ЗАДАЧА 1 Транспортная задача закрытого типа без ограничений пропускной способности, представленная в матричной форме На 4 станциях А1, А2, А3 и А4 имеется избыток порожних вагонов в размере соответственно а1, а2, а3 и а4 вагонов. Необходимо распределить данные вагоны по 7 станциям В1, В2, В3, В4, В5, В6 и В7 с недостатком порожняка соответственно в количестве b1, b2, b3, b4, b5, b6 и b7 вагонов. Расстояние между каждой станцией отправления (избытка вагонов) и каждой станцией назначения (недостатка порожняка) представлено в виде матрицы. Необходимо составить план распределения вагонов между указанными станциями с минимальным суммарным пробегом порожних вагонов. Математическая модель задачи будет представлена следующим образом. Целевая функция (суммарный пробег порожних вагонов) определяется по формуле: 4 L 7 cij xij min . i 1 j 1 Система ограничений: 7 хij ai , i 1, 2 , 3, 4 j 1 4 xij b j , j 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 i 1 x 0 , i 1, 2 , ..., 4; j 1, 2 , ..., 7 ij где аi − ресурсы i-ой станции отправления; bj − потребность j-ой станции назначения. Исходный опорный план перевозок может быть построен различными методами. Исходный опорный план, построенный методом северо-западного угла Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 В1 В2 А3 78 А4 38 В4 В5 В6 В7 25 45 Недостаток порожних вагонов 65 44 В3 50 46 35 47 35 51 65 50 45 43 48 54 41 44 45 26 37 37 57 45 25 41 32 43 44 36 40 10 34 34 1 45 29 38 38 45 42 25 52 7 42 38 L = 65 × 46 + 50 × 47 + 25 × 51 + 10 × 43 + 34 × 44 + 1 × 34 + 45 × 37 + + 25 × 57 + 7 × 45 + 38 × 42 = 13576 ваг-км. Исходный опорный план, построенный методом «минимального элемента» Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 В1 В2 А3 78 А4 38 В4 В5 В6 В7 25 45 Недостаток порожних вагонов 65 44 В3 50 46 35 47 51 41 32 44 36 35 45 43 48 43 44 40 34 65 54 41 45 26 37 37 57 45 52 42 35 2 38 12 25 35 45 29 38 38 7 43 42 38 L = 65 × 46 + 35 × 51 + 2 × 48 + 38 × 41 + 12 × 32 + 25 × 26 + 7 × 37 + + 35 × 34 + 43 × 37 + 38 × 29 = 11605 ваг-км. Исходный опорный план, построенный методом наименьшего критерия в столбце Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 В1 В2 А3 78 А4 38 В4 В5 В6 В7 25 45 Недостаток порожних вагонов 65 44 В3 50 35 35 45 46 47 51 43 48 54 41 32 43 44 45 26 37 36 40 34 37 57 45 42 52 42 25 41 45 25 45 44 44 21 45 12 29 35 38 10 38 38 L = 25 × 43 + 45 × 48 + 25 × 54 + 45 × 41 + 44 × 41 + 21 × 44 + 12 × 36 + + 35 × 40 + 10 × 34 + 38 × 29 = 12432 ваг-км. Исходный опорный план, построенный методом наименьшего критерия в строке Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 В1 В2 А3 78 А4 38 В4 В5 В6 В7 25 45 Недостаток порожних вагонов 65 44 В3 50 46 35 35 47 51 43 41 32 43 44 36 40 45 48 54 41 44 45 26 37 34 37 57 45 52 42 60 35 45 19 25 31 45 29 5 2 38 45 38 42 33 L = 60 × 46 + 35 × 43 + 45 × 41 + 19 × 32 + 25 × 26 + 31 × 36 + 2 × 40 + + 45 × 37 + 5 × 45 + 33 × 38 = 11708 ваг-км. Исходный опорный план, построенный методом двойного предпочтения Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 В1 В2 А3 78 А4 38 В4 В5 В6 В7 25 45 Недостаток порожних вагонов 65 44 В3 50 46 35 47 65 35 51 12 45 43 48 35 54 41 37 2 26 41 32 43 44 45 26 44 36 40 34 37 57 45 52 42 25 35 45 29 38 38 19 43 42 38 L = 65 × 46 + 12 × 47 + 35 × 51 + 2 × 48 + 26 × 41 + 25 × 26 + 19 × 37 + + 35 × 34 + 43 × 37 + 38 × 29 = 11737 ваг-км. Как видно из приведенных расчетов наименьшее значение целевой функции (суммарный пробег порожних вагонов) получено при построении начального опорного плана методом наименьшего критерия в строке (L = 11708 ваг-км). Так как целью данной задачи является получение минимального суммарного пробега порожних вагонов, то для дальнейшего рассмотрения выбирается исходный опорный план, построенный именно этим методом. Наиболее известным методом решения транспортных задач закрытого типа является метод потенциалов. Исходный опорный план проверяется на условие «вырождения». Согласно теореме Данцига, количество занятых клеток в оптимальном плане не должно превышать суммарного числа строк и столбцов (суммы количества пунктов отправления и назначения): КЗ ≤ т + п – 1 где КЗ − число занятых клеток; т − число строк матрицы (пунктов отправления); п − число столбцов (пунктов назначения). 