Загрузил vitaimaxim93

Проект по теме Задачи на клетчатой бумаге

реклама
Фестиваль ученических проектов- 2018
Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение
«Средняя общеобразовательная школы п .Керамкомбинат»
Секция - Точные науки, предмет- Математика
Тип проекта - исследовательский
«Задачи на клетчатой бумаге»
Выполнила:
учащаяся: 9 «А» класса
Глушкова Анастасия
Руководитель:
Терещенко Светлана
Васильевна
учитель математике
первой квалификационной
категории
2018
1
Содержание
Введение………………………………………………………………2 - 4
Основная часть………………………………………………………..
Глава 1. Решение задач по формулам ………………………............5-8
Глава 2. Задачи из ОГЭ вычислить величины угла, синуса, косинуса, тангенса
угла на клетчатой бумаге……………………………………………..9
Глава 3. Нахождение расстояния между точками, от точки до
прямой…………………………………………………………………10
Глава 4.Формула Пика………………………………………………..11-13
Игра ………………………………………………………………… . 14
Заключение. ………………………………………………………… 15
Список использованной
литературы….…………………………………………….....................16
2
Введение:
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то
особенно понравившейся задачей. Я рассмотрела множество разных заданий
и больше всего мне понравились такие как задачи на клетчатой бумаге.
Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно
разнообразны.
Есть задачи на нахождение:
1) Площади фигуры или ее части на клетчатой бумаге;
2) Величины угла, синуса, косинуса, тангенса угла.
3) Задачи на доказательство и т.д.
Мы рассмотрели четыре способа решения таких задач:
1.Метод непосредственных вычислений
2.Метод дополнения
3.Метод разделения
4.С помощью формулы Пика
1.Основной вопрос проекта: Задачи на клетчатой бумаге?
Объект исследования: Задачи разного вида.
Предмет исследования: Задачи по математике на клетчатой бумаге.
Цель: Рассмотреть задачи на клетчатой бумаге.
2.Задачи:
1.Изучить историю вопроса.
2.Познакомить с формулой Пика и показать ее применение при решении
задач.
3.Узнать больше о задачах по математике на клетчатой бумаге и показать
решение их.
4.Сделадь вывод.
5.Сделать слайдовую презентацию на тему: «Математика на клетчатой
бумаге ».
3.Методы исследования:
3
Сбор материала, обработка данных, наблюдение ,сравнение ,анализ.
4.План работы по организации проекта
1. Подготовительно – организационный ( 1 четверть )
2. Самостоятельная творческая деятельность ( сентябрь – январь )
3. Реализация проекта ( второе полугодие учебного года - февраль месяц, с
10 – 14 февраля )
4.Деятельность по реализации проекта
НА первом этапе составили план работы. Нашли и изучили
дополнительную литературу. Рассмотрели задачи, входящие в базу данных
по ОГЭ.
Второй этап выполнения проекта . После того ,как мы самостоятельно
изучили всю необходимую литературу, составили план проекта, исследовали
и сформулировали цели и задачи проекта , мы стали работать над проектом.
Третий этап реализация проекта. Оформили проектную работу и выступили
перед классом.
4
Основная часть.
Глава 1.
Решение задач по формулам .
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2.Задание B3 (№ 251249)
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
3.Задание B3 (№ 5193)
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4.Задание B3 (№ 249883)
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5
5.Задание B3 (№ 248775)
Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
6.Задание B3 (№ 5187)
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
7.Задание B3 (№ 246707)
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
6
8.Задание B3 (№ 257919)
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
Задача № 9.
.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена фигура. Найдите её площадь.
1.Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки
7
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1
изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AС
37.
1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Есть формула расчета площади треугольника: S= снование*высота/2
S=4*8/2= 16
Ответ: 16
9.Задание B3 (№ 263465)
Найдите (в см2) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). В ответе запишите
10..Найдите (в см2) площадь
бумаге с размером клетки 1 см
.
фигуры, изображенной на клетчатой
1 см (см. рис.). В ответе запишите
8
.
Глава2.
Задачи из ОГЭ вычислить величины угла, синуса, косинуса, тангенса
угла на клетчатой бумаге.
.
Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
2.
Найдите тангенс угла А треугольника ABC,
изображённого на рисунке.
3.
Найдите тангенс угла B треугольника ABC,
изображённого на рисунке.
4.
Найдите тангенс угла С треугольника ABC ,
изображённого на рисунке.
9
Глава 3.
Нахождение расстояния между точками, от точки до прямой;
.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС.
Ответ выразите в сантиметрах.
26.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка
ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
10
Глава 4.
Формула Пика
Георг Пик – австрийский математики. Он известен своей теоремой о
вычислении площади многоугольника, которая появилась в его
восьмистраничной работе 1899 года. Эта теорема оставалась незамеченной в
течение некоторого времени после того, как Пик её опубликовал, однако в
1949 г. польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему (или как её
ещё называют — формулу) в свой знаменитый «Математический
калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна. В
Германии формула Пика включена в школьные учебники [1, с. 2].
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в
узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их
площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе
многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой
Пика [2 с. 2].
Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток –
узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах
(Приложение 1, рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному.
Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры,
найти их площадь и сложить. Но тут нас ждёт много хлопот. Решение
приведено в практической части работы в п. 2.1. Но можно найти площадь
этого же многоугольника, используя формулу Пика: где S – площадь фигуры;
В - количество вершин клеток внутри фигуры;
Г - количество пересечений контура фигуры с вершинами клеток.
Эта формула верна как для прямоугольников, так и для произвольных
многоугольников с вершинами в узлах сетки.
Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те,
что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на
пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4. Определим
теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.
11
Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.
Проверим:
Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь
голубого треугольника 5, площадь зеленого – 4, площадь фиолетового 5.
Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.
Третья фигура: второй – S=10+5-1=14.
Проверить правильность расчета их площадей вы можете самостоятельно.
12
13
Игра на клетчатой бумаге
1) Крестики – нолики
Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди
рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует
крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит
определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или
диагонали). Следующая задача относится к этой игре.
относится к этой игре.
14
Заключение
Головоломки увлекают решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего
потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и
каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою
смекалку. Задачи на клетчатой плоскости являются серьёзными и полезными.
Основной метод, который использовался в проекте - это метод
систематизации и обработки данных.
При всем многообразии задач на клетчатой бумаге чёткой классификации и
структурирования по методам и способам решения я не встретила. Очень
вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего
правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство
обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения
или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать
аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки.
При выполнении проекта я расширила свои знания о решении задач на
клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач,
убедилась в их многообразии. Я научилась вычислять площади
многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, познакомилась с
совсем новыми, необычными «расстояниями», узнала, как раскраска
клеточек помогает решать многие задачи, а также познакомилась поближе с
задачами на разрезание и, наконец, научилась играть в увлекательные игры
на листке бумаги в клетку.
«Математика в клетку» является занимательным элементом обычной
математики и считается альтернативным, а во многом и незаменимым
способом решения многих задач.
15
Литература:
1.Жарковская Н. М., Рисс Е. А . Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика
// Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
2.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ.
3.Смирнова И. М., Смирнов В. А . Геометрия на клетчатой бумаге. – М.:
Чистые пруды, 2009.
4.Смирнова И. М., Смирнов В. А . Геометрические задачи с практическим
содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.
16
Скачать