk C
a
p
1.1
1.2
K pw w gz
1.3
K pw w gz
1.4
Здесь K – проницаемость, g – ускорение свободного падения, а ∇z – градиент
глубины, а 𝜇𝛼 , 𝑘𝑟𝛼 и 𝑝𝛼 обозначают вязкость, относительную проницаемость и
фазовое давление фазы α соответственно. Все относительные проницаемости, за
5
исключением газовой фазы, зависят от насыщенности фазы и концентрации ПАВ,
но не от концентрации полимера, в то время как фазовые давления определяются
соотношением:
po pw pc Sw , CS
(2)
где функция капиллярного давления зависит от водонасыщенности и
концентрации ПАВ. Наконец, неубывающая функция 𝑅𝑘 (𝐶𝑃𝑎 ) моделирует снижение
фазовой проницаемости по воде, вызванное адсорбцией полимера на стенках пор.
Как уже объяснялось, две компоненты (вода и полимер) объединяются в одну
несмешивающуюся фазу – полимерный раствор, который зачастую называют
водной фазой ввиду того, что концентрация воды в смеси много больше
концентрации полимера. Для модели смеси Тодда-Лонгстаффа, объемные доли двух
компонент разделяются в соотношении, определяемом ̅̅̅
С𝑝 = 𝐶𝑝 /𝐶𝑝,𝑚𝑎𝑥 :
S ww 1 C p S w
и
S wp C p S w
Здесь 𝐶𝑝,𝑚𝑎𝑥 обозначает максимально возможную концентрацию полимера.
Мы предполагаем, что содержание полимера незначительно влияет на плотность
полимерного раствора, так что ρww = ρwp = ρw. Наконец, мы вводим твердую фазу (s)
для учета адсорбции полимера и ПАВ на поверхности породы, количество которых
обозначается 𝐶𝑃𝑎 (𝐶𝑝 ) и 𝐶𝑆𝑎 (𝐶𝑆 ) соответственно.
Запишем уравнение баланса массы для всех фаз:
b xi , S s (1 ) xi , s b xi , v qi
t o, g , w
o , g , w
3
Здесь φ - пористость, qi обозначает источник i-й компоненты, а xi,α - объемная
доля или концентрация i-й компоненты в фазе α ∈ {o,g,w,s}; выражения для них
сведены в табл. 1.
6
Как и в стандартной модели «black oil», мы ввели зависящие от давления
объемные коэффициенты (коэффициент усадки) bα, чтобы связать плотности ρα в
пластовых условиях с плотностями ρα0 в поверхностных условиях. Аналогичным
образом, газосодержание (газовый фактор) Rs учитывает газ, растворенный в нефти
в пластовых условиях, нефтесодержание (соотношение легких компонент нефти,
находящихся в газе) Rv учитывает нефть, испарившуюся в газе. Для уравнения
полимерного компонента мы должны дополнительно заменить водонасыщенность
Sw на Sw(1 - Sipv), где Sipv - скалярная величина, учитывающая недоступное поровое
пространство, а также заменить скорость воды ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑤 скоростью полимерной
компоненты ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
𝑣𝑤𝑝
Таблица 1. Выражения для объемных долей xi,α в общей несмешивающейся
ПАВ-полимерной модели (с фазами в качестве строк и компонентами в столбцах).
Полимерное заводнение также называется «загущенным» заводнением. Такое
название иллюстрирует важность вязкостного эффекта, оказываемого добавкой
полимера на увеличение нефтеотдачи. Повышение вязкости воды может снизить
подвижности воды и нефти, тем самым улучшая эффективность распределения
вытесняющего агента и выравнивая фронт вытеснения (предотвращая образование
т.н. «вязких» пальцев), и в конечном итоге повысить КИН. Молекулярная структура
полимера объясняет причину его загущающего эффекта:
1. Полимеры имеют высокую молекулярную массу, потому что они
образованы из большого количества мономеров, собирающихся в длинную цепь,
измеряющуюся в сотнях и тысячах мономеров.
2. Гидрофильные группы в этих звеньях цепи подвергаются сольватации в
воде, так что вокруг молекул полимера образуется слой "водной оболочки" из
7
сольватированной воды, что увеличивает внутреннее трение при движении молекул
воды, повышая динамическую вязкость воды.
3. Ионные гидрофильные группы диссоциируют в воде, в результате чего
образуется множество звеньев цепи с одинаковым типом заряда. Они отталкиваются
друг от друга, из-за чего молекулы полимера вытягиваются в и обеспечивают
лучшую способность к загущению.
Растворение полимеров – это довольно медленный процесс. При добавлении
большого количества полимера в воду в течение короткого времени сухой
полимерный порошок объединится в сгусток, который впоследствии будет
чрезвычайно труднорастворимым. Причина этого явления заключается в том, что
молекулярная
масса
полимера
относительно
велика,
поэтому
скорость
разворачивания его различных звеньев в воде относительно медленная. По этой же
причине процесс разбавления высококонцентрированных растворов полимеров
также происходит медленно. Это означает, что при закачке в пласт раствора
полимера относительно высокой концентрации нельзя считать, что раствор
полимера и пластовая вода мгновенно смешиваются и образуют однофазное
состояние.
Рисунок 2. Молекулы полимеров, растворенные в воде.
8
Учет влияния концентрации полимера на вязкость раствора
2.2.
Для определения эффективной вязкости водно-полимерной смеси мы
используем модель смешения Тодда-Лонгстаффа, в которой вводится параметр
смешения ω ∈ [0,1], учитывающий степень смешения полимера с водой. Влияние
полимера на вязкость включено в модель в виде множителя γp.
Для полностью смешанного раствора полимера без ПАВ имеем:
w C p p C p w
4
Для частично смешанного случая вязкости компонент (wp) и (ww) в
отсутствие ПАВ определяются следующим образом:
wp C p p C p p C p ,max
w pwp C p w
5.1
w p C p w
5.2
1
ww C p p C p p 0
1
Последнее равенство следует из того, что γp(0) = 1. Эффективная вязкость
воды рассчитывается как среднее гармоническое значение вкладов от двух
компонент:
С
1 С p С p
p
p
, С Сp
w, eff
p
Сp w
wp
С p ,max
ww
1 С p 1
p ,max
1
6
Чтобы понять, как эффективная вязкость влияет на вытеснение, мы обратимся
к теории фракционного потока1 для одномерного вытеснения, которая является
обобщением классической теории Бакли-Леверетта для вытеснения чистой воды.
Теория фракционного потока разработана в 1941 г. Левереттом на основании з-на сохранения массы,
применяемого к одномерному течению двухфазного потока. Основной принцип данной теории прост и выражается в
постоянстве суммы насыщенности фаз на всем протяжении пласта.
