Задача С7 - Пособие

Задача С7. Задачи на целые числа
(учебное пособие).
§ 1. ДЕЛИМОСТЬ И ОСТАТКИ
1.1.
Деление без остатка
Свойства делимости целых чисел
Натуральное число p называется простым,
если p > 1 и p не имеет
положительных
делителей, отличных от 1 и p.
Натуральное число
n > 1 называется
составным, если n имеет, по крайней мере, один
положительный делитель, отличный от 1 и n.
Число 1 не считается ни простым, ни
составным.
Число 2 является единственным простым
четным числом.
Теорема
1
(Евклида).
Множество
положительных простых чисел бесконечно.
Теорема 2. Для любого целого числа k ≥ 1 в
натуральном ряду можно найти k составных
чисел, непосредственно следующих их друг за
другом.
Теорема 3. Если произведение нескольких
натуральных чисел делится на простое число, то
на него делится хотя бы один из сомножителей.
Каноническое разложение натурального
числа
Представление натурального числа n в виде
произведения двух натуральных чисел ab
называется
разложением
на
множители.
Представление числа в виде произведения простых
чисел называется разложением на простые
множители. Считается, что если n – простое
число, то оно имеет разложение на простые
множители, состоящее из одного числа n .
Два разложения на множители называются
одинаковыми, если они отличаются только
порядком множителей. Например, разложения 42
2∙3 ∙7 и 42 7 ∙2 ∙3 считаются одинаковыми.
Теорема 4 (основная теорема арифметики).
Для каждого натурального числа n1 существует
единственное разложение на простые множители.
Это значит, что для любого натурального
числа два разложения на простые множители
могут отличаться только порядком этих
множителей.
Простые и составные числа
Факториал натурального числа
Количество
числа
делителей
натурального
Следствие из теоремы 7. Если натуральное число
n имеет нечетное число натуральных делителей,
включая 1 и n, то это число n –полный квадрат.
Формула
суммы
натуральных чисел
квадратов
n
Сумма делителей натурального числа
1.2.
Деление с остатком
Справедливы следующие утверждения:
1. Сумма любых двух натуральных чисел и сумма
их остатков имеют одинаковые остатки при
делении на любое натуральное число.
2. Произведение любых двух натуральных чисел и
произведение их остатков имеют одинаковые
остатки при делении на любое натуральное число.
Алгоритм Евклида
Для нахождения НОД двух чисел делят
большее число на меньшее, и если получается
ненулевой остаток, то делят меньшее число на
остаток; если снова получается ненулевой остаток,
то делят первый остаток на второй. Так
продолжают делить до тех пор, пока в остатке не
получится нуль. Последний делитель и есть НОД
данных чисел:
Использование алгоритма Евклида бывает
удобнее метода разложения на простые множители
в тех случаях, когда
трудно получить
канонические разложения чисел (или невозможно).
Пример:
§ 2. ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ
НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
Примеры на использование свойств
сравнений
Пример 1 . Доказать, что число
§ 3. СРАВНЕНИЯ
Пример 2.
Найти остаток от деления числа a
на m , если:
Малая теорема Ферма
частей, особенно если
оказывается целое число.
в
другой
части
Зачастую для решения диофантовых
уравнений
требуются
более
тонкие
рассуждения, связанные с делимостью,
перебором
остатков,
оценками
частей
уравнения,
тождественными
преобразованиями и т. п.
Методы решения линейных уравнений
1) метод прямого перебора
Пример 1. В клетке сидят кролики и фазаны.
Всего у них 18 ног. Узнать сколько в клетке
тех и других. Укажите все решения.
§ 4. УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ
ЧИСЛАХ
Уравнение вида f(x, y,...) = 0, переменные
в котором
считаются целочисленными,
называется уравнением в целых числах
или диофантовым уравнением. Набор
целочисленных значений переменных, при
подстановке которых в уравнение получается
верное равенство, называется решением
диофантова уравнения.
2) использование неравенств
Пример 2. Решить в
уравнение 5x + 8y = 39.
натуральных числах
4.1. Линейные уравнения
Уравнение вида
ax + by = c
(1)
называется
линейным
диофантовым
уравнением. Такое уравнение имеет решения
в целых числах только тогда, когда c ⋮ (a, b).
Однако верно и обратное утверждение: если
c ⋮ (a, b),
то уравнение (1) имеет
целочисленные решения. В этом случае можно
разделить оба коэффициента и свободный
член уравнения
на
(a, b)
и решать
полученное более простое уравнение.
В решении уравнений в целых числах
помогает разложение на множители одной из
3) использование отношения делимости
Пример 3. Имеются контейнеры двух видов:
по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров
первого и сколько второго вида, если вместе
они весят 3 тонны? Укажите все решения.
5) метод остатков
Пример 5. Решить в целых числах уравнение
3x – 4y = 1.
