§ 1. Числовые функции
Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью
выражают зависимости между различными переменными величинами. Изучение
свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.
1. Определение
Пусть 𝑋- некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу 𝑥 ∈ 𝑋 поставлено в соответствие число 𝑦. Тогда говорят, что на множестве 𝑋 определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например 𝑓, и пишут
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋.
(1)
Множество 𝑋 называется областью определения функции 𝑓, 𝑥 - ее аргументом, а 𝑦 значением функции в точке 𝑥. Используются также обозначения: 𝐷(𝑓) для области
определения и 𝐸(𝑓) для множества значений функции.
Графиком функции 𝑓 называется множество всех точек координатной плоскости
вида (𝑥, 𝑓(𝑥)), где 𝑥 ∈ 𝑋. График дает наглядное представление о поведении функции,
однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ
задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента.
В качестве области определения функции могут выступать различные числовые
множества, например:
а) отрезок [𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏};
б) интервал (𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏};
в) полуинтервалы (𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} или [𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏};
г) бесконечные полуинтервалы [𝑎, +∞) = {𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥} или (−∞, 𝑎] = {𝑥: 𝑥 ≤ 𝑎};
д) множество всех действительных чисел R =(−∞, +∞).
Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно
множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.
Примеры. 1) Для функции 𝑦 = √𝑥 область определения и множество значений
имеют вид: 𝐷(𝑓) = [0, +∞), 𝐸(𝑓) = [0, +∞); график функции представлен на рис. 1.
Рис. 1.
2) Для функции 𝑦 = √1 − 𝑥 2 имеем 𝐷(𝑓) = [−1, 1], 𝐸(𝑓) = [0, 1]; график функции изображен на рис. 2.
Рис. 2.
1
3) Для функции 𝑦 = 𝑥−1 имеем: 𝐷(𝑓) = (−∞, 1) ∪ (1, +∞),
𝐸(𝑓) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞); ее график приведен на рис. 3.
Рис. 3.
2. Основные элементарные функций
Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.
а) Линейная функция:
𝑦 = kx + 𝑏, 𝑥 ∈R,
где 𝑘 и 𝑏 – некоторые постоянные (числа); график – прямая с угловым коэффициентом 𝑘 (𝑘 = tg𝛼, где 𝛼 – угол наклона прямой к оси 𝑥):
Рис.4.
б) Квадратичная функция:
𝑦 = ax 2 + bx + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) 𝑥 ∈R,
Рис. 5.
где 𝑎, 𝑏, 𝑐 - постоянные коэффициенты; график – парабола, ее расположение существенно зависит от величины
𝐷 = 𝑏 2 − 4ac,
называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента 𝑎:
в) Обратно пропорциональная зависимость:
𝑘
𝑦 = 𝑥 (𝑘 ≠ 0), 𝑥 ≠ 0,
где 𝑘 - постоянная. График – гипербола:
Рис. 6.
г) Степенная функция:
𝑦 = kx 𝑛 (𝑘 ≠ 0),
где 𝑘 и 𝑛 - постоянные; область определения существенно зависит от 𝑛. В п. в) рас1
смотрен случай 𝑛 = −1, а в примере 1 - случай 𝑛 = 2. Приведем еще графики функций
1
для 𝑛 = 3 и 𝑛 = 3:
Рис. 7.
е) Показательная функция:
𝑦 = 𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1), 𝑥 ∈R,
где 𝑎 - постоянная; график в зависимости от значения 𝑎 имеет вид:
Рис. 8.
Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными элементарными функциями.
3. Сложная функция
Пусть заданы функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑧 = 𝐹(𝑦), причем множество значений функции 𝑓 принадлежит области определения функции 𝐹: 𝐸(𝑓) ⊂ 𝐷(𝐹). Тогда можно определить сложную функцию
𝑧 = 𝐹(𝑓(𝑥)), 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓),
называемую также композицией функций 𝑓 и 𝐹.
Пример. Из функций 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 и 𝑦 = 2𝑥 с помощью указанной операции мож2
но составить две сложные функции: 𝑦 = 2𝑥 +𝑥 и 𝑦 = (2𝑥 )2 + 2𝑥 = 4𝑥 + 2𝑥 .
Используя операцию композиции, можно из основных элементарных функций,
получать новые функции, также называемые элементарными. Вообще, элементарной
функцией называют функцию, которую можно получить из основных элементарных
функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.
Пример. Функция 𝑦 = |𝑥| = { 𝑥 при 𝑥 ≥ 0, |
(читается: “модуль 𝑥”) является
элементарной, так как для всех 𝑥 ∈R справедливо представление |𝑥| = √𝑥 2 . График
этой функции приведен на рис. 9.
Рис. 9.
4. Обратная функция
Рассмотрим функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥) с областью определения 𝑋 и множеством значений 𝑌. Предположим, что для любого 𝑦 ∈ 𝑌 уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑦 имеет единственное
решение𝑥 ∈ 𝑋. Тогда на множестве 𝑌 можно определить функцию, сопоставляющую
каждому 𝑦 ∈ 𝑌 такое значение 𝑥 ∈ 𝑋, что 𝑓(𝑥) = 𝑦. Эту функцию называют обратной
для функции 𝑓 и обозначают 𝑓 −1 :
𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦), 𝑦 ∈ 𝑌.
Функцию, у которой существует обратная функция, назовем обратимой.
Обозначая, как обычно, аргумент функции через 𝑥, а значение функции через 𝑦,
можно записать
𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝑌.
Поскольку взаимная перестановка переменных 𝑥 и 𝑦 равносильна переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) симметричен графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) относительно биссектрисы первого и третьего координатных
углов (то есть относительно прямой 𝑦 = 𝑥).