1
9
2.3.
Построение решения задачи Римана
Для конкретности рассмотрим модель полимерного вытеснения, в котором
участвуют две фазы (нефть и вода) и три компоненты (нефть, вода, полимер).
Вытеснение
происходит
в
одномерной
однородной
изотропной
среде
с
равномерным начальным распределением флюидов и непрерывной закачкой
рабочего агента постоянного состава на левой границе пласта. Мы предполагаем,
что жидкости несжимаемые, а также не учитываем капиллярное давление,
гравитационные силы и считаем, что нефть и вода не смешиваются. Пористость
считаем постоянной и видоизменяем уравнения, чтобы убрать зависимость от
скорости потока, пористости, длины и площади. Это сводит уравнения к следующей
квазилинейной гиперболической системе дифференциальных уравнений первого
порядка, (для краткости мы опускаем подписи p для полимера и w для воды):
S
f S , с 0
t x
7.1
сS cf S , с 0
t
x
7.2
f S, с
krw S
c
krw S kro S w
o
7.3
В теории фракционного потока рассматривают начальные и граничные
условия следующего вида:
( S , c ), x 0, t 0
( S , C )( x, t ) L L
( S R , cR ), x 0, t 0
8
где (SL,cL) и (SR,cR) – константы.
В математической литературе чаще всего рассматривается задача Римана, в
которой (SL,cL) задается в качестве начальных данных на левой границе.
10
Решения задачи обычно состоят из набора
состояний, разделенных
элементарными волнами (волнами разрежения, ударами и контактными разрывами).
Эти волны являются функциями только отношения x/t, что делает общее решение
самоподобным. Чтобы определить волновую структуру, начнем с разложения
производных и запишем систему в квазилинейной форме:
f ( S , c)
ut A(u)u x 0, A(u) A( S , c) s
0
Собственные
значения
A
равны
𝜉 𝑆 = 𝑓𝑆
и
f c ( S , c)
f ( S , c) / S
𝜉 𝐶 = 𝑓 ⁄𝑆 .
9
Непрерывные
элементарные волны должны быть интегральными кривыми двух соответствующих
правых собственных векторов 𝜂 𝑆 и 𝜂𝐶 .
Полное решение задачи Римана для всех возможных комбинаций левого и
правых состояний было впервые дано Айзексоном. Мы кратко представим
некоторые выкладки, но не будем объяснять решение во всех подробностях.
Для 𝜉 = 𝜉 𝑆 собственным вектором является 𝜂 𝑆 = (0,1)𝑇, так что концентрация
(с) постоянна вдоль соответствующей интегральной кривой. Это означает, что
волны насыщенности (S-волны) могут быть найдены путем решения скалярного
уравнения Бакли-Леверетта, аналогичного (7.1): St + f (S)x = 0;
Для 𝜉 = 𝜉 С собственный вектор 𝜂С = (𝑓𝑐 , 𝜉 С − 𝜉 𝑆 ) дает линейно вырожденное
характеристическое поле, поскольку ∇(𝑆,𝑐) 𝜉 С ∙ 𝜂С = 0, так что возникающие волны
концентрации (С-волны) являются контактными разрывами, а не волнами
разрежения или ударными волнами. Поскольку 𝜉 𝐶 = 𝑓 ⁄𝑆 постоянно вдоль
контактного
разрыва,
этим
волнам
не
присуще
саморегулирование,
противодействующее численному размытию, в отличие от ударных волн, для
которых характеристики любого промежуточного состояния вдоль волновой кривой
указывают на ударный скачок. Рисунок 3 поясняет графическое построение для
частного случая с SL = 1, cR = 0, и SR = Swc (связанная вода). Это решение
определяется просто. Учитывая концентрацию полимера в закачиваемом агенте cL,
мы сперва определяем значения S1 и S2, решая два скалярных уравнения:
11
f ( S1 , cL )
f ( S1 , cL )
;
S1
f ( S2 , 0)
f ( S1 , cL ) S2
.
S1
10
где f(S1;c) и f(S2;c) – функция одной переменной для каждого заданного значения
концентрации (c).
Чтобы определить полное решение, остается только вычислить скалярные
решения
Бакли-Леверетта,
которые
представляют
S-волны
для
значений
насыщенности от 1 до S1 и от S2 до Swc.
Для расчета профиля насыщенности строятся кривые функции Б-Л f (S;cL), S ∈
[S1,1] и f(S;0), S ∈ [Swc,S2]. В результате профиль насыщенности представляет собой
подобие ударного скачка на фронте вытеснения (где контактирует вода/полимерный
раствор и нефть) и участок разрежения, на котором отображается соотношение
долей фаз в двухфазном потоке «вода-нефть», либо «полимерный раствор-нефть».
Правый график на рисунке 3 представляет собой самоподобное искомое решение.
Добавление полимера в закачиваемую жидкость уменьшает темп обводнения
пласта, снижая скорость распространения фронта воды. Это задерживает прорыв
воды и позволяет поддерживать более высокий уровень добычи нефти.
За фронтом полимера вся первоначально присутствующая
связанная
(остаточная) вода вытесняется водой, содержащей разбавленный полимер, в
результате
вытеснения
поршневого
типа.
Это
вытеснение
повышает
микроскопическую эффективность вытеснения и оставляет меньше остаточной
нефти по сравнению с соответствующим водным раствором.
Рекомендуется
запустить
скрипт
showRiemannSolution,
чтобы
посмотреть, как меняется решение в зависимости от соотношения вязкости
полимера и чистой воды, от показателей в уравнениях Кори для ОФП, а также от
остаточных насыщенностей фаз.
12
Рисунок 3. Анализ полимерного заводнения с увеличенным коэффициентом
подвижности из-за полного смешивания как единственного учтенного физического
эффекта. На левом рисунке показано построение решения в (S,f)-пространстве. На
правом рисунке показано самоподобное решение в (x/t,S)-пространстве. (Здесь
предполагается, что отношение вязкости полимера и чистой воды равно 5,
вязкости воды и нефти равны, степени в уравнениях Кори для ОФП равны 2 для
воды и 4 для нефти, а остаточная водонасыщенность равна 0,2).
Помимо улучшения способности закачиваемой воды локально вытеснять
нефть из пор, полимер может оказывать значительный эффект на охват
вытеснением.
Улучшение
соотношения
вязкости
между
вытесняющей
и
вытесняемой жидкостями уменьшает тенденцию вытесняющей жидкости к
образованию вязких пальцев в случаях с неблагоприятным соотношением
подвижности нефти и воды. Хотя, даже при соотношении подвижности, близком к
единице, может наблюдаться низкая эффективность вытеснения воды по причине
высокой степени неоднородности ФЕС и высокой расчлененности пропластков.