4) выделение целой части
Пример 4. У осьминога 8 ног, а у морской
звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других,
если всего у них 39 ног?
6) метод «спуска»
Пример 6. Решить в целых числах уравнение
5x – 7y = 3.
8) использование формул
7) метод последовательного
уменьшения коэффициентов по модулю
Пример 7. Решить в целых числах уравнение
79y – 23x = 1.
Пример 8. (МГУ, 1969). Остаток от деления
некоторого натурального числа n на 6 равен
4, остаток от деления n на 15 равен 7. Чему
равен остаток от деления n на 30?
9) использование алгоритма Евклида
Пример 9. Решить уравнение 12x − 17y = 2.
Решение.
12x − 17y = 2, (12, −17, 2),
следовательно, это диофантово уравнение, (12,
−17) = 1. Данное уравнение разрешимо в
целых числах. Найдем частное решение (x0,
y0), используя алгоритм Евклида. С его
помощью выразим число 1 через a и b, a = 12,
b = −17, но мы будем рассматривать |b|, так
как y ∈ Z.
17 = 12 · 1 + 5, 12 = 5 · 2 + 2, 5 = 2 · 2 + 1. ⇒
1 = 5 − 2 · 2 = 5 − 2 · (12 − 5 · 2) = 5 · 5 − 2 · 12
= 5 · (17 − 12 · 1) − 2 · 12 =
= 5 · 17 − 7 · 12.
12 · (−7) + 17 · 5 = 1;
12 · (−7) − 17 · (−5) = 1;
12 · (−14) − 17 · (−10) = 2.
1.2)
Пример 11. Найти все пары натуральных
чисел, разность квадратов которых равна 55.
Следовательно, x0 = −14, y0 = −10, а полное
решение: x = −14 + 17k, y = −10 + 12k, k ∈ Z.
Ответ: (−14 + 17k, −10 + 12k), k ∈ Z.
4.2. Нелинейные уравнения
применение формул сокращенного
умножения
1.3)
способ группировки
Пример 12. Решить в целых числах уравнение
𝑥𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 = 6.
Методы решения нелинейных уравнений
1) Метод разложения на множители
1.1)
вынесение общих множителей за
скобку
Пример 10. Решить в целых числах уравнение
2𝑥 3 + 𝑥𝑦 − 7 = 0.
1.4)
разложение квадратного
трехчлена
Пример 13. Решить в целых числах уравнение
𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 2𝑦 2 = 11.
1.5)
использование параметра
Пример 14. Решить в целых числах уравнение
2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 9𝑥 + 𝑦 = 2.
Замечание. В данном примере суть выделения
целой части состоит в избавлении переменной x
из числителя (сравните с примером 4 ). В
решении был использован прием домножения
обеих частей равенства на коэффициент при x в
знаменателе. Этот прием домножения также
удобно использовать при решении уравнений
методом разложения на множители.
2.2)
использование дискриминанта
(неотрицательность)
Пример 16. Решить в целых числах уравнение
3(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = 𝑥 + 8𝑦.
2) Метод решения относительно одной
переменной
2.1)
выделение целой части
Пример 15. (МГУ, 1997). Найти все пары
целых чисел x и y, удовлетворяющие уравнению
3𝑥𝑦 + 14𝑥 + 17𝑦 + 71 = 0.
2.3)
использование дискриминанта
(полный квадрат)
Пример 17. Решить в целых числах уравнение
𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦.
3.2)
3) Метод оценки
3.1)
использование известных
неравенств
Пример 18.
уравнение
1
𝑥
Решить в натуральных числах
1
1
+ 𝑦 = 2.
приведение к сумме
неотрицательных выражений
Пример 19. (ММО, 1941, 9-10 классы).
Решить в целых числах уравнение
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2.
4) Метод остатков
Пример 20. Решить в целых числах уравнение
3𝑚 + 7 = 2𝑛 .
5) Метод «спуска»
5.1)
метод конечного «спуска»
Пример 21. Решить в целых числах уравнение
2𝑥 2 − 5𝑦 2 = 7.
5.2)
метод бесконечного «спуска»
Пример 22. Решить в целых числах уравнение
2𝑥 2 − 5𝑦 2 = 𝑧 2 .
6) Метод доказательства от
противного
Пример 23. Доказать, что уравнение
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2𝑥𝑦𝑧
неразрешимо в натуральных числах.
7) Параметризация уравнения
Пример 24. Решить в целых числах уравнение
𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = 2.
8) Функционально-графический метод
Пример 25. (МИОО 2010)). Найти все пары
натуральных k и n таких, что 𝑘 < 𝑛 и 𝑛𝑘 =
𝑘𝑛.
Рис. 1.
§ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И
ПРОГРЕССИИ
Арифметическая прогрессия