10 ≤ 4 + 7 – 1. Одной из строк присваивается произвольный потенциал. Удобнее всего начать со строки, имеющей наибольшее число занятых клеток, а величину потенциала выбрать больше, чем любое расстояние в матрице условий. Через занятые клетки определяются потенциалы столбцов, связанных с первой строкой по формуле: Vj = Ui + cij, где cij − критерий расстояния в заданной клетке. Через занятые клетки определяются потенциалы строк, связанных со столбцами, получившими потенциал, по формуле: Ui = Vj – cij. План считается оптимальным, если соблюдаются следующие условия: V j U i cij при xij = 0 (клетка свободна), V j U i cij при xij > 0 (в клетке назначена перевозка) План перевозок порожних вагонов (начальный) Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 44 А3 78 А4 38 В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 25 45 Недостаток порожних вагонов 65 46 50 35 47 5 35 51 60 41 Н2 32 43 45 48 6 54 41 26 45 37 Н1 35 43 44 45 19 44 Н3 36 40 31 29 Н5 38 45 4 25 5 34 Н10 37 2 1 2 3 38 57 45 52 42 45 Н4 42 33 Vj 146 135 139 143 136 129 141 L = 60 × 46 + 35 × 43 + 45 × 41 + 19 × 32 + 25 × 26 + 31 × 36 + 2 × 40 + + 45 × 37 + 5 × 45 + 33 × 38 = 11708 ваг-км. Ui 100 103 99 101 План перевозок порожних вагонов (первая корректировка) Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 44 А3 78 А4 38 В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 25 45 Ui Недостаток порожних вагонов 65 46 50 35 47 3 51 35 43 48 4 62 41 45 54 41 33 32 43 44 45 45 26 37 19 36 45 31 29 Н15 38 2 40 6 34 1 3 113 25 44 37 57 45 2 45 38 Н4 42 Н3 52 42 5 100 109 101 35 Vj 146 145 139 143 146 139 141 L = 62 × 46 + 33 × 43 + 45 × 41 + 19 × 32 + 25 × 26 + 31 × 36 + 2 × 34 + + 45 × 37 + 3 × 45 + 35 × 38 = 11688 ваг-км. План перевозок порожних вагонов (вторая корректировка) Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 44 А3 78 А4 38 В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 Ui Недостаток порожних вагонов 65 46 50 35 35 51 Н3 43 47 65 41 45 48 25 54 32 43 44 45 45 26 3 1 28 29 38 3 37 25 40 Н5 34 36 4 45 41 30 19 44 45 37 5 38 2 57 45 52 42 45 42 35 Vj 146 145 154 143 146 139 141 L = 65 × 46 + 30 × 43 + 45 × 41 + 19 × 32 + 25 × 26 + 28 × 36 + 5 × 34 + + 45 × 37 + 3 × 29 + 35 × 38 = 11643 ваг-км. 100 113 109 116 План перевозок порожних вагонов (третья корректировка) Станция отправления Избыток порожних вагонов Станция назначения А1 140 А2 44 А3 78 А4 38 В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 Ui Недостаток порожних вагонов 65 46 50 35 47 35 51 43 65 41 45 48 25 54 32 43 44 45 45 26 36 40 29 34 38 31 37 25 28 45 41 30 19 44 45 37 5 38 57 45 52 42 45 42 7 100 108 109 111 Vj 146 140 149 143 146 134 141 L = 65 × 46 + 30 × 43 + 45 × 41 + 19 × 32 + 25 × 26 + 28 × 40 + 5 × 34 + + 45 × 37 + 31 × 29 + 7 × 38 = 11503 ваг-км. После присвоения потенциалов всем столбцам и строкам матрицы нарушений условия оптимальности нет, значит, данный план перевозок является оптимальным. В результате решения данной задачи методом потенциалов и проведенных преобразований получен оптимальный план перевозок, который приводит к уменьшению значения целевой функции (суммарное расстояние перевозок) относительно начального плана на 11708 – 11503 = 205 ваг-км.