Добавление
полимеров
в
закачиваемую
воду
обеспечивает
контроль
подвижности и противодействует нежелательным эффектам, таким как ранний
прорыв воды. На рисунке 4 показано, как закачка полимера противодействует
быстрому образованию гидродинамической связи между нагнетательной и
добывающей скважинами за счет наличия высокопроводящего пропластка.
13
Рисунок 4. Улучшение эффективности вытеснения в пластовой системе со
слоистой неоднородностью (верхний слой – 200 мД, нижний слой – 20 мД). Графики
показывают водонасыщенность, полученную в результате двух симуляций:
заводнения (слева) и полимерного вытеснения (справа). (Исходный код для этого
примера: runPolymerTwoLayer.m.)
2.4.
Реализация в MRST изменения вязкости с концентрацией
Вязкость смеси моделируется как мультипликативный эффект (путем
умножения вязкости воды на коэффициент, зависящий от концентрации):
w,eff eff
p C p w
Множитель
𝑒𝑓𝑓
вязкости
𝛾𝑝
(𝐶𝑝 )
реализован
в
группе
PVTPropertyFunctions, как показано в листинге 1. Пользовательская функция
заявляет, что коэффициент вязкости зависит от концентрации полимера, а также от
трех параметров объекта fluid. Вторая функция использует специфичные для
модели параметры, извлеченные из параметров объекта fluid (т.е. множитель
𝑒𝑓𝑓
𝛾𝑝 (С𝑝 ), ω и Cpmax), чтобы оценить 𝛾𝑝
(С𝑝 ) для концентрации полимера.
Листинг 1. Пользовательская функция PolymerViscMultiplier.
function gp = PolymerViscMultiplier(model, varargin)
gp@StateFunction(model, varargin{:});
gp = gp.dependsOn({'polymer'}, 'state'); % check mechanism
assert(model.water);
assert(all(isfield(model.fluid,{'cpmax','mixPar','muWMult'})));
end
function effMult = evaluateOnDomain(prop, model, state)
fluid = model.fluid;
cp = model.getProp(state, 'polymer');
cpMax = repmat(fluid.cpmax, numelValue(cp), 1);
14
mult = prop.evaluateFluid(model, 'muWMult', cp);
multMax = prop.evaluateFluid(model, 'muWMult', cpMax);
cpbar = cp/fluid.cpmax;
a = multMax.^(1 - fluid.mixpar);
b = 1./(1 - cpbar + cpbar./a);
effMult = b.*mult.^fluid.mixpar;
end
Одной из очевидных альтернатив является жесткое кодирование необходимых
функций непосредственно в объектe fluid, но по умолчанию модуль ad-eor
предполагает, что эти параметры указаны во входном файле ECLIPSE, используя
следующие ключевые слова:
PLYVISC
0
0.5
1.0
1.5
2.0
1.0
4.0
8.0
13.0
26.0
3.0
52.0 /
PLMIXPAR
1.0 /
PLYMAX
3.00 0
/
Поскольку эти ключевые слова содержат только скалярные данные или
табличные данные в два столбца, стандартный считыватель MRST просто прочитает
их без лишних слов. Однако, чтобы обработать контент и функционально назначить
его объекту fluid, мы должны использовать механизм назначения ключевых слов
из модуля ad-props. То есть нам нужно реализовать три новые функции,
называемые assignPLYVISC, assignPLMIXPAR и assignPLYMAX, и поместить
их в подкаталог props модуля ad-props. Последние две представляют собой
простые однострочные функции, которые присваивают скалярное входное значение
соответствующему полю в объекте fluid и опущены для краткости.
Первая функция вызывается автоматически, когда MRST сталкивается с
PLYVISC при обработке всех введенных ключевых слов. Он просто возвращает
описание функции во внутреннюю функцию getFunction, которая настраивает
функции для вычисления множителя 𝛾𝑝 (С𝑝 ) путем интерполяции значений,
15
приведенных во входных таблицах PLYVISC, по одной функции на область
давление–объем-температура (PVT). Первая строка в цикле изменяет входные
данные для каждой таблицы, чтобы мы могли использовать постоянную
экстраполяцию для любых значений за пределами диапазона данных, тогда как
вторая строка описывает функцию, которая выполняет фактическую интерполяцию.
function f = assignPLYVISC(f, plyvisc, reg)
f.muWMult = getFunction(plyvisc, reg);
end
function muWmult = getFunction(plyvisc, reg)
muWmult = cell(1, reg.pvt);
for i = 1:reg.pvt
t = extendTab(plyvisc{i});
muWmult{i} = @(c, varargin) reg.interp1d(t(:, 1), t(:, 2), c);
end
end
3. АДСОРБЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ ПОЛИМЕРНОМ ВЫТЕСНЕНИИ
3.1.
Качественное и количественное описание механизма адсорбции
Полимер
имеет
тенденцию
взаимодействовать
с
твердой
породой,
адсорбируясь на поверхности породы или задерживаясь между частицами породы.
На рисунке 5 показаны различные механизмы удержания. Такое удерживание может
оказывать сильное влияние на общую эффективность вытеснения.
Молекулы полимеров могут быть связаны с поверхностью твердой породы
такими силами, как силы Ван-дер-Ваальса (слабые, зависящие от расстояния силы,
действующие
между
атомами
и
молекулами)
и
водородные
связи.
Непосредственным результатом адсорбции полимера является то, что молекулы
полимера остаются на поверхности породы, тем самым уменьшая эффективную
концентрацию полимерного раствора. Как правило, на процессе вытеснения это
отражается запаздыванием фронта вытеснения полимерным раствором.
Адсорбция также снижает эффективную проницаемость породы, поскольку
молекулы полимера, адсорбированные на породе, увеличивают сопротивление
движению вытесняющей жидкости через поры, как показано в зоне А на рис. 5.
16
Другая форма удержания полимера, захват, относится к явлению, когда молекулы
полимера имеют тенденцию накапливаться, если они слишком велики, чтобы
пройти через тонкие капилляры, соединяющие поры между собой. Это явление
приводит к расходу полимера и образованию недоступного для него порового
пространства в пласте. Даже если радиус молекулы полимера меньше радиуса
перемычки между порами, они все равно могут закупорить проход для других
молекул полимера. Как показано в зоне B на рис. 5, вода все еще может частично
проходить через скопление полимерных молекул, которые блокируют межпоровую
перемычку. Однако это значительно увеличивает сопротивление движению воды и
приводит к снижению проницаемости. Когда радиус молекулы полимера больше
радиуса капилляра, такое скопление называется физической пробкой (см. зону C на
рис. 5). В этом случае и молекулы полимера, и вода не могут пройти через
межзерновое пространство.