Примеры. 1) Для линейной функции 𝑦 = 2𝑥 − 6 обратная функция также линейна и имеет вид 𝑥 = (1⁄2)𝑦 + 3. Меняя местами 𝑥 и 𝑦, получаем 𝑦 = (1⁄2)𝑥 + 3.
Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.
Рис. 10.
2) Для функции 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ 𝑋 = [0, +∞), множество значений имеет вид 𝑌 =
[0, +∞). Для каждого 𝑦 ∈ 𝑌 уравнение 𝑥 2 = 𝑦 имеет единственное решение 𝑥 = √𝑦 ∈
𝑋. Поменяв местами 𝑥 и 𝑦, получим 𝑦 = √𝑥, 𝑥 ∈ [0, +∞). Графики функций приведены
на рис. 11 .
Рис. 11.
Рис. 11.
3) Обратной к показательной функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 является логарифмическая функция 𝑦 = log 𝑎 𝑥, 𝑥 > 0. На рис. 12 представлены графики функций 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = log 2 𝑥 .
Рис. 12.
Упражнения
1. Найти области определения следующих функций:
𝑥
1) 𝑦 = √5 − 3𝑥;
8) 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3;
16) 𝑦 = √−𝑥 2 + 2𝑥 − 1;
1
2
2) 𝑦 = √2𝑥 + 1;
17) 𝑦 = √1−𝑥 2;
9)
𝑦
=
;
2
2𝑥
(𝑥−3)
𝑥
3) 𝑦 = 𝑥 + 1;
2𝑥
18) 𝑦 = √4−𝑥 2;
10)
𝑦
=
;
1−3𝑥
16−𝑥 2
2
4) 𝑦 = 3−𝑥 ;
19) 𝑦 = √𝑥 2 ;
2
11)
√𝑥
−
1;
−1
1
2𝑥
5) 𝑦 = 𝑥 2 + 1;
2
12) 𝑦 = √9 − 𝑥 ;
20) 𝑦 =
;
2𝑥+1
6) 𝑦 = −𝑥 2 +2𝑥−2;
1
7) 𝑦 = (𝑥−1)(𝑥+2);
13) 𝑦 = √𝑥 2 − 𝑥 − 2;
14) 𝑦 = √𝑥 2 − 4𝑥 + 4;
15) 𝑦 = √−𝑥 2 + 4𝑥 − 3;
2. Построить графики функций:
1) 𝑦 = 2𝑥 + 5,
7) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1;
2) 𝑦 = 3𝑥 − 7;
8) 𝑦 = −𝑥 2 − 2;
3) 𝑦 = 3 − 𝑥;
9) 𝑦 = −3𝑥 2 + 6𝑥 − 5;
4) 𝑦 = 7 − 2𝑥;
10) 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 4;
2
2
5) 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 3,
11) 𝑦 = 𝑥−1;
2
6) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 + 5;
√𝑥 2 −9
21) 𝑦 = log 2 (𝑥 + 2);
22) 𝑦 = log 3 (3 − 2𝑥).
2𝑥 + 1
12) 𝑦 = 𝑥 + 1 ;
13) 𝑦 = |𝑥 − 2|;
14) 𝑦 = |1 − 2𝑥|;
15) 𝑦 = |𝑥| − 𝑥.
3. Найти функции обратные к функции 𝑦, указать их области определения и построить графики:
1) 𝑦 = 1 − 𝑥;
8) 𝑦 = 5𝑥 ;
5) 𝑦 = 𝑥 2 − 1, 𝑥 ≥ 0;
2𝑥
2) 𝑦 = 2𝑥 + 1;
9) 𝑦 = 3−𝑥 ;
6) 𝑦 = 𝑥−1;
10) 𝑦 = log 3 2𝑥.
3) 𝑦 = √1 − 𝑥, 𝑥 ≤ 1;
1
7) 𝑦 = 𝑥;
4) 𝑦 = √𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 0;
Ответы
1.
1) 𝑥 ∈ (− ∞, 5⁄3];
13) 𝑥 ∈ (−∞, −1] ∪ [2, +∞);
2) 𝑥 ∈ [−1/2, ∞);
14) 𝑥 ∈ R;
15) 𝑥 ∈ [1, 3];
3) 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, ∞);
4) 𝑥 ∈ (−∞, 3) ∪ (3, ∞);
16) 𝑥 = 1;
5) 𝑥 ∈ R;
17) 𝑥 ∈ (−1, 1);
6) 𝑥 ∈ R;
18) 𝑥 ∈ (−2, 2);
7) 𝑥 ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 1) ∪ (1, ∞);
19) 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞);
8); 𝑥 ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, ∞)
20) 𝑥 ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞);
9) 𝑥 ∈ (−∞, 3) ∪ (3, ∞);
21) 𝑥 ∈ (−2, ∞);
10) 𝑥 ∈ (−∞, −4) ∪ (−2, 4) ∪ (4, ∞);
22)𝑥 ∈ (−∞, 3/2).
.
11) 𝑥 ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞);
12) 𝑥 ∈ [−3, 3];
3.
1) 𝑦 = 1 − 𝑥, 𝑥 ∈R;
3)𝑦 = 1 − 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0;
5) 𝑦 = √𝑥 + 1, 𝑥 ≥ −1;
𝑥−1
2
𝑥
4)
𝑦
=
(𝑥
−
1)
,
𝑥
≥
1;
2) 𝑦 = 2 , 𝑥 ∈ R;
6) 𝑦 =
, 𝑥 ≠ 2;
𝑥−2
1
7) 𝑦 = , 𝑥 ≠ 0;
𝑥
8) 𝑦 = log 5 𝑥, 𝑥 > 0;
9) 𝑦 = −log 3 𝑥, 𝑥 > 0;
1
10) 2 3𝑥 , 𝑥 ∈ R.