Чтобы
описать
различные
эффекты
более
структурированно
введем
собственные определения в понятийный аппарат (см. таблицу 2).
Таблица 2. Основные направления процессов при полимерной вытеснении
Потеря полимера, вызванная удержанием его на
поверхности породы
Адсорбция полимера
Увеличение сопротивления течению флюидов,
вызванное удержанием полимера
Снижение проницаемости
Уменьшение объема порового пространства,
доступного для течения флюидов из-за осевших
молекул полимера
Эффект недоступного порового
пространства
Мы предполагаем, что адсорбция является мгновенной и обратимой, и
моделируем ее с помощью члена накопления (1 − 𝜑)𝜌𝑆 𝐶𝑝𝑎 (𝐶𝑝 ) в уравнениях
неразрывности (3).
17
Рисунок 5. Иллюстрация удержания полимера в пористой среде. Молекулы
полимера, показанные черными волнистыми линиями, прикреплены к поверхности
частиц породы. Синие линии и стрелки указывают путь и направление движения
раствора полимера. Три области A/B/C соответствуют удержанию полимерного
раствора после прохождения через поры разного размера и их влиянию на
последующую пропускную способность. Зона A: Адсорбированные молекулы
полимера, вызывающие повышенное сопротивление потоку. Зона B: Молекулы,
механически захваченные межпоровыми перемычками. Зона C: Молекулы,
захваченные физическим закупориванием. Кроме того, молекулы полимера могут
оказаться в гидродинамической ловушке в застойных зонах.
Для параметра адсорбции полимера 𝐶𝑝𝑎 мы используем подход, основанный на
изотерме адсорбции Ленгмюра, так что концентрация адсорбированного полимера
является функцией от концентрации полимера в растворе и отображается
следующим образом:
c ap cˆ p
a p cˆ p c ap
1 bp cˆ p c
a
p
, cˆ p min c p , c max
p
11
где ap, bp - константы, 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥 - максимальная концентрация полимера, а (𝐶𝑝 −
𝐶𝑝𝑎 ) - равновесная концентрация в системе «порода-раствор полимера». На рисунке
6 показана характерная форма такой зависимости.
18
Мы рассматриваем два случая: обратимая адсорбция (в последующем
происходит десорбция – отрыв части полимерных молекул от породы) и отсутствие
𝑎
десорбции. В необратимом случае термин 𝐶𝑝𝑎 заменяется на 𝐶̂
𝑝 , который обозначает
максимальное значение, которого достигла концентрация адсорбированного
полимера. Более точно, если мы определим
cˆ ap max cˆ ap t , x
12
t t
мы можем определить суммарное количество необратимо адсорбировавшегося
полимера как
cˆ ap t , x max cˆ ap с t , x , cˆ ap ,max t , x
t t
13
Чтобы выполнить тот же тип анализа фракционного потока, что и в
подразделе 7.2.2, рассмотрим следующую одномерную задачу:
S
f S , с 0
t x
14.1
Sс a c cf S , с 0
t
x
14.2
В (14) a(c) представляет собой адсорбционный член. Йохансен и Винтер
представили полные решения соответствующей задачи Римана для всех возможных
комбинаций левых и правых состояний в предположении, что a(c) является гладкой,
возрастающей, и выпуклой вверх функцией (см. рис. 6). Решение во многом похоже
на то, которое мы обсуждали ранее, за исключением одного важного отличия.
Второе собственное значение теперь 𝜉 𝐶 = 𝑓 ⁄(𝑆 + 𝑎′(𝐶)) и соответствует реальной
нелинейной характеристике поля, поскольку ∇(𝑆,𝑐) 𝜉 С ∙ 𝜂С > 0. Поэтому любая волна
концентрации (C-волна) будет ударной, если cL > cR, и разреженной в противном
случае, а римановы решения будут состоять максимум из четырех постоянных
состояний.
19
Рисунок 6. Типичная форма адсорбированной концентрации 𝐂𝐩𝐚 (𝐂𝐩 ) в
зависимости от концентрации полимера 𝐂𝐩 .
Рассмотрим, как построить это решение для той же постановки задачи, что и
на рисунке 3; т.е. для левого состояния (1,cL) и правого состояния (Swc,0). Теперь
контактный разрыв будет заменен на c-удар, который удовлетворяет так
называемым условиям Ранкина-Гюгонио (адаптированное для нашего случая
соотношение для ударной адиабаты):
f SR , cR f S L , cL S R S L ,
cR f SR , cR cL f SL , cL SRcR a cR SLcL a cL .
15.1
15.2
Здесь скалярная константа σ обозначает скорость ударной волны. Теперь мы
можем использовать (15.1), чтобы исключить fL или fR из (15.2), что дает
cR cL f L SL cR cL aR aL
16.1
cR cL f R SR cR cL aR aL
16.2
Можно разделить на разность концентраций:
a aL ;
f L SL R
c
c
R
L
a aL
f R SR R
c
c
R
L
20
Заменим:
aR aL h
cR cL LR
Можем записать:
fL
fR
SL hLR SR hLR
17
Рисунок 7 иллюстрирует графическое построение соответствующего решения.
Здесь мы выбрали адсорбцию настолько сильной, что ведущая S-волна представляет
собой составную волну, состоящую из ударной волны от Swc до S3, за которой
следует небольшая волна разрежения от S3 до правого состояния, S2, от С-скачка cудара. (Заметьте, однако, что S3 не является постоянным состоянием, поскольку
скорости ударной волны и волны разрежения совпадают.) Поскольку большая часть
полимера адсорбирована, полимер теряет значительную часть своей эффективности.
Ввиду этого, полимерный фронт менее глубоко проникает в пласт, а вытесняющий
фронт (правый скачок) по своей форме и скорости приближается к базовому
варианту заводнения, что можно хорошо проследить на рисунке 7.
Адсорбция и механические ловушки также могут оказывать положительное
влияние на эффективность зачистки в случаях с сильной пространственной
неоднородностью. Блокирование пор и локальное снижение проницаемости
эффективно изменяют направление фильтрационных потоков через области с
высокой проницаемостью и направляют поток в области с более низкой
проницаемостью, тем самым повышая эффективность вытеснения и способствуя
формированию более равномерного течения от нагнетательной скважины к
добывающей.
21
Рисунок 7. Фракционный анализ полимерного заводнения с адсорбцией и
увеличением коэффициента подвижности за счет полного смешивания. На левом
рисунке показано построение решения в (S,f)-пространстве. На правом показано
самоподобное решение в (x/t,S)-пространстве. (Изображение создано с помощью
скрипта showRiemannSolution и предполагает, что отношение вязкости
полимера и чистой воды равно 5. полимером и чистой водой, показатели Кори 2 для
воды и 4 для нефти, остаточная водонасыщенность (доля связанной воды) равно
0,2, а коэффициент адсорбции hLR равен 0,6).
3.2.
Реализация механизма адсорбции в MRST
Моделирование адсорбции по сути повторяет оценку множителя вязкости,
описанную в предыдущем подразделе. То есть обратимая адсорбция 𝐶𝑝𝑎 (𝐶𝑝 ) или
𝑎
накапливаемая необратимая адсорбция 𝐶̂
𝑝 (𝑡, 𝑥), в зависимости от того, какой тип
процесса мы моделируем, оценивается функцией состояния в листинге 7.3.
function gp = PolymerAdsorption(model, varargin)
gp@StateFunction(model, varargin{:});
gp = gp.dependsOn({'polymer', 'polymermax'}, 'state');
assert(model.water && isfield(model.fluid, 'adsInx'));
end
function ads = evaluateOnDomain(prop, model, state)
[cp, cpmax] = model.getProps(state, 'polymer', 'polymermax');
if model.fluid.adsInx == 2
ce = max(cp, cpmax);
else
ce = cp;
end
22
ads = prop.evaluateFluid(model, 'ads', ce);
end
Разработчиком задается, что функция зависит от двух переменных состояния текущей концентрации и максимальной концентрации, наблюдавшейся до сих пор
за все время расчетов (моделирования). Вторая функция выполняет фактическую
𝑎
оценку 𝐶𝑝𝑎 (𝐶𝑝 ) или 𝐶̂
𝑝 (𝑡, 𝑥). Необходимые исходные данные представлены в двух
различных ключевых словах ECLIPSE: PLYADS описывает адсорбционную
функцию 𝐶𝑝𝑎 (𝐶𝑝 ) и состоит из одной или нескольких таблиц, представленных в той
же форме, что и PLYVISC. Соответствующая функция assignPLYADS по сути
такая же, как и assignPLYVISC. Кроме того, переменная adsInxdefi определяет,
является ли процесс адсорбции обратимым или необратимым. Значение этой
переменной находится в четвертой записи ключевого слова polymer-rock (с
одной записью данных/строкой для каждого типа породы):
PLYROCK
--IPV
0.05
RRF
1.3
dens
2600
AI
2
max ads
0.000025 /
Если индекс адсорбции (AI) равен 1, процесс адсорбции обратим, а если равен
2, то необратим. Остальные четыре записи дают долю недоступного порового
объема для каждого типа породы (IPV), коэффициент остаточного сопротивления
(RRF), плотность породы (dens) и максимальную адсорбцию полимера (max ads),
используемую для оценки снижения проницаемости.
3.3.
Снижение проницаемости в ходе адсорбции
В предыдущем разделе мы увидели, что адсорбция полимера на поверхности
пор и образование механических ловушек в межпоровых перемычках приводят к
уменьшению абсолютной проницаемости породы. Для представления этого явления
мы используем коэффициент снижения проницаемости Rk, который имеет вид
Rk C p 1 RRF 1
23
C pa C p
C pa,max
18
𝑎
Здесь 𝐶𝑝,𝑚𝑎𝑥
– максимальная адсорбированная концентрация, а коэффициент
остаточного сопротивления RRF ≥ 1 определяется как отношение относительной
фазовой проницаемости по воде, измеренной до и после закачки полимера. Обе эти
величины зависят от типа породы и, следовательно, будут меняться в пространстве.
Поскольку Rk(Сp) линейно зависит от 𝐶𝑝𝑎 , то вид этой функции в основном будет
иметь ту же форму, что и изотерма адсорбции Ленгмюра (рис. 6)
Рисунок 8. Иллюстрация того, как соотношение вязкости (M) между
полимером и чистой водой влияет на величину вытеснения. На рисунке принята
экспонента Кори 2 для воды и 4 для нефти, остаточная водонасыщенность равна
0,2, и адсорбция с hLR = 0,2;
Возвращаясь к анализу фракционного потока, мы видим, что единственным
микроскопическим эффектом уменьшения проницаемости является улучшение
коэффициента подвижности между вытесняющей и вытесняемой жидкостью, а
также изменение коэффициента вытеснения в зависимости от соотношения вязкости
между вытесняющей жидкостью с полимером и без него. Мы рекомендуем вам
поэкспериментировать со сценарием showMobilityEffect, чтобы увидеть, как
меняется решение при различных параметрах флюидов.
24
Рисунок 9. Качественная модель, демонстрирующая эффект уменьшения
проницаемости за счет адсорбции полимера. Левый нижний график показывает
проницаемость (на логарифмической цветовой шкале), а область, затронутая
снижением проницаемости, обозначена голубоватым цветом внутри контурной
линии (Исходный код: verticalSPE10.m.).
В макроскопическом масштабе уменьшение проницаемости оказывает
положительный эффект на охват заводнением, отводя поток от высокопроницаемых
областей к менее проницаемым. Это показано на рисунке 8. Вертикальный разрез
характеризуется большими контрастами проницаемости, с изменениями на пять
порядков в латеральном направлении и на восемь порядков в вертикальном. Нефть
значительно более вязкая, чем закачиваемая вода, и это создает неблагоприятные
условия для вытеснения, при которых вода имеет сильную тенденцию к
образованию вязких пальцев, вызванных неоднородностью. Добавка полимера в
рабочий агент улучшает контроль подвижности, однако вытесняющая жидкость все
равно
проявляет
относительно
сильную
склонность
к
следованию
по
высокопроницаемым путям. Если адсорбция вызывает значительное снижение
проницаемости (здесь мы использовали преувеличенное значение RRF, равное 8,
чтобы продемонстрировать этот эффект), то улучшение охвата будет ярко
выраженным.
Возвращаясь к (1.3), мы видим, что уменьшение проницаемости – это еще
один пример кратного изменения физического свойства, на этот раз для ОФП по
воде. Поэтому уменьшение проницаемости реализуется в виде множителя,
25
определяемого в функции состояния PolymerPermReduction. Если мы знаем,
что все зависимости оценены, мы можем обойти большую часть проверки
зависимостей в getProp и использовать getEvaluatedDependencies для
получения адсорбции полимера, которая уже была оценена (и кэширована).
Значения
объекта
fluid
обычно
задаются
ключевым
словом
PLYROCK,
рассмотренным в предыдущем подразделе.
function permRed = evaluateOnDomain(prop, model, state)
ads = prop.getEvaluatedDependencies(state,'PolymerAdsorption');
fluid = model.fluid;
permRed = 1 + ((fluid.rrf - 1)./fluid.adsMax).*ads;
end
3.4.
Недоступное поровое пространство
Многие эксперименты с полимерами показывают, что полимеры движутся
быстрее, чем другие активные примеси (например, щелочи и ПАВ
в ASP-
заводнении). Основная причина этого заключается в том, что молекулы полимеров
настолько велики, что могут проходить только через более крупные поры (рис. 5,
зона C). За счет этого формируются линии тока полимера, главным образом
определяющие
эффективную
скорость
фильтрации
полимерного
раствора.
Оставшаяся же часть порового пространства остается практически не вовлечена в
процесс фильтрации полимерного состава и носит название недоступного порового
объема, или мертвого порового пространства. Мы можем ввести скалярный
параметр породы, Sipv, чтобы представить долю порового объема, недоступного для
полимерного раствора, для каждого конкретного типа породы.
Обычные модели полимеров, используемые во многих коммерческих
симуляторах, просто используют Sipv для уменьшения доступного порового объема
для полимера в члене накопления, (1 − 𝑆𝑖𝑝𝑣 )𝜑𝑏𝑤 𝑆𝑤 𝐶𝑝 , в (3). Полученная модель, к
сожалению, не является хорошо поставленной и может давать неустойчивости и
предсказывать нефизическое накопление полимера на фронте вытеснения или
бесконечные концентрации полимера. Причина в том, что модель позволяет
полимеру перемещаться независимо от концентрации и водонасыщенности, что
26
может привести к опережению водного фронта полимером, что естественно не
может иметь места в реальности.
На
практике
может
оказаться
разумным
использовать
простую,
но
некорректную модель, поскольку другие физические эффекты и значительное
размазывание, вызванное грубым разрешением сетки большинства численных схем
моделей, маскируют и нивелируют нефизическое поведение.
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ СВОЙСТВ
Молекулы полимеров могут быть спутаны друг с другом, образуя трехмерную
структуру, увеличивая тем самым вязкость водного раствора. С одной стороны, это
может улучшить соотношение подвижности воды и нефти и эффективность
вытеснения. А с другой стороны, такое поведение ведет к необходимости
значительного увеличения давления нагнетания на устье скважины, чтобы
протолкнуть высоковязкий (или даже вязко-упругий) полимерный раствор вниз по
скважине и закачать в пласт.
На практике давление нагнетания часто оказывается гораздо ниже, чем можно
было бы ожидать, исходя из статической вязкости полимера (в отсутствие сдвига).
Причина в том, что растворы полимеров, как правило, являются псевдопластической
жидкостью и его эффективная вязкость снижается с ростом скорости сдвига, что
подтверждается лабораторными экспериментами. Этому эффекту можно дать
следующее физическое объяснение: когда раствор полимера движется с большой
скоростью в определенном направлении, молекулы полимера удлиняются и
выравниваются по направлению движения или даже разматываются (рис. 10). Такое
поведение можно назвать «сдвиговым разрежением». Конечно, существуют также
некоторые полимеры, которые загустевают при увеличении скорости сдвига, но
такие полимеры используются редко. Стоит при этом учитывать, что при большой
скорости течения, сильная сила сдвига может привести к разрыву молекулярной
цепи полимера, что будет означать необратимую механическую деградацию
полимера.
27
Рисунок 10. Схема полимера в воде при сдвиге. Различные цветные линии на
рисунке представляют собой молекулы полимера. В статическом состоянии
крупные полимерные молекулы запутываются друг с другом, что значительно
увеличивает вязкость водного раствора. При высокой скорости сдвига полимерные
молекулы могут выпрямляться вдоль направления сдвига и распутываться, что
что снижает их липкую способность (верхний правый рисунок). Если скорость
сдвига достаточно высока, то молекулярная цепь полимера может даже
разорваться, что снижает молекулярную массу полимерного раствора и его
липкую способность (справа внизу).
Зададим эффективную вязкость полимера как функцию скорости фильтрации.
Сначала мы вводим коэффициент сдвига Z для описания эффекта сдвига,
Z
eff
w, sh uw,sh 1 p C p 1 sh uw,sh
w,eff
eff
p C p
19
Множитель γsh – это заданная пользователем функция скорости воды uw,sh,
зависящей от сдвига, а μw,eff - эффективная вязкость воды (6) без учета эффекта
сдвига. γsh > 1 при сдвиговом уплотнении (повышение вязкости с увеличением
сдвига) и γsh ∈ [0,1] при сдвиговом разрежении (снижение вязкости с ростом сдвига).
При отсутствии эффекта сдвига (γsh = 1) мы используем динамическую вязкость
𝑒𝑓𝑓
воды, тогда как вязкость сдвига равна 𝜇𝑤,𝑒𝑓𝑓 ⁄𝛾𝑝
28
(𝐶𝑝 ) в случае максимального
утончения сдвига (γsh = 0). Для расчета неизвестной скорости uw,sh сначала введем
эффективную скорость воды без сдвига uw,0, рассчитанную по (1.3) без эффекта
сдвига, а затем используем соотношение
uw, sh uw,0
w,eff
w, sh uw, sh
20
в сочетании с (19) позволяет получить следующее неявное уравнение для uw,sh:
eff
w, sh 1 eff
p C p 1 sh uw , sh p C p uw ,0 0
21
Для решения (21) используется стандартный метод Ньютона. Получив uw,sh, мы
можем вычислить коэффициент сдвига Z из (19) и рассчитать кажущиеся вязкости
μw,sh и μp,sh как
w, sh Z w,eff
и
p , sh Z wp
22
С учетом (22) можно пересчитать фазовые скорости:
vw, sh vw Z
и
vwp , ph vwp Z
23
5. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Из предложенных в руководстве примеров самодостаточным является скрипт
showRiemannSolution. На его примере можем рассмотреть различные
29
возможности, позволяющие моделировать полимерное вытеснение в одномерной
постановке с помощью модуля MRST.Разберем сначала написанный код.
1. Пояснения перед телом программы
Illustrate Riemann solutions for continuous displacement
% This script shows the graphical construction of the Riemann solution for
% a setup in which either a diluted polymer solution or a surfactant is
% continuously injected into a reservoir filled with oil and water at
% connate saturation. In the polymer-flooding case, polymer and water are
% assumed to be fully mixing (i.e., we set w=1 in the Todd-Longstaff mixing
% model).
%
% The script has several adjustable parameters. To produce the polymer
% figure from the MRST book chapter with full mixing and no adsorption, set
% polymer to true and ads=0. For the polymer figure with adsorption, you
% should set ads=0.6 and rerun all sections of this script except for the
% last one.
polymer = false;
Скрипт иллюстрирует решения Римана для непрерывного вытеснения.
В этом сценарии показано графическое построение решения Римана для
установки, в которой разбавленный раствор полимера или ПАВ непрерывно
закачивается в пласт, заполненный нефтью и водой, с некоторыми начальными
насыщенностями. В случае закачки полимера предполагается, что полимер и вода
полностью смешиваются (т.е. мы устанавливаем ω=1 в модели смешивания ТоддаЛонгстаффа). У скрипта есть несколько настраиваемых параметров. Чтобы получить
профиль водонасыщенности при вытеснении полимерным раствором с полным
перемешиванием и без адсорбции, установите для параметра polymer значение
true и добавьте ads=0. Для построения решения с учетом адсорбции вам следует
установить значение ads=0.6 и повторно запустить все разделы этого скрипта,
кроме последнего.
2. Расчет кривой Баклея-Леверетта (кривой для модели фракционных
потоков) для воды/нефти и полимерного раствора/нефти.
30
%% Compute and plot the fractional flow curve for the right and
left states
if polymer
[swr, sor, ads] = deal(0.2,0.8,0);
% [swr, swor, ads] = deal(0.2,0.8,0.6);
[nw,no,M] = deal(2,3,15);
s = linspace(0,1,501);
sm = (min(max(s,swr),sor)-swr)/(sor-swr);
fw = sm.^nw./(sm.^nw + (1-sm).^no);
fp = sm.^nw./(sm.^nw + M*(1-sm).^no);
else
[swr, sor, ads] = deal(0.25,0.75,0);
% [nw,no,M] = deal(2,3,1);
[nw,no,M] = deal(2,2.5,1);
[swrs,sors,Msf] = deal(.05,.975,4);
s = linspace(0,1,501);
sm = (min(max(s,swr),sor)-swr)/(sor-swr);
fw = sm.^nw./(sm.^nw + M*(1-sm).^no);
sm = (min(max(s,swrs),sors)-swrs)/(sors - swrs);
fp = sm.^nw./(sm.^nw + Msf*M*1*(1-sm).^no);
%load ff-sft2.mat;
%[s, fw, fp] = deal(sW', fw', fs');
end
subplot(1,2,1),cla,hold all
plot(s,fw,'-','LineWidth',2);
plot(s,fp,'-','LineWidth',2);
Условный оператор здесь разделяет задачу на два вышеописанных случая.
Если мы записали polymer=true, то запустится первая часть скрипта (после if),
а в обратном случае запустится вторая часть (после else)
[swr, sor, ads] = deal(0.2,0.8,0);
% [swr, swor, ads] = deal(0.2,0.8,0.6);
[nw,no,M] = deal(2,3,15);
s = linspace(0,1,501);
Здесь записываются остаточная водонасыщенность (swr), доступная для
нефти
вытеснения доля флюидов (1 − 𝑆остат ) (sor) и коэффициент адсорбции (ads).
Затем задаются показатели степеней в уравнениях Кори для ОФП (nw для воды и
no для нефти), а также подвижность нефти относительно рабочего агента (M).
31
Оператор linspace разбивает S в диапазоне от 0 до 1 на 501 значение. Это
позволит в дальнейшем построить гладкую кривую f(S).
sm = (min(max(s,swr),sor)-swr)/(sor-swr);
fw = sm.^nw./(sm.^nw + (1-sm).^no);
fp = sm.^nw./(sm.^nw + M*(1-sm).^no);
В этом элементе задаются формулы для ОФП и доли воды/полимера в
двухфазном потоке. Запишем их на более понятном для нас языке:
sm
s swr
,
sor swr
swr s sor
nw
krw sm
nw
s swr
,
s
s
or wr
swr s sor
no
kro 1 sm
no
s swr
1
,
s
s
or
wr
swr s sor
sm
krw
fw
krw kro sm nw 1 sm no
nw
sm
krw
fp
krw kro sm nw M 1 sm no
nw
else
[swr, sor, ads] = deal(0.2,0.8,0);
% [nw,no,M] = deal(2,3,1);
[nw,no,M] = deal(2,2.5,1);
[swrs,sors,Msf] = deal(.05,.975,4);
s = linspace(0,1,501);
sm = (min(max(s,swr),sor)-swr)/(sor-swr);
fw = sm.^nw./(sm.^nw + M*(1-sm).^no);
sm = (min(max(s,swrs),sors)-swrs)/(sors - swrs);
fp = sm.^nw./(sm.^nw + Msf*M*1*(1-sm).^no);
%load ff-sft2.mat;
%[s, fw, fp] = deal(sW', fw', fs');
end
32
В данном элементе учитывается, что раствор не перемешан полностью и
«запоздавшая» часть полимерного раствора с большей концентрацией полимера
обладает лучшими вытесняющими свойствами, в результате чего позволяет
извлекать ранее недоступную связанную воду и защемленную нефть. Это
отражается введением новых параметров swrs и sors, которые являются аналогом
соответственно swr и sor в первой части условия. Так же вводится
дополнительный коэффициент Msf, отвечающий за соотношение подвижностей в
более концентрированной части полимерного раствора.
subplot(1,2,1),cla,hold all
plot(s,fw,'-','LineWidth',2);
plot(s,fp,'-','LineWidth',2);
Далее выводятся полученные кривые-аналоги функции Баклея-Леверетта,
которые рассчитывались в рассмотренном элементе.
subplot(1,2,1) позволяет в одном окне построить два различных графика в
разных координатах и указывает положение строящегося далее графика (plot)
Команда plot(s,fw,'-','LineWidth',2)
позволяет построить сплошную
кривую с толщиной «2», отражающую зависимость fw от s.
Затем строятся касательные к имеющимся кривым для нахождения насыщенностей
на фронте вытеснения. Данная методика является классической в рамках теории
Баклея-Леверетта
%% Find envelope for polymer curve
i3 = find(fp(2:end)./(s(2:end)+ads)-diff(fp)./diff(s)>0,1);
plot([-ads s(i3:end)],fp([1 i3:end]),'--','LineWidth',2);
plot(s(i3),fp(i3),'o','LineWidth',2);
%% Find intersection of this envelope and the pure water curve
i2 = find(min(fp(i3)/(s(i3)+ads).*(s(2:end)+ads),1)<fw(2:end),1);
plot(s(i2),fw(i2),'o','LineWidth',2);
%% Find envelope for pure water curve
i0 = find(s<swr,1,'last')+1;
flag = fw(i0:i2)./(s(i0:i2)33
swr)>diff(fw(i0:i2+1))./diff(s(i0:i2+1));
i1 = min(find(flag)+i0,i2);
if isempty(i1), i1=i2; end
plot(s(i1(1)),fw(i1(1)),'o','LineWidth',2)
plot(s([i0 i1:i2]),fw([i0 i1:i2]),'--','LineWidth',2)
Далее строим профили насыщенности для полимерного заводнения:
subplot(1,2,2)
hold all
xi = fliplr(diff(fp(i3:end))./diff(s(i3:end)));
ss = fliplr(s(i3:end-1));
df = fliplr(diff(fw([i0 i1:i2]))./diff(s([i0 i1:i2])));
ds = fliplr(s(i1:i2));
xi = [xi([1:end end]), df];
ss = [ss, ds([1 1:end])];
xi = [xi([1:end end]), max(xi)+.5];
ss = [ss, s(i0), swr];
if polymer
plot(xi(ss<=sor),ss(ss<=sor),'-','LineWidth',2);
else
plot(xi,ss,'-','LineWidth',1);
end
axis tight, set(gca,'Ylim',[0 1]);
axis tight, set(gca,'Xlim',[0 3]);
А также профиль для обычного заводнения, чтобы сравнивать с полимерным.
flag = fw(i0:end)./(s(i0:end)-swr)-eps> ...
diff(fw([i0:end end]))./diff(s([i0:end end]));
iw = min(find(flag,1,'first')+i0,numel(fw));
xiw = fliplr(diff(fw([i0 iw:end]))./diff(s([i0 iw:end])));
ssw = s(end:-1:iw);
xiw = [xiw xiw(end) max(xiw)+.5];
ssw = [ssw, swr swr];
plot(xiw(ssw<=sor),ssw(ssw<=sor),'--k','LineWidth',1);
34
Предлагаю исследовать поведение профилей насыщенности при обычном
заводнении при различных аппроксимациях кривых ОФП. Для этого будем
изменять показатели степеней в уравнениях Кори.
1,0
0,9
0,8
ОФП (kв, kн), д.ед.
0,7
0,6
nw=2
no=2
nw=3
no=3
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Водонасыщенность S, д.ед.
0,8
0,9
1,0
Рисунок 11. Изменение кривых ОФП при различных показателях в уравнениях Кори
Как можем заметить, увеличение показателя ведет к общему снижению значений
фазовых проницаемостей, поэтому различные комбинации показателей будут давать
хоть и немного, но отличные друг от друга профили насыщенности. Связано это с
тем, что уменьшение фазовой проницаемости снижает проходную способность
соответствующего этой ФП флюида. Поэтому можем ожидать, что дальше всего
продвинется фронт вытеснения с параметрами nw=2 и no=3, поскольку в этом
случае отношение фазовой проницаемости воды к нефти будет максимальным, а
значит, фильтрация воды будет происходить быстрее, что в то же время не означает
повышение эффективности вытеснения. Рассуждая таким же образом о самом
35
медленном движении фронта, можно предположить, что для такого случая
необходимо обратное соотношение показателей, то есть nw=3 и no=2.
Рисунок 12. Сравнение профилей насыщенности при различных формах
кривых ОФП (разных показателях в уравнения Кори)
Если проанализировать рисунок 12, то становится видно, что наши ожидания
подтвердились расчетами.
Теперь сравним вариант вытеснения водой и полностью смешанным
полимерным раствором, когда вязкостные характеристики раствора не позволяют
отмывать остаточную нефть и воду.
На рис. 13. Видно, что кривая f(S) смещается вправо, поскольку увеличивается
соотношение подвижностей (здесь нужно сказать, что соотношение подвижностей
может означать отношение различных величин, а не только полимера к нефти или
полимера к воде, а потому увеличение подвижности, например, воды к полимеру
также означает загущение полимера). Отсюда следует, что водонасыщенность на
фронте увеличится по сравнению с водой, и вытеснение будет иметь большую
эффективность. Также фронт вытеснения должен замедляться с увеличением
соотношения подвижности. Проверим это, рассчитав профили насыщенности.
36
Рисунок 13. Сравнение кривых Баклея-Леверетта при разных соотношениях
подвижности полимерного раствора и воды.
Рисунок 14. Профили насыщенности для различных вариантов вытеснения.
37
Рисунок 14 визуализирует решение для различных соотношений подвижности
воды к полимерному раствору. Как мы и предсказывали, фронт вытеснения
замедлился и стал выше (необходимо анализировать верхнюю точку, где
фильтруется полимерный раствор с большей концентрацией). Я думаю, что
рисунков 13 и 14 достаточно для объяснения концептуального влияния соотношения
подвижностей на характеристики вытеснения.
Сравним теперь вариант, где полимерный раствор способен продавливать
защемленную нефть и «соскребать» остаточные воду и нефть со стенок пор. Обе
фазы могут быть в пленочной форме внутри пласта, поскольку поверхность зерен не
имеет одинаковой смачиваемости и, чаще всего, имеет микронеоднородные
(микрогетерогенные) параметры смачиваемости, даже если в общей картине пласт
гидрофильный либо гидрофобный. В таком случаем можно учесть оба типа
смачиваемости и предполагать, что при полимерном заводнении отмываются обе
остаточные фазы.
Рисунок 15. Сравнения кривых функции Баклея-Леверетта для случая
довытеснения полимером связанных воды и нефти (а) и для случая без
довытеснения (б).
38
Теперь
проанализируем
построенные
решения
и
сравним
профили
насыщенности (рис. 16) для трех вариантов разработки: обычное заводнение (1),
вытеснение полимерным раствором без довытеснения (2), вытеснение полимерным
раствором с довытеснением (3).
Рисунок 16. Сравнение профилей насыщенности для трех вариантов
разработки: обычное заводнение (1), вытеснение полимерным раствором без
довытеснения (2), вытеснение полимерным раствором с довытеснением (3).
39
Итак, по высоте фронта насыщенности понятно, что коэффициент вытеснения
вырос в случае №3, как и предполагалось при постановке соответствующих условий
для задачи вытеснения.
Рассмотрим теперь последний аспект, затрагиваемый в данном скрипте –
адсорбцию полимера. Сравним профили насыщенности при разной степени
адсорбции, которая определяется следующим образом:
aR aL h
cR cL LR
Рисунок 17. Сравнение профилей насыщенности при различной величине
адсорбированного полимера
40
На рисунке 17 изображены профили насыщенности при различном отношении
концентрации адсорбированного полимера к концентрации
полимера. При
увеличении адсорбции можем заметить, что передняя часть фронта становиться
похожей на фронт вытеснения при обычном вытеснении, поскольку молекулы
полимера задерживаются в пройденном интервале и вязкостные свойства полимера
приближаются к свойствам воды. При этом рост насыщенности на запаздывающем
фронте становится меньше, а скорость его передвижения сильно уменьшается.
Таким образом, первичный фронт вытеснения, в котором изначально меньшая
концентрация полимера была уменьшена еще и адсорбцией, что в результате
приводит к ускорению темпа обводнения добывающей скважины за счет прорыва
слабоконцентриванного полимерного раствора.
41
